初等代数常用公式与图像汇总

初等数学主要由代数(Algebra)和几何(Geometry)两部分构成,本篇文章基于《Thomas’ Calculus Early Transcendentals》第 14 版所附录的 A Brief Table of Integrals 章节整理而成,主要涉及基本代数运算集合区间与邻域斜率映射幂函数指数函数对数函数弧度制三角函数以及几何学等知识点,较为系统的概括了初等数学当中常见的公式定理以及相关的函数图像,以备日常进行电路与信号分析时,随手查阅公式使用。

高等数学的研究对象是变动的量,而初等数学的研究对象则是不变的量,正是由于初等数学只能解释常量的几何与物理问题,例如:规则图形的长度面积体积匀速直线运动等等。虽然并不涉及电路与信号分析过程当中,所需要经常涉及的变化量分析与求解,但是却是整个高等数学知识体系当中,不可或缺的基本常识性内容。毕竟初等数学当中所重点讨论的函数,正好就是微积分的主要研究对象

基础运算

算术运算

\[a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c\] \[\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}\]
\[\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}\] \[\frac{a/b}{c/d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}\]

符号定律

\[-(-a) = a\] \[\frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}\]

除数不能为0,如果 \(a \neq 0\),那么:

\[\frac{0}{a} = 0\] \[a^0 = 1\] \[0^a = 0\]

而对于任意的数字a,都会有 \(a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0\)

指数定律

\[a^m \cdot a^n = a^{m+n}\] \[(ab)^m = a^m \cdot b^m\]
\[(a^m)^n = a^{m \cdot n}\] \[a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m\]

如果 \(a \neq 0\),那么:

\[\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\] \[a^0 = 1\] \[a^{-m} = \frac{1}{a^m}\]

二项式定理

对于任意负整数n可以得到如下公式:

\[(a + b)^n = a^n + n \cdot a^{n-1} \cdot b + \frac{n(n - 1)}{1 \times 2} \cdot a^{n-2} \cdot b^2 + \frac{n(n - 1)(n - 2)}{1 \times 2 \times 3} \cdot a^{n-3} \cdot b^3 + ... + n \cdot a \cdot b^{n-1} + b^n\]

例如:

\[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\] \[(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\]
\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\] \[(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\]

整数幂的差

类似求整数幂差的因式分解,如果 \(n > 1\)

\[a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + ... + ab^{n-2} + b^{n-1})\]

例如:

\[a^2 - b^2 = (a - b)(a + b),\] \[a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\] \[a^4 - b^4 = (a - b)(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3)\]

配平方

如果 \(n > 1\) 时:

\[ax^2 + bx + c = au^2 + C,其中 u = x + (\frac{b}{2a}),而 C = c - \frac{b^2}{4 \cdot a}\]

二次公式

如果 \(a \neq 0\) 并且 \(ax^2 + bx + c = 0\),那么:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

根式

一般的,如果 \(x^n = a\),那么 \(x\) 叫做 \(a\)\(n\) 次方根,其中 \(n>1\),并且 \(n \in N^*\)

  • \(n\)奇数时,正数的 \(n\) 次方根是一个正数,负数的 \(n\) 次方根是一个负数,此时 \(a\)\(n\) 次方根用符号 \(\sqrt[n]{a}\) 表示;例如:\(\sqrt[5]{32} = 2\)\(\sqrt[5]{-32} = -2\)\(\sqrt[3]{a^6} = a^2\)
  • \(n\)偶数时,正数的 \(n\) 次方根有两个,一正一负互为相反数;对于正数 \(a\),其\(n\) 次方根用符号 \(\sqrt[n]{a}\) 表示,其的 n 次方根用符号 \(-\sqrt[n]{a}\) 表示;例如: \(\sqrt[4]{16} = 2\)\(-\sqrt[4]{16} = -2\),或者两者合并记为 \(\pm \sqrt[4]{16} = \pm 2\)
  • 负数没有偶次方根,0任意次方根0

\(\sqrt[n]{a}\) 称为根式,这里的 \(n\) 称为根指数\(a\) 称为被开方数;根据 \(n\) 次方根的意义,可以知道 \((\sqrt[n]{a})^n = a\),例如:\((\sqrt{5})^2 = 5\)\((\sqrt[5]{-3})^5 = -3\)

  • \(n\)奇数时,\(\sqrt[n]{a^n} = a\)
  • \(n\)偶数时,\(\sqrt[n]{a^n} = |a| = \begin{cases} a,\ a \ge 0 \\ -a,\ a < 0 \end{cases}\)

斜率

斜率用于表示一条直线关于横坐标轴的倾斜程度,当平面上一个从一个位置移动到另外一个位置,其坐标变化的增量可以通过终点坐标减去起点坐标获得:

例如上图当中的一个点从 \((x_1, y_1)\) 位置移动至 \((x_2, y_2)\) 位置,此时其坐标的增量为:

\[ \begin{cases} \Delta x = x_2 - x_1 \\ \Delta y = y_2 - y_1 \end{cases} \]

假设点 \(P_1(x_1, y_1)\)\(P_2(x_2, y_2)\) 是非垂直直线 \(L\) 上的两个点,那么这条直线的斜率 \(m\) 等于:

\[ m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

\(x\) 增加时上升的直线具有正斜率,当 \(x\) 增加时下降的直线具有负斜率,水平直线的斜率为,而垂直的直线没有斜率

映射

假设 \(X\)\(Y\) 是两个非空集合,如果存在一个法则 \(f\),使得对于 \(X\) 中每个元素 \(x\),按照法则 \(f\),在 \(Y\) 中都有唯一确定的元素 \(y\) 与之对应,那么就称 \(f\) 为从 \(X\)\(Y\)映射,记作:

\[ f: X \rightarrow Y \]

其中,\(y\) 称为元素 \(x\) 在映射 \(f\) 下面的,并且记作 \(f(x)\);而元素 \(x\) 称为元素 \(y\) 在映射 \(f\) 下的一个原像

\[ y = f(x) \]

集合 \(X\) 称为映射 \(f\)定义域,记作 \(D_f = X\);而 \(X\) 当中所有元素的所组成的集合称为映射 \(f\)值域,记作 \(R_f\)\(f(X)\)

\[ R_f = f(X) = \{ f(x) | x \in X \} \]

  • 假设 \(f\) 是从集合 \(X\) 到集合 \(Y\) 的映射,如果 \(R_f = Y\),即 \(Y\) 中任一元素 \(y\) 都是 \(X\) 当中某个元素的,则称 \(f\)\(X\)\(Y\) 的映射或者满射
  • 如果对于 \(X\) 当中任意两个不同元素 \(x_1 \neq x_2\),它们的 \(f(x_1) \neq f_(x_2)\),则称 \(f\)\(X\)\(Y\)单射
  • 如果映射 \(f\) 既是单射又是满射,则称 \(f\)一一映射或者双射

逆映射

假设 \(f\)\(X\)\(Y\)单射,则根据定义,对于每个 \(y \in R_f\),都有唯一的 \(x \in X\) 适用于 \(f(x) = y\),于是可以定义一个从 \(R\)\(X\) 的新映射 \(g\)

\[ g:R_f \rightarrow X \]

对于每个 \(y \in R_f\),规定 \(g(y)=x\),这个 \(x\) 满足 \(f(x)=y\),这个映射 \(g\) 就称为 \(f\)逆映射,记作 \(f^{-1}\),其定义域 \(D_{f^{-1}} = R_f\),值域 \(R_{f^{-1}} = X\)

复合映射

假设存在 \(g:X \rightarrow Y_1\)\(f:Y_2 \rightarrow Z\) 两个映射,其中 \(Y_1 \subset Y_2\),则由映射 \(g\)\(f\) 可以确定出一个从 \(X\)\(Z\) 的对应法则,它将每个 \(x \in X\) 映成为 \(f[g(x)] = Z\)。显然,该对应法则确定了一个从 \(X\)\(Z\) 的映射,这个映射称为映射 \(g\)\(f\) 构成的复合映射,记作 \(f \circ g\)

\[ f \circ g: X \rightarrow Z,\ (f \circ g)(x) = f[g(x)],\ x \in X. \]

集合

集合是指具有某种特定性质的事物的总体,采用大写的拉丁字母 ABC... 进行表示。元素是组成集合的具体事物,采用小写的拉丁字母 abc... 进行表示,集合的表示方法通常有如下 2 种:

  1. 列举法:将集合的全部元素逐一列举出来,\(A = \{a_1, a_2, ..., a_n \}\)
  2. 描述法:使用集合所含元素的共同特征来进行表示,\(B = {x | x 具有的性质}\)

注意:如果元素 \(a\) 是集合 \(A\) 中的元素,就认为 \(a\) 属于集合 \(A\),记作 \(a \in A\);如果元素 \(a\) 不是集合 \(A\) 中的元素,就认为 \(a\) 不属于集合 \(A\),记作 \(a \notin A\)

集合之间的关系

假设 \(A\)\(B\) 是两个集合,如果集合 \(A\) 中的元素都是集合 \(B\) 的元素,则称 \(A\)\(B\)子集,记作 \(A \subset B\)(读作 \(A\) 包含于 \(B\))或者 \(B \supset A\)(读作 \(B\) 包含 \(A\))。若 \(A \subset B\)\(A \neq B\),则称 \(A\)\(B\)真子集,记作 \(A \subsetneqq B\)

如果集合 \(A\) 与集合 \(B\) 互为子集,即 \(A \subset B\)\(B \subset A\),则称集合 \(A\) 与集合 \(B\) 相等,记作 \(A=B\)。不含任何元素的集合称为空集,记作 \(\emptyset\),空集是任何集合的子集。

集合的基本运算

假设 \(A\)\(B\) 是两个集合,由所有属于 \(A\) 或者属于 \(B\) 的元素组成的集合,称为 \(A\)\(B\)并集,记作 \(A \cup B\)

\[ A \cup B = \{ x | x \in A 或 x \in B \} \]

由所有既属于 \(A\) 又属于 \(B\) 的元素组成的集合称为 \(A\)\(B\)交集,记作 \(A \cap B\)

\[ A \cap B = \{ x | x \in A 且 x \in B \} \]

由所有属于 \(A\) 而不属于 \(B\) 的元素组成的集合称为 \(A\)\(B\)差集,记作 \(A \setminus B\)

\[ A \setminus B = \{ x | x \in A 且 x \notin B \} \]

包含所研究问题全部元素的集合称为全集,通常记作 \(U\)。由全集 \(U\) 中不属于集合 \(A\) 的所有元素组成的集合称为补集,记作 \(A^c\)

\[ A^c = \{ x | x \in U, 且 x \notin A \} \]

\(A\)\(B\)\(C\) 为任意三个集合,则下列集合的运算法则成立:

  • 交换律\(A \cup B = B \cup A\)\(A \cap B = B \cap A\)
  • 结合律\((A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)\)\((A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)\)
  • 分配律\((A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)\)\((A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)\)
  • 对偶律\((A \cup B)^c = A^c \cap B^c\)\((A \cap B)^c = A^c \cup B^c\)

两个集合之间还可以定义直积(也称为笛卡儿积),假设 \(A\)\(B\) 是任意两个集合,在集合 \(A\) 中任意取一个元素x,在集合 \(B\) 中任意取一个元素y,组成一个有序对 \((x, y)\),把这样的有序对作为新的元素,由其全体组成的集合称为集合 \(A\) 与集合 \(B\) 的直积,记为 \(A×B\)

\[ A \times B = \{ (x, y) | x \in A 且 y \in B \} \]

常用数集

下面的表格整理了常见数值集合的分类以及相关概念:

字符 名称 描述 表达式
 \(N\)   自然数集  包括在内的全体非负整数; \(N=\{ 0, 1, 2, ..., n, ... \}\)
 \(N_+\)   正整数  全体正整数; \(N_+=\{ 1, 2, ..., n, ... \}\)
 \(Z\)   整数集  正整数负整数组成; \(Z=\{..., -n, ..., -2, -1, 0, 1, 2, ..., n, ...\}\)
 \(Q\)   有理数集  整数分数组成; \(Q=\{ \frac{p}{q} \Big \vert p \in Z, q \in N_+ 且 p 与 q 互质 \}\)
 \(R\)   实数集  包括有理数无理数(小数部分无限不循环);  

注意:在数集字符的右上角标注 * 表示排除 0,标注 + 表示排除 0负数

区间与邻域

区间也是一种常用的数集,假设 \(a\)\(b\) 都是实数,并且 \(a < b\),通常使用字母 \(I\) 表示。

开区间

那么数集 \(\{ x | a < x < b \}\) 称为开区间,记作 \((a,b)\),即:

\[ (a,b) = \{ x | a < x < b \} \]

其中 \(a\)\(b\) 称为开区间 \((a,b)\)端点,这里的 \(a \notin (a,b) 并且 b \notin (a,b)\)

闭区间

数集 \(\{ x | a \le x \le b \}\) 称为闭区间,记作 \([a,b]\),即:

\[ [a,b] = \{ x | a \le x \le b \} \]

其中 \(a\)\(b\) 称为闭区间 \((a,b)\)端点,这里的 \(a \in (a,b) 并且 b \in (a,b)\)

半开区间

类似的,\([a,b) = \{ x | a \le x < b \}\)\((a,b] = \{ x | a < x \le b \}\) 就称为半开区间。对于 \([a, +\infty) = \{x | x \ge a\}\)\((-\infty, b) = \{ x | x < b \}\) 这类无限区间,数轴上可以表现为:

注意:全体实数集 \(R\) 也可以记作 \((-\infty, +\infty)\),同样属于无限区间。

邻域

邻域是一个以点 \(a\) 为中心的任何开区间,记作 \(U(a)\)。这里假设 \(\delta\) 是任意一个正数,则开区间 \((a-\delta, a+\delta)\) 就是围绕点 \(a\) 的一个邻域,称为\(a\)\(\delta\) 邻域,记作 \(U(a, \delta)\),即:

\[ U(a, \delta) = \{ x | a - \delta < x < a + \delta \} \]

其中,点 \(a\) 称为该邻域的中心\(\delta\) 称为该邻域的半径。方便起见,会将开区间 \((a-\delta,a)\) 称为 \(a\)\(\delta\) 邻域,而开区间 \((a,a+\delta)\) 称为 \(a\)\(\delta\) 邻域

由于 \(a - \delta < x < a + \delta\) 等同于 \(|x - a| < \delta\),因此 \(U(a, \delta) = \{ x | \ |x - a| < \delta \}\);又由于 \(|x - a|\) 可以表示点 \(x\) 与点 \(a\) 之间的距离,所以 \(U(a, \delta)\) 实际上表示的也是与\(a\) 距离小于 \(\delta\) 的所有\(x\) 的全体。此时,如果将点 \(a\)\(\delta\) 邻域去掉中心点 \(a\) 之后,就称为点 \(a\)去心 \(\delta\) 邻域,记作 \(\overset{o}U (a, \delta)\),即:

\[ \overset{o}U (a, \delta) = \{ x | 0 < |x - a| < \delta \} \]

注意:上面等式中的 \(0 < |x - a|\) 是用于表达 \(x \neq a\) 的意思。

函数

假设数集 \(D \subset R\),则称映射 \(f:D \rightarrow R\) 为定义在 \(D\) 上的函数,通常简记为:

\[ y = f(x), x \in D \]

其中,\(x\) 称为自变量\(y\) 称为因变量\(D\) 称为定义域Domain,记作 \(D_f\))。对于每个 \(x \in D\) 按照对应法则 \(f\),总有唯一确定的值 \(y\) 与之对应,这个值称为函数 \(f\)\(x\) 处的函数值(记作 \(f(x)\)),由全体函数值构成的集合称为值域Range,记作 \(R_f\) 或者 \(f(D)\)):

\[ R_f = f(D) = \{ y | y = f(x), x \in D \} \]

函数定义域的确定通常划分为下面 2 种情形:

  1. 存在实际应用背景的函数:根据变量的实际意义进行确定;
  2. 算术表达式描述的抽象函数:通常约定其定义域是使得算术表达式有意义的一切实数,这种定义域称为函数的自然定义域

有界性

假设函数 \(f(x)\) 的定义域为 \(D\),数集 \(X \subset D\)

  • 如果存在数值 \(K_1\),使得 \(f(x) \le K_1\) 对于任意 \(x \in X\) 都成立,那么称函数 \(f(x)\)\(X\)有上界,而 \(K_1\) 称为函数 \(f(x)\)\(X\)上界
  • 如果存在数值 \(K_2\),使得 \(f(x) \ge K_2\) 对于任意 \(x \in X\) 都成立,那么称函数 \(f(x)\)\(X\)有下界,而 \(K_2\) 称为函数 \(f(x)\)\(X\)下界
  • 如果存在正数 \(M\),使得 \(|f(x)| \le M\) 对于任意 \(x \in X\) 都成立,那么称函数 \(f(x)\)\(X\)有界。如果这样的 M 不存在,就称函数 \(f(x)\)\(X\)无界。即如果对于任何正数 \(M\),总存在 \(x_1 \in X\) 使得 \(|f(x_1)| > M\),那么函数 \(f(x)\)\(X\)无界

单调性

假设函数 \(f(x)\) 的定义域为 \(D\),区间 \(I \subset D\),对于区间上任意两点 \(x_1\)\(x_2\)

  • 如果 \(x_1 < x_2\) 时,恒有 \(f(x_1) < f(x_2)\),那么称函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\)单调增加
  • 如果 \(x_1 < x_2\) 时,恒有 \(f(x_1) > f(x_2)\),那么称函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\)单调减少

注意单调增加单调减少的函数统称为单调函数

奇偶性

假设函数 \(f(x)\) 的定义域 \(D\) 关于原点对称:

  • 如果对于任意 \(x \in D\) 都存在 \(f(-x) = f(x)\) 恒成立,那么 \(f(x)\) 称为偶函数,其图形关于 \(y\) 对称;
  • 如果对于任意 \(x \in D\) 都存在 \(f(-x) = -f(x)\) 恒成立,那么 \(f(x)\) 称为奇函数,其图形关于原点对称;

周期性

假设函数 \(f(x)\) 的定义域为 \(D\),如果存在一个正数 \(l\),使得对于任意 \(x \in D\) 都有 \((x \pm l) \in D\),并且 \(f(x+l) = f(x)\) 恒成立,那么称 \(f(x)\)周期函数\(l\) 称为 \(f(x)\)周期,通常讨论的周期函数周期是指最小正周期

下图表示的是一个周期为 \(l\) 的周期函数,在每一个长度为 \(l\) 的区间上面,函数图形都具有相同的形状:

但是并非每个周期函数都具有最小正周期,例如下面的狄利克雷函数(Dirichlet)就属于这种情况:

\[ D(x) = \begin{cases} 1,\ x \in 有理数 Q \\ 0,\ x \in 无理数 Q^c \end{cases} \]

可以看到该函数是一个周期函数,任何正有理数 \(r\) 都是它的周期,由于不存在最小的正有理数,所以它没有最小正周期。

分段函数

自变量在不同变化范围当中,对应法则用不同的式子来表达的函数,通常称为分段函数

函数类型 定义域,值域 表达式 图像
绝对值函数 定义域 \(D = (- \infty, + \infty)\),值域 \(R_f = [0, +\infty)\) \[ y = |x| = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases} \]
符号函数 定义域 \(D = (- \infty, + \infty)\),值域 \(R_f = \{ -1,0,1 \}\) \[ y = \operatorname{sgn}x = \begin{cases} -1, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases} \]

反函数

假设函数 \(y=f(x)\) 的定义域为 \(D\) 值域为 \(f(D)\),如果对于值域 \(f(D)\) 当中的每一个 \(y\),在定义域 \(D\) 当中都有且只有一个 \(x\) 使得 \(g(y)=x\),则按此对应法则可以得到一个定义在 \(f(D)\) 上的函数,并将该函数称为函数 \(y=f(x)\)反函数,记为:

\[ x = f^{-1}(y),\ y \in f(D) \]

注意:可以看到,函数 \(f\)定义域与值域分别就是反函数 \(f^{-1}\)值域与定义域,即函数 \(f\)\(f^{-1}\) 两者互为反函数

由于习惯上使用 \(x\) 表示自变量,使用 \(y\) 表示因变量,因此一般会将 \(y=f(x), x \in D\) 的反函数记为:

\[ y=f^{-1}(x), x \in f(D) \]

相对于反函数 \(y=f^{-1}(x)\) 而言,原来的函数 \(y=f(x)\) 称为直接函数,直接函数与其反函数的图形关于直线 \(y = x\) 对称:

复合函数

假设函数 \(y=f(u)\) 的定义域为 \(D_f\),函数 \(u = g(x)\) 的定义域为 \(D_g\),且其值域 \(R_g \subset D_f\),则通过下面等式确定的函数:

\[ y = f[g(x)],\ x \in D \]

称为由函数 \(u = g(x)\) 与函数 \(y = f(u)\) 构成的复合函数,其定义域为 \(D_g\),变量 \(u\) 称为中间变量。对于由函数 \(g\) 与函数 \(f\) 构成的复合函数,应当按照先 \(g\)\(f\) 的顺序进行复合,通常记为 \(f \circ g\)

\[ f[g(x)] = (f \circ g)(x) \]

注意\(g\)\(f\) 可以构成复合函数 \(f \circ g\) 的条件是:函数 \(g\) 的值域 \(R\) 必须包含于函数 \(f\) 的定义域 \(D_f\),即 \(R_g \subset D_f\),否则不能构成复合函数。

函数的运算

假设函数 \(f(x)\)\(g(x)\) 的定义域依次为 \(D_f\)\(D_g\)\(D = D_f \cap D_g \neq \varnothing\),那么就可以定义出两个函数之间的运算规则:

\(f + g\) \((f + g)(x) = f(x) + g(x),\ 其中 x \in D\)
\(f - g\) \((f - g)(x) = f(x) - g(x),\ 其中 x \in D\)
\(f \times g\) \((f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x),\ 其中 x \in D\)
\(f \div g\) \((f \div g)(x) = f(x) \div g(x),\ 其中 x \in D\)

基本初等函数

幂函数

一般地,形如 \(y = x^{\mu}\) 称为幂函数,其中 \(\mu \in R\) 是常数:

指数函数

一般地,形如 \(y = a^{x}\) 称为指数函数,其中 \(a > 0\) 并且 \(a \neq 1\)

对数函数

如果 \(a^y = x\),其中 \(a > 0\) 并且 \(a \neq 1\),那么数 \(y\) 称为以 \(a\) 为底 \(x\)对数,记作 \(y = log_a x\)。其中,a 称为对数的底数,而 \(x\) 称为真数

  • 负数与 0 没有对数;
  • \(\log_a 1 = 0\) 并且 \(\log_a a = 1\)

一般地,形如 \(y = \log_a x\) 称为对数函数,其中 \(a > 0\) 并且 \(a \neq 1\) 是常数:

  • 常用对数:以 10 作为的对数,记为 \(\log_{10} N\) 或者 \(\lg N\)
  • 自然对数:以无理数 \(e = 2.71828...\) 作为底的对数,记为 \(y = \ln x\)

弧度制

弧度制是一种使用弧长 s半径 r 之比来度量角度的方式,采用符号 rad 进行表示,读作弧度

\[ 弧度 \theta = \frac{弧长 s}{半径 r} \]

下面的推导过程,展示了角度弧度相互之间的换算关系:

\[ 360° 度 = \frac{圆周长 2 \pi r}{半径 r} = 2 \pi 弧度 \implies 1 \pi \ 弧度 = 180° 度 \implies \begin{cases} 1° 度 = \frac{\pi}{180} 弧度 \approx 0.01745 弧度 \\ 1 弧度 = \frac{180}{\pi} 度 \approx 57.30° 度 \end{cases} \]

角度制 \(-180°\) \(-135°\) \(-90°\) \(-45°\) \(0°\) \(30°\) \(45°\) \(60°\) \(90°\) \(135°\) \(180°\)
弧度制 \(-\pi\) \(-\frac{3\pi}{4}\) \(-\frac{\pi}{2}\) \(-\frac{\pi}{4}\) \(0\) \(\frac{\pi}{6}\) \(\frac{\pi}{4}\) \(\frac{\pi}{3}\) \(\frac{\pi}{2}\) \(\frac{3 \pi}{4}\) \(\pi\)

接下来,分别使用角度弧度来表示相同三角形里的内角:

角度 弧度

三角函数

\[ \begin{aligned} & \sin \theta = \frac{y}{r} = \frac{1}{\csc \theta} \implies 正弦(Sine) \\ & \cos \theta = \frac{x}{r} = \frac{1}{\sec \theta} \implies 余弦(Cosine) \\ & \tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{1}{\cot \theta} \implies 正切(Tangent) \\ & \csc \theta = \frac{r}{y} = \frac{1}{\sin \theta} \implies 余割(Cosecant) \\ & \sec \theta = \frac{r}{x} = \frac{1}{\cos \theta} \implies 正割(Secant) \\ & \cot \theta = \frac{x}{y} = \frac{1}{\tan \theta} \implies 余切(Cotangent) \\ \end{aligned} \]
正弦(Sine [saɪn]) 余弦(Cosine [ˈkəʊsaɪn]) 正切(Tangent [ˈtændʒənt])
余割(Cosecant ['ko'sikənt]) 正割(Secant ['sikænt]) 余切(Cotangent ['ko'tændʒənt])
正弦函数\(y = \sin x\) 定义域\((-\infty, \infty)\)值域\([−1, 1]\)
余弦函数\(y = \cos x\) 定义域\((-\infty, \infty)\)值域\([−1, 1]\)
正切函数\(y = \tan x\) 定义域:除 \(\frac{\pi}{2}\) 的奇整数倍数之外的全体实数,值域\((-\infty, \infty)\)
余割函数\(y = \sec x\) 定义域\(x \neq \pm\frac{\pi}{2}, \pm\frac{3\pi}{2}, ...\)值域\((-\infty, -1] \cap [1, \infty)\)
正割函数\(y = \csc x\) 定义域\(x \neq 0, \pm\pi, \pm2\pi, ...\)值域\((-\infty, -1] \cap [1, \infty)\)
余切函数\(y = \cot x\) 定义域\(x \neq 0, \pm\pi, \pm2\pi, ...\)值域\((-\infty, \infty)\)

三角恒等式

\[\sin(-\theta) = -\sin\theta\] \[\cos(-\theta) = \cos\theta\]
\[\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\] \[\sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta\] \[\csc^2\theta = 1 + \cot^2\theta\]
\[\sin 2\theta = 2 \sin\theta \cos\theta\] \[\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta\]
\[\cos^2 \theta = \frac{1+\cos2\theta}{2}\] \[\sin^2 \theta = \frac{1-\cos2\theta}{2}\]
\[\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B\] \[\sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B\]
\[\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B\] \[\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B\]
\[\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}\] \[\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}\]
\[\sin(A - \frac{\pi}{2}) = -\cos A\] \[\cos(A - \frac{\pi}{2}) = \sin A\] \[\sin(A + \frac{\pi}{2}) = \cos A\] \[\cos(A + \frac{\pi}{2}) = -\sin A\]
\[\sin A \sin B = \frac{1}{2} \cos(A - B) - \frac{1}{2} \cos(A + B)\] \[\cos A \cos B = \frac{1}{2} \cos(A - B) + \frac{1}{2} \cos(A + B)\] \[\sin A \cos B = \frac{1}{2} \sin(A - B) + \frac{1}{2} \sin(A + B)\]
\[\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{1}{2} (A + B) \cos \frac{1}{2} (A - B)\] \[\sin A - \sin B = 2 \cos \frac{1}{2} (A + B) \sin \frac{1}{2} (A - B)\]
\[\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{1}{2} (A + B) \cos \frac{1}{2} (A - B)\] \[\cos A - \cos B =-2 \sin \frac{1}{2} (A + B) \sin \frac{1}{2} (A - B)\]

几何学

A = 面积(Area)、B = 底面积(Area of Base)、C = 周长(Circumference)、S = 表面或侧面的面积(Surface Area)、V = 体积(Volume)。

三角形 \[面积 A = \frac{1}{2} b h\]
相似三角形 \[\frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c}\]
勾股定理 \[a^2 + b^2 = c^2\]
平行四边形 \[面积 A = b \cdot h \]
梯形 \[面积A = \frac{1}{2} (a + b) \cdot h\]
\[面积 A = \pi r^2\] \[周长 C = 2 \pi r\]
底部平行的圆/棱柱 \[体积 V = B \cdot h\]
直立圆柱 \[体积 V = \pi r^2 \cdot h\] \[侧面面积 S = 2 \pi r \cdot h\]
锥 / 棱锥 \[体积 V = \frac{1}{3}B \cdot h\]
直立圆锥 \[体积 V = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot h\] \[侧面面积 S = \pi r \cdot s\]
球体 \[体积 V = \frac{4}{3} \pi r^3\] \[表面积 S = 4 \pi r^2\]