简明厄要的《电路理论》读书笔记

电路理论电气工程电子科学技术的主要理论基础,是一门研究电路分析网络综合与设计基本规律的基础工程学科。所谓电路分析是在电路给定、参数已知的条件下,通过求解电路中的电压电流而了解电路网络所具有的特性;而网络综合是在给定电路技术指标的情况下,设计出电路并确定元件参数,使电路的性能符合设计要求。因此电路分析是电路理论中最基本的部分,是学习电路理论的人门课程,被列为电子类专业重要的公共技术基础课。

这篇文章是邹建龙老师所出版 《电路实验》 一书的读书笔记,并且结合他的相关的课件资料,在摒弃繁杂数学推导的基础上,言简意赅的介绍了 电路模型和电路定律电路的分析方法与定理动态电路正弦稳态电路及其频域特性互感三相电路非正弦周期电路二端口网络 等电路分析方面的知识点,在凸出重要知识点的同时,力求简单易读,因而也可以作为大家的电路理论考前恶补资料使用 ヽ(✿ ゚ ▽ ゚)ノ。

电路模型与定律

本节主要讨论两种电路模型:电源电阻,以及电路分析的基础:基尔霍夫定律

电源

电源是一种可以将其它形式能量转化为电能的设备,按照输出类型可以将其划分为电压源电流源,而根据输出波形则可以将其划分为直流电源交流电源

电压源

电压源是用于输出电压的电源,理想电压源的通用电路符号如下面左图所示。而对于电池直流电压源也可以采用右侧的电路符号:

电压源输出的电压大小与外接电路无关,而输出电流则由外接电路来决定。例如一节 5V 碱性电池无论连接至哪个电路,其输出电压永远都为 5V。如果外接电路为一个 电阻,则电压源输出的电流应当为 1A;如果外接电阻的阻值变为 10Ω 欧姆,则输出的电流也相应的变为 0.5A

注意电压源不能短路,这是由于导线的电阻 \(R\)零欧姆,从而致使方程 \(I = \frac{V}{R}\) 失去意义。

电流源

电流源是用于输出电流的电源,理想电流源的通用电路符号如下面左图所示:

电流源输出的电流大小与外接电路无关,而输出电压则由外接电路来决定。例如一个 1A 电流源无论连接至哪个电路,其输出电流永远都是 1A。如果外接电路是一个 电阻,则电流源输出的电压应当为 5V;如果外接电阻的阻值变为 10Ω 欧姆,则输出的电压也相应的变为 10V

注意电流源不能开路,因为两极之间的电阻 \(R\) 将会趋于无穷大,根据 \(V = IR\),此时输出电压 \(V\) 也会趋于无穷大。

直流 / 交流源

狭义上的直流电源指的是电源的输出电压或者电流为恒定值,交流电源指的是电源的输出电压或者电流为正弦波:

广义上的直流电源指的是电源的输出电压或者电流方向不会改变(始终为或者为),下图所示的三角波虽然大小不一,但是方向始终为正,所以广义上仍然认为属于直流电源的输出波形:

广义上的交流电源指的是电源的输出电压或者电流为周期性波形(时而为时而为),下图所示的方波就属于广义上交流电源的输出波形:

电阻与欧姆定律

电阻器会阻碍电流的流动,并且将电能转化为其它形式的能量(光能或者热能),其电路符号如下图所示:

欧姆定律是指通过某段导体的电流 \(I\) 与这段导体两端的电压 \(U\) 成正比,而与这段导体的电阻值 \(R\) 成反比:

注意:上述方程成立的前提是电压电流处于关联参考方向,如果电压电流处于非关联参考方向,那么就需要在上述方程的右侧添加上负号

将欧姆定律代入功率的计算公式 \(P = UI\),就可以知道电阻器两端的功率 \(P\)电流 \(I\) 的平方以及电压 \(U\) 的平方皆成正比:

\[ \begin{aligned} 功率 P &= 电阻 R \times 电流 I^2 \\ 功率 P &= \frac{电压 U^2}{电阻 R} \end{aligned} \]

注意:由于电阻器总是将电能转化为其它形式的能量,所以它永远都在吸收功率,也就是所谓的正电阻。除此之外,还可以利用其它元件构成永远发出功率的负电阻

电阻的额定功率是指电阻器能够正常工作的最大功率,根据功率的表达式,可以得到电阻器额定功率 \(P_{额定}\) 的值:

\[ P_{额定} = \frac{U_{额定}^2}{R} = I^2_{额定} R \]

根据上面的等式,已知电阻值及其额定功率,就可以快速的计算出该电阻器的额定电压 \(U_{额定}\)额定电流 \(I_{额定}\),即电阻器能够正常工作的最大电压与电流。由此可见,电阻的额定功率是一个非常重要的参数。事实上,电阻值额定功率是选用电阻元器件两个非常重要的参数。

基尔霍夫定律

在讨论基尔霍夫定律之前,需要首先明确电路当中支路结点回路网孔的概念:

  • 支路:一个二端元件或者多个串联的二端元件都可以视为一条支路;
  • 结点:支路与支路的连接点,电路上的等电位点都可以视为一个结点;
  • 回路:指电路当中的闭合路径,其中虚拟回路并不一定要求闭合;
  • 网孔:一种不会包含有其它支路的特殊回路

基尔霍夫电流定律

基尔霍夫电流定律KCL,Kirchhoff’s Current Law)具有两种表述形式:

  1. 对于电路当中的任意一个结点,流入该结点的电流等于流出该结点的电流:

  2. 对于电路当中的任意一个结点,经过该结点的所有电流的代数和等于零:

基尔霍夫电流定律当中的结点可以是一个广义结点,即由一条封闭曲线所包围的区域:

注意:根据假定的电流参考方向列写方程,得到的结果如果为正值,则实际的电流方向与参考方向相同。反之,如果计算结果为负值,则实际的电流方向与参考方向相反。

基尔霍夫电压定律

基尔霍夫电压定律KVL,Kirchhoff’s Voltage Law)同样具有两种表述形式:

  1. 对于电路当中的任意一个回路,沿着回路绕行的方向,上升的电压等于降低的电压:

  2. 对于电路当中的任意一个回路,该回路上的所有电压的代数和等于零:

注意:电路当中两点之间的电压,同样可以指定参考方向,通常使用正极性表示高电位,而负极性表示低电位,由正极性指向负极性就是电压的参考方向。在不同参考方向下,列写出的 KVL 方程不同。

总结

  • 电路模型是实际电路的抽象;
  • 电源包含电压源电流源两种类型;
  • 电阻器满足欧姆定律,其两端功率电压的平方或者电流的平方成正比
  • KCL 可以表述为两种形式:流入结点的电流等于流出结点的电流结点上支路电流的代数和为零
  • KVL 可以表述为两种形式:沿着任意回路的升压等于降压沿着任意回路的支路电压代数和为零
  • 基尔霍夫定律是整个电路分析理论的基础所在;
  • 对于拥有 n结点的电路,只需要列写 \(n - 1\) 个独立的 KCL 方程,就可以完成求解;
  • 对于拥有 n回路的电路,可以列写的独立 KVL 方程数量等于其网孔数量;

电路分析方法

运用基尔霍夫定律分析电路,需要列写大量的 KCLKVL 方程,求解过程非常麻烦。要解决该问题,就需要使用到回路电流法(只需要列写 KVL 方程)和结点电压法(只需要列写 KCL 方程),以及局部电路的等效变换

例如对于下图所示的电路,因为拥有 3 个网孔,所以需要列写 3 个 KVL 方程;除此之外,还拥有 4 个结点,所以需要再列写 3 个 KCL 方程。换而言之,总计需要列写 6 个方程,整个求解过程比较繁琐。

但是如果采用回路电流法结点电压法,则只需要列写 3 个方程就可以完成求解。

回路电流法

基于 KVL 定律列写

下图所示的这个电路共计拥有 3 条支路,因而需要列写出 3 个方程,从而求解出 3 个支路电流。

首先,需要列写一个 KCL 方程:

\[ I_1 + I_2 = I_3 \]

除此之外,还需要分别对两个网孔列写 KVL 方程:

\[ \begin{cases} -U_{S1} + R_1 I_1 + R_3 I_3 = 0 \\ -U_{S2} + R_2 I_2 + R_3 I_3 = 0 \end{cases} \]

联立上述的 3 个方程,就可以求解出 3 个支路电流。但是由于 \(I_1 + I_2 = I_3\),这样就可以将中间的支路电流 \(I_3\) 转变为 \(I_1\)\(I_2\) 两个电流的叠加:

仔细观察上面的电路就可以发现,左侧的 \(I_1\) 与中间支路的 \(I_1\) 形成了一个闭合的环流,而右侧的 \(I_2\) 与中间支路的 \(I_2\) 也形成了一个闭合的环流,这样的闭合环流称为回路电流(虚构出来用于电路分析的电流)。

构造回路电流的优点在于减少了一个未知量,上图所示的电路本来需要求解 3 个支路电流。当构造回路电流之后,中间的支路电流作为未知量就会消失,而改由两个回路电流来合成,整个电路的未知量就变为 2 个回路电流。只要求解出回路电流,中间支路的电流就可以通过两个回路电流相加得到。

概而言之,回路电流法的本质就是通过构造回路电流,自动满足 KCL 定律,因而可以省去列写 KCL 方程的步骤,从而减少了方程数量。虽然回路电流法无需列写 KCL 方程,但是仍然需要列写 KVL 方程,因而回路电流法本质上就是在列写 KVL 方程

对于上图所示的电路,左侧与右侧回路的 KVL 方程(降压取 +,升压取 -)分别如下所示:

\[ \begin{cases} -U_{S1} + R_1 I_1 + R_3(I_1 + I_2) = 0 \\ -U_{S2} + R_2 I_2 + R_3(I_1 + I_2) = 0 \end{cases} \]

该方程组拥有 2 个方程以及 2 个回路电流未知量,联立之后就可以顺利的进行求解。通过上述过程可以发现,采用回路电流法列写 KVL 方程,与之前列写 KVL 方程直接求解电路的步骤基本相同,回路电流的绕行方向本质上就是回路的方向,唯一区别在于中间的支路电流需要改用回路电流 \(I_1 + I_2\) 来进行表示。

上面构造的这个回路电流,其左侧为顺时针,而右侧为逆时针。由于回路电流本质是为了分析电路虚构出来的,其绕行方向可以任意定义,例如可以修改为下面电路当中的绕行方向:

如果采用上图所示的回路电流绕向,那么中间的支路电流就不再是两个回路电流相加,此时左右两侧回路的 KVL 方程如下所示:

\[ \begin{cases} -U_{S1} + R_1 I_1 + R_3(I_1 + I_2) = 0 \\ U_{S2} + R_2 I_2 + R_3(I_1 + I_2) = 0 \end{cases} \]

接下来,采用回路电流法求解下图所示的复杂电路,首先选择 3 个网孔作为回路,回路电流的绕行方向如下面电路所示:

然后观察上面的电路可以发现,中间三个电阻 \(R_4\)\(R_5\)\(R_6\) 所在的支路电流均由 2 个回路电流构成,并且它们属于相减关系,3 个回路的 KVL 方程可以依次列写为:

\[ \begin{cases} -U_{s1} + R_1 I_1 + R_5(I_1 - I_2) + R_4 (I_1 - I_3) = 0 \\ R_2 I_2 + U_{S2} + R_6(I_2 - I_3) + R_5 (I_2 - I_1) = 0 \\ R_4(I_3 - I_1) + R_6(I_3 - I_2) + U_{S3} + R_3 I_3 = 0 \\ \end{cases} \]

最后,通过上面列写的 3 个方程,就可以顺利的求解出 3 个回路电流的未知量。

含有电流源的情况

由于下图当中的电流源 \(I_{S1}\) 两端的电压未知,从而导致无法正常的列写 KVL 方程:

解决这类问题,可以选取特定的回路 12,可以发现电流源的电流 \(I_{S1}\) 实质就是回路 1 上的电流 \(I_1 = I_{S1}\),由于回路电流法的本质就是求解回路上的电流,而这里电流源的电流 \(I_{S1}\) 是已知的,因而可以直接得到回路电流,无需继续列写 \(I_1\) 回路的 KVL 方程,而只需要列写出 \(I_2\) 回路的 KVL 方程即可:

\[ \begin{cases} I_1 = I_{S1} \\ -R_3(I_1 - I_2) + R_2 I_2 + U_{S2} = 0 \end{cases} \]

对于这种含有电流源的电路,另外一种解决方法是假设电流源的电压\(U\),然后再列写 KVL 方程:

因为新增了一个未知量 \(U\),所以需要再行补充一个方程,即利用回路电流 \(I_1\)\(I_2\) 来表示电流源电流 \(I_S\)

\[ \begin{cases} 补充方程 \implies I_2 - I_1 = I_S \\ 回路1 \implies -U_{S1} + R_1 I_1 + U = 0 \\ 回路2 \implies -U + R_2 I_2 - U_{S2} = 0 \end{cases} \]

基于自阻 & 互阻列写

首先,针对下图所示的电路采用回路电流法,分别对回路 1 和 2 列写 KVL 方程:

然后,将 KVL 方程组进行合并同类项,就可以得到如下的推导过程:

\[ \begin{cases} -U_{S1} + R_1 I_1 + R_3(I_1 - I_2) = 0 \\ -R_3(I_1 - I_2) + R_2 I_2 + U_{S2} = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} {\color{OrangeRed}(R_1 + R_3) I_1} {\color{Blueviolet}-R_3 I_2} = {\color{Maroon}U_{S1}} \\ {\color{Blueviolet}-R_3 I_1} + {\color{OrangeRed}(R_2 + R_3)I_2} = {\color{Maroon} - U_{S2}} \end{cases} \]

观察就可以发现,可以将方程划分为\({\color{OrangeRed}自阻}\)\({\color{Blueviolet}互阻}\)\({\color{Maroon}右端电源项}\) 三个部分,从而就可以快速的列写出回路电流方程。回路电流方程的本质是列写 KVL 方程,即回路当中所有支路电压的代数和等于,每个回路上面产生电压的因素包括如下三个方面:

  1. 回路电源上的电压,即右端电源项
  2. 回路电流在本回路电阻(自阻)上产生的电压,即自阻项
  3. 回路电流在与相邻回路共有的电阻(互阻)上产生的电压,即互阻项

例如对于下面这个电路,采用基于自阻互阻的方法列写 KVL 方程就可以得到:

\[ \begin{cases} 回路1 \implies (R_1 + R_3) I_1(自阻项) + R_3 I_2 (互阻项) - U_{S1}(电压源项) = 0 \\ 回路2 \implies (R_2 + R_3) I_2(自阻项) + R_3 I_1 (互阻项) - U_{S2}(电压源项) = 0 \end{cases} \]

如果改变电路当中回路的绕行方向,那么自阻项不会发生变化,而互阻项电源项都会发生改变:

\[ \begin{cases} 回路1 \implies (R_1 + R_3) I_1(自阻项) - R_3 I_2 (互阻项) - U_{S1}(电压源项) = 0 \\ 回路2 \implies (R_2 + R_3) I_2(自阻项) - R_3 I_1 (互阻项) + U_{S2}(电压源项) = 0 \end{cases} \]

结点电压法

基于 KCL 定律列写

下图所示的电路拥有 3 个网孔,因而需要列写 3 个 KVL 方程。除此之外,还拥有 3 个结点,因而还需要列写 2 个 KCL 方程,共计需要列写 5 个方程。方程当中待求的未知数为 5 个支路电流,方程的列写与求解过程都会比较繁琐。而采用结点电压法,把未知量由支路电流改为结点电压,可以将 5 个方程数量减少至 2 个。

结点电压表示的是指定结点参考结点(电位为零的结点)之间的电位差,以上图所示的电路为例,可以将最下方的结点标记为参考结点 0,而左上方的结点标记为结点 1,右上方的结点标记为结点 2,两个结点相对于参考结点的电位差,就分别称为结点电压 \(U_1\)\(U_2\),具体请参见下图所示:

通过上图可以看到,只要求解出 2 个结点电压,就能够确定电路当中所有的支路电流,从而将支路电流的求解转换为结点电压的求解。对于上面的电路,只需要针对 2 个结点列写 KCL 方程即可完成求解。

\[ \begin{cases} \frac{U_{S1} - U_1}{R_1} = \frac{U_1}{R} + \frac{U_1 - U_2}{R_3} \\ \frac{U_1 - U_2}{R_3} = \frac{U_2}{R_4} + \frac{U_2 - U_{S2}}{R_5} \end{cases} \]

联立上面的方程组,就可以分别求解出结点电压 \(U_1\)\(U_2\)。可以看到,整个过程不需要列写 KVL 方程即可完成求解,这是由于结点电压被定义为指定结点参考结点之间的电位差,这个定义本身就自动满足了 KVL 定律,因而无需再行列写 KVL 方程。

这个过程与之前定义的回路电流非常类似,虚构出的回路电流会自动满足 KCL 方程,因而也就无需再去列写 KCL 方程,进而减少了方程数量。结点电压的定义也是同理,虚构出的结点电压同样会自动满足 KVL 方程,因而无需再行列写 KVL 方程,进而也减少了方程的数量。

总而言之,对于结点电压法而言,虽然可以不用再列写 KVL 方程,但是仍然需要列写出 KCL 方程,因而结点电压法本质上就是在列写 KCL 方程

注意:通常会选择电路图最下面位置的结点作为参考结点,此外由于参考结点的电位为 0 属于已知条件,所以无需对参考结点列写 KCL 方程进行求解。

含无伴电压源的情况

对于下图所示的电路,因为左侧电压源上面经过的电流未知,所以无法顺利的列写出 KCL 方程:

这种情况下,只需要选择下图所示的指定结点 12 以及参考结点 0

就会发现结点 1结点电压 \(U_1\) 正好等于左侧电压源的电压 \(U_{S1}\),从而也就无需再行列写结点 1KCL 方程,而只需要对结点 2 列写 KCL 方程即可:

\[ \begin{cases} U_1 = U_{S1} \\ \frac{U_1 - U_2}{R_3} = \frac{U_2}{R_4} + \frac{U_2 - U_{S2}}{R_5} \end{cases} \]

经过上述的分析过程可以知道,如果电路当中包含有无伴电压源(即支路上只存在一个电压源),解决办法就是以该电压源的负极作为参考结点,则无伴电压源的正极所在的结点电压正好等于该电压源电压,也就无需再行列写该结点的 KCL 方程。但是这种方法仅适用于电路当中只存在有一个无伴电压源的情况,而不适用于存在多个无伴电压源的场景。

基于自导 & 互导列写

首先,对于下面的电路,采用结点电压法,分别针对结点 1 和 2 列写 KCL 方程:

然后,将得到的 KCL 方程组进行合并同类项处理,就可以得到下面的推导过程:

\[ \begin{cases} \frac{U_{S1} - U_1}{R_1} = \frac{U_1}{R_2} + \frac{U_1 - U_2}{R_3} \\ \frac{U_1 - U_2}{R_3} = \frac{U_2}{R_4} + \frac{U_2 - U_{S2}}{R_5} \end{cases} \implies \begin{cases} {\color{Blueviolet}(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}) U_1} - {\color{OrangeRed}\frac{1}{R_3} U_2} = {\color{Maroon}\frac{U_{S1}}{R_1}} \\ {\color{OrangeRed}-\frac{1}{R_3} U_1} + {\color{Blueviolet}(\frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_4} + \frac{1}{R_5}) U_2} = {\color{Maroon}\frac{U_{S2}}{R_5}} \end{cases} \]

结点电压方程的本质就是 KCL 方程,即与结点连接的所有支路电流的代数和为,电路当中每个结点所连接支路上产生电流的因素,主要包括有如下三点:

  1. 当前结点所连接支路上的电压源电流源产生的电流,即电源电流项
  2. 当前结点电压在其电导(自导)上面所产生的电流,即自导项
  3. 相邻结点的电压在共有电导(互导)上面产生的电流,即互导项

例如对于下面的电路,采用基于自导互导的方法,就可以列写出如下的 KCL 方程:

\[ \begin{cases} (\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}) U_1 (自导项) - \frac{1}{R_3} U_2 (互导项) - \frac{U_{S1}}{R_1}(电源电流项) = 0 \\ (\frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_4} + \frac{1}{R_5}) U_2 (自导项) - \frac{1}{R_3} U_1 (互导项) - \frac{U_{S2}}{R_5}(电源电流项) = 0 \end{cases} \]

等效变换

电路的等效变换,就是将一个复杂的局部电路,变换为一个简单的局部电路,同时确保其端口电压电流不变,从外接电路的角度来看,这个局部电路在变换前后是相互等效的。

等效变换是一种比较常见的电路简化方法,在电路分析过程当中经常被使用到。由于等效变换的情况比较多,接下来举几个比较简单的例子。

电压源串联

下图所示的电路由 2 个电压源串联组成,这些串联的电压源可以等效为 1 个电压源等效电压源电压等于串联电压源电压之和:

电阻串联

下图所示的电路由 2 个电阻串联组成,它们同样也可以被等效为 1 个电阻,该等效电阻的值等于所有串联电阻的阻值之和,等效之后的电压电流依然符合欧姆定律 \(u = (R_1 + R_2)i\)

电压源与电阻并联

下图所示的电路由 1 个电压源与 2 个电阻并联构成,其中电压源电阻 \(R_1\) 并联部分可以等效为 1 个电压源,该电压源的电压等于变换前电压源的电压 \(u\),而电流依然等于变换之前的电流 \(i\)

上述电路在变换之前,被等效部分的电路包含有并联的电压源 \(u_s\)电阻 \(R_1\),而在变换之后只剩下电压源,因而这种等效并不会体现在等效电路的内部。

三角形与星形变换

电阻的三角形星形等效变换涉及到 3 个端子,许多教材上列举的等效变换公式,并未在实质上降低分析的复杂度,因而违背了等效变换的初衷,本文在这里不作详细介绍(若三角形或者星形电路上的 3 个电阻相等,则变换过程就会比较简单,后续在三相电路的内容里会进一步讨论)。

注意:实际应用当中,多数的等效变换都只会涉及到 2 个端子。

电压源电阻串联 & 电流源电阻并联的等效

下图左侧是一个由电压源 \(u_S\)电阻 \(R_{eq1}\) 串联组成的电路,而右侧是关于端口电压 \(u\) 的方程:

下图左侧是一个由电流源 \(i_S\)电阻 \(R_{eq2}\) 并联构成的电路,而右侧同样是关于端口电压 \(u\) 的方程:

比较上述电压源与电阻串联,以及电流源与电阻并联的端口电压方程可以发现,两者之间进行等效变换的条件如下面的方程组所示:

\[ \begin{cases} {\color{Red}R_{eq1} = R_{eq2}}\\ {\color{Blue}u_S = R_{eq2} \cdot i_S} \end{cases} \]

总结

  • 回路电流法结点电压法的主旨是减少方程数量,简化求解过程;
  • 回路电流自动满足 KCL 定律,因而无需再列写 KCL 方程;回路电流法的本质是对回路(通常会选择网孔)列写 KVL 方程;
  • 结点电压自动满足 KVL 定律,因而无需再列写 KVL 方程;结点电压法的本质是对非参考结点列写 KCL 方程;
  • 等效变换的作用是对电路局部进行简化;对于外电路而言,等效变换之后的端口电压电流不变;

相比于回路电流法结点电压法还具有如下几个优点,因而更加推荐在电路分析过程当中使用:

  1. 结点电压的概念相比于回路电流更加容易理解;
  2. 标记参考结点要比标记回路电流更加容易,并且不会让电路图显得凌乱;
  3. 回路电流法无需列写 KCL 方程,结点电压法无需列写 KVL 方程。实际求解电路时,KVL 方程数量一定大于或者等于 KCL 方程数量,致使结点电压法省略列写的方程数量,一定大于或等于回路电流法省略列写的方程数量,因而在电路分析过程当中更加推荐使用结点电压法

电路定理

本小节主要讨论叠加定理替代定理戴维南定理诺顿定理互易定理特勒根定理等常用的电路分析定理。

叠加定理

叠加定理是指在线性电路当中,任意一条支路上的响应,都等于各个激励单独作用在该支路上响应的叠加。此处的响应通常是指电压或者电流,而所谓的线性电路,指的是同时满足叠加性齐次性的电路:

  • 叠加性:主要是指叠加定理,满足叠加定理是线性电路的必要条件;
  • 齐次性:如果线性电路当中的所有激励同时增大 k 倍,那么任意一条支路上的响应也会增大 k 倍;

利用叠加定理求解电路的基本步骤如下所示:

  1. 把电路分解为由各个电源单独作用的电路;
  2. 分别求解出每个电源单独作用产生的响应
  3. 将每个分解电路的响应叠加起来,就可以得到电路的总响应

接下来以下面的电路为例,利用叠加定理求解 10Ω 欧姆电阻上面的电压 \(u\)

首先分解电路,将上图所示的电路分解为下面的两个电路。对于电压源单独作用的电路,此时电流源电流等于表示为开路;而对于电流源单独作用的电路,此时电压源电压等于表示为短路

然后分别求解,上图当中的 \(u^{(1)}\)\(u^{(2)}\) 分别为电压源电流源单独作用时的响应:

\[ \begin{cases} u^{(1)} = 10 V \\ u^{(2)} = 20 V \end{cases} \]

最后叠加求和,根据前述的叠加定理,就可以得到 10Ω 电阻上面的电压 \(u\) 等于 30V 伏:

\[ u = u^{(1)} + u^{(2)} = 30V \]

注意:观察可以发现,上面的电路采用结点电压法求解起来会更加容易。事实上,采用叠加定理未必比其它分析方法更加简单,有时候甚至会更加繁琐,叠加定理存在的首要意义不是用于求解电路,而是表达了线性电路的一个重要规律。

替代定理

替代定理是指对于电路当中的任意一个端口而言,如果其端口电压\(u\),那么可以采用一个输出电压为 \(u\)电压源进行替代;如果其端口电流\(i\),那么也可以采用一个输出电流为 \(i\)电流源进行替代,而被替代端口之外的电路保持不变。

例如下图所示电路相对较为复杂,仔细观察就会发现右侧的 3 个支路并联,并且由于短路线两端的电压一定为,根据替代定理,可以采用一个电压等于零的电压源(即短路线)进行替代,因此右侧三个支路可以全部移除并替换为一条短路线,根据欧姆定律就可以知道这条短路线上经过的电流 \(i = 3A\)

而对于下图所示的电路,同样经过观察就会发现 100Ω 电阻电流源组成的串联支路上经过的电流为 6A,根据替代定理100Ω 电阻6A 电流源的串联,可以采用输出电流为 6A电流源进行替代,此时电路上面经过的电流 \(i = 4A\)

注意替代定理本质上也属于一种局部的等效变换

戴维南定理

戴维南定理是指包含有电源线性电阻一端口网络,可以等效为 1 个电压源和 1 个电阻串联,其中电压源是该一端口网络的开路电压,而电阻为一端口网络内部所有电源置零(即不起作用)时的等效电阻

  • 开路电压求解方法:简单的电路利用 KCLKVL 就可以完成求解,复杂的电路则需要利用结点电压法进行求解;
  • 等效电阻求解方法:首先将电源置零(电压源短路,电流源开路),然后再求解端口的等效电阻;

戴维南定理的证明

戴维南定理的证明过程需要使用到前面讨论过的替代定理叠加定理,下图是一个包含有线性含源一端口网络(只拥有电源线性电阻)的电路。

根据替代定理,上述一端口网络的外接电路,可以采用一个输出电流为 \(i\)电流源进行替代:

电路当中包含的电源可以划分为两种类型:线性含源一端口网络当中的电源、替代之后电流\(i\)电流源。根据叠加定理,上图电路当中的电压 \(u\) 等于含源一端口网络里电源单独作用时产生的响应,与电流为 \(i\)电流源单独作用时产生响应的叠加,因而该电路可以分解为下图所示的两个电路:

上图左侧的电路只包含有线性含源一端口网络里的电源,此时端口电压 \(u_{oc}\) 正好等于开路电压。而上图右侧电路内部的电源全部置零,此时该一端口网络内部没有电源只有电阻,因而可以等效为下面电路当中的电阻 \(R_{eq}\)

根据上面的电路可以得到 \(u^{(2)} = -R_{eq} i\),此时再基于叠加定理,就可以获得上面电路里线性含源一端口网络的端口电压电流关系:

\[ u = u_{oc} + u^{(2)} = u_{oc} - R_{eq} i \]

再来观察下面这个电路,根据 KVL 定律可以得到 \(u = u_{oc} - R_{eq} i\),将其与上面讨论得到的方程 \(u = u_{oc} + u^{(2)} = u_{oc} - R_{eq} i\) 进行比较,可以发现两个电路的端口电压电流关系完全相同。因而根据等效变换的定义,下图所示电路就是上面所讨论电路对应的等效电路,从而就完成了戴维南定理的证明:

戴维南等效电路的求解

根据戴维南定理,将线性含源一端口网络等效为电压源电阻串联,这个过程就称为戴维南等效电路的求解。其求解过程主要包括开路电压等效电阻的求解两个部分,接下来通过一个示例来进行说明。

▶【例题 1】求解下图所示电路的戴维南等效电路 ?

◉【解】根据基尔霍夫电压定律 KVL,就可以很容易的得到回路上电流 \(i\) 的值:

\[ 15V = 5Ω \times i + 10Ω \times i \implies = i = 1A \]

◉【解】此时再根据欧姆定律,就可以计算得到 10Ω 电阻上的电压,也就是该电路对应的开路电压 \(u_{oc}\)

\[ u_{oc} = 10Ω \times 1A = 10V \]

◉【解】而该电路对应的等效电阻,就是电压源置零(短路)以后从端口看进去的等效电阻,即 10Ω 电阻的并联:

\[ R_{eq} = \frac{5Ω \times 10Ω}{5Ω + 10Ω} = \frac{10}{3}Ω \]

◉【解】根据上面求解得到的开路电压 \(u_{oc} = 10V\)等效电阻 \(R_{eq} = \frac{10}{3}Ω\),就可以绘制出该电路对应的戴维南等效电路

▶【例题 2】求解下面这个复杂电路的戴维南等效电路 ?

◉【解】首先,对于顶部的结点列写 KCL 方程,就可以推导得到该电路所对应的端口开路电压 \(u_{oc}\)

\[ \frac{15 - u_{oc}}{5} + 5 = \frac{u_{oc} - 20}{10} \implies u_{oc} = \frac{100}{3}V \]

◉【解】接下来,将上面电路当中的 2 个电压源短路,1 个电流源开路,可以发现等效电阻 \(R_{eq}\) 等于 10Ω 电阻的并联:

\[ R_{eq} = \frac{5Ω \times 10Ω}{5Ω + 10Ω} = \frac{10}{3}Ω \]

最后,根据上面得到的开路电压 \(u_{oc} = \frac{100}{3}V\)等效电阻 \(R_{eq} = \frac{10}{3}Ω\),就可以得到该电路对应的戴维南等效电路

短路电流法求解等效电阻

在前面的示例当中,都是利用了电阻的串并联关系来求解等效电阻 \(R_{eq}\)。除此之外,我们还可以利用短路电流法来进行求解:

已知上面电路的端口开路电压 \(u_{oc} = 0.5V\),这里需要将端口短路,从而求解得到短路电流 \(i_{sc} = \frac{1}{3}A\)

这样就可以得到如下的等效电路,然后再利用欧姆定律就可以求解得到等效电阻 \(R_{eq} = \frac{u_{oc}}{i_{sc}} = 1.5Ω\)

注意:虽然短路电流法求解等效电阻相对较为麻烦,但是这种方法几乎可以用于任何电路的求解。

诺顿定理

诺顿定理是指包含有电源线性电阻一端口网络,可以等效为 1电流源1电阻并联,这个电流源的电流等于该一端口网络的端口短路电流,而电阻等于该一端口网络内部所有电源置零(即不作用)时候的等效电阻

注意诺顿定理的证明过程与戴维南定理类似,不同之处在于应用替代定理时,采用的是电压源进行替代(而非电流源),这里省略其证明过程,只需要记住结论即可。

诺顿等效电路戴维南等效电路都是线性含源一端口网络的等效电路,这说明诺顿等效电路戴维南等效电路两者之间也是相互等效的。

▶【例题】求解下图所示电路对应的诺顿等效电路 ?

◉【解】首先,将上面电路的两个端口进行短路,从而就可以得到下面的电路:

由于 10Ω 电阻与短路线呈并联关系,电阻上面经过的电流为,根据基尔霍夫电流定律 KCL,此时的短路电流 \(I_{sc}\) 就等于:

\[ I_{sc} = \frac{15V}{5Ω} = 3A \]

◉【解】然后,将端口内部的电压源全部短路置零,则从端口看进去的等效电阻 \(R_{eq}\) 等于 10Ω 电阻的并联:

\[ R_{eq} = \frac{5Ω \times 10Ω}{5Ω + 10Ω} = \frac{10}{3}Ω \]

◉【解】最后,根据上面得到的短路电流 \(I_{sc} = 3A\)等效电阻 \(R_{eq} = \frac{10}{3}Ω\),就可以绘制出该电路对应的诺顿等效电路

最大功率传输定理

下图电路左侧部份当中的电压源 \(U_S\)电阻 \(R_S\) 都是固定不变的,而右侧连接的是一个可变电阻 \(R_L\)。显然,当可变电阻 \(R_L\) 发生改变的时候,这个元件上的电压电流功率都会发生改变:

最大功率传输定理是指当可变电阻 \(R_L\) 等于电阻 \(R_S\) 的时候,\(R_L\) 就可以获得最大功率 \(P_{max}\)

\[ P_{max} = \frac{U_S^2}{4 R_S} \]

最大功率传输定理的推导过程如下面的步骤所示:

\[ \begin{aligned} P_{R_L} &= \bigg( \frac{U_S}{R_L + R_S} \bigg)^2 \times R_L = \frac{R_L}{(R_L + R_S)^2} \times U_S^2 = \frac{R_L}{R_L^2 + 2 R_L R_S + R_S^2} \times U_S^2 \\ &\implies \frac{R_L}{R_L^2 + 2 R_L R_S + R_S^2} \times U_S^2 \le \frac{R_L}{2 R_L R_S + 2 R_L R_S} \times U_S^2 = \frac{U_S^2}{4 R_S} \\ &\implies 当 R_L = R_S 的时候,最大功率 P_{max} = \frac{U_S^2}{4 R_S} \end{aligned} \]

除此之外,还可以将上面讨论的戴维南定理,应用于最大传输功率问题的求解过程:

  1. 首先,对可变电阻之外的电路进行戴维南等效
  2. 然后,再利用最大传输功率定理求解可变电阻上获得的最大功率

▶【例题】下图电路的右侧连接了一个可变电阻 \(R_L\),试求解 \(R_L\) 获得最大功率时候的阻值 ?

◉【解】上图左侧部分的电路较为复杂,可以应用戴维南定理,将复杂的线性一端口网络等效为电压源电阻的串联:

上面这个戴维南等效电路的开路电压 \(U_{oc} = 5V\),而等效电阻 \(R_{eq} = 5Ω\)

\[ \begin{cases} U_{oc} = 5V \\ R_{eq} = 5Ω \end{cases} \]

也就是说当 \(R_L = R_{eq} = 5Ω\) 的时候,可变电阻 \(R_L\) 能够获得的最大功率 \(P_{max}\) 等于:

\[ P_{max} = \frac{U_{oc}^2}{4 R_{eq}} = \frac{5^2}{4 \times 5} = 1.25W \]

互易定理

互易定理是指对于一个线性电阻网络而言,如果只存在一个激励(电压源电流源)与一个响应(电压电流),那么当激励响应互换位置之后,激励响应的比值保持不变:

根据上图的电路与互易定理,就可以得到下面这个等式:

\[ \frac{u_1(激励)}{i_1(响应)} = \frac{u_2(互换位置之后的激励)}{i_2(互换位置之后的响应)} \]

从上面的等式可以看出,如果激励(电压源电压)相同,则互换位置之后的响应(电流)也就相同。

特勒根定理

如果需要证明互易定理,那么必须要先证明两个定理(特勒根定理 1 和 2)和一个定理推论(特勒根定理 2 推论)。

特勒根定理 1

特勒根定理 1 是指在任意一个电路当中,如果每一条支路上的电流参考方向都是从电压参考方向正极流入,那么所有支路的电压电流的乘积之和一定等于

由于电压电流的乘积等于功率,所以特勒根定理 1 的物理含义就是指任意一个电路的总功率等于,也就是发出的功率等于吸收的功率,即功率守恒。接下来讨论特勒根定理 1 的证明过程:假设任意一个电路总计拥有 b支路 n结点,其中第 pq 个结点之间的电压记为 \(u_{pq}\)电流记为 \(i_{pq}\)

\[ \begin{aligned} \sum_{k = 1}^b u_k i_k &\xrightarrow{将支路电压与电流乘积之和,转化为结点与结点之间的电压与电流乘积之和 \ \ \ \ \ \ } \frac{1}{2} \sum^{n}_{p=1} \sum^{n}_{q=1} u_{pq} i_{pq} \\ &\xrightarrow{运用 KVL,即 u_{pq} = u_p - u_q} \frac{1}{2} \sum^{n}_{p=1} \sum^{n}_{q=1}(u_p - u_q)i_{pq} \\ &\xrightarrow{应用求和符号 \sum 的特性} = \frac{1}{2} \sum^{n}_{p=1} u_p \sum^{n}_{q=1} i_{pq} - \frac{1}{2} \sum^{n}_{q=1} u_q \sum^{n}_{p=1} i_{pq} \xrightarrow{运用 KCL,即 \sum_{q = 1}^n i_{pq} = 0 与 \sum_{p = 1}^n i_{pq} = 0} = 0 \end{aligned} \]

通过上述的特勒根定理 1 证明过程可以发现,整个过程的关键是应用到了 KCLKVL 定律,也就是说只需要满足 KCLKVL 定律,特勒根定理 1 就一定会成立。

特勒根定理 2 及其推论

特勒根定理 2 描述起来比较复杂:如果存在两个结构相同的电路,并且两个电路里相同位置上的支路电压电流参考方向相同,假定每一条支路的电流参考方向都是从电压参考方向正极流入,那么其中一个电路所有支路上的电压,乘以另外一个电路对应支路上的电流,它们的乘积之和一定等于另外一个电路上面所有支路上的电压,乘以与该电路对应的所有支路上的电流的乘积之和,接下来直观的给出特勒根定理 2 的示意图:

特勒根定理 2 的通俗描述是:我的电压乘以你的电流,乘积之和等于零;你的电压乘以我的电流,乘积之和等于零特勒根定理 2 的证明过程与特勒根定理 1 的证明过程类似,此处不再进行赘述。

注意特勒根定理 2 在实际电路分析当中几乎不会使用,其主要作用是引出它的一个推论,进而通过该推论去证明互易定理

特勒根定理 2 推论:如果两个电路具有相同的结构,其电压电流的参考方向也完全相同,并且具有相同的纯电阻网络(即结构相同,并且阻值也相同)。假设电流参考方向都是从电压参考方向正极流入,则除了纯电阻网络以外,一个电路的支路电压乘以另外一个电路对应的支路电流,即各个支路上电压电流的乘积之等于另外一个电路的支路电压乘以该电路对应的支路电流,也即各个支路电压支路电流的乘积之,这里依然直观的给出特勒根定理 2 推论的示意图:

特勒根定理 2 推论 的通俗描述为:我的一部分电压乘以你的一部分电流,等于你的一部分电压乘以我的一部分电流。接下来,就以上面这个电路为例证明该推论。观察上面的电路,根据特勒根定理 2 可以得到下面的方程组:

\[ \begin{cases} u_1 i_2 + u_x i_y + \sum u_k \hat{i_k} = 0 \\ u_y i_x + u_2 i_1 + \sum \hat{u_k} i_k = 0 \end{cases} \]

上面方程里的求和,指的是对纯电阻网络部分支路电压支路电流的乘积进行求和。根据欧姆定律纯电阻网络满足 \(u_k = R_k i_k\)\(\hat{u_k} = R_k \hat{i_k}\) 的关系,将其代入至上面的方程组,整理之后就可以得到特勒根定理 2 的推论

\[ u_1 i_2 + u_x i_y = u_y i_x + u_2 i_1 \]

注意特勒根定理及其推论都假定电流参考方向电压参考方向正极流入,如果电流参考方向电压参考方向负极流入,则需要在电压电流的乘积之前添加一个负号

互易定理的证明

观察前面所讨论过的特勒根定理 2 的推论相关的示意图:

\(u_x = 0\)\(u_y = 0\) 代入至特勒根定理 2 的推论 \(u_1 i_2 + u_x i_y = u_y i_x + u_2 i_1\) 当中,就可以得到前面的互易定理公式:

\[ u_1 i_2 = u_2 i_1 \implies \frac{u_1}{i_1} = \frac{u_2}{i_2} \]

互易定理的三种形式

根据激励响应的不同,可以把互易定理划分为如下三种形式:

  1. 互易定理的第 1 种形式:激励为电压源,响应为短路电流

  1. 互易定理的第 2 种形式:激励为电流源,响应为开路电压

  1. 互易定理的第 3 种形式:激励为电压源电流源,响应为开路电压短路电流

分析实际电路时,运用互易定理经常会出现一些错误。这种情况下可以不使用互易定理,而是换用特勒根定理 2 的推论进行电路分析。由于互易定理本质上就是由特勒根定理 2 的推论经过推导得来的,所以凡是能够利用互易定理解决的问题,全部都可以采用特勒根定理 2 的推论来解决。使用特勒根定理 2 的推论优点在于正负号不容易出错,只需要确保电流电压正极流入时乘积取,而从负极流入时则乘积取

▶【例题】下图当中的 \(N\) 是一个纯电阻网络,求解该电路当中的电压 \(U\)

◉【解】采用互易定理进行电路分析的第 1 步是要确定激励响应,由于激励必须是电压源电流源,相对而言比较容易确定,而响应确定起来就比较麻烦,响应只存在开路电压短路电流两种可能,而上面电路很难直接找出响应所在的位置,此时可以无中生有的人为添加一个响应(左侧电路的开路电压、右侧电路的短路电流),从而得到下面的电路形式:

◉【解】采用互易定理进行电路分析的第 2 步是根据互易定理的三种形式之一来进行求解,由于上述电路难以直接着手应用互易定理,必须将电路里的电阻网络 N 以及其它电阻,海纳百川的放入到一个更大的电阻网络当中(即下图绿色阴影部分):

◉【解】观察就可以发现,该电路当中的 \(u_{oc} = 0.5 \times 3 = 1.5V\),而 \(i_{sc} = - \frac{U}{4}\),根据互易定理的第 3 种形式列写如下公式,就可以推导得到电压 \(U\) 的值等于 -7.2V

\[ \frac{5V}{u_{oc}} = \frac{6A}{i_{sc}} \implies \frac{5}{0.5 \times 3} = \frac{6}{- \frac{U}{4}} \implies U = - 7.2V \]

总结

  • 叠加定理:线性电路当中任意一条支路的响应,都等于各个电源单独作用时产生响应的叠加;
  • 替代定理:已知端口电压,可以采用电压源替代;已知端口电流,则可以采用电流源替代;
  • 戴维南定理线性含源一端口网络可以等效为电压源(端口开路电压)与电阻(端口内电源不作用时的等效电阻)的串联
  • 诺顿定理线性含源一端口网络可以等效为电流源(端口短路电流)与电阻(端口内电源不作用时的等效电阻)的并联
  • 互易定理:如果纯电阻网络的激励响应互换位置,那么激励响应的比值将会保持不变;

戴维南等效诺顿等效都是线性含源一端口网络的等效电路,两者之间也是相互等效的。诺顿等效电路电流源电阻是并联关系,更加适用于分析外接有并联电路的情况。而戴维南等效电路电压源电阻为串联关系,更加适用于外接有串联电路的情况。由于实际电路当中,串联电路相对更多一些,因而在实际的电路分析过程当中,戴维南等效诺顿等效的应用场景要更多。

注意:除此之外,如果等效之后的戴维南等效电路只有一个纯电压源,由于纯电压源纯电流源无法相互等效,这就意味着对应的诺顿等效电路不存在。同样的道理,如果等效之后的诺顿等效电路为一个纯电流源,这也意味着对应的戴维南等效电路不存在。

动态电路

前面章节分析的都是静态电路,也就是电压电流不随时间变化的电路。而本章所要讨论的动态电路,是一种包含有电容电感的电路,它的电压电流可以随着时间变化。

电容

电容的定义

电容这个名词包含有两重含义,一种是指电容器,另外一种是指电容值,两者通常都统称为电容电容器是一种能够容纳与释放电荷的元件,在电路当中可以用于储存电能滤波整流等。电容器的结构比较简单,其中最为常见的是平行板电容器,它是由两个导体面板与夹在中间的绝缘介质所构成:

电容器在电路当中的表示符号如下面的图形所示:

如果向电容器的两个极板施加电压,那么两个极板上面就会出现等量的异种电荷

上图当中,电容器存储的电荷量 \(q\)电压 \(u_C\) 之间存在如下关系,其中的比例系数 \(C\) 就是该电容器的电容值

\[ 电荷量 q = 电容值 C \times 电压 u_C \]

电容器的电压-电流关系

电容器上面经过的电流 \(i_C\) 等于其所存储的电荷量 \(q\) 随着时间 \(t\) 进行变化的变化率

\[ i_C = \frac{dq}{dt} \]

将前面的 \(q = C \times u_C\) 代入上面的等式,就可以得到电容器上面电流 \(i_C\)电压 \(u_C\)微分关系

\[ i_C = C \frac{du_C}{dt} \]

注意:上面的微分关系对于电压电流参考方向存在要求,即电流的参考方向必须从电压参考方向的正极流入。如果电流的参考方向被指定为从电压参考方向的负极流入,那么上面微分关系式的右侧需要添加一个-负号

对上面这个微分关系式的两端进行积分,就可以得到电容器上面电压电流积分关系

\[ u_C(t) = u_C(t_0) + \frac{1}{C} \int^{t}_{t_0} i_C(\xi)d\xi \]

观察上述的积分微分关系可以发现,由于电容器上的电压电流关系与时间相关,所以属于一种动态电路元件。而前面讨论过的电阻器,其电压电流关系与时间无关,因而属于静态电路元件

电容器消耗的能量

电容器所消耗的能量是功率 \(w\) 对于时间 \(t\)积分

\[ w(t) = \int pdt = \int u_C i_C dt \]

将之前得到的 \(i_C = C \frac{du_C}{dt}\) 代入上面的积分关系式,就可以得到:

\[ w(t) = \frac{1}{2} C u_C (t)^2 \]

观察可以发现,电容器消耗的能量 \(w\) 的大小与电容值 \(C\) 成正比,与电容器两端电压 \(u_C\)平方也成正比。

电容器的串联

下图的电路展示了 \(C_1\)\(C_2\) 两个电容器串联

根据上图,以及电容器电压电流微分关系 \(i_C = C \frac{du_C}{dt}\),就可以得到下面的等式:

\[ i_C = C_1 \frac{d u_{C1}}{dt} = C_2 \frac{d u_{C2}}{dt} \]

通过如下更进一步推导过程,就可以得到电容器的串联等效公式:

\[ \begin{aligned} &C_1 \frac{d u_{C1}}{dt} + C_2 \frac{d u_{C2}}{dt} = \frac{d(u_{C1} + u_{C2})}{dt} = \frac{d u_C}{dt} = \frac{1}{C_1} i_C + \frac{1}{C_2} i_C \\ &\implies i_C = \frac{1}{\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}} \frac{d u_C}{dt} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} \frac{du_C}{dt} \end{aligned} \]

由此可见,\(C_1\)\(C_2\) 两个电容器串联之后,可以等效为一个电容 \(C_{eq}\)电容器串联等效公式与电阻器并联非常类似:

电容器的并联

下面的电路展示了 \(C_1\)\(C_2\) 两个电容器并联

两个电容并联同样可以等效为一个电容,具体的推导过程与电容器的串联相类似。两个电容并联之后的等效电容 \(C_{eq}\) 如下图所示。观察可以发现,电容器并联等效公式与电阻器串联比较类似:

  • 寄生电容:PCB 布线或者元件引脚之间存在的电容效应,也被称为杂散电容
  • 超级电容:电容值可以达到几百甚至上千法拉,能够储存大量电能,可以用于驱动新能源汽车,起到类似电池的作用;

电容器充放电

电容器的充电

如下图所示,电容初始电压为,当 \(t = 0\) 的时候开关闭合,电容开始充电:

根据基尔霍夫电压定律可以得到 \(-U_s + R \times i + u_C = 0\),而电容器的电压电流关系为 \(i = C \frac{d u_C}{dt}\),将其代入至 KVL 方程就可以得到电容器充电的微分方程

\[ RC \frac{d u_C}{dt} + u_C = U_s \]

接下来,通过积分的方法求解上面这个微分方程的解,进而获得电容器两端电压 \(u_C\) 的表达式:

\[ \begin{aligned} &RC \frac{d u_C}{dt} + u_C = U_s \implies \frac{d(U_s - u_C)}{U_s - u_C} = - \frac{1}{RC}dt \\ &\xrightarrow{两侧同时积分\ \ } \ln (U_s - u_C) \bigg\vert \begin{aligned} u_C(t) \\ u_C(0) \end{aligned} = - \frac{1}{RC}(t - 0) \\ &\xrightarrow{获得电容器的电压表达式\ \ \ } u_C(t) = U_s - U_s \times e^{- \frac{t}{RC}} \end{aligned} \]

根据上述的推导结果,就可以绘制出电容器的电压 \(u_C\) 随着时间 \(t\) 进行变化的曲线:

可以看到,电容器两端的电压 \(u_C\) 并非线性上升,而是在开始的时候上升速度较快,后续则上升速度较慢。当时间 \(t\) 趋于无穷大的时候,电容器两端的电压 \(u_C\) 等于电源电压 \(U_s\),此时电容器的电压保持不变,意味着电容已经充电结束。

注意:虽然电容器的充电在理论上需要无穷长的时间,但是实际上在经过一段时间之后,就可以近似的认为电容器两端的电压达到电源电压,从而完成了充电,接下来将会讨论电容器充电时间长度相关的问题。

时间常数 \(\tau\)

根据前面得到的电容器两端电压 \(u_C\) 的表达式 \(u_C(t) = U_s - U_s \times e^{- \frac{t}{RC}}\),可以知道电容器的充电与 \(RC\) 关系密切,如果令 \(\tau = RC\),则可以把电压 \(u_C\) 的表达式改写为如下形式:

\[ u_C(t) = U_s - U_s \times e^{- \frac{t}{\tau}} \]

时间 \(t = 5 \tau\) 的时候,电容电压 \(u_C(5 \tau) = U_s - U_s e^{- 5} \approx U_s\),因而可以认为电容器充满电所需的时间约为 \(5\tau\)。这里的 \(\tau\) 在电路分析当中被称为时间常数,其值不但决定了电容的充电时间,还决定了电容充电的快慢。

注意时间常数电容器的充电速度就会越,越则电容器充电的速度就会越

时间常数 \(\tau = R \times C\) 说明电阻 \(R\)电容 \(C\) 越大,时间常数 \(\tau\) 就会越大,电容器的充电速度就会随之越慢。反之,电阻 \(R\)电容 \(C\) 越小,时间常数 \(\tau\) 也就会越小,电容器的充电速度同样就会越快。

将电容器两端电压 \(u_C\) 的表达式 \(u_C(t) = U_s - U_s \times e^{- \frac{t}{RC}}\) 代入至它的电压电流关系 \(i = C \frac{d u_C}{dt}\) 当中,从而可以得到电容器的充电电流 \(i\)

\[ i(t) = \frac{U_s}{R} e^{- \frac{t}{RC}} \]

观察上面等式可以发现,电容器的充电电流 \(i\) 随着时间 \(t\) 的变化,而呈现出指数衰减,并且最终会衰减为,这意味着电容器在充电完成之后,充电电流也就会随之而停止。

如果电容器的初始电压不为,而是等于电压 \(U_0\),那么电容器两端电压 \(u_C\) 的求解过程,与电容器两端电压 \(u_C\) 初始值为的情况相类似。当电容器两端的初始电压不为零时,其对应的电压表达式如下所示:

\[ u_C(t) = U_s + (U_0 - U_s) e^{- \frac{t}{RC}} \]

注意:在实际的电路分析当中,电容器的充放电过程可以无需列写与求解微分方程,而只需要通过后续介绍的三要素公式,就能够简单方便的进行分析。

电容器的放电

下面的电路当中,电容器的初始电压\(U_0\),当时间 \(t = 0\) 的时候开关闭合,电容器开始放电:

根据基尔霍夫电压定律可以得到 \(-u_C + Ri = 0\),而电容器的电压电流关系为 \(i = -C \frac{d u_C}{dt}\),将其代入至 KVL 方程就能够得到电容器放电的微分方程

\[ RC \frac{d u_C}{dt} + u_C = 0 \]

电容器放电微分方程的求解过程,与其充电过程相类似,而且相对更加简单。这里省略具体的推导过程,直接列写电容器在放电时两端电压 \(u_C\) 的表达式:

\[ u_C(t) = U_0 \cdot e^{- \frac{t}{RC}} \]

可以看到,电容器的放电电压 \(u_C\) 随着时间 \(t\) 呈指数衰减,并且最终会衰减为零,表示放电已经完毕。根据时间常数 \(\tau = RC\),可以近似的认为经过 \(5 \tau\) 时间之后,电容器就可以放电完毕。

注意时间常数 \(\tau\)放电速度就会越,而 \(\tau\)放电速度就会越

将电容器放电时两端电压的表达式 \(u_C(t) = U_0 \cdot e^{- \frac{t}{RC}}\) 代入至电容器的电压电流关系 \(i = -C \frac{d u_C}{dt}\),就可以得到电容器的放电电流 \(i\)

\[ i(t) = \frac{U_0}{R} \cdot e^{- \frac{t}{RC}} \]

观察上述方程就能够发现,电容器的放电电流 \(i\) 随着时间 \(t\) 的变化而呈指数衰减,并且最终同样会衰减至

注意:为了确保用电安全,可以在电路当中为电容器专门设计一个放电回路,避免在电源断电的情况下发生触电危险。

电感

电感的定义

电感这个名词同样包含有两重含义,一种是指电感器,另外一种是指电感值,两者通常都统称为电感电感器是一种能够存储与释放磁场能量的元件,在电路当中可以用于储存磁能变压隔离等。电感器的结构非常简单,主要由导线绕制成的线圈所构成:

电感器在电路当中的表示符号如下面的图形所示:

电感器通过电流就会产生磁场,经过的电流越大,产生的磁通量(多匝线圈时称为磁链)就会越大,即磁通量 \(\varPsi\)电流 \(i_L\) 的大小成正比:

\[ 磁通量 \varPsi = 电感值 L \times 电流 i_L \]

电感器的电压-电流关系

根据法拉第电磁感应定律,如果电感器当中存在着变化的磁场,那么就会产生感应电压 \(u_L\)

\[ u_L = \frac{d \varPsi}{dt} \]

将前面的 \(\varPsi = L \times i_L\) 代入到这个公式,就可以得到电感器上面电压 \(u_L\)电流 \(i_L\) 的微分关系:

\[ u_L = L \frac{di_L}{dt} \]

上述的微分关系要求电流参考方向必须从电压参考方向的正极流入,如果电流参考方向选定为从电压负极流入,那么上面等式的右侧需要再添加-负号。对上面等式的左右两侧进行积分,就可以得到电感器电压电流的积分关系:

\[ i_L(t) = i_L(t_0) + \frac{1}{L} \int^{t}_{t_0} u_L (\xi) d \xi \]

结合上述的 \(u_L\)\(i_L\) 公式,可以知道电感器电压电流关系同样与时间相关,因此也属于一种动态电路元件。

电感器消耗的能量

电感器消耗的能量是电感器的功率 \(w\) 对于时间 \(t\)积分

\[ w(t) = \int p dt = \int u_L i_L dt \]

电感器电压与电流的微分关系 \(u_L = L \frac{di_L}{dt}\) 代入上面等式,就可以得到:

\[ w(t) = \frac{1}{2} L \cdot i_L (t)^2 \]

观察上面的方程,可以看到电感器消耗的能量 \(w\)电感值 \(L\) 成正比,与经过电感器的电流 \(i_L\)平方也成正比。

电感器的串联

\(L_1\)\(L_2\) 两个电感器串联,同样可以等效为一个电感 \(L_{eq}\)电感器串联公式与电阻器串联公式相类似:

电感器的并联

\(L_1\)\(L_2\) 两个电感器并联,依然可以等效为一个电感 \(L_{eq}\)电感器并联公式与电阻器并联公式相类似:

注意电感器的串并联公式电容器的串并联公式在形式上刚好相反,应用的时候需要避免混淆。

  • 寄生电感:由于 PCB 走线或者元件引脚产生的一种电感效应,也被称之为杂散电感,其大小通常只有纳亨级别。

电感器的充放电

电感器的充电

电感器的充电电路如下图所示,其充电的过程与电容器相类似,因而也不再进行赘述,而是直接给到结论:

经过电感器的初始电流为,当时间 \(t = 0\) 的时候开关闭合,电感器开始充电,其微分方程以及对应的如下所示:

\[ L \frac{di_L}{dt} + R \cdot i_L = U_s \implies i_L(t) = \frac{U_s}{R} - \frac{U_s}{R} \cdot e^{- \frac{t}{L/R}} \]

基于上面得到的微分方程解,就可以绘制出经过电感的电流 \(i_L\) 随着时间 \(t\) 进行变化的曲线:

观察可以发现,电感器上经过的电流并非线性上升,而是在开始时候上升速度较快,而后续上升速度变慢。当时间 \(t\) 趋于无穷大的时候,电感电流 \(i_L\) 等于电压源电压 \(U_s\) 除以电阻 \(R\),此时电感相当于短路,说明电感器已经结束充电。

电感器的充电在理论上需要无穷大的时间,但是实际上在经过一段时间之后,就可以近似的认为电流 \(i_L\) 不会再发生改变,即电感器充电完毕。观察上面得到的方程 \(i_L(t) = \frac{U_s}{R} - \frac{U_s}{R} \cdot e^{- \frac{t}{L/R}}\),可以发现电感器的充电过程与 \(\frac{L}{R}\) 时间常数关系密切,这里令 \(\tau = \frac{L}{R}\),从而可以得到:

\[ i_L(t) = \frac{U_s}{R} - \frac{U_s}{R} \cdot e^{- \frac{t}{\tau}} \]

观察上述等式可以发现,当时间 \(t = 5\tau\) 的时候,就可以近似的认为电感器已经充电完成。时间常数 \(\tau\) 既决定了电感器的充电时间,也决定了电感器的充电快慢。

注意时间常数 \(\tau\)电感器充电就会越,反之如果 \(\tau\)电感器充电就会越

除此之外,由于时间常数 \(\tau = \frac{L}{R}\),所以电感 \(L\) 越大而电阻 \(R\) 越小,时间常数 \(\tau\) 就会越大,电感器的充电也就会越慢。反之,如果电感 \(L\) 越小而电阻 \(R\) 越大,时间常数 \(\tau\) 就会越小,电感器的充电就会越快。

电感器的放电

下图是电感器的放电电路,电感器放电的分析过程依然与电容器类似,这里也不再详细介绍,同样直接了当给出结论:

电感器放电的微分方程,以及这个微分方程对应的如下面推导过程所示:

\[ L \frac{di_L}{dt} + R \cdot i_L = 0 \implies i_L(t) = I_0 \cdot e^{-\frac{t}{L/R}} \]

观察上面的等式可以发现,电感器在放电时,经过它的电流 \(i_L\) 呈指数下降,并且最终降低至,表示放电已经结束。电感器的充放电分析,同样可以采用三要素公式来进行,从而避免掉复杂的微分方程求解过程。

注意电感器电容器的充放电过程,符合电路分析当中的对偶原理

二阶电路

一阶电路 & 二阶电路

一阶电路是微分方程为一阶的电路(之前讨论的电路均属于一阶电路),下图所示电感器充电电路的微分方程\(L \frac{di_L}{dt} + R \cdot i_L = U_s\),由于该方程属于一阶微分方程,因而该电路属于一阶电路

二阶电路则是微分方程为二阶的电路,为了验证如下的二阶电路,就需要列写出该电路的微分方程:

电容器上面电流 \(i\)电压 \(u_C\)微分关系\(i = -C \frac{d u_C}{dt}\),而电感器上面的电压 \(u_L\)电流 \(i\)微分关系\(u_L = L \frac{d i}{dt}\),接下来将前者代入到后者:

\[ \begin{cases} i = -C \frac{d u_C}{dt} \\ u_L = L \frac{d i}{dt} \end{cases} \implies u_L = -LC \frac{d^2 u_C}{dt^2} \]

根据基尔霍夫电压定律可以得到 \(-u_C + R \cdot i + u_L = 0\),与上面的等式联立之后,就得到下面的方程组:

\[ \begin{cases} i = -C \frac{d u_C}{dt} \\ u_L = -LC \frac{d^2 u_C}{dt^2} \\ -u_C + R \cdot i + u_L = 0 \end{cases} \implies LC \frac{d^2 u_C}{dt^2} + RC \frac{du_C}{dt} + u_C = 0 \]

经过换算之后得到的结果是一个二阶微分方程,证明该电路属于二阶电路

二阶电路微分方程的求解

假设上面的二阶电路当中,电容的初始电压\(U_0\),电感的初始电流等于,根据微分方程的知识,需要列写出二阶微分方程 \(LC \frac{d^2 u_C}{dt^2} + RC \frac{du_C}{dt} + u_C = 0\) 所对应的特征方程

\[ LC \lambda^2 + RC \lambda + \lambda = 0 \]

上面的这个特征方程属于一元二次方程,求解之后可以得到该方程的 \(\lambda\) 等于:

\[ \lambda = \frac{-RC \pm \sqrt{(RC)^2 - 4LC}}{2LC} = \frac{- R \pm \sqrt{R^2 - \frac{4L}{C}}}{2L} \]

  1. \(R^2 - \frac{4L}{C} > 0 \implies R > 2 \sqrt{\frac{L}{C}}\) 的时候,特征方程的根为两个不相等并且小于零的实数
  2. \(R = 2 \sqrt{\frac{L}{C}}\) 的时候,特征方程的根为两个相等的负实数
  3. \(R < 2 \sqrt{\frac{L}{C}}\) 的时候,特征方程的根为两个实部为负数的共轭复数

由此可见,特征方程 \(LC \lambda^2 + RC \lambda + \lambda = 0\) 拥有三种不同形式的,相应的二阶微分方程 \(LC \frac{d^2 u_C}{dt^2} + RC \frac{du_C}{dt} + u_C = 0\) 也拥有着三种不同形式的解:

  1. 如果特征方程 \(LC \lambda^2 + RC \lambda + \lambda = 0\) 的根 \(\lambda_1\)\(\lambda_2\) 为两个不相等的负实数,则二阶微分方程的解的形式为:

\[ u_C(t) = A \cdot e^{\lambda_1 t} + B \cdot e^{\lambda_2 t} \]

  1. 如果特征方程 \(LC \lambda^2 + RC \lambda + \lambda = 0\) 的根为相等的负实数 \(\lambda\),则二阶微分方程的解的形式为:

\[ u_C(t) = (A + B t) \cdot e^{\lambda t} \]

  1. 如果特征方程 \(LC \lambda^2 + RC \lambda + \lambda = 0\) 的根为共轭复数 \(\lambda_1 = - \delta + j\omega\)\(\lambda_2 = - \delta - j\omega\),则二阶微分方程的解的形式为:

\[ u_C(t) = e^{-\delta t}(A \cos \omega t + B \sin \omega t) \]

注意\(\delta\)\(\omega\) 的表达式可以参照前面的等式 \(\lambda = \frac{-RC \pm \sqrt{(RC)^2 - 4LC}}{2LC} = \frac{- R \pm \sqrt{R^2 - \frac{4L}{C}}}{2L}\)

只要求解出上面三种形式待定系数,就可以得到二阶微分方程的解。下面给出 \(u_C(t) = A \cdot e^{\lambda_1 t} + B \cdot e^{\lambda_2 t}\)待定系数求解过程(另外两种情况的求解方法相同)。根据已知条件,电容电压的初始值为 \(U_0\),即 \(u_C(0) = U_0\),将其代入至 \(u_C(t) = A \cdot e^{\lambda_1 t} + B \cdot e^{\lambda_2 t}\) 就可以得到:

\[ U_0 = A + B \]

根据已知条件,电感电流的初值为零 \(i(0) = 0 = -C \frac{d u_C}{dt} \big|_{t=0}\),因而可以得到 \(\frac{d u_C}{dt} \big|_{t=0} = 0\),对等式 \(u_C(t) = A \cdot e^{\lambda_1 t} + B \cdot e^{\lambda_2 t}\) 的两侧同时求导可以得到:

\[ \frac{du_C(t)}{dt} = A \lambda_1 e^{\lambda_1 t} + B \lambda_2 e^{\lambda_2 t} \]

再把 \(\frac{d u_C}{dt} \big|_{t=0} = 0\) 代入到上面的等式,就可以继续得到:

\[ 0 = A \lambda_1 + B \lambda_2 \]

联立 \(U_0 = A + B\) 与上面的方程,就能够分别求解得到待定系数 \(A\)\(B\),从而完成二阶微分方程的求解:

\[ \begin{cases} U_0 = A + B \\ 0 = A \lambda_1 + B \lambda_2 \end{cases} \implies \begin{cases} A = \frac{- \lambda_2 U_0}{\lambda_1 - \lambda_2} \\ B = \frac{\lambda_1 U_0}{\lambda_1 - \lambda_2} \end{cases} \]

二阶电路的三种工作状态

经过前面的分析可以知道,二阶电路微分方程的存在着三种情况,它们分别对应着二阶电路的过阻尼\(R > 2 \sqrt{\frac{L}{C}}\))、临界阻尼\(R = 2 \sqrt{\frac{L}{C}}\))、欠阻尼\(R < 2 \sqrt{\frac{L}{C}}\))三种工作状态:

  • 过阻尼\(R > 2 \sqrt{\frac{L}{C}}\))的情况下,根据 \(u_C(t) = A \cdot e^{\lambda_1 t} + B \cdot e^{\lambda_2 t}\) 可以绘制出电容电压 \(u_C\)(单调衰减)随着时间 \(t\) 进行变化的波形:

  • 欠阻尼\(R < 2 \sqrt{\frac{L}{C}}\))的情况下,根据 \(u_C(t) = e^{-\delta t}(A \cos \omega t + B \sin \omega t)\) 可以绘制出电容电压 \(u_C\)(振荡衰减)随着时间 \(t\) 进行变化的波形:

  • 临界阻尼\(R = 2 \sqrt{\frac{L}{C}}\))的电容电压 \(u_C(t)\) 与过阻尼情况相类似,同样出现单调衰减,只不过衰减更加迅速;

上面的数学推导过程显得十分枯燥,接下来举一个形象的例子,下图当中的红色曲线表示一个容器,内壁的绿色曲线代表具有一定摩擦系数的涂层,在容器边沿放置一个小球,松开手之后小球会开始向下滚落,此时小球的滚落存在着三种情况:

  1. 摩擦系数很大,小球滚动很慢,最后缓慢的到达容器底部,并且停留下来;
  2. 摩擦系数刚好,小球滚动稍快,最后恰好到达容器底部,并且不会向容器左侧滚动;
  3. 摩擦系数很小,小球滚动很快,迅速到达容器底部之后,在惯性的作用下会继续滚向容器左侧,然后再滚向右侧,往复多次之后,最终停留在底部;

注意:上述的三种情况就类似于二阶电路的三种工作状态,对于三阶及其以上的更高阶电路,求解方法基本相似,只是过程更为复杂。

除此之外,动态电路的阶跃响应冲激响应涉及的主要的是数学方面的知识,不属于电路分析的概念范畴,因而这里不做讨论。实际上在《信号与系统》当中,这两者都是非常重要的内容。

补充

一阶电路求解的三个要素分别是指初值\(u_{C(0)}\)\(i_{L(0)}\))、终值\(u_{C(\infty)}\)\(i_{L(\infty)}\))、时间常数\(\tau = RC\)\(\tau = \frac{L}{R}\)),一旦确定这三个要素,就可以得到 \(u_C\)\(i_L\) 的表达式:

\[ \begin{cases} u_C(t) = u_{C(\infty)} + [u_{C(0)} - u_{C(\infty)}] \cdot e^{- \frac{t}{\tau}} \\ i_L(t) = i_{L(\infty)} + [i_{L(0)} - i_{L(\infty)}] \cdot e^{- \frac{t}{\tau}} \end{cases} \]

一阶电路三要素公式更为通用的表达形式如下面所示:

\[ f(t) = f(\infty) + [f(0) - f(\infty)] \cdot e^{- \frac{t}{\tau}} \]

总结

  • 电容器(存储电场)和电感器(存储磁场)都属于储能元件,它们都能够储存与释放能量;
  • 电容器的串并联规律与电阻器的串并联规律相反,而电感器的串并联规律与电阻器的串并联规律相同;
  • 电容器电感器电压电流都属于微分关系;
  • 包含有电容器电感器的电路称为动态电路,对应的方程是微分方程
  • 微分方程为一阶的电路称为一阶电路电容器电感器的充放电电路都属于一阶电路;
  • 电容器电感器在充放电时的电压电流均为指数函数
  • 电容器电感器的充电速度取决于时间常数,时间常数越充放电越,反之就会越
  • 电容器充放电的时间常数,等于电阻 \(R\) 乘以电容 \(C\)
  • 电感器充放电的时间常数,等于电感 \(L\) 除以电阻 \(R\)
  • 微分方程为二阶的电路称为二阶电路,二阶电路拥有过阻尼临界阻尼欠阻尼三种工作状态;

正弦稳态电路

前面讨论的静态与动态电路的输入都是直流激励,但是在工程实践当中,大多数情况下使用的输入都是正弦激励。但是正弦激励电路的时域分析极为困难,需要将其转换至相量域以简化分析。

正弦量

习惯上使用余弦函数来表达电路理论当中的正弦量,正弦量本质上是一个周期函数,其波形如下图所示:

正弦量的三要素分别是指振幅 \(F_m\)角频率 \(\omega\)初相位 \(\varphi\),确定了这三个要素,就可以确定一个正弦量,任意一个正弦量都可以表示为下面的形式:

\[ f(t) = 振幅F_m \cdot \cos(角频率 \omega t + 初相位 \varphi) \]

如果振幅使用有效值 \(F\),那么上述的正弦量还可以表示为如下的形式:

\[ f(t) = \sqrt{2} \cdot 有效值 F \cdot \cos(角频率 \omega t + 初相位 \varphi) \]

正弦量的有效值是指在一个周期当中,当直流激励正弦激励分别通过电阻消耗同等能量时候的直流激励大小,也称为均方根值。接下来讨论正弦量的有效值振幅之间的关系,如果电阻两端的直流电压\(U\)正弦量电压\(U_m \cdot \cos(\omega t + \varphi)\),那么根据有效值的定义就可以得到:

\[ \frac{U^2}{R} T = \int^{T}_{0} \frac{[U_m \cos (\omega t + \varphi)]^2}{R} dt \implies U^2 = \frac{1}{2} U_m^2 \implies U = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot U_m \approx 0.707 \times U_m \]

注意:正弦量的有效值在分析正弦稳态电路的功率时会相当有用。

正弦稳态电路的响应

下图所示电路的激励是一个正弦量 \(u_S = U_m \cos(\omega t + \varphi)\)

首先,根据基尔霍夫定律列写 KVL 方程 \(-u_S + R \cdot i + u_C = 0\)。然后,代入电容器的电压与电流关系 \(i = C \frac{du_C}{dt}\) 以及上面的正弦量激励。最后,就可以得到下面的等式:

\[ RC \frac{du_C}{dt} + u_C = U_m \cos(\omega t + \varphi) \]

观察可以发现,该等式属于一阶非齐次微分方程,它的包括齐次通解非齐次特解两部分,其中的非齐次特解同时也是正弦激励电路的稳态解,需要重点进行关注。这个等式对应的稳态解同样是一个正弦量,并且其角频率等于电压源 \(u_S\)角频率,这样该稳态解才能够满足微分方程的要求。因此,正弦稳态电路响应的重要特点,就是电路当中任何一个电压电流都是与激励源相同频率的正弦量。换而言之,在没有开始求解稳态电路之前,就已经确定了其响应的的角频率,因而正弦稳态电路响应的角频率无需再行求解,这也是后续引入相量法求解正弦稳态电路的重要依据。

正弦量相位的超前与滞后

当多个正弦量需要判断相位超前或者滞后时,如果正弦量 A 的初相位减去正弦量 B 的初相位,其结果介于正负 180° 度之间,那么初相位之差大于零就说明 A 超前于 B小于零则说明 A 滞后于 B

另外一种方法是根据波形进行判断,例如下图所示的三个正弦量波形,判断其相位超前与滞后的方法是:寻找任意两个波形距离相近的最高点,哪个波形的最高点位于左侧,就意味着该波形的相位更加超前,由此就可以判断出波形 \(u_A\) 超前于 \(u_B\),而波形 \(u_B\) 又超前于 \(u_C\)

注意交流电路的分析主要以复数作为基础,而直流电路的分析则是以实数作为基础,复数的计算相比于实数会略显复杂。

相量法

正弦稳态电路的分析离不开复杂的正弦量计算,本节内容将要介绍的相量法,就是一种简单可行的正弦稳态电路分析方法。

  • 相量是复数,复数的运算远远比正弦量的计算更加简单;
  • 相量不包含时间,相对于时间相关的正弦量,分析起来更为方便;

相量法引入依据

引入相量法的依据主要有下面两个:

  1. 正弦稳态电路当中所有电压电流角频率相同并且已知,因而无需额外再行求解;
  2. 欧拉公式 \(e^{j \theta} = \cos \theta + j \sin \theta\) 可以将复数正弦/余弦函数联系起来;

根据欧拉公式,可以将任意一个正弦量表示为一个复数实部,从而建立起正弦量复数之间的联系:

\[ f(t) = F_m \cos (\omega t + \varphi) = Re[F_m e^{j(\omega t + \varphi)}] = Re[{\color{blue}F_m e^{j \varphi}} e^{j \omega t}] \]

只要确定上面等式当中的 \({\color{blue}F_m e^{j \varphi}}\),就可以确定正弦量的振幅 \({\color{blue}F_m}\)初相位 \({\color{blue}\varphi}\)。而正弦稳态电路当中正弦量的角频率 \({\color{blue}\omega}\) 已知,所以正弦量 \(f(t) = {\color{blue}{F_m}} \cos({\color{blue}{\omega}}t + {\color{blue}{\varphi}})\) 就唯一确定下来。从而就可以将正弦量的计算,转化为复数 \({\color{blue}F_m e^{j \varphi}}\) 的计算,称为 \(f(t)\) 对应的相量 \(\dot{F_m}\)

\[ \dot{F_m} = {\color{blue}F_m e^{j \varphi}} \]

之所以称 \(\dot{F_m}\)相量,是由于其包含了初相位(相)和幅值(量)两个要素。这里的相量指代的是振幅,称为振幅相量或者最大值相量,但是在实际电路分析当中,通常采用的是有效值相量 \(\dot{F}\)

\[ \dot{F} = \color{blue}{F e^{j \varphi}} = F_m \frac{1}{\sqrt{2}} e^{j \varphi} \]

比较相量 \(\dot{F_m}\)有效值相量 \(\dot{F}\) 的表达式,可以发现两者的区别主要在于比例系数。有效值向量的优点在于计算功率时更加方便,后续内容当中提到的相量都默认是指有效值相量

相量域 & 时域对应关系

首先,对正弦量 \(f(t) = F_m \cos (\omega t + \varphi)\) 的形式进行如下变换:

\[ f(t) = F_m \cos (\omega t + \varphi) = Re[F_m e^{j(\omega t + \varphi)}] = Re[{\color{blue}F_m e^{j \varphi}} e^{j \omega t}] \implies f(t) = \sqrt{2} F \cos(\omega t + \varphi) = Re[\sqrt{2} Fe^{j(\omega t + \varphi)}] = Re[\sqrt{2} {\color{blue}{F e^{j \varphi}}}e^{j \omega t}] \]

然后,将 \({\color{Magenta}{\dot{F}}} = {\color{blue}{F e^{j \varphi}}}\) 代入上面右侧的等式就可以得到:

\[ f(t) = Re[\sqrt{2} {\color{Magenta}{\dot{F}}} e^{j \omega t}] \]

从上面这个等式可以看到,时域\(f(t)\)相量域\(\color{Magenta}{\dot{F}}\) 是一一对应关系,两者相互可以进行转换。换而言之,相量法就是将时域正弦量转换为相量域相量,接下来就把时域的正弦量计算转换为相量域的相量计算,根据上面的方程可以得到:

\[ kf(t) = k \times Re[\sqrt{2} {\color{Magenta}{\dot{F}}} e^{j \omega t}] = Re[\sqrt{2} {\color{Magenta}{(k \dot{F})}} e^{j \omega t}] \]

观察就可以发现,时域的比例运算到了相量域仍然是比例运算,对于前面的等式 \(f(t) = Re[\sqrt{2} {\color{Magenta}{\dot{F}}} e^{j \omega t}]\) 进行求导

\[ \frac{d[f(t)]}{dt} = Re[\sqrt{2} {\color{Magenta}{(j \omega \dot{F})}} e^{j \omega t}] \]

通过这个等式可以发现,时域的微分运算在相量域变为了比例运算,即在原来相量的基础之上乘以 \(j \omega\),该运算规律是相量法的优势之一,因为它将微分运算转换成了代数运算,从而大大降低了计算的复杂度。最后来讨论时域的加减运算,所对应的相量域运算,假设当前存在如下两个时域形式的正弦量

\[ \begin{cases} f_1(t) = \sqrt{2}F_1 \cos(\omega t + \varphi_1) \\ f_2(t) = \sqrt{2}F_2 \cos(\omega t + \varphi_2) \end{cases} \]

将前面的 \(f(t) = Re[\sqrt{2} {\color{Magenta}{\dot{F}}} e^{j \omega t}]\) 与上述等式进行联立,从而就可以得到:

\[ f_1(t) + f_2(t) = Re[\sqrt{2} {\color{Magenta}{\dot{F_1}}} e^{j \omega t}] + Re[\sqrt{2} {\color{Magenta}{\dot{F_2}}} e^{j \omega t}] = Re[\sqrt{2} {\color{Magenta}{(\dot{F_1} + \dot{F_2})}} e^{j \omega t}] \]

根据上面的等式能够发现,时域的加法运算到了相量域仍然是加法运算,对于减法运算情况同样类似,下面的表格总结了正弦稳态电路时域运算相量域运算的对应关系:

时域 相量域 时域 相量域
\(\color{blue}{f(t)}\) \(\color{Magenta}{\dot{F}}\) \(\color{blue}{f_1(t) \pm f_2(t)}\) \(\color{Magenta}{\dot{F_1} \pm \dot{F_2}}\)
\(\color{blue}{k \times f(t)}\) \(\color{Magenta}{k \times \dot{F}}\) \(\color{blue}{\frac{d[f(t)]}{dt}}\) \(\color{Magenta}{j \omega \dot{F}}\)

根据上述表格里的加减运算,就可以了解正弦稳态电路的基尔霍夫定律,在时域相量域之间的对应关系:

基尔霍夫定律 时域 相量域
KCL \(\color{blue}{\sum i_k = 0}\) \(\color{Magenta}{\sum \dot{I_k} = 0}\)
KVL \(\color{blue}{\sum u_k = 0}\) \(\color{Magenta}{\sum \dot{U_k} = 0}\)

注意:正弦稳态电路在相量域当中仍然满足 KCLKVL 定律,这就意味着之前用于直流电路的求解方法,例如基尔霍夫定律回路电流法结点电压法等效变换戴维宁定理等仍然适用于正弦稳态电路。虽然正弦稳态电路的分析相比于直流电路更为复杂,但是总体而言两者的分析方法基本通用。

正弦稳态电路分析时,电路当中的变量符号需要遵循以下规律,这里以电压进行举例:

  • 时域里的电压符号一律小写\(u\) 或者 \(u(t)\)
  • 相量域下的电压必须大写,并且在顶部添加点号 \(\dot{U}\)
  • 有效值(也就是相量的模值)直接大写\(U\)

注意:如果当前电路为直流电路,那么变量无需在顶部添加点号;当直流电路当中的变量为恒定值时,一般将其进行大写\(U\));如果是随着时间进行变化的非恒定值,则应当将其小写\(u\))。

正弦量的分析之所以能够转化为相量的分析,是由于角频率作为正弦量的要素之一,正弦量可以被视为以角频率进行旋转。对于一个正弦稳态电路而言,虽然全部电压电流都是以相同的角频率旋转,但是它们相互之间处于一种相对静止的状态,从而就可以实现相量时间的解耦。

最后,再来回顾一下复数的运算方法,对于给定的 \(Z = x + jy = |Z| \angle \theta\)\(Z_1 = x_1 + jy_1 = |Z_1| \angle \theta_1\)\(Z_2 = x_2 + jy_2 = |Z_2| \angle \theta_2\) 三个复数,它们之间的基本运算关系如下表所示:

运算关系 示例
加减运算 \(Z_1 \pm Z_2 = (x_1 \pm x_2) + j(y_1 \pm y_2)\)
复数模值 \(\vert Z \vert = \sqrt{x^2 + y^2}\)
复数相角 \(\theta = \tan^{-1} \frac{y}{x}\)
复数共轭(电路分析当中的共轭采用 \(*\) 表示) \(Z^* = x - jy = \vert Z \vert \angle - \theta\)\(ZZ^* = x^2 + y^2 = \vert z \vert ^2\)
乘法运算模值相乘,角度相加) \(Z_1 \times Z_2 = \vert Z_1 \vert \times \vert Z_2 \vert \angle(\theta_1 + \theta_2)\)
除法运算模值相除,角度相减) \(\frac{Z_1}{Z_2} = \frac{\vert Z_1 \vert}{\vert Z_2 \vert} \angle (\theta_1 - \theta_2)\)

除此之外,在电路分析过程当中,还会经常使用到下面这些复数计算公式:

\(j^2 = -1\) \(\frac{1}{j} = -j\) \(j = 1 \angle \frac{\pi}{2}\) 以及 \(-j = 1 \angle - \frac{\pi}{2}\)

阻抗

阻抗的引入

求解一个电路,既需要列写 KCLKVL 方程,也需要求解每一个电路元件(电阻电感电容)的电压与电流关系。由于正弦稳态电路在相量域仍然满足基尔霍夫定律,所以为了在相量域分析电路,还需要了解元件在相量域当中的电压与电流关系。下面的表格总结了正弦稳态电路时域相量域的对应关系:

时域 相量域
\(\color{blue}{kf(t)}\) \({\color{Magenta}{k \dot{F}}}\)
\(\color{blue}{\frac{d[f(t)]}{dt}}\) \({\color{Magenta}{j \omega \dot{F}}}\)

根据上面的表格,可以得出正弦稳态电路当中的电阻电感电容,在时域相量域电压电流关系对照:

元件 时域 相量域
电阻 \({\color{blue}{u_R(t) = R i_R(t)}}\) \({\color{Magenta}{\dot{U_R} = R \dot{I_R}}}\)
电感 \({\color{blue}{u_L(t) = L \frac{d[i_L(t)]}{dt}}}\) \({\color{Magenta}{\dot{U_L} = j \omega L \dot{I_L}}}\)
电容 \({\color{blue}{i_C(t) = C \frac{d[u_C(t)]}{dt}}}\) \({\color{Magenta}{\dot{I_C} = j \omega C \dot{U_C}}}\)

根据上述相量域当中电阻电感电容电压电流关系,就可以得到下面这个方程组:

\[ \begin{cases} \frac{\dot{U_R}}{\dot{I_R}} = R \\ \frac{\dot{U_L}}{\dot{I_L}} = j \omega L \\ \frac{\dot{U_C}}{\dot{I_C}} = \frac{1}{j \omega C} \end{cases} \]

观察上面的方程组可以发现,在相量域当中,电阻仍然满足欧姆定律(电压电流之比为正实数),电感电容满足广义的欧姆定律(电压电流之比为虚数)。为了与时域模型当中的电阻进行区别,这里将相量域当中的电压电流之比称为阻抗Impedance [ɪmˈpiːdns])。

阻抗的定义

在相量域当中,含有电阻电感电容支路上的电压电流之比称为阻抗,采用字母 Z 表示。根据前面相量域当中元件的电压电流关系可以知道:

\[ \begin{cases} 电阻的阻抗\ Z = \frac{\dot{U_R}}{\dot{I_R}} = R \\ 电感的阻抗\ Z = \frac{\dot{U_L}}{\dot{I_L}} = j \omega L \\ 电容的阻抗\ Z = \frac{\dot{U_C}}{\dot{I_C}} = \frac{1}{j \omega C} = - j \frac{1}{\omega C} \end{cases} \]

根据阻抗的定义,可以发现阻抗电阻类似,两者皆满足广义上的欧姆定理,因而阻抗的串并联公式电阻的串并联公式相同。

上面电路当中的电阻电感电容为串联关系,则其等效阻抗 \(Z_{eq}\) 等于:

\[ Z_{eq} = R + j \omega L + \frac{1}{j \omega C} = R + j \bigg( \omega L - \frac{1}{\omega C} \bigg) \]

任意一个阻抗都可以被写成下面的复数形式

\[ 阻抗 Z = 电阻 R + j \cdot 电抗 X \]

其中 \(R\) 称为电阻,而 \(X\) 称为电抗。对于纯电阻而言 \(X = 0\),而对于一个纯电感而言 \(R=0,\ X>0\),对于纯电容而言 \(R=0,\ X<0\)。对于阻抗而言,如果 \(X>0\) 就称为感性阻抗,如果 \(X<0\),则称为容性阻抗。上面的复数形式阻抗,还可以写做极坐标形式

\[ 阻抗 Z = |阻抗模值 Z|\ \angle 阻抗角 \theta_z \]

上面等式当中的 \(|Z|\) 称为阻抗模值,而 \(\theta_z\) 称为阻抗角。根据阻抗等于电压除以电流可以知道,阻抗角反映了阻抗的电压电流之间的相位差。阻抗的模值阻抗角既与电阻值电感值电容值相关,还与角频率相关。由此可见,角频率在正弦稳态电路当中起着比较重要的作用,这也是正弦稳态电路直流电路最大的区别所在。

下面的表格,给出了电容电感电容阻抗模值角频率之间的关系:

元件 阻抗模值 阻抗模值与角频率关系
电阻 \(R\) 无关
电感 \(\omega L\) 正比
电容 \(\frac{1}{\omega C}\) 反比

阻抗角与电阻的相同之处在于,电阻阻抗都满足欧姆定律,而且串并联的计算公式也完全相同,两者的不同之处则主要在于如下三点:

  1. 电阻时域当中电阻器的电阻值,而阻抗电阻器电感器电容器相量域当中的体现;
  2. 电阻的值是一个实数,其电压电流的相位相同,而阻抗可以是复数,它的阻抗角体现了电压电流之间的相位差
  3. 电阻角频率没有关系,但是阻抗角频率存在着关联;

正弦稳态电路的分析

正弦稳态电路的分析包括电压与电流的计算功率的计算两个方面,本节内容我们来探讨电压与电流的计算

通过前面的学习已经知道,正弦稳态电路的分析都是在相量域当中进行的,由于在相量域当中,电流满足 KCL 基尔霍夫电流定律电压满足 KVL 基尔霍夫电压定律,而阻抗满足欧姆定律,所以正弦稳态电路分析就是基于基尔霍夫定律欧姆定律展开的。虽然这类似于直流电路的分析,但是不同之处在于正弦稳态电路的分析是基于复数,而直流电路分析是基于实数。接下来,通过一个例子展示正弦稳态电路的分析过程。

▶【例题 1】已知下图所示电路当中,电压源的电压相量角频率电阻值电感值,求解该电路当中的电流相量电阻电感电容电压相量

◉【解】根据阻抗的串并联关系与欧姆定律,上面电路当中的电流相量 \(\dot{I}\) 等于:

\[ \dot{I} = \frac{\dot{U_S}}{R + j \omega L + \frac{1}{j \omega C}} = \frac{\dot{U_S}}{R + j \big(\omega L - \frac{1}{\omega C} \big)} \]

◉【解】再根据串联阻抗的分压特性,就可以分别求解得到电阻电压 \(\dot{U_R}\)电感电压 \(\dot{U_L}\)电容电压 \(\dot{U_C}\)

\[ \begin{cases} \dot{U_R} = \frac{R}{R + j \big( \omega L - \frac{1}{\omega C} \big)} \times \dot{U_S} \\ \dot{U_L} = \frac{j \omega L}{R + j \big( \omega L - \frac{1}{\omega C} \big)} \times \dot{U_S} \\ \dot{U_C} = \frac{- j \frac{1}{\omega C}}{R + j \big( \omega L - \frac{1}{\omega C} \big)} \times \dot{U_S} \end{cases} \]

▶【例题 2】已知下图所示电路当中电压源的电压相量角频率电阻值电感值,求解该电路里电感的电压相量

◉【解】观察上图当中的电路,可以发现电感的电压就是结点电压,因而可以使用结点电压法进行求解,根据基尔霍夫电流定律列写如下方程:

\[ \frac{\dot{U_S} - \dot{U_L}}{R} = \frac{\dot{U_L}}{\frac{1}{j \omega C}} + \frac{\dot{U_L}}{j \omega L} \]

◉【解】根据上面的方程,就可以得到电感的电压相量 \(\dot{U_L}\)

\[ \dot{U_L} = \frac{\frac{1}{R}}{\frac{1}{R} + j \omega C + \frac{1}{j \omega L}} \dot{U_S} \]

注意:从上面这个例子可以看出,正弦稳态电路可以使用结点电压法分析,类似的也可以采用回路电流法等效变换等直流电路分析方法。

  • 相量的另外一个要素是初相位,如果将信号视为一段长跑,那么初相位就类似于起跑点;
  • 相量图也是一种非常重要的正弦稳态电路分析方法,后续内容中将会再进行介绍;

正弦稳态电路的功率

本节内容主要讨论正弦稳态电路当中,不同类型功率定义分析。正弦稳态电路当中之所以要定义多种功率,是由于正弦信号本身的复杂性,需要通过定义多种不同功率来体现相应的特点。

瞬时功率

正弦稳态电路当中的瞬时功率等于时域里的电压乘以电流

\[ p(t) = u(t) \times i(t) \]

电阻的瞬时功率

对于电阻器而言 \(\dot{U} = R \times \dot{I}\),其电压电流相位相同,这里假定时域条件下电阻的电压 \(u(t)\)电流 \(i(t)\) 分别等于:

\[ \begin{cases} u(t) = \sqrt{2} \times U \cdot \cos \omega t \\ i(t) = \sqrt{2} \times I \cdot \cos \omega t \end{cases} \]

将上面这个方程组代入至瞬时功率的表达式 \(p(t) = u(t) \times i(t)\),就可以得到电阻瞬时功率 \(p(t)\)

\[ p(t) = UI(1 + \cos 2 \omega t) \]

由此可见,电阻的瞬时功率 \(p(t)\) 伴随着时间 \(t\) 进行周期性变化,并且始终大于等于,这意味着电阻始终在吸收功率,其波形如下图所示:

电感的瞬时功率

而对于电感器而言 \(\dot{U} = j \omega L \dot{I}\),其电压的相位超前电流的相位有 90° 度,同样假定时域条件下电感的电压 \(u(t)\)电流 \(i(t)\) 分别等于:

\[ \begin{cases} u(t) = \sqrt{2} \times U \cdot \cos \omega t \\ i(t) = \sqrt{2} \times I \cdot \cos (\omega t - 90°) \end{cases} \]

把上面这个方程组代入至瞬时功率的表达式 \(p(t) = u(t) \times i(t)\),同样可以得到电感瞬时功率 \(p(t)\)

\[ p(t) = UI \cdot \sin 2 \omega t \]

由此可见,电感的瞬时功率 \(p(t)\) 伴随着时间 \(t\) 进行周期性(正弦函数)变化,即在正/负半个周期之内交替的吸收发出功率,其波形如下图所示:

电容的瞬时功率

而对于电容器而言 \(\dot{U} = \frac{1}{j \omega C} \dot{I}\),其电压的相位滞后电流的相位有 90° 度,同样假定时域条件下电容的电压 \(u(t)\)电流 \(i(t)\) 分别等于:

\[ \begin{cases} u(t) = \sqrt{2} \times U \cdot \cos \omega t \\ i(t) = \sqrt{2} \times I \cdot \cos (\omega t + 90°) \end{cases} \]

这里依然把上面的方程组代入到瞬时功率的表达式 \(p(t) = u(t) \times i(t)\),从而得到电容瞬时功率 \(p(t)\)

\[ p(t) = - UI \cdot \sin 2 \omega t \]

由此可见,电容的瞬时功率 \(p(t)\) 与电感相类似,也是在伴随着时间 \(t\) 进行周期性(正弦函数)变化,并同样在正/负半个周期之内交替的吸收发出功率,其波形如下图所示:

通过以上的分析可以发现,正弦稳态电路当中的瞬时功率随着时间进行周期性变化,并不利于定量的体现正弦稳态电路的功率,因而接下来将会引入平均功率(有功功率)、无功功率视在功率复功率的概念。

平均功率

正弦稳态电路的平均功率是指其瞬时功率在一个周期当中的平均值

\[ 平均功率 P = \int^{T}_0 p(t) dt \]

从上面的等式可以看到,平均功率主要用于做功,因而也称为有功功率,其单位为 W。将电阻的瞬时功率 \(p(t) = UI(1 + \cos 2 \omega t)\)电感的瞬时功率 \(p(t) = UI \cdot \sin 2 \omega t\)电容的瞬时功率 \(p(t) = - UI \cdot \sin 2 \omega t\) 代入至上面的等式,就可以分别得到电阻的平均功率 \(P_R\)电感的平均功率\(P_L\)电容的平均功率\(P_C\)

\[ \begin{cases} p(t) = UI(1 + \cos 2 \omega t) \\ p(t) = UI \cdot \sin 2 \omega t \\ p(t) = - UI \cdot \sin 2 \omega t \end{cases} \implies P = \int^{T}_0 p(t) dt \implies \begin{cases} P_R = UI \\ P_L = 0 \\ P_C = 0 \end{cases} \]

观察上述结果就可以发现,电阻的平均功率大于零,说明电阻在做功,并且在吸收功率;而电感电容的平均功率都等于零,说明两者都不做功。对于正弦稳态电路当中的任意一条支路,假设其时域上的电压 \(u(t)\)电流 \(i(t)\) 分别等于:

\[ \begin{cases} u(t) = \sqrt{2} U \cos(\omega t + \varphi_u) \\ i(t) = \sqrt{2} I \cos(\omega t + \varphi_i) \end{cases} \]

这里把 \(u(t)\)\(i(t)\) 分别代入至 \(p(t) = u(t) \times i(t)\) 以及 \(P = \int^{T}_0 p(t) dt\),就可以得到平均功率 \(P\) 等于:

\[ 有功功率 P = UI \cos (\varphi_u - \varphi_i) = UI \cos \varphi \]

上面等式当中的 \(\varphi = \varphi_u - \varphi_i\),就是支路电压 \(u\)支路电流 \(i\)相位差。对于电阻而言 \(\varphi = 0°\),对于电感而言 \(\varphi = 90°\),而对于电容而言 \(\varphi = -90°\)

无功功率

观察之前电感电容的瞬时功率波形可以发现,两者都是在正半周期吸收功率,而在负半周期发出功率,并且发出的功率等于吸收的功率,相当于功率在不停的进行循环吞吐。为了衡量这种功率的吞吐能力,可以将前面 \(p(t) = UI \cdot \sin 2 \omega t\) 以及 \(p(t) = -UI \cdot \sin 2 \omega t\) 当中正弦函数之前的系数称为无功功率 Q,则电感的无功功率 \(Q_L\)电容的无功功率 \(Q_C\) 分别如下所示:

\[ \begin{cases} Q_L = UI \\ Q_C = -UI \end{cases} \]

无功功率用于表征功率的吞吐能力,单位为 var。观察上面的方程组可以发现,电感的无功功率为电容的无功功率为,为了区分两者的不同,一般称电感吸收无功功率,而电容发出无功功率(由于无功功率并不做功,所以发出与吸收无功功率只是约定俗成的说法)。而电阻由于瞬时功率始终大于或者等于,并不具备吞吐功率的能力,所以电阻的无功功率为零。

任意一条支路上的无功功率 \(Q\),都可以采用下面的公式进行计算,这个公式当中的 \(\varphi = \varphi_u - \varphi_i\),即支路电压 \(u\) 与支路电流 \(i\)相位差

\[ 无功功率 Q = UI \sin \varphi \]

复功率

复功率是正弦稳态电路当中,实部有功功率 \(P\)虚部无功功率 \(Q\) 的一种复数量,经常用于通过相量法对正弦电路进行分析的场景:

\[ 复功率 \bar{S} = 有功功率 P + j \times 无功功率 Q \]

有功功率 \(P = UI \cos (\varphi_u - \varphi_i) = UI \cos \varphi\)无功功率 \(Q = UI \sin \varphi\) 代入上面复功率 \(\bar{S}\) 的表达式,就可以得到如下的推导步骤:

\[ \begin{aligned} \bar{S} &= UI \cos(\varphi_u - \varphi_i) + j UI \sin(\varphi_u - \varphi_i) \\ &= UI [\cos(\varphi_u - \varphi_i) + j \sin(\varphi_u - \varphi_i)] \\ &= UI e^{j(\varphi_u - \varphi_i)} \\ &= U e^{j \varphi_u} I e^{j (-\varphi_i)} \\ &= \dot{U} \dot{I}^* \\ \end{aligned} \]

上述推导过程最终得到的结果,其实就是复功率 \(\bar{S}\) 的计算公式。可以看到,只要求解出正弦稳态电路的电压电流,就能够计算得到复功率 \(\bar{S}\)

\[ 复功率 \bar{S} = \dot{U} \dot{I}^* \]

上面公式当中的星号 \(*\) 表示共轭,即复功率 \(\bar{S}\) 等于电压向量 \(\dot{U}\) 乘以电流向量 \(\dot{I}\)共轭

视在功率

视在功率 \(S\) 等于复功率 \(\bar{S}\)模值 \(S = |\bar{S}| = |\dot{U} \dot{I}^*| = UI\),表示的是交流用电设备的功率容量(设备做功的潜力),单位为伏安 VA,其值等于电压有效值 \(U\)电流有效值 \(I\) 的乘积:

\[ 视在功率 S = 电压有效值 U \times 电流有效值 I \]

视在功率并不表示交流电路当中实际消耗的功率,只表示电路可能提供的最大功率,或者电路可能消耗的最大有功功率。

注意视在功率乘以功率因数之后的结果就等于有功功率

功率因数

前面提到的视在功率表示交流用电设备做功的潜力,而有功功率表示其实际做功的能力,即将介绍的功率因数 \(\lambda\),则可以体现这种潜力实际发挥的程度,其值等于有功功率 \(P\) 除以视在功率 \(S\)

\[ 功率因数 \lambda = \frac{有功功率 P}{视在功率S} \]

有功功率 \(P\)视在功率 \(S\) 的表达式分别代入到上面的公式,就可以得到如下方程:

\[ \lambda = \frac{P}{S} = \frac{UI \cos \varphi}{UI} = \cos \varphi \]

该方程当中的 \(\varphi\) 称为功率因数角,其值为电压电流的相位差,由此可见功率因数最大只能等于 1

注意功率因数 \(\lambda\) 的值越大,就意味着交流用电设备的做功潜力得到了很好发挥。

下面列出正弦稳态电路当中,各种功率之间的一些常用换算关系:

\[ \begin{aligned} S &= |\bar{S}| \\ P &= S \cos \varphi \\ Q &= S \sin \varphi \\ S^2 &= P^2 + Q^2 \end{aligned} \]

功率守恒

正弦稳态电路当中的瞬时功率 \(p\)有功功率 \(P\)无功功率 \(Q\)复功率 \(\bar{S}\) 都属于守恒功率,而视在功率 \(S\) 属于不守恒功率。根据前面讨论的内容,如果满足基尔霍夫定律,那么特勒根定理 1 就能够成立。因而特勒根定理 1 不仅适用于直流电路,也同样适用于正弦稳态电路分析。

由于正弦稳态电路在时域当中满足基尔霍夫定律,根据特勒根定理 1,正弦稳态电路在时域的瞬时功率一定守恒。又由于正弦稳态电路在相量域当中也满足基尔霍夫定律复功率等于电压相量乘以电流相量共轭,表明复功率同样守恒(复功率之和为零),其证明过程与特勒根定理 1 的证明过程相同。

由于复功率实部有功功率,而虚部无功功率,既然复功率守恒(复功率之和为零),那么有功功率无功功率也就一定守恒,即有功功率之和为零,无功功率之和也为零

视在功率不守恒的原因在于无法进行证明,这是由于视在功率当中的电压 \(U\)电流 \(I\) 都属于有效值,有效值并不能够满足基尔霍夫定律,因而也就无法证明其守恒。

相量图

相量属于一种矢量,相量图同样就属于一种矢量图。例如电压相量 \(\dot{U} = 100 \angle 30°V\) 是一个复数,在这里可以将其表现为复平面当中的一个矢量

可以看到,相量图更加直观形象,在绘制时主要遵循下面的基本步骤:

  1. 选定参考相量
  2. 根据电压电流关系绘制电压、电流的矢量图;
  3. 根据基尔霍夫定律,使这些矢量图构成封闭的图形;

提高功率因数

功率因数 \(\lambda\) 等于有功功率 \(P\) 除以视在功率 \(S\),从而可以得到如下的推导过程:

\[ \begin{cases} 有功功率 P = UI \cos \varphi \\ 视在功率 S = UI \end{cases} \implies 功率因数 \lambda = \frac{UI \cos \varphi}{UI} = \cos \varphi \]

其中电压与电流的相位差 \(\varphi = \varphi_u - \varphi_i\),假如阻抗 \(\dot{Z} = \frac{\dot{U}}{\dot{I}}\),此时 \(\varphi_z = \varphi_u - \varphi_i\),由此可知 \(\varphi = \varphi_z\),从而可以得到:

\[ 功率因数 \lambda = \cos 功率因数角 \varphi = \cos 阻抗角 \varphi_z \]

提高功率因数的原因:主要是由于视在功率 \(S\) 的取值通常比较固定,根据 \(P = \lambda \times S\) 可以知道,如果功率因数 \(\lambda\) 可以增大,那么有功功率 \(P\) 就会增大,从而更加有效的提升做功效率。

提高功率因数的方法:由于 \(\lambda = \cos \varphi = \cos \varphi_z\),要提高 \(\lambda\) 的值,就必须降低阻抗角的模值 \(|\varphi_z|\)。即当 \(\varphi_z = 0\) 的时候,功率因数 \(\lambda = 1\) 达到最大值。简而言之,通过减小 \(\varphi_z\) 的绝对值,就可以有效的提高功率因数 \(\lambda\) 的大小。

除此之外,还有另外一种提高功率因数的思路,如果降低阻抗角的模值 \(|\varphi_z|\) 就可以提高功率因数,那么由于无功功率 \(Q = UI \sin \varphi\),所以通过降低无功功率 \(Q\),同样也可以达到提高功率因数 \(\lambda\) 的目的。

总结

  • 正弦稳态电路是一种激励为正弦量,并且已经达到了稳态的线性电路;
  • 分析正弦稳态电路的方法是相量法,这里的相量是一个复数(是指有效值是指初相角);
  • 相量的优点在于与时间无关,其计算比正弦量更为简单;
  • 正弦稳态电路当中的时域相量域电压电流是一一对应关系,相互之间可以进行转换;
  • 相量域同样满足基尔霍夫定律,因而直流电路的分析方法仍然适用于交流电路;
  • 交流电路当中的电阻电容电感同样满足欧姆定律,此时电压相量与电流相量之比称为阻抗
  • 交流电路的分析基于复数,而直流电路的分析基于实数
  • 有功功率也称为平均功率,用于反映功率的消耗情况;
  • 无功功率用于反映功率的搬运吞吐能力;
  • 电阻只存在有功功率,不具有无功功率;而电感电容只有无功功率,没有有功功率
  • 视在功率用于反映电路的功率容量(提供功率的潜力);
  • 复功率的定义主要是为了计算上的方便;
  • 功率因数有功功率视在功率的比值,功率因数大越大越好

正弦稳态电路的频域特性

本节主要讨论交流电路的频域特性,以及滤波器谐振两种典型的电路应用。

网络函数

频率 \(f\)角频率 \(\omega = 2 \pi f\) 的区别仅在于比例系数 \(2 \pi\),所以分析角频率 \(\omega\) 的影响,就相当于分析频率 \(f\) 的影响。本文后续如果不特别加以说明,频率都默认指代的是角频率。接下来,列出电阻电感电容阻抗模值角频率之间的关系:

  • 电阻阻抗模值 \(R\)角频率 \(\omega\) 没有任何关系;
  • 电感阻抗模值 \(\omega L\)角频率 \(\omega\) 成正比;
  • 电阻阻抗模值 \(\frac{1}{\omega C}\)角频率 \(\omega\) 成反比;

为了进一步分析正弦稳态电路的频率特性,需要引入网络函数的概念。正弦稳态电路的网络函数也称为传递函数,指的是相量域当中的任意两个量(电压或者电流)之间的比值,记为 \(H(j \omega)\)

对于上图所示的电路,其电流 \(\dot{I}\)电压源电压 \(\dot{U_S}\) 的比值,以及电容电压 \(\dot{U_C}\)电源电压 \(\dot{U_S}\) 的比值都属于网络函数,其中后者的网络函数如下所示:

\[ H(j \omega) = \frac{\dot{U_C}}{\dot{U_S}} = \frac{\frac{1}{j \omega C}}{R + \frac{1}{j \omega C}} = \frac{1}{j R \omega C + 1} \]

观察上面的方程可以发现,网络函数 \(H(j \omega)\) 是一个与角频率 \(\omega\) 相关的复数,定义网络函数的目的是为了分析相量域当中任意两个量(电压或者电流)之间的关系,分析网络函数的频率特性,就相当于分析正弦稳态电路的频率特性。

频率特性

正弦稳态电路的频率特性,主要包含有幅频特性相频特性两个方面:

  • 幅频特性:指网络函数幅值伴随角频率进行变化的规律;
  • 相频特性:指网络函数相位伴随角频率进行变化的规律;

这里只对幅频特性进行讨论,以前面所述的电容电压 \(\dot{U_C}\)电源电压 \(\dot{U_S}\) 比值的网络函数 \(H(j \omega)\) 为例,其幅值等于:

\[ |H(j \omega)| = \frac{U_C}{U_S} = \frac{1}{\sqrt{(R \omega C)^2 + 1}} \]

由此可见,网络函数幅值伴随着角频率的增大而减小,这意味着电容电压在高频时的有效值较小。下图展示了这个网络函数所对应的幅频特性曲线,可以看到当角频率 \(\omega\) 为零的时候(即直流),该网络函数幅值1,此时电容电压 \(U_C\) 等于电源电压 \(U_S\)。伴随着角频率 \(\omega\) 的不断增大,网络函数的幅值 \(|H(j \omega)|\) 也将会不断的单调减小:

注意:从时域角度观察正弦稳态电路,很多特征分析起来较为复杂。如果将时域转换到相量域,那么通过在相量域当中进行频率特性分析,就可以对正弦稳态电路有着更为清晰的认识。

滤波器

滤波器根据其频率特性主要分为低通滤波器高通滤波器带通滤波器带阻滤波器一共四类,下图分别展示了这四种理想滤波器的幅频特性曲线:

低通滤波器

下图所示的是一个低通滤波器电路,其中电压源电压 \(\dot{U_S}\) 为输入,而电阻电压 \(\dot{U_R}\) 为输出:

我们将电阻电压 \(\dot{U_R}\)电压源电压 \(\dot{U_S}\) 的比值定义为网络函数 \(H(j \omega)\),该网络函数及其对应的幅值 \(|H(j \omega)|\) 分别为:

\[ \begin{cases} 网络函数 H(j \omega) = \frac{\dot{U_R}}{\dot{U_S}} = \frac{R}{R + j \omega L} \\ 幅值 |H(j \omega)| = \frac{U_R}{U_S} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (\omega L)^2}} \end{cases} \]

根据上面的等式,就可以绘制出低通滤波器电路的幅频特性曲线

观察上图可以发现,在实际低通滤波器电路的幅频特性曲线当中,很难严格区分出哪一段频率通过,哪一段频率被阻止,因而规定以网络函数幅值 \(|H(j \omega)|\)\(\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707\) 倍作为通过或阻止频率的分界点

高通滤波器

下图所示的是一个高通滤波器电路,其中电压源电压 \(\dot{U_S}\) 为输入,电阻电压 \(\dot{U_R}\) 为输出:

同样把电阻电压 \(\dot{U_R}\)电压源电压 \(\dot{U_S}\) 的比值定义为网络函数 \(H(j \omega)\),该网络函数及其对应的幅值 \(|H(j \omega)|\) 分别等于:

\[ \begin{cases} 网络函数 H(j \omega) = \frac{\dot{U_R}}{\dot{U_S}} = \frac{R}{R - j \frac{1}{\omega C}} \\ 幅值 |H(j \omega)| = \frac{U_R}{U_S} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (\frac{1}{\omega C})^2}} \end{cases} \]

根据上面的等式,也可以绘制出高通滤波器电路的幅频特性曲线

带通滤波器

下图所示的是一个带通滤波器电路,其中电压源电压 \(\dot{U_S}\) 为输入,电阻电压 \(\dot{U_R}\) 为输出:

依然将电阻电压 \(\dot{U_R}\)电压源电压 \(\dot{U_S}\) 的比值定义为网络函数 \(H(j \omega)\),该网络函数及其对应的幅值 \(|H(j \omega)|\) 分别为:

\[ \begin{cases} 网络函数 H(j \omega) = \frac{\dot{U_R}}{\dot{U_S}} = \frac{R}{R + j \omega L - j \frac{1}{\omega C}} \\ 幅值 |H(j \omega)| = \frac{U_R}{U_S} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}} \end{cases} \]

根据上述的等式,就可以绘制出带通滤波器电路的幅频特性曲线

带阻滤波器

下图所示的是一个带阻滤波器电路,其中电压源电压 \(\dot{U_S}\) 为输入,电感 \(L\)电容 \(C\) 所构成串联支路两端的电压 \(\dot{U}\) 为输出:

这里将串联支路两端的电压 \(\dot{U}\)电压源电压 \(\dot{U_S}\) 的比值定义为网络函数 \(H(j \omega)\),这个网络函数及其对应的幅值 \(|H(j \omega)|\) 分别等于:

\[ \begin{cases} 网络函数 H(j \omega) = \frac{\dot{U}}{\dot{U_S}} = \frac{j \omega L - j \frac{1}{\omega C}}{R + j \omega L - j \frac{1}{\omega C}} \\ 幅值 |H(j \omega)| = \frac{U}{U_S} = \frac{|\omega L - \frac{1}{\omega C}|}{\sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}} \end{cases} \]

根据上面的表达式,同样可以绘制出带阻滤波器电路的幅频特性曲线

0.707 半功率点

之所以将 0.707 倍设置为区分通过阻止频率的分界点,是由于网络函数幅值反映了输出电压有效值的大小。把分界点设置为 \(\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707\) 意味着在该频率之下,输出电压的有效值最大有效值\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) 倍。此时的输出功率最大功率\(\frac{1}{2}\) 倍,因而该分界点也被称作半功率点

由于信号的功率代表着其强度,当功率降低至最大功率一半的时候,就可以认为信号发生了显著的衰减,因而通常将半功率点作为信号通过与阻止的分界点,也被称作 -3dB 点。

谐振

之前讨论的带通滤波器电路及其幅频特性曲线如下图所示:

观察上图可以发现,网络函数幅值 \(|H(j \omega)|\) 具有一个最大值 1,其对应的角频率\(\omega_r\),该频率点在整个频率范围内比较特别,其所处位置的网络函数幅值为最大值,即电阻电压 \(\dot{U_R}\) 为最大值,这意味着电阻获得了最大功率,这正是我们所期待的结果,因而把角频率 \(\omega_R\) 位于最大幅值 \(|H(j \omega)|\) 时候的工作状态称为谐振

谐振的严格定义是在正弦稳态电路当中,如果一个端口可以等效为一个阻抗,并且其等效阻抗为实数,那么就可以认为该端口发生了谐振。根据这个谐振的定义可以发现,产生谐振的条件是正弦稳态电路的端口等效阻抗实数,接下来以最为常见的 RLC 串联谐振电路RLC 并联谐振电路为例,探讨等效阻抗为实数的意义。

注意:许多电路理论教材里定义端口电压端口电流处于相同相位就会发生谐振,事实上这个定义并不严谨。以串联谐振电路为例,如果端口当中只包含有电感电容,那么发生谐振的时候,其等效阻抗为。等效阻抗为零则其电压也必须为零,而零电压的相位是不确定的,因而就无法判断出电压电流是否处于相同相位,进而就无法确定是否发生了谐振。当然,这种情况较为特殊,多数情况下电压与电流处于相同相位仍然可以作为谐振产生的条件。

RLC 串联谐振

上面的带通滤波器电路,同时也属于 RLC 串联谐振电路,其电阻 \(R\)电感 \(C\)电容 \(L\) 串联之后的等效阻抗 \(Z_{eq}\) 等于:

\[ Z_{eq} = R + j \omega L - j \frac{1}{\omega C} = R + j \bigg(\omega L - \frac{1}{\omega C} \bigg) \]

根据谐振的定义,如果需要该 RLC 串联电路发生谐振,那么 \(Z_{eq}\)虚部必须等于,即 \(Im(Z_{eq}) = 0\)

\[ \omega L - \frac{1}{\omega C} = 0 \]

根据上面的等式就可以得到发生谐振时的角频率 \(\omega_R\) 等于:

\[ \omega_R = \frac{1}{\sqrt{LC}} \]

这里的 \(\omega_R\) 被称为谐振角频率,根据前面的 RLC 串联电路电阻的电压有效值 \(U_R\)电压源的电压有效值 \(U_S\) 之比称为网络函数 \(H(j\omega)\),其对应的幅值 \(|H(j\omega)|\) 等于:

\[ |H(j\omega)| = \frac{U_R}{U_S} = \bigg| \frac{R}{R + j \omega L - j \frac{1}{\omega C}} \bigg| = \frac{R}{\sqrt{R^2 + \big(\omega L - \frac{1}{\omega C} \big)^2}} \]

由此可见,当 \(\omega L - \frac{1}{\omega C} = 0\) 的时候,幅值 \(|H(j\omega)|\) 为最大,也就意味着电阻的电压有效值 \(U_R\) 为最大。根据之前得到的 \(Z_{eq} = R + j \bigg(\omega L - \frac{1}{\omega C} \bigg)\)\(\omega L - \frac{1}{\omega C} = 0\) 两个等式,可以知道 \(\omega L - \frac{1}{\omega C} = 0\) 正好就是电路产生谐振的条件。换而言之,谐振角频率 \(\omega_R\) 就是在幅值最大时候所对应的角频率

上面这种发生了谐振的 RLC 串联电路就被称为 RLC 串联谐振电路,其通常具备如下特点:

  1. 电阻的电压有效值为最大;
  2. 串联谐振电路的等效阻抗是一个纯电阻(实数),这个特点是谐振定义的要求;
  3. 串联谐振当中电容电感的串联等效阻抗为,相当于短路,这个特点也是谐振定义的要求,并且由此可知电感电容的电压互为相反数,这样两者之和才能为

RLC 并联谐振

下图所示的是一个 RLC 并联谐振电路

这个 RLC 并联谐振电路对应的等效阻抗 \(Z_{eq}\) 等于:

\[ Z_{eq} = \frac{1}{\frac{1}{R} + \frac{1}{j \omega L} + \frac{1}{1/{j \omega C}}} = \frac{1}{\frac{1}{R} + j \big(\omega C - \frac{1}{\omega L} \big)} \]

根据上面的等式和谐振的定义,可以知道要想发生谐振必须满足等效阻抗 \(Z_{eq}\)为一个实数

\[ \omega C - \frac{1}{\omega L} = 0 \]

根据上面的等式就可以得到,这个 RLC 并联电路发生谐振时的角频率 \(\omega_R\) 等于:

\[ \omega_R = \frac{1}{\sqrt{LC}} \]

由此可见,RLC 并联电路谐振角频率RLC 串联电路谐振角频率相同,即都是 \(\omega_R = \frac{1}{\sqrt{LC}}\)。接下来,讨论 RLC 并联谐振电路的相关特点:

  1. 电阻电流的有效值 \(I_R\) 为最大,这是由于上面电路当中电阻的电流有效值 \(I_R\)

    \[ I_R = \big| \frac{\dot{I_S} Z_{eq}}{R} \big| = \frac{1}{R} \cdot I_S \cdot \big| \frac{1}{\frac{1}{R} + j \omega C + \frac{1}{j \omega L}} \big| = \frac{1}{\sqrt{(\frac{1}{R})^2 + (\omega C - \frac{1}{\omega L})^2}} \cdot \frac{1}{R} \cdot I_S \]

    据此就可以知道当 \(\omega C - \frac{1}{\omega L} = 0\) 的时候,电阻的电流有效值 \(I_R\) 就为最大;

  2. 并联谐振的等效阻抗为纯电阻(实数),该特点属于谐振定义的要求;

  3. 并联电容电感的等效阻抗为无穷大,相当于开路;这是因为电感 \(L\)电容 \(C\) 并联之后的等效阻抗 \(Z_{LC_{eq}} = \frac{1}{j \omega C + \frac{1}{j \omega L}} = \frac{1}{j\big( \omega C - \frac{1}{\omega L} \big)}\),将发生并联谐振的条件 \(\omega C - \frac{1}{\omega L} = 0\) 代入,就可以得到 LC 并联等效阻抗 \(Z_{LC_{eq}} = \infty\),即近似于开路状态;

注意:手机、收音机、无线充电器等设备都应用到了谐振原理,但是由于谐振会导致电压电流达到最大值,可能会超出电路的承受能力,进而导致发生事故或者设备损毁。

品质因数

品质因数通常用于衡量实际的电感器或者电容器的品质,两者的实际模型都包含有串联电阻 \(R\),显然当 \(R = 0\) 的时候品质因数为最佳,不过这在实际生活当中是不可能的。

品质因数用于衡量实际的电感器电容器的品质,其值等于无功功率有功功率的比值:

\[ 功率因数 Q = \bigg | \frac{有功功率}{无功功率} \bigg | \]

注意:品质因数越,实际的电感器与电容器的品质就会越

根据上图所示的电路,就可以得到实际电感器品质因数 \(Q_L\)

\[ 电感器品质因数 Q_L = \bigg | \frac{有功功率}{无功功率} \bigg | = \frac{U_L I}{U_R I} = \frac{U_L}{U_R} = \frac{\omega L I}{RI} = \frac{\omega L}{R} \]

观察可以发现,实际电感器的品质因数,不但与电感值 \(L\)电阻值 \(R\) 有关,而且还与角频率 \(\omega\) 有关。说明品质因数并非一个固定值,在不同的工作频率下面,品质因数也会有所不同。

接下来,同样根据上面的电路,推导实际电容器品质因数 \(Q_C\)

\[ 电容器品质因数 Q_C = \bigg | \frac{有功功率}{无功功率} \bigg | = \frac{U_C I}{U_R I} = \frac{U_C}{U_R} = \frac{I \frac{1}{\omega C}}{RI} = \frac{1}{R \omega C} \]

品质因数与谐振的关系在于,当电感器电容器的品质因数相同时 \(\omega L - \frac{1}{\omega C} = 0\),此时电路正好产生谐振。品质因数对于谐振主要存在着如下两个方面的影响:

  1. 影响电路的输出带宽
  2. 影响谐振时电感器电容器上面电压的有效值

下面分析品质因数对于电感器电压有效值的影响,根据串联谐振的条件,可以得到电感器的电压有效值 \(U_L\) 等于:

\[ U_L = |\dot{U_L}| = \omega L I = \omega L \bigg| \frac{\dot{U_S}}{Z_{eq}} \bigg| = \frac{\omega L}{R} U_S \]

把前面得到的电感器品质因数公式 \(Q_L = \frac{\omega L}{R}\) 代入到上面的等式当中,就可以得到:

\[ 电感电压有效值 U_L = 品质因数 Q \times 电源电压有效值 U_S \]

由此可见,品质因数的大小决定着电感器电压有效值大小:当品质因数 \(Q < 1\) 的时候,电感器的电压有效值小于电压源的电压有效值 \(U_L < U_S\);而当品质因数 \(Q > 1\) 的时候,电感器的电压有效值大于电压源的电压有效值 \(U_L > U_S\),这种情况被称为过电压。因此设计电路的时候,需要特别注意过高的品质因数,有可能会导致电感器出现过电压损坏。

带宽

对于下图当中的带通滤波器电路的幅频特性曲线,幅值0.707 倍对应到曲线上的 \(\omega_1\)\(\omega_2\) 两个交点之差,即 \(\omega_2 - \omega_1\) 的值就称作带宽

注意品质因数对于带宽所造成影响的数学推导过程较为复杂,这里直接给出结论 —— 品质因数越大带宽越窄,品质因数越小带宽越大

总结

  • 高阶滤波器相比于低阶滤波器,所经过的滤波工序更多,因而滤波效果也会更好;
  • 频率 \(f\) 或者角频率 \(\omega = 2 \pi f\) 对于正弦稳态电路而言极为重要;
  • 幅频特性曲线是关于幅值 \(|H(j \omega)|\)角频率 \(\omega\) 的关系曲线,用于反映正弦稳态电路的频域特性;
  • 滤波器谐振是与正弦稳态电路频域特性相关的两种具体应用;
  • 滤波器的作用是滤除或者通过特定的频率分量,根据滤除频率的不同,可以划分为低通高通带通带阻四种类型;
  • 谐振是指在某一个频率下面,电路的等效阻抗表现为一个纯电阻(实数);
  • 串联谐振电阻电压有效值最大并联谐振电阻电流有效值最大
  • 如果电路上只拥有电感器电容器,则其发生串联谐振时相当于短路,而在发生并联谐振时相当于开路

互感

三相电路

非正弦周期电路

二端口网络