高等数学主要概念与公式摘要

高等数学是由微积分学,较为深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科。由于电路分析运算放大器信号完整性高频电路信号学当中,都涉及有大量的积分和导数运算,也需要经常使用到拉普拉斯和傅立叶变换等高等数学内容,因此着手撰写本文用于复习大学本科学习阶段涉及的微积分知识,主要包含一元函数微分学一元函数积分学矢量代数与空间解析几何多元函数微分学多元函数积分学无穷级数常微分方程等部分的内容。

由于微积分涉及的概念相对较为抽象,因此在文章写作过程中,阅读并且参考了《Thomas’ Calculus》一书当中的有关内容。该书从 1951 年第 1 版发行至今,当前的最新版本为第 14 版,已经足足经历了七十个年头,是一本经历过时间检验的优秀参考资料。对于本文当中所涉及到的代数学知识,可以参见博主撰写的另外一篇数学类文章《初等代数常用公式与图像汇总》

函数与极限

数列的极限

数列极限的定义

➤ 如果按照某一个法则,对于每一个 \(n \in N\),都对应着一个确定的实数 \(x_n\),这些实数 \(x_n\) 按照下标 \(n\) 从小到大排列得到的一个序列 \(x_1, x_2, x_3, ... , x_n, ...\) 就叫做数列,简记为 \(\{ x_n \}\)。数列当中的每一个数叫做数列的,其中的第 \(n\) 项叫做数列的一般项或者通项

几何上,可以将数列 \(\{ x_n \}\) 视为数轴上的一个动点,它依次取数轴上的 \(x_1,x_2,x_3,...,x_n,...\)

注意数列 \(\{ x_n \}\) 可以视为自变量为正整数 \(n\)函数 \(x_n = f(n),\ n \in N_+\),当自变量 \(n\) 依次取 1,2,3... 等一切正整数时,对应的函数值就组成了一个数列 \(\{ x_n \}\)


➤ 假设 \(\{x_n\}\) 为一个数列,如果存在常数 \(a\),对于任意给定的正数 \(\varepsilon\) (无论它多么小),总存在正整数 \(N\),使得当 \(n>N\) 时,不等式 \(\vert x_n - a \vert < \varepsilon\) 都成立,那么就称常数 \(a\)数列 \(\{ x_n \}\)极限,或者称数列 \(\{x_n\}\) 收敛\(a\),记为:

\[ \lim\limits_{n \to \infty} x_n = a \ 或者 \ x_n \to a (n \to \infty) \]

如果不存在这样的常数 \(a\),就说明数列 \(\{x_n\}\) 没有极限,或者说数列 \(\{x_n\}\)发散的,习惯上也就是说 \(\lim\limits_{n \to \infty} x_n\) 不存在。

注意:上面定义当中的正数 \(\varepsilon\) 可以任意给定非常重要,因为只有满足了这个前提条件,不等式 \(|x_n - a|<\varepsilon\) 才能够表达出 \(x_n\)\(a\) 无限接近的意思,除此之外,还需要注意定义当中的正整数 \(N\) 是与任意给定的正数 \(\varepsilon\) 相关的,它会随着 \(\varepsilon\) 的给定而选定。

几何上,数列 \(\{ x_n \}\)极限\(a\) 是将常数 \(a\) 以及数列 \(x_1,x_2,x_3,...,x_n,...\),在数轴上用其对应的点表示出来,再在数轴上作 \(a\)邻域,即开区间 \((a - \varepsilon, a + \varepsilon)\)

注意:由于不等式 \(|x_n - a| < \varepsilon\)不等式 \(a - \varepsilon < x_n < a + \varepsilon\) 等价,所以当 \(n > N\) 时,所有的 \(x_n\) 都位于开区间 \((a - \varepsilon, a + \varepsilon)\) 之内,而只存在有限个(最多只有 \(N\) 个)处于区间之外。


➤ 用符号 \(\forall\) 表示对于每一个符号 \(\exists\) 表示存在,那么数列极限 \(\lim\limits_{n \to \infty} x_n\) 的定义可以表达为:

\[ \lim\limits_{n \to \infty} x_n \iff \forall \varepsilon > 0,\exists 正整数 N,当 n > N 时,有 \vert x_n - a \vert < \varepsilon \]

收敛数列的性质

➤ 下面的四个定理,都是有关于收敛数列的性质:

  • 定理 1:极限的唯一性,如果数列 \(\{ x_n \}\) 收敛,那么它的极限唯一
  • 定理 2:收敛数列的有界性,如果数列 \(\{ x_n \}\) 收敛,那么数列 \(\{ x_n \}\) 一定有界
  • 定理 3:收敛数列与其子数列间的关系,如果数列 \(\{ x_n \}\) 收敛于 \(a\),那么它的任意一个子数列也收敛,并且极限也是 \(a\)
  • 定理 4:收敛数列的保号性,如果 \(\lim\limits_{n \to \infty} x_n = a\),且 \(a > 0\) (或者 \(a < 0\)),那么存在正整数 \(N\),当 \(n > N\) 时,都有 \(x_n > 0\) (或者 \(x_n < 0\));

推论:如果数列 \(\{ x_n \}\) 从某项起有 \(x \ge 0\) (或者 \(x \le 0\)),并且 \(\lim\limits_{n \to \infty} x_n = a\),那么 \(a \ge 0\) (或者 \(a \le 0\));

子数列

➤ 任意抽取数列 \(\{ x_n \}\) 里的无限多项,并且保持这些在原数列当中的先后次序,这样得到的数列就称为原数列子数列子列

假设在数列 \(\{ x_n \}\) 当中,第一次抽取 \(\{ x_{n_1} \}\),第二次抽取 \(\{ x_{n_1} \}\) 后面的 \(\{ x_{n_2} \}\),第三次抽取 \(\{ x_{n_2} \}\) 后面的 \(\{ x_{n_3} \}\),如此循环往复,就可以得到如下的数列:

\[ \{ x_{n_1}, x_{n_2}, x_{n_3} ..., x_{n_k}, ... \} \]

这里的数列 \(\{ x_{n_k} \}\) 就是数列 \(\{ x_n \}\)子数列。其中的一般项 \(x_{n_k}\) 是指子数列的第 k 项,原数列的第 n 项。

函数的极限

函数极限的一般概念

函数极限的一般概念:如果在自变量的某个变化过程当中,对应的函数值无限接近于某个确定的数,那么这个确定的数就称为该变化过程当中的函数极限。这个极限与自变量的变化过程密切相关,自变量的变化过程不同,函数极限的表现形式就会不同:

  1. 自变量 \(x\) 任意的趋近于有限值 \(x_0\) 时(记作 \(x \to x_0\)),对应的函数值 \(f(x)\) 的变化情况;
  2. 自变量 \(x\)绝对值 \(|x|\) 趋近于无穷大 \(\infty\) 时(记作 \(x \to \infty\)),对应的函数值 \(f(x)\) 的变化情况;

自变量趋于有限值

自变量趋于有限值时函数的极限:假设函数 \(f(x)\) \(x_0\) 的某一个去心邻域内有定义,如果存在常数 A,对于任意给定的正数 \(\varepsilon\) (不论多么小),总存在着正数 \(\delta\),使得当 \(x\) 满足不等式 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 时,对应的函数值 \(f(x)\) 都满足不等式 \(|f(x) - A| < \varepsilon\),那么常数 A 就称为函数 \(f(x)\)\(x \to x_0\) 时候的极限,记作:

\[ \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = A\ 或者\ f(x) \to A\ (当 x \to x_0) \]

这个定义可以简单的表述为如下形式:

\[ \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = A \iff \forall \varepsilon > 0,\ \exists\ \delta > 0,\ 当 0<|x - x_0|< \delta 时,\ 有 |f(x) - A| < \varepsilon \]

注意:上述定义里的 \(0 < |x - x_0|\) 表示的是 \(x \neq x_0\),所以 \(x \to x_0\) 时函数 \(f(x)\) 有无极限,与函数 \(f(x)\) \(x_0\) 是否有定义并无关联。


函数 \(f(x)\)\(x \to x_0\) 时的极限为 A 的几何解释:对于任意给定的一个正数 \(\varepsilon\) 作平行于 \(x\) 轴的两条直线 \(y = A + \varepsilon\) 以及 \(y = A - \varepsilon\),介于两条直线之间的是一个横条区域。根据定义,对于给定的 \(\varepsilon\),存在着 \(x_0\) 的一个 \(\delta\) 邻域 \((x_0 - \delta, x_0 + \delta)\),当 \(y = f(x)\) 图形上的横坐标 \(x\)邻域 \((x_0 - \delta, x_0 + \delta)\) 内,但是 \(x \neq x_0\) 时,这些纵坐标 \(f(x)\) 满足不等式 \(|f(x) - A| < \varepsilon\) 或者 \(A - \varepsilon < f(x) < A + \varepsilon\),即这些都位于下图当中的横条区域


➤ 在 \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = A\) 的定义当中,将 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 更改为 \(x_0 - \delta < x < x_0\),那么 A 就称为函数 \(f(x)\)\(x \to x_0\) 时的左极限,记作:

\[ \lim\limits_{x \to x_{0}^{-}} f(x) = A 或者 f(x_{0}^{-}) = A \]

➤ 类似的,在 \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = A\) 的定义当中,将 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 更改为 \(x_0 < x < x_0 + \delta\),那么 A 就称为函数 \(f(x)\)\(x \to x_0\) 时的右极限,记作:

\[ \lim\limits_{x \to x_{0}^{+}} f(x) = A 或者 f(x_{0}^{+}) = A \]

左极限右极限统称为单侧极限,根据 \(x \to x_0\) 时函数 \(f(x)\) 极限的定义,以及左极限右极限的定义,可以容易的证明:函数 \(f(x)\)\(x \to x_0\) 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等,即

\[ f(x_0^{-}) = f(x_0^{+}) \]

注意:即使 \(f(x_0^{-})\)\(f(x_0^{+})\) 都存在,但是两者如果不相等,则 \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x)\) 也不会存在。


自变量趋于无穷大

自变量趋于无穷大时函数的极限:假设函数 \(f(x)\)\(|x|\) 大于某一个正数时有定义,如果存在常数 A,对于任意给定的正数 \(\varepsilon\) (无论多么小),总存在着正数 X,使得当 \(x\) 满足不等式 \(|x| > X\) 时,对应的函数值都满足不等式 \(|f(x) - A| < \varepsilon\),那么常数 A 就称为函数 \(f(x)\)\(x \to \infty\) 时候的极限,记作:

\[ \lim\limits_{x \to \infty} f(x) = A\ 或者\ f(x) \to A\ (当 x \to \infty) \]

这个定义同样可以简单的表述为如下形式:

\[ \lim\limits_{x \to \infty} f(x) = A \iff \forall \varepsilon > 0,\ \exists\ X > 0,\ 当 |x| > X 时,\ 有 |f(x) - A| < \varepsilon \]

  • 如果 \(x > 0\) 并且无限增大 (记作 \(x \to +\infty\)),那么只要将上述定义中的 \(|x| > X\) 更改为 \(x > X\),就可以得到 \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = A\) 的定义。
  • 如果 \(x < 0\) 并且 \(|x|\) 无限增大 (记作 \(x \to -\infty\)),那么只要将上述定义中的 \(|x| > X\) 更改为 \(x < -X\),就可以得到 \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = A\) 的定义。

\(\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = A\) 的几何意义:作直线 \(y = A - \varepsilon\)\(y = A + \varepsilon\),则总有一个正数 X 存在,使得当 \(x > X\) 或者 \(x < -X\) 时,函数 \(y = f(x)\) 的图形位于这两条直线之间,此时直线 \(y = A\) 就是函数 \(y = f(x)\) 的图形的水平渐近线

函数极限的性质

➤ 这里以 \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x)\) 形式为代表,给出关于函数极限性质的一些定理:

  • 定理 1:函数极限的唯一性,如果 \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x)\) 存在,那么该极限唯一;
  • 定理 2:函数极限的局部有界性,如果 \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = A\),那么存在常数 \(M > 0\)\(\delta > 0\),使得当 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 时,有 \(|f(x)| \leq M\)
  • 定理 3:函数极限的局部保号性,如果 \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = A\),并且 \(A > 0\) (或者 \(A < 0\)),那么存在常数 \(\delta > 0\),使得当 \(0 < |x - x_0| < \delta\) 时,有 \(f(x) > 0\) (或者 \(f(x) < 0\));
  • 定理 3':基于定理 3 可以进一步得出结论,如果 \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = A\ (A \neq 0)\),那么就存在着的某一个去心邻域 \(\overset{o}{U}(x_0)\),当 \(x \in \overset{o}{U}(x_0)\) 时,就有 \(|f(x)| > \frac{|A|}{2}\)

推论:如果在 \(x_0\) 的某一个去心邻域\(f(x) \ge 0\) (或者 \(f(x) \le 0\)),并且 \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = A\),那么 \(A \ge 0\) (或者 \(A \le 0\))。

  • 定理 4:函数极限与数列极限的关系,如果极限 \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x)\) 存在,\(\{x_n \}\)函数 \(f(x)\) 的定义域内任一收敛于 \(x_0\) 的数列,并且满足 \(x_n \neq x_0\ (n \in N_+)\),那么相应的函数值数列 \(\{ f(x_n) \}\) 必然收敛,并且 \(\lim\limits_{n \to \infty} f(x_n) = \lim\limits_{x \to x_0} f(x)\)

无穷大 & 无穷小

无穷小的定义:如果函数 \(f(x)\)\(x \to x_0\) (或者 \(x \to \infty\))时的极限为,那么就称函数 \(f(x)\) 为当 \(x \to x_0\) (或者 \(x \to \infty\))时的无穷小

无穷小与函数极限的关系:在自变量的同一个变化过程 \(x \to x_0\) (或者 \(x \to \infty\))当中,函数 \(f(x)\) 具有极限 \(A\) 的充分必要条件是 \(f(x) = A + \alpha\),其中 \(\alpha\) 是无穷小。


无穷大的定义:假设函数 \(f(x)\)\(x_0\) 的某一个去心邻域内有定义 (或者 \(|x|\) 大于某一个正数时有定义),如果对于任意给定的正数 \(M\) (无论它多么大),总存在着正数 \(\delta\) (或者正数 \(X\)),只要 \(x\) 适合不等式 \(0 < |x - x_0| < \delta\) (或者 \(|x| > X\)),对应的函数值 \(f(X)\) 总是满足不等式 \(|f(x)| > M\),那么就称函数 \(f(x)\) 是当 \(x \to x_0\) (或者 \(x \to \infty\)) 时的无穷大

函数的极限为无穷大:根据函数极限的定义,当 \(x \to x_0\) (或者 \(x \to \infty\)) 时,无穷大函数 \(f(x)\) 极限不存在,但是为了便于叙述函数的这一状态,也可以表述成函数的极限为无穷大,并且记为:

\[ \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \infty\ (或者 \lim\limits_{x \to \infty} = \infty) \]

如果将无穷大定义当中的 \(|f(x)| > M\) 更换为 \(f(x) > M\) (或者 \(f(x) < -M\)),那么就可以记作:

\[ \lim\limits_{\begin{aligned} &x \to x_0 \\ (&x \to \infty) \end{aligned}} f(x) = + \infty \ (或者 \lim\limits_{\begin{aligned} &x \to x_0 \\ (&x \to \infty) \end{aligned}} f(x) = - \infty) \]

一般而言,如果 \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x)= \infty\),那么直线 \(x = x_0\) 就是函数 \(y = f(x)\) 的图形的铅直渐近线。例如对于 \(\lim\limits_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} = \infty\) 而言,直线 \(x = 1\) 就是函数 \(y = \frac{1}{x - 1}\) 图形上面的一条铅直渐近线:

无穷大与无穷小之间的关系:在自变量的同一个变化过程当中,如果 \(f(x)\)无穷大,那么 \(\frac{1}{f(x)}\)无穷小;反之,如果 \(f(x)\)无穷小,并且 \(f(x) \neq 0\),那么 \(\frac{1}{f(x)}\)无穷大