《电路分析导论》读书笔记

本文力求言简意赅的讨论电路分析过程当中涉及到的一些基本理论知识,全文第 1 部分围绕电路分析展开,涵盖了电路当中的 电阻电容 等基本元件,相关的定律(欧姆定律焦耳定律基尔霍夫定律)定理(叠加定理戴维南定理诺顿定理)和等效变换(电源等效串并联等效星形三角形等效),以及基本的分析方法(支路电流法结点电压法非线性电阻分析);第 2 部分则以电磁感应现象作为核心,同时引入 安培力洛仑兹力磁通量 等电磁学基本概念。

第 3 部分围绕交流信号展开,包含了动态元件 电阻电容电感 相关的交流电路,并且介绍了 功率因数 的提高,RCLC 电路,以及三相交流电路;第 4 部分介绍了互感变压器,主要讨论互感现象与变压器的原理;第 5 部分则主要讨论电路的过渡过程,比如 RCRL 电路的过渡过程,以及其中 电压电流 随着时间变化的规律和影响过渡过程快慢的时间常数,同时还引入了换路定则微分电路 以及 积分电路

电路基础

电荷与电场

元电荷

电子带有最小单位的负电荷质子则带有最小单位的正电荷,这些带电粒子所携带的电量 \(e = - 1.60 \times 10^{-19} C\) 就被称为元电荷

库仑定律

同种电荷之间相互排斥,异种电荷之间相互吸引。真空当中两个静止点电荷 \(Q_1\)\(Q_2\) 之间的相互作用力 \(F\)(库仑力),与它们的电荷量的乘积成正比,与它们的距离 \(r\) 的二次方成反比,作用力的方向在它们的连线上面,这就是库仑定律

\[ 库仑力 F = 静电力常量 k \frac{点电荷量 Q_1 \cdot 点电荷量 Q_2}{距离 r^2} \]

注意:上述公式当中的 \(k = 9.0 \times 10^9\ N \cdot m^2 / C^2\) 称为静电力常量

电荷守恒定律

电荷即不能创造,也不能被消灭,它只能从一个物体转移到另外一个物体,或者从物体的一部分转移至另外一个部分,这就是电荷守恒定律

静电感应

静电感应是指将电荷靠近近不带电的物体,从而使其带电的现象。这种利用静电感应使得物体带电的方式,称为感应起电。感应起电并没有创造电荷,只是暂时性分离了物体上的正负电荷。

电场

电场是一种带电物体周围存在的特殊物质,其基本性质是对放入其中的电荷存在的作用,这种力就称为电场力。放置在电场当中的电荷,所受到的电场力 \(F\) 与其电荷量 \(q\) 的比值,称为电场强度,简称为场强,通常用字母 E 表示,单位为牛/库 N/C

\[ 电场强度 E = \frac{电场力 F}{电荷量 q} \]

电场线用于表征电场当中各点的场强大小与方向,由一系列从正电荷出发,到负电荷截止的曲线所组成,曲线密度越大,表征的电场强度也就越大。

基本物理量

电路

电路就是电的流通路径,通常由电源负载导线开关组成。而电路图是为了便于对电路进行分析,采用电路符号来表示电路上的实际元件,也称为电路原理图。其中,串联电路(元件首尾依次相连)和并联电路(元件首尾并列连接)是最为基本的两种电路组成形式:

总体上看,电路一共拥有通路开路短路三种物理连接状态:

  1. 通路:电路开关闭合之后,所形成的电流回路;
  2. 开路:电路开关或者导线断开,此时没有电流通过;
  3. 短路:电路当中的两点被导线直接连通,此时会产生较大的电流;

电流

电荷有规则的运动形成电流,其大小等于导体横截面电荷量 \(q\)(库仑 C)与单位时间 \(t\)(秒 s)的比值,该比值就称为电流强度,简称为电流,用字母 \(I\) 进行表示:

\[ 电流 I = \frac{电荷量 q}{时间 t} \]

如果在 1 秒钟内通过导体横截面的电荷量为 1 库仑,那么导体当中的电流就是 \(1 安培 = \frac{1\ 库仑}{1\ 秒钟}\)。电流常用的单位除了安培(\(A\))之外,还有毫安\(mA\))和微安\(\mu A\))以及纳安\(nA\)),它们之间的换算关系如下所示:

\[ 1 A = 10^3 mA = 10^6 \mu A = 10^9 nA \]

  • 电流的约定方向正电荷运动的方向,从正极流向负极,由富兰克林提出并延用至今;
  • 电流的真实方向负电荷运动的方向,从负极流向正极,由汤姆逊提出,由于并不影响分析结果,所以电路分析时习惯上仍然采用富兰克林的约定方向;
  • 电流的参考方向:电路分析时任意指定的方向,指定电流的参考方向之后,计算结果为表示实际方向与参考方向相同,为则表示相反;

注意直流电流大小方向都不会随时间变化,采用大写字母 \(I\) 表示;而交流电流大小方向均会随着时间进行变化,采用小写字母 \(i\) 表示。

电压

电压是衡量电场力做功能力的物理量,电路当中 ab 两点之间的电压 \(U_{ab}\) 等于将单位正电荷从 a 点迁移至 b 点时,电场力所做的功,其值等于耗费的总功率 \(W\)(焦耳 J)与迁移的总电荷量 \(q\)(库仑 C)之比:

\[ 电压 U_{ab} = \frac{功率 W}{电荷量 q} \]

如果通过 1 库仑电荷量消耗的总功率为 1 焦耳,那么导体上的电压就为 \(1 伏特 = \frac{1\ 焦耳}{1\ 库仑}\)。电压的单位为伏特 V,除此之外,还有毫伏\(mV\))和微伏\(\mu V\))以及纳伏\(nV\)),它们之间的换算关系如下所示:

\[ 1 V = 10^3 mV = 10^6 \mu V = 10^9 nV \]

  • 电压的实际方向:由高电位指向低电位方向;
  • 电压的参考方向:电路分析时任意指定的方向,指定电压的参考方向之后,计算结果为表示实际方向与参考方向相同,为则表示相反;
    • 文字叙述时,电压的参考方向由 a 点到 b 点,此时可以选用双下标 \(U_{ab}\) 进行表示;
    • 电路图当中,通常使用 + 号表示参考方向的高电位- 号表示低电位,由高电位指向低电位的方向即是该电路的参考方向;

注意直流电压大小方向都不会随时间变化,采用大写字母 \(U\) 表示;而交流电压大小方向均会随着时间进行变化,采用小写字母 \(u\) 表示。

电位

在电路当中任意选择一个参考点(通常选择电路的接地点),电路上其它各点相对于参考点的电压降或者电压升,就是各个点的相对电位,其单位与电压一样为伏特 V。此时,电路上 ab 两点之间的电压 \(U_{ab}\) 等于 a 点电位 \(U_a\)b 点电位 \(U_b\) 之差:

\[ U_{ab} = U_a - U_b \]

当某点相对参考点的电位为正值时,表示该点的电位高于参考点;而当某点相对参考点的电位为负值时,则表示该点的电位低于参考点。

注意:实际工程当中,通常将大地作为零电位参考点。而在电路分析时,通常会将多个元件汇集的公共点视为参考点。

电动势

电动势用于表示电源将其它形式的能量(非静电力)转换为电能的能力,通常使用大写字母 \(E\) 表示,单位同样为伏特 V。其值等于电源能量将电荷从负极传送至正极所做的 W(焦耳 J)与被传送的电荷量 q(库伦 C)之比:

\[ 电动势 E = \frac{电源做功 W}{电荷量 q} \]

注意:电动势的方向被规定为从电源内部的负极指向正极,即与电源两端电压的方向相反。

电功率

电功率是指电流在单位时间内所做的功,其值等于电压 \(U\)(伏特)与电流 \(I\)(安培)的乘积,通常采用字母 P 表示,单位为瓦特,简称为 W

\[ 电功率 P = 电压 U \times 电流 I \]

注意额定功率是指用电器在长时间稳定工作的情况下,所需要耗费的功率。

电功

电流所做的功称为电功,电流做功的过程就是电能转换为其它形式能量的过程。电流在某段电路上所做的功,等于该电路两端的电压 U(伏特)与通过电流 I(安培)以及通电时间 t(秒)的乘积,通常采用字母 W 进行表示,单位为焦耳 J

\[ 电功 W = 电压 U \cdot 电流 I \cdot 时间 t \]

由于焦耳的单位较小,家庭用电通常使用作为电功的计量单位。1 度电就是功率为 1 千瓦的用电设备运行 1 小时所消耗的电能:

\[ 1 度 = 1 千瓦 \cdot 时 = 1 kW \cdot h \]

电功的焦耳两个单位的换算关系如下面公式所示:

\[ 1 度 = 1000 瓦 \times 3600 秒 = 3.6 \times 10^6 焦 \]

电阻

电阻定义

电阻元件的基本特征是消耗电能,通常采用字母 R 进行表示,对应的电路符号如下图所示:

电阻值的单位是欧姆 Ω,除此之外,常用的单位还有:

\[ 1 MΩ = 10^3 kΩ = 10^6 Ω \]

电阻定律

导体的电阻与材料的电阻率 \(\rho\)(欧米 \(Ω \cdot m\)),以及长度 \(L\)(米 \(m\)),横截面积 \(S\)(平方米 \(m^2\))有关:

\[ 电阻 R = 电阻率 \rho \cdot \frac{长度 L}{横截面积 S} \]

金属材料的电阻率与温度相关,温度越高电阻率越大,下面表格是几种常见金属材料在 20°C 左右的电阻率:

金属材料 电阻率 \(\rho\)\(Ω \cdot m\) 金属材料 电阻率 \(\rho\)\(Ω \cdot m\)
\(2.44 \times 10^{-8}\) \(2.82 \times 10^{-8}\)
\(1.59 \times 10^{-8}\) \(5.6 \times 10^{-8}\)
\(1.72 \times 10^{-8}\) \(10.0 \times 10^{-8}\)

可变电阻

阻值可以改变的电阻称为可变电阻,或者电位器,其内部主要有限流分压 2 种连接形式:

注意限流连接方式移动滑片 P 可以控制负载 R 上的电流;而 分压连接方式:移动滑片 P 可以控制负载 R 上的电压

电阻串并联

电阻串联之后的总电阻等于各个电阻的阻值之和 \(R = R_1 + R_2 + R_3\)

电阻并联之后的总电阻等于各个电阻阻值的倒数之和 \(\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}\)

电容器

电容

两片平行金属板中间夹上电介质就可以组成最为简单的电容器,其电路符号如下图所示:

平行板电容器的电容 \(C\) 可以通过下面的公式计算得到:

\[ C = \frac{介电常量 \epsilon \times 正对面积 S}{4 \pi \times 静电力常量 k \times 极板之间距离 d} \]

电容器所携带的电荷量 Q 与其两极之间的电势差 U 的比值称为该电容器的电容值,即一个用于表征电容器容纳电荷能力的物理量:

\[ 电容 C = \frac{电荷量 Q}{电势差 U} \]

国际单位制当中,电容的单位是法拉,简称 F,常用的单位还有微法\(\mu F\))、纳法\(nF\))、皮法\(pF\)):

\[ 1 F = 10^6 \mu F = 10^9 nF = 10^{12} pF \]

普通电容器通常没有极性,而电解电容在使用时需要区分正负极,其电路符号如下图所示:

注意:电解电容的优点在于价格便宜,容值较大;但是同时也有体积较大,温度稳定性比较差的缺点。

由于电路的分布特点而具有的电容称为分布电容,例如线圈的相邻两匝之间、两个分立的元件之间、两根相邻的导线之间,都会存在着一定的分布电容。其对于电路的影响,等效于为电路并联上一个电容器。低频交流电路当中,分布电容的容抗较大,对于电路影响较小。而对于高频交流电路,分布电容带来的影响则不能忽略。

电容器特性

电容器的特点主要体现在其所具备的通交隔直方面:

  • 隔直特性:刚开始对电容进行充电时,电路上会出现流动的电流;但是当电容充满以后,直流电流就会停止流动;
  • 通交特性:伴随交流电源正负半周的不断更替,电容器被不断的充放电,从而呈现出交流信号近似于通过了的效果;

电容器的通交和隔直特性通常同时体现,例如下图所示电路,输入信号 \(U_i\) 是一个含有直流分量的交流信号,而输出信号 \(U_o\) 当中只存在交流成份,直流成分已经被电容器所滤除:

除此之外,电容还具有储能特性两端电压不会突变的特性:

  • 储能特性:理想电容器只会存储电荷,但是也会伴随相应的能量损耗;
  • 两端电压不会突变:电容器充放电时,两端电压会呈现出曲线变化,而并不会突然的发生改变;

电容器的容抗

容抗表征的是电容器对于交流信号的阻碍作用,其单位为欧姆 ,容抗值 \(X_C\)交流信号的频率 \(f\) 以及电容器容量 \(C\) 相关:

\[ 容抗 X_C = \frac{1}{2 \pi \cdot 频率 f \cdot 电容 C} \]

注意:通过上述公式可以发现:当电容值恒定时,频率越高容抗越小;而当频率一定时,电容越大容抗越小。而对于频率 \(f = 0\) 的直流信号,电容的容抗 \(X_C \rightarrow \infty\),即相当于断路

电容器的串并联

电容器在使用时,经常会遇到容值不够,或者耐压能力不足的问题,此时就需要将电容器串联或者并联起来使用。当电容器串联使用时,虽然容值会减少,但是可以提升耐压值。而电容器并联使用时,虽然增大了容值,但是耐压值并没有发生变化。

无极性电容串联

将多个无极性电容器首尾相连,就可以组成如下的电容串联电路:

无极性电容串联之后,相当于只有最外层的两个极板才可以感应到电荷,并且两个极板之间距离也被增大,此时总电容的倒数等于各个电容器的倒数之和,即总电容值小于每一个串联电容的值,但是耐压值却得到了提高:

\[ \frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} \]

对于下面这个由电容器 \(C_1\)\(C_2\) 构成的串联分压电路:

电容器 \(C_1\) 的容抗 \(X_{C1} = \frac{1}{2 \pi f C_1}\),而 \(C_2\) 的容抗 \(X_{C2} = \frac{1}{2 \pi f C_2}\),进而通过分析以后可以得出如下结论:

  1. 类似于电阻的串联,电容器 \(C_1\)\(C_2\) 上的信号幅度之和 \(U_1 + U_2\) 等于输入信号幅度 \(U_i\)
  2. 容值较大的电容,由于容抗较小,两端的电压降也会相对较小;而容值较小的电容,由于容抗较大,两端的电压降也会相对更大;
  3. 如果一个串联电容的容值,远远大于其它电容,则该电容可以视为通路,此时起决定性作用的是容值较小的电容器;
有极性电容串联

有极性电容器(电解电容)的串联,分为顺序串联逆序串联两种情况。

顺序串联是指 \(C_1\) 的负极与 \(C_2\) 的正极相连,这种串联方式可以提高电容器的耐压值。即当 \(C_1\)\(C_2\) 的容值与耐压值都相等时,串联以后的电容 \(C\) 只有 \(C_1\)\(C_2\) 的一半,但是耐压值却要比 \(C_1\)\(C_2\) 大上一倍。

逆序串联是指将电容器 \(C_1\)\(C_2\)正极或者负极相互连接在一起,有极性电容在逆序串联之后不会再具有极性,因而可以作为无极性电容来使用:

电容并联

电容并联是指将电容器的正极与负极分别进行连接:

由于电容并联之后,相当于增大了金属极板的面积,所以并联之后的容值等于各个电容的容值之和,不过此时耐压值并未得到提高:

\[ C = C_1 + C_2 + C_3 \]

电容并联之后所形成的电路,主要具有如下三个特点:

  1. 各条支路的电流之和等于总电流,电容大的支路,由于容抗更小,所以电流更大,反之亦然;
  2. 并联之后各个电容器上的电压值相等,这是并联电路的共性;
  3. 电容并联之后的电路,如果一个电容的容值远大于其它电容,那么该电容器可以视为开路,起决定性作用的是容值更大的那个电容器;
常用电容并联电路

一个较大容值的电容与一个较小容值的电容并联:将一个容值较大的电容器(例如电解电容)与一个容值较小的电容器(例如瓷片电容)并联在一起,大电容主要工作在低频状态,高频状态下虽然其容抗几乎为零,但是呈现出的感抗却非常大,此时总的阻抗依然会较大,所以大电容在高频情况下的阻抗会大于低频时的阻抗,主要用于滤除低频干扰信号。而并联的小电容则主要工作在高频状态,由于几乎不会存在感抗,所以小电容对于高频信号的容抗相对较小,高频干扰信号可以被有效的引入大地。

两个相同容值的电容并联:除了增加容值,减小安装体积之外,还可以提高电路的可靠性,即使其中一个电容开路,另外一个电容也可以让电路正常工作。除此之外,由于容值较小的电容,漏电流相对较小,因此并联之后可以避免更大容值电容器所带来的较大漏电流。

如果并联的两个相同容值电容器 \(C_1\)\(C_2\) 分别采用正温度系数电容器(例如聚酯电容)和负温度系数电容器(例如聚丙烯电容),当外界环境温度发生变化时,两个电容的容值会呈现出此消彼长的关系,从而保持总电容 \(C = C_1 + C_2\) 的基本恒定。

基本定律

欧姆定律

欧姆定律表述了电路当中的电流,如何由电压和电阻来决定。即导体上的电流 \(I\)(安培),与导体两端的电压 \(U\)(伏特)成正比,与导体的电阻 \(R\)(欧姆)成反比:

\[ 电流 I = \frac{电压 U}{电阻 R} \]

伏安特性曲线是导体当中电压电流的关系曲线,其中纵轴表示电流 \(I\),而横轴表示电压 \(U\)

注意:如果元件的伏安特性体现为经过原点的一条直线,那么这样的元件就称为线性元件

焦耳定律

焦耳定律反映了电能热能之间的转换关系,即电流通过导体产生的热量 \(Q\)(焦耳),与通过电流 \(I\)(安培)的二次方成正比,与导体的电阻 \(R\)(欧姆)成正比,与通电时间 \(t\)(秒)成正比:

\[ 热量 Q = 电流 I^2 \times 电阻 R \times 时间 t \]

焦耳简称 J,是能量做功的国际单位,其值等于 1 瓦的功率在 1 秒内所做的功 \(1 焦=1 瓦·秒\)

闭合电路欧姆定律

电源接入电路就会形成一个有电流通过的闭合电路,可以将闭合电路视为如下两个组成部分:

  1. 电源内部的电路,简称为内电路,内电路的电阻称为内电阻
  2. 电源外部的电路,简称为外电路,外电路的电阻称为外电阻

根据能量守恒定律,电源内电路提供的电能\(W\),等于外电路消耗的电能 \(W_1\)内电路消耗的电能 \(W_2\) 之和:

\[ 内电路提供的电能 W = 外电路消耗的电能 W_1 + 内电路消耗的电能 W_2 \]

假设闭合电路当中通过的电流\(I\)内电阻\(r\)外电阻\(R\),结合上述方程与焦耳定律、电动势的定义就可以推导得到:

\[ 电流 I = \frac{电源电动势 E}{外电阻 R + 内电阻 r} \]

即闭合电路当中的电流 \(I\) 与电源的电动势 \(E\) 成正比,与内外电阻之和 \(R + r\) 成反比,这就是闭合电路的欧姆定律

基尔霍夫定律

引入基尔霍夫定律之前,需要介绍几个与之相关的概念,下面电路当中的 \(U_1\)\(U_2\) 分别为电压源:

  1. 支路:含有元件的分支,上图电路拥有 \(acb\)\(adb\)\(R_L\) 三条支路,其中含有电源的 \(acb\)\(adb\) 称为有源支路,而不含电源的 \(R_L\) 称为无源支路
  2. 结点:三条或者以上支路的联结点,上图电路拥有 \(a\)\(b\) 两个结点;
  3. 回路:多条支路构成的闭合路径,上图电路拥有 \(acbda\)\(adb R_L a\)\(acb R_L a\) 三条回路;
  4. 网孔:没有被支路分割的回路,上图电路拥有 \(acbda\)\(adb R_L a\) 两个网孔;

基尔霍夫电流定律(KCL):电路当中任意一个结点流出的电流,等于流入结点的电流之和:

\[ \sum I_{流入} = \sum I_{流出} \]

使用基尔霍夫电流定律 KCL 列写电路方程的步骤如下所示:

  1. 首先,选定结点
  2. 然后,标识出各条支路的参考方向
  3. 最后,针对该结点列写并且求解 KCL 方程

基尔霍夫电流定律不仅适合于电路当中的任意一个结点,同样也适用于电路当中的任意一个闭合面,这个闭合面被称为广义结点

例如上图当中的 ABC 三个结点所形成的三角形电路,就可以视为一个广义结点:

\[ \begin{cases} I_A = I_{AB} - I_{CA} \\ I_B = I_{BC} - I_{AB} \\ I_C = I_{CA} - I_{BC} \end{cases} \implies I_A + I_B + I_C = 0 \implies \sum I = 0 \]

基尔霍夫电压定律(KVL):沿着电路当中任意一条回路,按照指定方向绕行一周,各个部分电压的代数和恒等于零。

\[ \sum U = 0 \]

使用基尔霍夫电压定律 KVL 列写电路方程的步骤如下所示:

  1. 首先,选定回路,并且标识出回路绕行的方向;
  2. 然后,标识出各个支路电流、电压源的参考方向
  3. 最后,针对该回路列写并且求解 KVL 方程

注意:基尔霍夫电压定律 KVL 还可以推广应用于任意的开口电路

▶【例题】求解下面电路的开口电压 \(U_{ab}\)

◉【解答】首先,标识出上面电路开口电压 \(U_{ab}\) 的参考方向,假设 \(U_{ab}\) 分别与支路 ab 组成一个闭合回路;然后,绘制出电路的绕行方向,并且取电压升为,电压降为;最后,就可以利用 KVL 列写出如下的关系式:

\[ U_S - I R_S - U_{ab} = 0 \implies U_{ab} = U_S - IR_S \]

电阻电路等效变换

等效电位法

利用等电位法求解等效电路的步骤如下所示:

  1. 标识等电位点:依次找出各个等电位点,然后由高电位低电位,采用英文字母逐个进行标识;
  2. 结合等势点绘制草图:合并电位相同的等电位点,并且逐一理清各个电阻连接的关系;
  3. 整理电路图:将草图上面等效电路的等势点、元件编号与原理图逐一对应;

下面左侧为原始的原理图,右侧为利用等电位法分析之后得到的等效电路:

▶【例题】下图左侧电路当中 \(R_1 = R_2 = R_3 = 3Ω\)\(R_4 = R_5 = R_6 = 6Ω\),求解 EF 两端的电阻?

◉【解答】标识出原电路上的等势点 abc,从高电势点 \(E\) 开始,首先将两个 a 点合并到一起,理顺电阻之后,标识电流在 a 点的去向,即分别经过 \(R_1\)\(R_2\)\(R_3\) 流向 b 点;然后理顺电阻并标识电流在 b 点的去向,即分别经过 \(R_4\)\(R_5\)\(R_6\) 流向 c 点,最后流出 F 点。根据上图右侧的等效电路,就可以计算得到 EF 两端的电阻 \(R = 3Ω\)

▶【例题】下图左侧电路当中 \(R_1 = R_3 = 4Ω\)\(R_2 = R_5 = 1Ω\)\(R_4 = R_6 = R_7 = 2Ω\),求解 ab 两点之间的电阻?

◉【解答】标识出原电路上的等势点 abcd,首先合并等势点 a,电流从 a 点开始分为三路,分别经 \(R_2\) 流向 b 点,经 \(R_3\)\(R_1\) 流向 d 点;然后合并等势点 b,电流从 b 点开始分为两路,分别经过 \(R_5\)\(R_4\) 流向 c 点和 d 点;最后合并等势点 c,电流从 c 点也分为两路,分别经过 \(R_6\)\(R_7\) 流向 d 点;根据上图右侧的等效电路,就可以计算得到 ab 两点之间的电阻 \(R = 1Ω\)

▶【例题】下图左侧电路当中 \(R_1 = R_2 = R_3 = R_4 = R_5 = 30Ω\),求解 ab 两点之间的电阻?

◉【解答】标识出原电路上的等势点 abc,从高电势点 \(a\) 开始,标识出电流在 a 的去向,即分别经过 \(R_1\)\(R_2\) 流向 b 点,以及分别经过 \(R_4\)\(R_3\) 流向 c 点;接下来,合并 c 点之后理顺电阻,并且标识出电流在 c 点的去向,即经过 \(R_5\) 流向 b 点;根据上图右侧的等效电路,就可以计算得到 ab 两点之间的电阻 \(R = 11.25Ω\)

对称电路的等效

对称电路是一种能够上下左右进行对称的电路,这种对称既体现在电路结构上,也体现在元件参数上,并且对称结点的电位相等,对称支路上的电流相同

折叠法

化简对称电路可以采用折叠法,即将电路的对称部分重合起来,然后求解等效电阻,并最终得到一个被精简掉一半的电路。

以上图左侧电路的 AOB 作为折叠线,由于各条之路均为 2 个电阻的串联,所以等效之后采用 \(\frac{3 \times 3}{3 + 3} = 1.5Ω\) 电阻代替,进而最终得到右侧的等效电路。

短路法

如果相同电位 2 个结点之间的电位差为零,那么就可以将这 2 个结点视为直接短路

根据电路的对称性,前述电路当中的 C、DE、F 分别为等电位点,可以直接对其进行短路处理。这样并不会改变各个结点的电位和各条支路上的电流分布,从而最终得到上图右侧的等效电路。

断开法

由于对称电路位于对称轴上的结点具有特殊性质,可以将其与联结该结点的对称支路断开,这种对称电路的等效方法称为断开法

断开前述电路在对称轴上的结点 \(O\),得到 \(CO'E\)\(DO''F\) 两条支路,其中 \(O'\)\(O''\) 为等电位点,这样同样不会改变电路上各个结点的电位以及各条支路上的电流分布。

惠斯通电桥

可以将电阻 \(R_1\)\(R_2\)\(R_3\)\(R_4\) 和内阻为 \(R_5\)检流计(一种用于高精度测量电流大小的仪器)连接成如下的惠斯通电桥电路,该电路拥有 4 个桥臂 \(R_1\)\(R_2\)\(R_3\)\(R_4\);当这 4 个桥臂的电阻乘积相等时 \(R_1 \times R_2 = R_3 \times R_4\),检流计的读数为零,这种状态称为电桥的平衡状态,相应的 \(R_1 \times R_2 = R_3 \times R_4\) 就被称为电桥的平衡条件

当电桥处于平衡状态时,检流计显示 CD 支路的电流为零,说明 2 个结点的电位相等,可以将其直接进行短路连接,这样并不会改变电路当中各个结点的电位和支路电流的分布,此时 AB 点之间的输入电阻 \(R_{AB} = (R_1 // R_2) + (R_3 // R_4) = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} + \frac{R_3 R_4}{R_3 + R_4}\)

除此之外,在电桥平衡时,由于 CD 支路的电流为零,所以也可以对其进行开路处理,虽然同样不会改变电路当中各个结点的电位和支路电流分布,但是此时 AB 点之间的输入电阻 发生了变化 \(R_{AB} = \frac{(R_1 + R_2) + (R_3 + R_4)}{R_1 + R_2 + R_3 + R_4} = \frac{R_1 R_2 + R_1 R_4 + R_2 R_3 + R_3 R_4}{R_1 + R_2 + R_3 + R_4}\)

总结:当电桥处于平衡状态时,如果将同电位的两个结点短路,可以使得原电路减少一个结点;而如果将同电位的两个结点开路,则可以使得原电路减少一个回路;这两种方法都可以用于求取 AB 两点之间的等效电阻,可以酌情选择使用。如果电桥不满足平衡条件,就不能采取上述方法进行等效电路的求解。

▶【例题】求解下图左侧电路 AB 之间的输入电阻?

◉【解答】由于上图最左侧的电桥电路,满足 \(10Ω \times 15Ω = 5Ω \times 30Ω\) 的电桥平衡条件,这里可以先将它转换为中间的电路形式,然后将 CD 支路断开,从而得到最右侧的等效电路。根据该等效电路上各个电阻之间的串并联关系,就可以轻松的求解得到 AB 两点之间的等效电阻 \(R_{AB}\)

\[ R_{AB} = [(5+15) // (10+30)] // 15 = \frac{120}{17} Ω \]

外加电源法

不含有电源的电阻电路又称为无源二端网络,求解无源二端网络的输入电阻时,可以在下图所示电路的 AB 端施加电压 \(V\)(该电压值可以随意选取,但是为了计算方便,通常选取整数,并且数值不要太大):

根据基尔霍夫定律求解出电流 \(I\),此时 AB 端之间的输入电阻为:

\[ R_{AB} = \frac{V}{I} \]

▶【例题】求解下图左侧电路 AB 之间的输入电阻?

◉【解答】向上图左侧的无源二端网络上施加 10V 电压,并且假设各条支路的电流分别为 \(I_1\)\(I_2\)\(I_3\)\(I_4\),从而能够得到右侧的等效电路,然后根据基尔霍夫定律就可以求解得到:

\[ R_{AB} = \frac{V}{I} = \frac{V}{I_1 + I_2 + I_4} = \frac{10V}{2A} = 5Ω \]

星形与三角形连接等效

\(R_{ab}\)\(R_{bc}\)\(R_{ca}\) 三个电阻按照如下方式联结,就可以构成 \(\Delta\) 型或者 \(\pi\) 型联结:

而将 \(R_{ab}\)\(R_{bc}\)\(R_{ca}\) 三个电阻按照以下方式联结,则构成 \(Y\) 型或者 \(T\) 型联结:

对于外电路而言,在确保每个结点的电流、电位保持不变的前提下,上述的两种联结方式可以进行等效互换:

上图左侧为 \(\Delta\) 型或者 \(\pi\) 型联结 ──➔ \(Y\) 型或者 \(T\) 型联结:

\[ Y形电阻 = \frac{\Delta 形相邻电阻乘积}{\Delta 形电阻之和} \implies \begin{cases} R_a = \frac{R_{ab} \cdot R_{ca}}{R_{ab} + R_{bc} + R_{ca}} \\ R_b = \frac{R_{ab} \cdot R_{bc}}{R_{ab} + R_{bc} + R_{ca}} \\ R_a = \frac{R_{ca} \cdot R_{ca}}{R_{ab} + R_{bc} + R_{ca}} \end{cases} \]

上图右侧为 \(Y\) 型或者 \(T\) 型联结 ──➔ \(\Delta\) 型或者 \(\pi\) 型联结:

\[ \Delta 形电阻 = \frac{Y 形电阻两两乘积之和}{Y 型不相邻电阻} \implies \begin{cases} R_{ab} = \frac{R_a R_b + R_b R_c + R_c R_a}{R_c} \\ R_{bc} = \frac{R_a R_b + R_b R_c + R_c R_a}{R_a} \\ R_{ca} = \frac{R_a R_b + R_b R_c + R_c R_a}{R_b} \end{cases} \]

电压源 & 电流源

电源存在两种等效形式,一种以输出电压为主要特征,称为电压源;另外一种以输出电流为主要特征,称为电流源

电压源

实际的电压源由内阻 \(R_S\) 与电压源 \(U_S\) 串联而成,下图右侧当中的 \(R_L\) 为负载电阻,\(I\) 为电源向负载输出的电流,此时实际电源两端的电压 \(U = U_S - IR_S\),即电压源两端的电压 \(U\) 与负载电流 \(I\) 呈线性关系,可以表示为下图右侧的直线

注意:这条由电源端电压 \(U\) 伴随输出电流 \(I\) 变化的伏安特性曲线,称为电压源的外特性曲线,简称为外特性。可以看到,当负载电流 \(I\) 增大时,电压源内阻的压降也会增大,而电压源的端电压则随之下降。

理想的电压源忽略了电压源的内阻 \(R_S = 0\),此时根据 \(U = U_S - IR_S\) 可以推导得到 \(U = U_S\),外电压 \(U\) 的大小与负载 \(R_L\) 无关,对应的外特性曲线为一条平行于 \(I\) 轴的直线:

电流源

实际的电流源是由内阻 \(R_S\) 与电流源 \(I_S\) 并联而成,下图右侧中的 \(R_L\) 为负载电阻,这里 \(I\) 依然为电源向负载输出的电流,而 \(\frac{U}{R_S}\) 表示电源内阻 \(R_S\) 上经过的电流,由此就可以得到关系式 \(I = I_S - \frac{U}{R_S}\),即电流源输出的电流 \(I\) 与负载 \(R_L\) 两端的电压 \(U\) 呈线性关系,对应的外特性曲线如下图右侧所示:

注意:实际电流源输出的电流 \(I\) 总是小于电流源电流 \(I_S\),实际电流源的内阻通常都非常大。当负载发生变化时,电流源输出电流 \(I\) 的大小取决于电流源内阻 \(R_S\),其阻值越大分得的电流就越小,电流源的输出就更加稳定。

理想电流源的内阻 \(R_S = \infty\),根据 \(I = I_S - \frac{U}{R_S}\) 可以推导得到 \(I = I_S\),输出电流 \(I\) 的大小与负载 \(R_L\) 无关,对应的外特性曲线是一条平行于 \(I\) 轴的直线:

电压源 & 电流源等效变换

根据实际电压源与电流源的外特性方程,可以推导得到能够让两者互换使用的等效变换条件:

\[ \begin{cases} 电压源 U = U_S - IR_S \implies I = \frac{U_S}{R_S} - \frac{U}{R_S} \\ 电流源 I = I_S - \frac{U}{R_S} \end{cases} \implies 等效变换条件 \begin{cases} I_S = \frac{U_S}{R_S} \\ U_S = I_S R_S \end{cases} \]

当实际电压源与电流源的内阻相等,并且满足 \(I_S = \frac{U_S}{R_S}\) 或者 \(U_S = I_S R_S\)等效变换条件时,两种电源就可以互换使用。除此之外,进行电压源与电流源的等效变换时,还需要注意如下几点:

  1. 等效是指对于电源外电路的等效,而对于电源内部电路并不等效;
  2. 电压源与电流源的参考方向一致,即电流源流出电流的一端,需要与电压源的正极相对应;
  3. 变换之后不会影响未变换部分各条支路上的电压电流分布情况;
  4. 由于理想电压源的内阻 \(R_S = 0\),而理想电流源的内阻 \(R_S = \infty\),并不满足等效条件,所以理想电压源与电流源不能进行等效变换

电源的串并联

  • 电压源的串联:多个电压源的串联可以等效为一个电压源,其电压等于各个电压源电压的代数和,其内阻为各个电压源内阻的代数和。
  • 电流源的并联:多个电流源的串联可以等效为一个电流源,其电流等于各个电流源电流的代数和,其内阻为各个电压源内阻的并联值。

  • 电压源的并联:首先将每个电压源变换为等效的电流源,然后将这些转换之后的并联电流源合并,最后把得到的等效电流源转换回等效电压源即可。

  • 电流源的串联:首先将每个电流源变换为等效的电压源,然后将这些转换之后的串联电压源合并,最后把得到的等效电压源转换回等效电流源即可。

  • 电压源与电流源串联:首先将电流源转换为等效的电压源,然后再按照串联电压源的方式进行处理。

  • 电流源与电压源并联:首先将电压源转换为等效的电流源,然后再按照并联电流源的方式进行处理。

总结:两个电源并联时,需要将电压源转换为等效的电流源;而当两个电源串联时,则需要将电流源转换为等效的电压源。

受控源

受控源是一种输出量的大小与方向,受到电路当中其它位置电压或电流控制的电源,其拥有两个输入端(控制端)和两个输出端(受控端),根据输出端所呈现的特性,受控源还可以划分为如下四种:

  1. 电压控制电压源(VCVS):通过控制输入端的电压,达到控制输出端电压的目的。因为控制量是电压,所以控制支路为开路。如果控制端电压为 \(u_1\),那么输出端电压就等于 \(\mu u_1\),这里的 \(\mu\) 没有量纲,被称为转移电压比或者电压放大系数
  2. 电流控制电压源(CCVS):通过控制输入端的电流,达到控制输出端电压的目的。因为控制量是电流,所以控制支路为短路。如果控制端电流为 \(i_1\),那么输出端电压就等于 \(r i_1\),这里的 \(r\) 就称为转移电阻,单位为欧姆 Ω
  3. 电压控制电流源(VCCS):通过控制输入端的电压,达到控制输出端电流的目的。因为控制量是电压,所以控制支路为开路。如果控制端电压为 \(u_1\),那么输出端电流就等于 \(g u_1\),这里的 \(g\) 就称为转移电导,单位为西门子 S
  4. 电流控制电流源(CCCS):通过控制输入端的电流,达到控制输出端电流的目的。因为控制量是电流,所以控制支路为短路;如果控制端电流为 \(i_1\),那么输出端电压就等于 \(\alpha i_1\),这里的 \(\alpha\) 没有量纲,被称为转移电流比或者电流放大系数

注意独立源作为电路的输入,起到对电路的激励作用,是电路得以正常工作的源泉。而受控源用于反映电路当中某个位置的电压或电流,对于另一个位置电压或电流的控制关系。概而言之,受控源并不是一种激励源,其体现的一种控制关系

电路分析方法

支路电流法

支路电流法是一种根据基尔霍夫电压与电流定律列写出的电路方程,其主要以各个 支路电流 作为求解的未知量。

上面电路由两个电源并联组成,该电路当中存在 3 条支路,2 个结点(ab);如果需要求解 3 支路上的电流,就需要列写 3 个独立方程(不能通过已有方程列写出来的方程称为独立方程)联立进行求解。

首先,选定未知支路电流的参考方向,并根据 KCL 定律列写出如下两个电流方程,其中只有一个为独立方程:

\[ \begin{cases} 结点 a \implies I_1 + I_2 - I_3 = 0 \\ 结点 b \implies I_3 - I_1 - I_2 = 0 \end{cases} \]

注意:通常情况下,具有 \(n\) 个结点的电路应用 KCL 定律只能列写出 \(n - 1\) 个独立方程:

然后,针对上面电路里的 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 三个回路,分别列写出三个 KVL 电压方程,其中只有两个为独立方程:

\[ \begin{cases} 回路 Ⅰ \implies U_1 - I_1 R_1 - I_3 R_3 = 0 \\ 回路 Ⅱ \implies U_2 - I_2 R_2 - I_3 R_3 = 0 \\ 回路 Ⅲ \implies U_1 - I_1 R_1 + I_2 R_2 - U_2 = 0 \end{cases} \]

注意:电路分析过程当中,基于网孔列写出的方程一定是独立方程

提取上述 KCL 和 KVL 方程当中的独立方程,可以得到如下的独立方程组:

\[ \begin{cases} 结点 a \implies I_1 + I_2 - I_3 = 0 \\ 回路 Ⅰ \implies U_1 - I_1 R_1 - I_3 R_3 = 0 \\ 回路 Ⅱ \implies U_2 - I_2 R_2 - I_3 R_3 = 0 \end{cases} \]

联立求解上述方程组,就可以得到支路电流 \(I_1\)\(I_2\)\(I_3\);如果求解出结果为,则表示该电流的实际方向与参考方向相同;如果求解出结果为,则表示该电流的实际方向与参考方向相反

最后,将采用支路电流法的分析步骤总结如下:

  1. 确定电路的支路数量和结点数量,标注电流的参考方向与网孔绕行方向;
  2. 应用 KCL 定律列写独立电流方程,规定与参考方向相同为正,相反为负;
  3. 运用 KVL 定律列写独立电压方程,规定电压上升为正,下降为负;
  4. 求解方程组,得到支路电流;

注意:支路电流法适用于支路较少的电路(支路数量过多,会增加列写的方程数量),并且在分析含有理想电流源的电路时,由于该支路电流为已知,所以列写回路方程时需要避开理想电流源所在的支路。

结点电压法

结点电压法以电路当中的结点电压作为待求量,适用于结点较少支路较多的电路:

首先,上图电路为四条支路并联的电路,虽然该电路的结点数量较少,但是支路数量较多。这里选择 b 点作为参考点,两个结点 ab 之间的电压 \(U_{ab}\) 称为结点电压,方向为由 a 点指向 b 点。已知各条支路的电流如上图所示,分别对结点 a 列写 KCL 方程,对于各条支路列写 KVL 方程,得到如下的方程组:

\[ \begin{cases} 列写结点 a 的 KCL 方程 \implies I_1 + I_2 - I_3 - I_4 = 0 \\ 列写 R_1 支路的 KVL 方程 \implies U_{S1} - R_1 I_1 - U_{ab} = 0 \\ 列写 R_2 支路的 KVL 方程 \implies -U_{S2} - R_2 I_2 - U_{ab} = 0 \\ 列写 R_3 支路的 KVL 方程 \implies R_3 I_3 - U_{ab} = 0 \\ 列写 R_4 支路的 KVL 方程 \implies R_4 I_4 - U_{ab} = 0 \end{cases} \]

然后,通过求解上述的方程组,就可以得到求解结点电压的简便公式

\[ U_{ab} = \frac{\frac{U_{S1}}{R_1} + \frac{-U_{S2}}{R_2}}{ \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_4} } = \frac{\sum{\frac{U}{R}}}{\sum{\frac{1}{R}}} \]

最后,将结点电压法分析电路的步骤总结如下:

  1. 设置零电位参考结点,所有的结点电压均以该点作为负极
  2. 标识出各个支路电流的参考方向;
  3. 根据上述公式列写方程,并求解出结点电压 \(U_{ab}\)

注意:结点电压法适用于求解支路上的电压以及电流,特别是对于支路数量较多、结点数量较少的复杂电路。

重要定理

叠加原理

下图左侧的电路当中存在两个电源,各个支路上的电流都是由两个电源共同作用产生。叠加原理是指任意一条支路上的电流,都可以视为该电路当中的各个电源分别作用时,在该支路上产生电流的代数和。

这里假设 \(I_1'\)\(I_2'\)\(I_3'\) 是电压源 \(U_1\) 单独作用时的支路电流,\(I_1''\)\(I_2''\)\(I_3''\) 则是电压源 \(U_2\) 单独作用时的支路电流,而 \(I_1\)\(I_2\)\(I_3\)\(U_1\)\(U_2\) 两个电压源同时作用时的支路电流,根据叠加原理就可以得到这些支路电流的关系:

\[ \begin{cases} I_1 = I_1' - I_1'' \\ I_2 = I_2'' - I_2' \\ I_3 = I_3' + I_3'' \end{cases} \]

采用叠加原理计算复杂电路,就是将具有多个电源的复杂电路转化为几个单电源的电路来进行计算,但是在使用时需要注意以下几点:

  1. 叠加原理只适用于线性电路,只能用于分析线性电路的电流与电压,但是不能用于计算功率;
  2. 叠加计算电路当中的电流或者电压时,需要注意各条支路上电压与电流的参考方向,叠加后电压电流的参考方向与原支路保持一致时取正号,反之则取负号;
  3. 电源单独作用是指,将电压源用短路线代替,而电流源直接进行断开,电路当中其它元件的连接关系保持不变;

戴维南定理

具有两个端口的电路称为二端网络,根据内部是否含电源,可以进一步划分为无源二端网络有源二端网络

任何一个线性有源二端网络,对于外电路而言,都可以采用一个电压源 \(U_s\) 与内阻 \(R_s\) 串联而成的组合电源模型来代替。电压源的电压等于有源二端网络的开路电压(即将负载断开之后,ab 两端之间的电压),而内阻等于有源二端网络当中所有独立电源为零时的等效电阻(\(U_s = 0\) 时理想电压源短路,\(I_s = 0\) 时理想电流源开路),这就是戴维南定理

注意:根据戴维南定理得到的等效电路,就称为戴维南等效电路

诺顿定理

任意一个线性有源二端网络,都可以采用一个电流为 \(I_s\) 的理想电流源与内阻 \(R_s\) 并联的电源模型来等效代替。电流源的电流 \(I_s\) 等于二端网络端口短路时的短路电流,并联内阻 \(R_s\) 等于线性有源二端网络去除独立电源之后(理想电压源短路,理想电流源开路)ab 两端之间的等效电阻,这就是诺顿定理

注意:一个有源二端网络即可以采用戴维南定理转换为等效电压源,也可以采用诺顿定理转换为等效电流源,两者对于外电路而言都是等效的。

非线性电阻电路

如果电阻两端的电压与通过的电流成正比,说明其电阻值为一个常数,其两端的电压与电流关系遵循欧姆定律,称为线性电阻。如果该电阻值并非一个常数,而是会伴随着电压或者电流发生变化,两端的电压与电流关系也不遵循欧姆定律,这种电阻就称为非线性电阻

非线性电阻的电压与电流关系,可以采用 \(U = f{I}\) 或者 \(I = f(U)\) 的伏安关系曲线进行表示,下图为电灯泡钨丝(左)以及二极管(右)的伏安特性曲线:

因为非线性电阻会随着电压或者电流发生变化,所以计算其阻值时必须指定确切的电压或者电流,例如下图表达的就是工作点 Q 位置的电阻:

非线性电阻拥有静态电阻动态电阻两种表示方式:

  • 静态电阻(直流电阻):等于工作点 \(Q\) 的电压 \(U\) 与电流 \(I\) 之比,即 \(R = \frac{U}{I}\),Q 点的静态电阻正比于 \(\tan \alpha\)
  • 动态电阻(交流电阻):等于工作点 \(Q\) 附近的电压微小变化量 \(\Delta U\)电流微小变化量 \(\Delta I\) 之比的极限,即 \(r = \lim_{\Delta I \to 0} \frac{\Delta U}{\Delta I}\),其 \(Q\) 点的动态电阻正比于 \(\tan \beta\),这里的 \(\beta\)\(Q\) 点的切线纵轴的夹角;

注意:因为非线性电阻的阻值并非一个常数,所以在分析计算时通常只会采用图解法

电磁感应

磁场与磁感线

磁体是具有磁性的物质,磁体上磁性最强的部分称为磁极同性磁极相互排斥,异性磁极相互吸引。当磁场内某一点,磁针静止时北极所指的方向,就是该点的磁场方向

磁感线是一种用于描述空间当中磁场分布的闭合曲线,磁体外部的磁感线从磁体的北极出发回到南极,而磁体内部的磁感线则是从磁体的南极出发返回北极,下图是几种常见形状磁铁的磁感线分布情况:

安培定则

直线电流的方向与磁感线方向之间的关系可以通过安培定则(也称为右手螺旋定则)来判定:用右手握住导线,让大拇指的方向与电流方向保持一致,此时弯曲四指所指的方向就是磁感线的环绕方向。

通常使用符号 表示电流垂直于平面指向外侧,而使用 表示电流垂直于平面指向内侧

通常使用符号 \(\cdot\) 表示磁感线垂直于平面指向外侧,而使用 \(\times\) 表示磁感线垂直于平面指向内侧

注意地磁场的磁感线从地理南极(地磁北极)出发,到达地理北极(地磁南极),两极的磁性最强,磁感线近乎垂直于地面,而赤道处的磁感线与地面近似平行。

磁感应强度与安培力

安培力是磁场对于通电导线产生的作用力,如果将一段通电导线 \(L\) 放入磁场,当导线方向与磁场方向垂直时(下图左),导线所受的安培力最大;当导线方向与磁场方向一致时(下图中),其所受的安培力等于零;而当导线方向与磁场方向斜交呈 \(\theta\) 角时(下图右),安培力介于最大值与零之间。

当导线方向与磁场方向垂直时,通电导线受到的安培力 \(F\)电流 \(I\)导线长度 \(L\) 呈正比:

\[ 安培力 F = 常量 B \times 电流 I \times 导线长度 L \]

上面公式中的 \(B\) 是一个比例系数,对于磁场当中一个确定的点而言,其值为一个常量,所以上面的公式也可以变换为下面的形式:

\[ 磁感应强度 B = \frac{安培力 F}{电流 I \times 导线长度 L} \]

相同磁场的同一个位置,无论电流 \(I\)、导线长度 \(L\) 怎样变化,\(B\) 的值总是确定的;而在不同磁场或者不同位置当中,\(B\) 的值也会有所不同。当 \(B\) 的值越大,在电流 \(I\) 和导线长度 \(L\) 一定的情况下,通电导线所受到的安培力 \(F\) 就越大,所表征的磁场也就越强,因此可以采用 \(B\) 来描述磁场的强弱,称为磁感应强度

磁感应强度的单位为特斯拉,简称为 T,当通电导线与磁场垂直时,如果电流 \(I = 1A\),导线长度 \(L = 1m\),并且导线所受到的安培力恰好为 \(F = 1N(牛)\),那么 \(1T = 1N/(A \cdot m)\)。磁感应强度是一个矢量,某一个点的磁场方向就是该点磁感应强度的方向。

以上讨论的是通电直导线与磁感应强度方向相互垂直的情况,当通电直导线与磁感应强度方向之间的夹角\(\theta\) 的时候,可以将 \(B\) 分解为两个分量:一个为水平分量 \(B \cos \theta\),另一个为垂直分量 \(B \sin \theta\)。因为水平分量对于电流的作用力为零,所以安培力完全由垂直分量所决定,此时安培力 \(F\) 的大小等于:

\[ 安培力 F = 常量 B \times 电流 I \times 导线长度 L \times \sin \theta \]

左手定则

通电导线所受安培力的方向与磁场电流方向之间的关系,可以采用左手定则来进行判断:张开左手,大拇指与其它四指处于相同平面并且互相垂直,让磁感线垂直穿入掌心,而其它四指指向电流的方向,此时大拇指所朝的方向就是导线所受安培力的方向。

洛仑兹力

洛仑兹力是指磁场对于运动电荷的作用力,其方向可以通过左手定则进行判定:伸开左手让磁感线进入掌心,四指朝向正电荷运动的方向,此时大拇指所朝的方向就是正电荷所受洛仑兹力的方向,负电荷在磁场当中受到的洛仑兹力与正电荷相反。

洛仑兹力的大小等于电荷的电量 \(q\)电荷的速率 \(v\)磁感应强度 \(B\),以及 vB 之间夹角 \(\theta\) 正弦的乘积。

\[ 洛仑兹力 f(牛顿) = 电量 q(库仑) \times 速率 v(米/秒) \times 磁感应强度 B(特斯拉) \times 夹角 \sin \theta \]

  • 当日 \(\theta = 90°\) 时,电荷的运动方向与磁场方向垂直,电荷所受的洛仑兹力最大,等于 \(q \cdot v \cdot B\)
  • \(\theta = 0°\) 时,电荷的运动方向与磁场方向一致,电荷所受到的洛仑兹力最小,近乎等于零;
  • \(\theta\) 的角度为其它值时,洛仑兹力的大小将会介于最大值最小值之间;

注意:运动的电荷在磁场当中受到洛仑兹力影响,其运动方向将会发生偏转,荧光示波器里的示波管电视机内的显像管电子显微镜等正是基于这个原理进行工作的。

磁通量

磁通量是一个用于表示磁场分布情况的物理量,其国际单位为韦伯Wb):

\[ 1Wb = 1Tm^2(T 为磁感应强度的单位\ 特斯拉,m^2 为面积的单位\ 平方米) \]

假设在匀强磁场当中有一个与磁场方向垂直,并且面积\(S\) 的线圈平面,磁场的磁感应强度\(B\)

那么磁感应强度 \(B\)面积 \(S\) 的乘积就称为磁通量,采用 \(\Phi\) 进行表示:

\[ 磁通量 \varPhi = 磁感应强度 B \times 面积 S \]

  • 当线圈平面与磁场方向垂直时,线圈内的磁通量为最大;
  • 当线圈平面与磁场方向平行时,由于通过线圈的磁感应线为零,所以磁通量为零;
  • 当线圈平面与磁感线方向存在夹角时,取垂直于磁场方向的投影面积为磁通量的计算面积;

如果穿过闭合电路的磁通量发生了变化,那么闭合电路当中就会产生电流,这种由于磁通量变化而产生电流的现象称为电磁感应,其所产生的电流称为感应电流。在电磁感应现象中,既然闭合回路当中存在感应电流,那么该电路当中就一定会存在电动势,这种由电磁感应产生的电动势称为感应电动势

  • 感应电流:通过电磁感应产生的电流,在存在感应电动势并且电路闭合的情况下产生,其大小取决于感应电动势与电路的总电阻;
  • 感应电动势:通过电磁感应产生的电动势,在磁通量发生变化的时候产生(与电路是否闭合无关),其大小与穿过磁通量的变化率成正比;

法拉第电磁感应定律

感应电动势大小与磁通量变化快慢有关系,用磁通量的变化率来描述磁通量变化的快慢,其值为磁通量的变化量与产生这个变化所用时间的比值。

如果时刻 \(t_1\) 的磁通量为 \(\varPhi_1\),时刻 \(t_2\) 的磁通量变为 \(\varPhi_2\),从 \(t_1\)\(t_2\) 这段时间内磁通量的变化量就是 \(\varPhi_2 - \varPhi_1\),记为 \(\Delta \varPhi = \varPhi_2 - \varPhi_1\),由于该变化是在 \(\Delta t = t_2 - t_1\) 时间段内发生的,所以法拉第电磁感应定律可以表述为:电路当中感应电动势的变化量,与穿过该电路的磁通量变化量呈正比。

\[ 感应电动势(伏特)\ E = \frac{磁通量变化量(韦伯)\ \Delta \varPhi}{时间变化量(秒)\ \Delta t} \]

一个闭合回路可以被视为一匝线圈,如果线圈的匝数为 \(n\),由于每一匝线圈的感应电动势都为 \(\frac{\Delta \varPhi}{\Delta t}\),并且每一匝线圈相互串联,整个线圈的电动势 \(E\) 就等于:

\[ 感应电动势(伏特)\ E =\ 线圈匝数\ n \times \frac{磁通量变化量(韦伯)\ \Delta \varPhi}{时间变化量(秒)\ \Delta t} \]

动生电动势

如果磁通量的变化是由于导体磁体相对运动而引发的,那么此时产生的电动势就称为动生电动势。当一个匀强磁场中的磁感应强度导线导线运动方向三者互相垂直时,感应电动势等于磁感应强度 \(B\)导线长度 \(L\)导线运动速度 \(v\) 的乘积:

\[ 动生电动势 E(伏) = 磁感应强度 B(特斯拉) \times 导线长度 L(米) \times 导线运动速度 v(米/秒) \]

如果导线运动方向与导线自身相互垂直,但是与磁力线方向存在着一个夹角 \(\theta\),此时可以将速度 \(v\) 分解为垂直于磁力线的分量 \(v_1 = v \sin \theta\)平行于磁力线的分量 \(v_2 = v \cos \theta\)

平行于磁力线的分量不会参与切割磁力线,也就不会产生感应电动势。而垂直于磁力线的分量会切割磁力线,产生感应电动势 \(BLv_1\),又由于 \(v_1 = v \sin \theta\),所以此时产生的动生电动势应为:

\[ 动生电动势 E(伏) = 磁感应强度 B(特斯拉) \times 导线长度 L(米) \times 导线运动速度 v(米/秒) \times 夹角 \sin \theta \]

当导线运动方向与磁力线方向存在夹角 \(\theta\) 时,导线切割磁力线产生的感应电动势大小,与磁感应强度 \(B\)导线长度 \(L\)运动速度 \(v\)运动方向与磁力线方向的夹角 \(\theta\) 的正弦成正比。

归纳起来,感应电动势的产生主要存在如下两种方式:

  1. 磁感应强度变化产生感应电动势
  2. 导体切割磁感线运动产生动生电动势

楞次定律

楞次定律是指感应电流具有这样的方向,即感应电流的磁场总是会阻碍引起感应电流的磁通量发生变化。利用楞次定律可以判定各种情况下感应电流的方向,具体可以依照如下步骤进行:

  1. 明确原来的磁场方向;
  2. 判断穿过闭合电路的磁通量是增加还是减少;
  3. 根据楞次定律确定感应电流的磁场方向;
  4. 利用安培定则来确定感应电流的方向;

注意:感应电流的磁场总是阻碍原磁通量的变化,主要是指阻碍变化,而非阻碍原磁场。即当原磁通量增加时,感应电流的磁场方向与原磁场方向相反;而当原磁通量减少时,感应电流的磁场与原磁场方向相同。阻碍并不是指阻止,原磁通量如果增加,感应电流的磁场只能阻碍而不能阻止原磁通量的增加,即原磁通量最后依然还是会增加。

右手定侧

伸开右手,使大拇指与其它四指处于相同平面并且相互垂直,让磁感线垂直穿入掌心,并使大拇指朝向导体运动的方向,此时其它四指所朝方向就是感应电流的方向,这就是右手定侧

注意:不要混淆右手定则左手定则,两个定则的应用可以简单的总结为因电而动用左手,因动而电用右手

磁导率

磁导率是一个用于衡量物质导磁能力的物理量,其单位为亨/米(H/m),其值通常为一个固定的常数,指定物质的磁导率 \(\mu\)真空磁导率 \(\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} H/m\) 的比值,称为该物质的相对磁导率 \(\mu_r\)

\[ 相对磁导率 \mu_r = \frac{某种物质的磁导率 \mu_r}{真空的磁导率 \mu_0} \]

材料名称 铸铁 硅钢片 镍锌铁氧体 锰锌铁氧体 坡莫合金
相对磁导率 \(200 \sim 400\) \(7000 \sim 1000\) \(10 \sim 1000\) \(300 \sim 5000\) \(2 \times 10^4 \sim 2 \times 10^5\)

注意:对于非磁性材料而言,由于 \(\mu \approx \mu_0 \implies \mu_r \approx 1\),所以几乎不会具有磁化特性。

磁场当中某一个点的磁感应强度 \(B\) 与相同点上磁导率 \(\mu\) 的比值称为该点的磁场强度,其单位为安/米(A/m),要注意磁场强度磁感应强度分别属于不同的概念,使用时切忌不能混淆。

磁路

当线圈绕制在闭合的铁芯上时,由于铁芯的磁导率远远高于周围空气的磁导率,使得大部分磁通量集中到了铁芯内部,并且形成一个闭合通路,这种人为造成的磁通路径,就被称为磁路

自感与电感器

自感

由于导体本身电流的变化而产生的电磁感应现象称为自感,当导体中的电流发生变化时,周围的磁场也会随之发生变化,并且由此引发磁通量的变化,从而在导体当中产生感应电动势,这个电动势会阻碍导体当中电流的变化,称为自感电动势。自感电动势同样与穿过线圈的磁通量变化率成正比,由于磁通量 \(\Delta \varPhi\) 与磁感应强度 \(B\) 成正比,而 \(B\) 又与产生该磁场的电流 \(I\) 成正比,所以 \(\Delta \varPhi\)\(\Delta I\) 也成正比,由此就可以得到自感电动势 \(e_L\) 的计算公式:

\[ 自感电动势 e_L = 自感系数 L \times \frac{电流 \Delta I}{时间 \Delta t} \]

上面方程当中的 \(L\) 称为线圈的自感系数,简称为自感或者电感,其大小由线圈本身的特性决定。线圈越长,匝数越多,截面积越大,其自感系数就会越大;除此之外,带有铁芯线圈的自感系数,比没有铁芯要更大。自感系数的单位为亭利,简称,符号为 \(H\)。如果通过线圈的电流在 1s 时间内改变 1A 时产生的自感电动势为 1V,那么该线圈的自感系数就等于 \(1H = \frac{1V \cdot s}{A}\)亭利这个单位值较大,通常会使用更小的毫亨\(mH\))和微亨\(\mu H\)):

\[ 1H = 10^3 mH = 10^6 \mu H \]

指定线圈的自感系数通常是固定的,如果一个指定线圈的截面积\(S(m^2)\)长度\(l(m)\)匝数\(N\)介质磁导率\(\mu(H/m)\),那么其电感值 \(L(H)\) 就等于:

\[ 电感 L = \frac{磁导率 \mu \cdot 截面积 S \cdot 匝数 N^2}{长度 l} \]

电感器

电感器是基于自感原理制作的电子元件,最简单的电感线圈就是将导线空心的绕几圈,或者在磁芯上缠绕几周:

注意:电感元件可以划分为两大类:利用自感原理的电感器,利用互感原理的变压器

电感两端的电压与通过电流的关系为 \(e_L = L \frac{\Delta I}{\Delta t}\),下图展示了电感器的几种电路符号:

注意:使用电感器时需要注意其工作频率,高频电感器的电感量较小,但是可以工作在较高的频率之下;而低频扼流圈的电感量较大,主要应用于低频电路当中。

感抗

感抗是指电感器对于交流电流存在的阻碍作用,其值与电感量大小以及频率高低有关。线圈的感抗 \(X_L\) 与电感 \(L\) 和交流频率 \(f\) 之间存在如下关系:

\[ 感抗 X_L(欧姆) = 2 \pi \cdot 交流频率 f(赫兹) \cdot 电感 L(亨利) \]

由于感抗是由自感所引起的,线圈的电感 \(L\) 越大,自感作用就越大,因而感抗也就越大;交流电的频率 \(f\) 越高,电流的变化率越大,自感作用也就越强,因而感抗也就越大。除此之外,由于直流电的频率 \(f = 0\),所以电感呈现出通路,只存在可以忽略不计的线圈直流电阻;但是电感对于交流电存在着阻碍作用,感抗值远远大于线圈的直流电阻对于交流电流的阻碍作用,这就是电感器的通直隔交特性。

电感器的特性

  • 电励磁:将电能转换成磁能,当直流电或者交流电经过线圈时,会在线圈内外部产生磁场,这个磁场的大小和方向与经过的电流相关;
  • 磁励电:将磁能转换成电能,当通过线圈的磁通量发生改变时,线圈会在磁场的作用下产生感应电动势,磁通量的变化率越大,感应电动势就会越大;当磁场大小与方向不断变化时,感应电动势的大小与方向也在不断发生变化;
  • 电流不能突变:当流过线圈的电流大小发生改变时,线圈上会产生反电动势来维持原电流大小不变;线圈当中的电流变化率越大,其反电动势就会越大;

电感器的串并联

类似于电阻的串联,电感器串联之后的总电感量等于 \(n\) 个串联电感器的电感值之和:

\[ L = L_1 + L_2 + ... + L_n \]

同样的,类似于电阻的并联,电感器并联之后的总电感量的倒数,等于 \(n\) 个并联电感器电感值的倒数之和:

\[ \frac{1}{L} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + ... + \frac{1}{L_n} \]

注意:实际电路设计当中,通常很少将电感器串联或者并联起来进行使用。

互感与变压器

互感

下面两个相互靠近的线圈,当第 1 个线圈当中通过电流 \(i_1\) 时,会在线圈中产生自感磁链 \(\Psi_{11}\),根据右手螺旋定则可以确定其方向;第 1 个线圈产生的磁链会有一部分通过第 2 个线圈,这部分磁链称为互感磁链 \(\Psi_{21}\)。同样的,当第 2 个线圈通过电流 \(i_2\) 时,其所产生的磁链 \(\Psi_{22}\) 也会有一部分通过第一个线圈,从而产生互感磁链 \(\Psi_{12}\),这种两个线圈相互感应的现象称为互感

磁链是导电线圈所链环的磁通量,其单位与磁通量一样为韦伯(Wb)。当一个线圈流过电流时,就会在线圈当中产生磁通 \(\varPhi\),如果线圈的匝数\(N\),并且通过每一匝的磁通量均为 \(\varPhi\),则通过线圈的磁链 \(\Psi\) 等于:

\[ 磁链 \varPsi = 线圈匝数 N \times 每匝磁通量 \varPhi \]

互感系数

针对上述示意图当中的两个线圈,互感磁链与产生该磁链电流的比值称为它们的互感系数,通常采用符号 \(M\) 进行表示,其与自感系数一样也采用亨利(H)作为单位:

\[ 互感系数 M = \frac{互感磁链 \varPsi_{21}}{电流 i_1} = \frac{互感磁链 \varPsi_{12}}{电流 i_2} \]

注意:互感系数只与两个回路的结构位置介质磁导率有关,而与回路当中的电流无关。只有当介质为铁磁性材料时,互感系数才会与电流相关。

假设 \(L_1\)\(L_2\) 分别为两个线圈的电感值,则互感系数 \(M\) 还可以等于:

\[ 互感系数 M = 线圈耦合系数 K \sqrt{线圈 1 电感 L_1 \times 线圈 2 电感 L_2} \]

上面公式当中的 \(K\) 是表征线圈耦合程度的耦合系数,其取值可以为 \(0\) 或者 \(1\)

  • \(K = 0\) 时,说明线圈产生的磁通互不耦合,因而不存在互感;
  • \(K = 1\) 时,说明两个线圈耦合紧密,一个线圈产生的磁通全都与另一个线圈耦合,由于此时产生的互感最大,因而也被称为全耦合

互感电动势

如果 \(i_1\) 随着时间发生变化,那么 \(\varPsi_{21}\) 也会随着时间变化。根据法拉第电磁感应定律,第 2 个线圈将会产生感应电动势,这种由于互感产生的电动势称为互感电动势 \(e_{21} = \frac{\Delta \varPsi_{21}}{\Delta t}\)。同理,当 \(i_2\) 随着时间发生变化,同样也会在第 1 个线圈当中产生互感电动势 \(e_{12} = \frac{\Delta \varPsi_{12}}{\Delta t}\)

根据互感系数 \(M = \frac{\Delta \varPsi_{21}}{i_1} = \frac{\Delta \varPsi_{12}}{i_2}\) 可以推导得到 \(\varPsi_{21} = Mi_1\)\(\varPsi_{12} = Mi_2\),将它们代入上面 \(e_{21}\)\(e_{12}\) 的方程,就可以得到如下的方程组:

\[ \begin{cases} 第2个线圈的感应电动势 e_{21} = \frac{互感磁链变化 \Delta \varPsi_{21}}{时间变化 \Delta t} = 互感系数 M \times \frac{电流变化 \Delta i_1}{时间变化\Delta t} \\ 第1个线圈的感应电动势 e_{12} = \frac{互感磁链变化 \Delta \varPsi_{12}}{时间变化 \Delta t} = 互感系数 M \times \frac{电流变化 \Delta i_2}{时间变化 \Delta t} \end{cases} \]

观察上述方程组可以发现,线圈当中的互感电动势,与互感系数 \(M\) 和另一个线圈当中电流变化率 \(\frac{电流变化 \Delta i}{时间变化 \Delta t}\) 的乘积成正比;互感电动势的方向,可以通过楞次定律进行判定。

互感线圈同名端

互感线圈当中,与感应电动势极性始终保持一致的端点称为同名端,反之则称为异名端,电路原理图当中通常会使用圆点 \(\cdot\) 符号标识互感线圈的同名端。当电流 \(i\) 通过线圈 1并且随着时间逐步增大时,电流 \(i\) 所产生的自感磁通互感磁通也会随着时间增加。由于磁通的变化,线圈 1当中就会产生自感电动势,而线圈 2当中就会产生互感电动势

当原电流增大时,反电动势会阻碍其增大,这样就可以判断出反向电动势产生的反向电流方向 \(i_{反}\) 是从 1 流向 2,与原电流 \(i\) 的方向相反。反向电动势产生于线圈 1的两端,根据内电路当中电流是从负极流向正极的原理,可以绘制出线圈 1两端电动势的正负极性,即 2 端为正 1 端为负。

对于线圈 2,当电流 \(i\) 增大时,由于互感的作用,导致通过线圈 2的磁通增加,根据楞次定律,可以判断出互感电流 \(i_互\) 的方向(下图左侧)。同样根据内电路当中电流从负极流向正极的原理,还可以绘制出线圈 2两端电动势的正负极性,即 4 端为正 3 端为负。由此可见 1324 的极性相同。采用同样的分析方法,就可以绘制出自感电动势互感电动势的方向(下图右侧):

如果上图当中的电流 \(i\) 并非增大而是在减小,那么各个端点的正负极性都会发生改变。但是无论电流 \(i\) 如何变化,上面第一张示意图当中的 13 和第二张示意图当中的 14 的电动势极性始终会保持一致,属于同名端

  1. 第一张示意图当中的 13 以及 24同名端,而 14 以及 23异名端
  2. 第二张示意图当中的 14 以及 23同名端,而 13 以及 24异名端

同名端关系只取决于两个耦合线圈的绕向相对位置,与电压和电流没有关系,电路当中具有互感的两个线圈可以按照如下两种方式进行绘制:

上述判断同名端的方式,需要事先了解线圈的绕向,但是在实际情况下,线圈经过浸漆或者其它处理,外观上已经无法判断其具体绕向。在这种情况下,就需要采用实验法来进行判断:

上面电路当中,线圈 1与电阻 \(R\)、开关 \(S\) 串联之后,连接至直流电源 \(E\),将线圈 2两端连接至万用表的表笔,形成闭合回路。然后迅速闭合开关 \(S\),使电流从线圈 11 端流入,电流随着时间不断增大 \(\frac{\Delta I}{\Delta t} > 0\),如果此时万用表显示正值,则线圈 11 端与线圈 23 端属于同名端,反之 13 就是异名端

互感线圈的串联

将两个具有互感的线圈串联在一起,会存在着两种不同的连接方法:

  • 异名端相接称为顺串
  • 同名端相接称为反串

下图当中的端点 13,以及端点 24 属于同名端。将 23 连接到一起,这样的连接方式称为顺串

假设线圈 1自感系数(电感)为 \(L_1\)线圈 2自感系数(电感)为 \(L_2\),两个线圈的互感系数\(M\),那么顺串之后的电感值 \(L\) 就等于:

\[ 顺串电感 L = 线圈 1 的电感 L_1 + 线圈 2 的电感 L_2 + 2 \times 互感系数 M \]

下图当中的端点 14,以及端点 23 属于同名端。将 23 连接到一起,这样的连接方式称为反串

此时同样的,反串之后的电感值 \(L\) 就可以按照如下公式计算得到:

\[ 反串电感 L = 线圈 1 的电感 L_1 + 线圈 2 的电感 L_2 - 2 \times 互感系数 M \]

注意:如果两个互感线圈的同名端连接在一起,则两个线圈所产生的磁通总是大小相等方向相反,因而相互抵消,这样的线圈不会具有磁通,因而就不存在电感,仅仅只起到一个电阻的作用,该原理通常运用于无感电阻的制作。

互感线圈的并联

假设两个互感线圈的互感系数\(M\),线圈 12 的电感分别为 \(L_1\)\(L_2\),其并联时同样存在着顺并反并两种连接方法。

将对应的同名端并联在一起称为顺并,两个线圈顺并之后的等效电感 \(L = \frac{L_1 \cdot L_2 - M^2}{L_1 + L_2 - 2 \cdot M}\)

而把对应的异名端并联在一起称为反并,两个线圈反并之后的等效电感 \(L = \frac{L_1 \cdot L_2 - M^2}{L_1 + L_2 + 2 \cdot M}\)

变压器

变压器是一种用于改变交流电电压的元件,其基本结构主要是由铁芯铜制绕组两部分共同构成:

  • 铁芯用于构成电磁感应所需的磁路,由磁导率较高而又相互绝缘的硅钢片层叠而成,铁芯可以划分为芯式与壳式两种,芯式铁芯字形,绕组套在铁芯柱上面,该结构多应用于大容量电力变压器;而壳式铁芯字形,绕组被包围在中间,该结构通常应用于小型电子设备的变压器;
  • 绕组采用绝缘良好的漆包线或者纱包线绕制而成,变压器与电源连接的绕组称为初级绕组(也称为原线圈),与负载连接的绕组称为次级绕组(也称为副线圈);变压器的绕组与铁芯之间不同绕组之间绕组匝间的绝缘必须保持良好,因为低压绕组与铁芯之间的绝缘较为简单,所以低压绕组靠近铁芯柱的内层,而高压绕组位于低压绕组的外侧;

上图左侧是变压器的结构示意图,而右侧是它的电路符号。在初级绕组施加交变电压 \(U_1\) 之后,通过的交变电流会在铁芯当中产生交变的磁通量,该磁通量会分别穿过初级绕组次级绕组,从而产生感生电动势。此时,如果次级绕组的负载电路是闭合的,那么就会在次级绕组当中产生交变电流,从而在铁芯当中产生交变的磁通量,该磁通量同样穿过初级绕组次级绕组,并且分别引发感生电动势。这种交变电流在初级与次级绕组当中发生的互相感应现象就是互感现象,互感现象是变压器工作的基础原理

电压变换

初级绕组次级绕组当中的电流共同产生的磁通量,绝大部分都会通过铁芯,仅仅会有一小部分泄露到铁芯之外,粗略计算时可以省略这些泄露掉的磁通量,即认为穿过两个线圈的交变磁通量相同,两个线圈每匝所产生的感生电动势相等。假设初级绕组的匝数\(N1\)次级绕组的匝数\(N2\),而穿过铁芯的磁通量\(\varPhi\),那么初级与次级绕组当中产生的感生电动势 \(e_1\)\(e_2\) 分别等于:

\[ \begin{cases} 初级绕组感生电动势 e_1 = 初级绕组匝数 N_1 \frac{穿过铁芯的磁通量变化 \Delta \varPhi}{所花费的时间 \Delta t} \\ 次级绕组感生电动势 e_2 = 次级绕组匝数 N_2 \frac{穿过铁芯的磁通量变化 \Delta \varPhi}{所花费的时间 \Delta t} \end{cases} \implies \frac{初级绕组感生电动势 e_1}{次级绕组感生电动势 e_2} = \frac{初级绕组匝数 N_1}{次级绕组匝数 N_2} \]

初级绕组中的感生电动势 \(e_1\) 起着阻碍电流变化的作用,与施加在初级绕组两端电压 \(U_1\) 的作用相反,属于反电动势。由于初级绕组的电阻很小,如果忽略不计则有 \(U_1 = e_1\)。此时次级绕组相当于一个电源,其感生电动势 \(e_2\) 相当于电源的电动势,由于次级绕组的电阻也很小,如果同样忽略不计,则次级绕组就会相当于一个没有内阻的电源,所以次级绕组的端电压 \(U_2\) 等于感生电动势 \(e_2\),即 \(U_2 = e_2\),经过推导就可以得到关于变压比 \(n\) 的方程:

\[ \frac{初级绕组两端电压 U_1}{次级绕组两端电压 U_2} = \frac{初级绕组匝数 N_1}{次级绕组匝数 N_2} = 变压比 n \]

由此可见,变压器初级与次级绕组的电压有效值之比等于两个线圈的匝数比 \(n\),这个 \(n\) 被称为变压比

  • 如果 \(N_2 > N_1 \implies n<1\),那么 \(U_2 > U_1\),变压器会让电压升高,称为升压变压器
  • 如果 \(N_2 < N_1 \implies n>1\),那么 \(U_2 < U_1\),变压器会让电压降低,称为降压变压器
  • 如果 \(N_2 = N_1 \implies n=1\),此时 \(U_2 = U_1\),用于隔离初级与次级绕组上的电压,称为隔离变压器

变压器当中,次级绕组的输出电压一定是交流电压,该电压的频率与施加到初级绕组两端的交流电压频率相同。因为初级绕组产生的交变磁场变化规律与输入交流电压的变化规律相同,而次级绕组输出的交流电压变化规律也与磁场变化规律保持相同,所以输出电压与输入电压的频率相同

如果向变压器的初级绕组施加直流电压,那么初级绕组当中流过的就是直流电流,此时初级绕组产生的磁线大小与方向均不会发生改变,导致次级绕组不能产生感生电动势,即次级绕组两端不会输出任何的电压。

  • 变压器不能将初级绕组的直流电流施加到次级绕组,因而具有隔直的特性
  • 变压器流过初级绕组的电流为交流电流时,次级绕组两端存在着交流电压输出,因而具有通交的特性

电流变换

变压器工作时的功率主要由次级绕组输出,由于变压器的线圈存在电阻,极小部分会损耗在变压器内部转换为热能,从而损耗掉一部分能量(称为铜损)。而铁芯在交变磁场当中反复进行磁化,也会损耗掉一部分能量导致铁芯发热(称为铁损)。变压器的能量损耗很小,效率很高,大型变压器的效率甚至可以达到 97% ~ 99.5%,所以实际计算通常会忽略掉这些损耗的能量,近似的认为变压器的输入与输出功率相等 \(U_1 I_1 = U_2 I_2\),根据变压比方程 \(\frac{U_1}{U_2} = \frac{N_1}{N_2}\) 联立就可以得到:

\[ \begin{cases} U_1 I_1 = U_2 I_2 \\ \frac{U_1}{U_2} = \frac{N_1}{N_2} \end{cases} \implies \frac{初级绕组电流 I_1}{次级绕组电流 I_2} = \frac{次级绕组匝数 N_2}{初级绕组匝数 N_1} \]

上述方程展现了变压器工作时,初级与次级绕组当中电流的关系,即初级绕组与次级绕组当中的电流有效值与线圈的匝数成反比

注意:变压器的高压线圈匝数多通过的电流小,可以选择比较细的导线绕制;而低压线圈匝数少而通过的电流大,则应当选择较粗的导线进行绕制。

阻抗变换

当负载运行时,变压器还具有变流作用,负载阻抗 \(Z_L\) 决定电流 \(I_2\) 的大小,而电流 \(I_2\) 又决定了初级绕组的电流 \(I_1\) 的大小。即初级绕组存在着一个等效阻抗 \(Z'\),其作用是将次级绕组的阻抗 \(Z_L\) 折合到初级绕组的电路当中:

当变压器的次级绕组连接至 \(Z_L\) 以后,对于电源而言,相当于连接上阻抗为 \(n^2 \cdot Z_L\) 的负载,而当变压器负载阻抗 \(Z_L\) 确定时,调整变压器初级与次级绕组的匝数比 \(n\),就可以获得所需要的阻抗,具体可以参考如下的推导过程:

\[ \begin{cases} 次级绕组负载阻抗 Z_L = \frac{U_2}{I_2} \\ 初级绕组等效阻抗 Z' = \frac{U_1}{I_1} \end{cases} \implies \frac{Z'}{Z_L} = \frac{U_1}{U_2} \times \frac{I_2}{I_1} = \bigg( \frac{N_1}{N_2} \bigg) = n^2 \implies Z' = n^2 \cdot Z_L \]

注意:当电路输入端阻抗与信号源内阻相等时,信号源就可以将信号功率最大限度的传递给电路。同样的,当负载阻抗与电路的输出阻抗相等时,负载获得的功率最大。这种情况就称为阻抗匹配。实际电路当中,信号源与负载的阻抗并不总是匹配,因而需要在两者之间添加专用的阻抗匹配电路

功率

变压器初级绕组的输人功率为 \(P_1=U_1 I_1 \cos \phi_1\),其中 \(\phi_1\)初级绕组当中电压与电流的相位差。变压器次级绕组的输出功率为 \(P_2=U_2 I_2 \cos \phi_2\),其中 \(\phi_2\)次级绕组当中电压与电流的相位差。由此,就可以得到变压器的损耗功率 \(P_{损}\)

\[ 变压器损耗功率 P_{损} = 初级绕组输入功率 P_1 - 次级绕组输出功率 P_2 \]

效率

变压器次级绕组上的输出功率 \(P_2\) 与初级绕组上的输入功率 \(P_1\) 之比,称为变压器的效率 \(\eta\)

\[ 变压器效率 \eta = \frac{次级绕组输出功率 P_2}{初级绕组输入功率 P_1} \]

额定参数

变压器制造厂商根据国家相关标准,会对变压器的工作与使用参数进行一系列的限制与规定,这些参数称为额定值,变压器的额定参数通常会采用下标 \(N\) 来进行表示:

  • 额定电压\(U_{1N}\)\(U_{2N}\)):变压器安全稳定工作所允许的最大电压值,其中 \(U_{1N}\) 是指初级绕组一侧电源的电压,而 \(U_{2N}\) 则是指次级绕组一侧空载时的电压;
  • 额定电流\(I_{1N}\)\(I_{2N}\)):变压器安全稳定工作所允许通过的最大电流值,其中 \(I_{1N}\) 是指初级绕组一侧所允许通过的最大电流,而 \(I_{2N}\) 则是指次级绕组一侧所允许通过的最大电流。变压器的满载运行是指变压器负载运行时,次级绕组通过电流为 \(I_2 = I_{2N}\) 的运行方式。而变压器的欠载运行是指 \(I_2 < I_{2N}\) 的运行方式。过载运行则是指 \(I_2 > I_{2N}\) 的运行方式;
  • 额定容量\(S_N\)):是指次级绕组输出的额定视在功率,单位为 VA。由于变压器效率极高,所以通常将初级与次级绕组的额定容量设计为相等;
  • 额定频率\(f_N\)):是指变压器安全稳定运行时所需的工作频率,单位为 Hz,我国规定的工业标准频率(简称工频)为 50Hz

涡流

发电机电动机变压器的铁芯并非由整块金属构成,而是由许多硅钢薄片层叠而成。这是由于块状金属在变化的磁场当中,金属内部会产生感应电流,这些电流会在金属内部形成旋涡状的闭合回路,称为涡电流,简称为涡流。由于整块金属的电阻通常较小,所以涡流通常也会较强。

上面示意图当中,在块状的铁芯上面绕制了绝缘导线,当交流电通过导线时,穿过铁芯的磁通量不断发生变化,铁芯内部就会产生上图虚线所示的涡流。由于块状铁芯的电阻较小,所以内部涡流较强,从而导致铁芯大量发热,损耗了大量电能。为了减少这种涡流损失,通常会将涂有绝缘油漆的硅钢薄片层叠起来组成铁芯,这样涡流被限制在狭窄的薄片范围之内,回路的电阻较大,涡流大为减弱。

注意:铁芯采用的硅钢,电阻率比普通钢材更大,从而可以进一步的降低涡流损失。

铜损 & 铁损

由于变压器初级与次级绕组的铜质导线电阻造成的能量损耗称为铜损,当变压器空载时,由于初级绕组的电阻通常较小,空载电流与电压之间的相位差非常大(接近 90°),因此铜损可以被忽略,此时的损耗基本上等于铁损;而当变压器工作时,铜损主要取决于负载电流的大小,而负载电流的大小与负载的阻抗有关,因而铜损大小实质上由负载的大小与功率因数所决定。

由于变压器铁芯造成的能量损耗称为铁损,铁损包括磁滞损耗涡流损耗两个部分。磁滞损耗是铁芯在反复磁化过程当中造成的损耗,其与铁芯材料的性质相关;涡流损耗则是由于铁芯当中感生电流(涡电流)产生焦耳热造成的损耗,采用喷涂有绝缘油漆的硅钢薄片层叠而成的铁芯,可以大为减少涡流损失;除此之外,铁损的大小还与电源电压的大小相关,当电源电压一定时,铁损基本为恒定量,而与负载电流无关,造成铁损基本等于其空载损失。

正弦交流电

直流与交流

直流电是方向不会发生改变的电流,可以将其进一步划分为恒定直流电脉动直流电两种类型。其中,方向大小均不会发生改变的称为恒定直流电,而方向不变大小发生变化的则称为脉动直流电

交流电大小方向都会发生改变的电流,同样可以进一步划分为纯交流电非纯交流电两种类型。纯交流电的电流平均值为,而非纯交流电的平均值不为零

由于所有非正弦交流信号都可以使用多个正弦交流信号叠加而成,所以正弦交流电的应用较为广泛,它即可以通过发电机产生,也可以通过三极管、电感、电容组成的正弦波振荡器产生。

正弦交流电

大小与方向均随时间按照正弦规律进行周期性变化的电流 \(i\)电压 \(u\)电动势 \(e\) 称为正弦交流电流/电压/电动势,它们在某一时刻 \(t\) 的瞬时值,可以采用如下的三角函数方程来进行表示:

\[ \begin{aligned} 交流电流 & i = 交流电流峰值 I_m \times \sin(交流电角频率 \omega \times 时间 t + 初相位 \phi) \\ 交流电压 & u = 交流电压峰值 U_m \times \sin(交流电角频率 \omega \times 时间 t + 初相位 \phi) \\ 交流电动势 & e = 交流电动势峰值 E_m \times \sin(交流电角频率 \omega \times 时间 t + 初相位 \phi) \end{aligned} \]

瞬时值 最大值 有效值 平均值

直流电不随时间发生变化,通过其电流电压的大小就可以进行描述;而交流电的大小与方向都会随着时间做周期性变化,描述时需要采用更多的物理量。

  • 瞬时值:交流电在某一个瞬间的大小,通常采用小写字母进行表示,例如电动势 e、电流 i、电压 u
  • 最大值:交流电在一个周期内所能达到的最大值,也被称峰值,通常采用大写字母和下标 m 进行表示,例如电动势 \(E_m\)、电流 \(I_m\)、电压 \(U_m\)
  • 有效值:根据交流电流的热效应进行定义,让交流电和直流电通过相同阻值的电阻,如果在单位时间内产生的热量相等,则将这个直流电的大小称为交流电的有效值;正弦交流电的有效值与最大值(峰值)之间具有 \(U = \frac{U_m}{\sqrt{2}}\)\(I = \frac{I_m}{\sqrt{2}}\) 的关系,而对于正负半周最大值相等的方波电流,其热效应与大小为其最大值的直流电相同,所以其有效值等于最大值;
  • 平均值:由于正弦交流电的波形对称,所以单个周期内的平均值等于,这种情况下可以对其波形的 \(0 \sim \pi\) 正半周期取平均值,这个平均值就称为交流电的平均值。其中,交流电动势平均值可以表示为 \(E_{av}\)交流电流平均值可以表示为 \(I_{av}\)交流电压平均值可以表示为 \(U_{av}\),正弦交流量的平均值与最大值之间具备 \(E_{av} = \frac{2}{\pi} E_m\)\(I_{av} = \frac{2}{\pi} I_m\)\(U_{av} = \frac{2}{\pi} U_m\) 的换算关系:

正弦交流电三要素

正弦波的三要素分别为幅值频率初相位

  1. 幅值反映的是正弦交流电的变化范围;
  2. 角频率周期频率反映的是正弦交流电的变化快慢;
  3. 初相位反映的是正弦交流电的起始状态;

注意:一旦上述三个物理量确定,其正弦波也就确定,因而正弦交流电的分析就紧紧围绕这三个要素展开。

周期与频率

类似于其它表征周期性过程的参数,交流电使用了周期或者频率两个参数来表征变化的快慢:

  • 周期:交流电完成一次周期性变化所需的时间,通常使用字母 \(T\) 进行表示,单位为(s);
  • 频率:交流电在一秒内完成周期性变化次数,通常使用字母 \(f\) 进行表示,单位为赫兹(Hz);

其中,周期与频率的换算关系如下面的方程组所示:

\[ \begin{cases} 周期 T = \frac{1}{频率 f} \\ 频率 f = \frac{1}{周期T} \end{cases} \]

注意:我国交流电的工业标准频率(工频)为 50Hz,其周期为 0.02秒,角频率为 314 rad/s

角频率

角频率是一个用于描述交流电角度变化快慢的物理量,表征的是单位时间内变化的相角弧度值,通常使用符号 \(\omega\) 进行表示,单位为弧度/秒(rad/s)。

\[ 角频率 \omega = \frac{2 \pi}{周期 T} = 2 \pi \cdot 频率 f \]

注意:角频率 \(ω\)、周期 \(T\),频率 \(f\) 三个量当中只有一个属于独立量,它们都属于反映交流电变化快慢的物理量。

相位 初相位 相位差

根据前述的交流电瞬时值表达式可以看出,交流电的瞬时值并非简单的由时间 \(t\) 来决定,而是由 \(\omega t + \phi\) 共同来确定的,这个值就称为交流电的或者相位,相位是一个用于表征特定时刻在波形循环当中所处位置的物理量,其单位为弧度(rad)。其中,\(\phi\) 是在时间 \(t = 0\) 时刻的相位,称为初相位,初相位与计时起点相关。如果将下图当中波形的起始选取在 A 点位置,那么电压的初相位 \(\phi = 0°\);如果波形起始选取在 B 点位置,则电压的初相位 \(\phi = 90°\)

初相位可以是任意数值,但是习惯会让初相位的绝对值小于 \(\pi\),例如下面图象所示:

两个交流电的相位之差称为相位差,采用 \(\Delta \phi\) 进行表示。如果交流电的频率相同,则相位差就等于初相位之差。假设存在两个正弦交流电压 \(e_1\)\(e_2\),其相位分别为 \((\omega t + \phi_1)\)\((\omega t + \phi_2)\),那么它们之间的相位差 \(\Delta \phi\) 就等于:

\[ 相位差 \Delta \phi = e_1 的相位 (\omega t + \phi_1) - e_2 的相位 (\omega t + \phi_2) = e_1 的初相位 \phi_1 - e_2 的初相位 \phi_2 \]

当相位差 \(\Delta \phi > 0\) 的时候,\(e_1\) 会比 \(e_2\) 先达到正负最大值,此时 \(e_1\)\(e_2\) 超前 \(\Delta \phi\) 角,或者说 \(e_1\) 的初相位大于 \(e_2\) 的初相位;

当相位差 \(\Delta \phi < 0\) 的时候,说明 \(e_1\) 的相位滞后于 \(e_2\) 的初相位:

当相位差 \(\Delta \phi = 0\) 的时候,说明 \(e_1\)\(e_2\) 的变化步调一致,可以同时达到正负最大值,这种情况称为同相位

当相位差 \(\Delta \phi = 180°(\pi)\) 的时候,该情况称为 \(e_1\)\(e_2\) 反相,两个交流电的变化步调恰好相反。当一个到达正最大值,另一个则会到达负最大值;而一个减小至零,另一个则会增大至零

\(\Delta \phi = 90°(\frac{\pi}{2})\) 时,这种情况称为 \(e_1\)\(e_2\) 正交,其特点是当 \(e_1\) 达到最大值时,\(e_2\) 正好等于

正弦交流电的表示方法

正弦交流电可以分别采用函数法图像法向量图法来进行表征。其中,函数法是指利用三角函数方程来表示正弦交流特征的方法,例如前面介绍的交流电流 \(i = I_m \times \sin(\omega t + \phi)\)交流电压 \(u = U_m \times \sin(\omega t + \phi)\)交流电动势 \(e = E_m \times \sin(\omega t + \phi)\) 瞬时值表达式,就是采用了该种表示方法。

除此之外,正弦交流电还可以使用函数对应的图像来进行表示,其最大值周期初相位任一时刻瞬时值都可以在图像当中表达出来,这就是更为形象直观的图像法

由于正弦交流电的三要素在旋转的有向线段当中存在着一一对应关系,因而也可以采用旋转的有向线段来表示进行表示,而这种方式被称为相量图法

在上面的示意图当中,从原点出发绘制一条有向线段,其长度等于正弦量的最大值 \(I_m\),其与横轴的夹角等于正弦量的初相位 \(\phi\),此时以角频率 \(\omega\) 逆时针进行旋转,则在任意一个瞬间,该有向线段 \(I_m\) 在纵轴上的投影就等于该正弦量的瞬时值 \(i = I_m \sin(\omega t + \phi)\)。由于分析同频率正弦量的时候,只需要使用大小相位两个要素,所以有向线段 \(I_m\) 可以直接用于表达正弦交流电。

通过上述旋转的有向线段来表示正弦量较为烦琐,通常只会使用初始位置\(t = 0\) 时刻的有向线段 \(I_m\) 表征一个正弦量,其长度等于正弦量的幅值,与横轴正方向的夹角等于正弦量的初相位

上述的有向线段围绕角频率做逆时针方向旋转,其在纵轴上的投影表示的是正弦量的瞬时值。由于实际问题当中,通常涉及的都是正弦量的有效值,因而为了方便起见,通常会让有向线段的长度等于正弦量的有效值(即下图当中的 \(I\)),此时纵轴上的投影就不再表示正弦量的瞬时值:

这种采用具备大小方向有向线段来表征正弦量的方法,称为向量图表示法。这个具有大小与方向的有向线段称为向量,通常采用大写字母加符号 \(\cdot\) 来进行表示。

注意:当使用向量图来表示正弦量的幅值初相时,一般以横轴 OX 的正方向作为参考,向量与横轴 OX 正方向的夹角表示初相;以横轴 OX 正方向作为起始,逆时针旋转相位角度为顺时针旋转相位角度为,向量的长度表示正弦量的有效值或者最大值

通过向量图可以清晰的表达出各个正弦量大小相位的关系,例如下图左侧是正弦交流电压 \(u\)电流 \(i\) 的波形图,根据波形图当中展现的正弦量大小与相位绘制出右侧的向量图,可以看到 \(u\) 超前 \(i\) 的相位为 \(\Delta \phi\)。由此可见,采用向量图来分析交流量的关系简单又明晰:

注意:向量图只能用于表征正弦周期量,除此之外,不同频率的正弦量不能绘制到同一张向量图。

R / L / C 电路

纯电阻电路

如果交流电路当中只存在电阻元件,那么该电路就被称为纯电阻电路

电压 & 电流的关系

纯电阻电路当中,电流电压在任意时刻的关系都遵守着欧姆定律。假设电阻\(R\),添加在其两端的交变电压\(u = U_m \sin \omega t\),此时通过该电阻的瞬时电流 \(i\) 等于:

\[ 瞬时电流 i = \frac{交变电压 u}{电阻 R} = \frac{电压峰值 U_m}{电阻 R} \sin (角频率 \omega \cdot 时间 t) = 电流峰值 I_m \cdot \sin (角频率 \omega \cdot 时间 t) \]

如果纯电阻电路当中的电压电流均采用有效值,那么其关系就会完全遵循欧姆定律

\[ 电流有效值 I = \frac{电压有效值 U}{电阻 R} \]

注意:纯电阻电路当中的电流电压保持同相,换而言之,电阻不会影响到电流与电压的相位关系。

功率消耗

瞬时功率

纯电阻交流电路当中,当电流 \(i\) 流过电阻 \(R\) 时,会导致电阻产生热量,电阻消耗功率将电能转化为热能,由于流过电阻的电流与电阻两端的电压伴随时间不断发生变化,所以电阻 \(R\) 消耗的功率也会随着时间不断变化。电阻当中某一时刻消耗的电功率称为瞬时功率,其值等于电压 \(u\)电流 \(i\) 瞬时值的乘积,使用小写字母 \(p\) 进行表示:

\[ 瞬时功率 p = 瞬时电压 u \times 瞬时电流 i = 峰值电流 I_m \cdot 峰值电压 U_m \sin^2 (角频率 \omega \cdot 时间 t) \]

根据交流电的最大值(峰值)与有效值之间的关系,可以得到:

\[ 瞬时功率 p = 有效电压 U \cdot 有效电流 I \cdot (1 - \cos (2 \times 角频率 \omega \cdot 时间 t) \]

上述的方程说明,任意一个瞬间都恒有瞬时功率 \(p \ge 0\),说明电阻总是在吸收功率,属于耗能元件。下图展示了瞬时功率 \(p\) 伴随瞬时电压 \(u\)瞬时电流 \(i\) 变化而发生变化的规律:

平均功率

虽然瞬时功率可以表征电阻消耗功率的瞬时状态,但是不便于去表达与比较大小,所以工程实践当中,经常使用瞬时功率在一个周期内的平均值来表示功率,称为平均功率,通常采用大写字母 \(P\) 进行表示,日常讨论的功率主要就是指平均功率

\[ 平均功率 P = 有效电压 U \times 有效电流 I = 有效电流 I^2 \times 电阻 R = \frac{有效电压 U^2}{电阻 R} \]

注意:平均功率的表达式与直流电路当中功率的表达形式完全相同,不同之处在于交流电路当中的电流电压要使用有效值。除此之外,该公式仅适用于纯电阻电路

纯电感电路

直流电路当中,影响电流电压关系的只有电阻;而在交流电路当中,影响电流电压关系的,除了电阻之外,还有电感电容。其中,电感采用铜制导线进行绕制,铜的电阻率极小,因此线圈自身的电阻可以忽略不计,而认为线圈只具有电感特性,这种只具有电感特性的电路称为纯电感电路

感抗

由于交流电通过电感线圈时,电流时刻在发生改变,导致电感线圈当中产生自感电动势,从而阻碍电流的变化,这样就形成了对于电流的阻碍作用。这种电感对于交流电的阻碍作用就称为感抗 \(X_L\),其值与电感 \(L\)频率 \(f\) 成正比:

\[ 感抗 X_L = 2 \pi \times 频率 f \times 电感 L \]

接下来,研究纯电感电路当中电流电压的关系,下面电路当中的 \(L\) 是一个电阻可以忽略不计的电感线圈:

改变上图当中交流电源的电压,通过 \(L\) 的电流就会随之发生改变,分析几组电流与电压的数值之后,就会发现纯电感电路当中的电流电压成正比。这里采用 \(\frac{1}{X_L}\) 作为比例恒量,就可以得到纯电感电路当中欧姆定律的表达式:

\[ 电流 I = \frac{电压 U}{感抗 X_L} \]

上述表达式与直流电路上的欧姆定律相比,阻抗 \(X_L\) 相当于电阻 \(R\),不过这里的 \(X_L\) 表示的是电感对于交流信号的阻碍作用。

电感线圈两端添加上交流电压 \(u\)线圈当中就会通过交变电流,由于电流时刻在发生变化,导致线圈产生阻碍电流变化的自感电动势。因此,线圈当中电流的变化会滞后于线圈两端外加电压的变化。如果线圈通过的交流电流\(i\)电压\(u\)、产生的自感电动势\(e_L\),则其正方向如下图所示:

根据基尔霍夫定律可以得到 \(u = -e_L\),再假设电流 \(i = I_m \sin \omega t\),经过推算就可以得到瞬时电压 \(u\) 的表达式:

\[ \begin{aligned} 瞬时电压 u = 峰值电流 I_m \cdot 角频率 \omega \cdot 电感 L \cdot \sin(角频率 \omega \cdot 时间 t + 90°) \\ \xrightarrow{U_m = I_m \omega L = I_m X_L} 峰值电压 U_m \cdot \sin(角频率 \omega \cdot 时间 t + 90°) \end{aligned} \]

纯电感电路当中,电流的相位相比于电压会滞后 90°,如下图所示:

自感电动势本身就是由于电流的变化而产生,如果没有电流,也就不会产生自感电动势。电压 \(u\) 与自感电动势 \(e_L\) 大小相等相位相反 \(u = e_L\),说明由于自感电动势具有阻碍电流变化的性质,导致电源的电压必须对其进行平衡。

注意感抗只是电压电流幅值或者有效值之比,而并不是其瞬时值之比 \(X_L \neq \frac{u}{i}\)。由于电感电路电阻电路存在区别,纯电感电路当中,电压与电流之间并不会存在比例关系,例如当电压 \(u = U_m \sin \omega t\) 的时候,电流 \(i = \frac{U_m}{X_L} \sin(\omega t - 90°) = I_m \sin(\omega t - 90°)\)

扼流圈

电阻由导体本身的电阻率长度横截面积所共同决定,而与其通过的电流无关,根据感抗的公式 \(X_L = 2 \pi f L\) 可以知道感抗与通过电流的频率相关。例如,自感系数为 1H 亨的线圈,对于频率为 \(f = 0\) 的直流电,其阻抗 \(X_L = 0\);而对于 50Hz 频率的工频交流电,对应的阻抗则为 \(X_L = 3.14 MΩ\) ;因此,电感线圈在电路当中具有通直流阻交流或者通低频阻高频的特性。

  • 用于通直流阻交流的电感线圈称为低频扼流圈:线圈绕制在闭合铁心上面,匝数为几千甚至超过一万,自感系数为几十亨,这种线圈对于低频交流电存在着极大的阻碍作用;
  • 用于通低频阻高频的电感线圈称为高频扼流圈:线圈绕制在圆柱形铁氧体上面,或者直接为空心,匝数通常为几百,自感系数仅为几个毫亨,这类线圈对于低频交流电的阻碍作用较小,但对于高频交流电的阻碍作用较大;

功率消耗

瞬时功率

假设电流 \(i = I_m \sin \omega t\),而电压 \(u = U_m \sin(\omega t + 90°)\),则瞬时功率 \(p\) 等于:

\[ p = u \cdot i = \{ I_m \sin \omega t \} \times \{ U_m \sin(\omega t + 90°) \} = U_m I_m \sin \omega t \cos \omega t = \frac{U_m I_m}{2} \sin 2 \omega t = UI \sin 2 \omega t \]

根据该公式可知,瞬时功率 \(p\) 是一个幅值大小等于 \(U \cdot I\),并且以 \(2 \pi\) 作为角频率,随着时间不断发生变化的物理量,其波形如下图所示:

在上图第 1 个和第 3 个的 \(\frac{1}{4}\) 周期之内,由于 \(u\)\(i\) 的正负符号相同,瞬时功率 \(p\)(电流增大,磁场建立,线圈将电能转换为磁能)。而在第 2 个和第 4 个的 \(\frac{1}{4}\) 周期之内,由于 \(u\)\(i\) 的正负符号相反,瞬时功率 \(p\)(电流减小,磁场消失,线圈将存储的磁能转换为电能),瞬时功率的正负可以按照如下方式进行简单直观的理解:

  • 当瞬时功率 \(p\)正值时,外电路处于用电状态,其从电源消耗电能;
  • 当瞬时功率 \(p\)负值时,外电路处于发电状态,其向电源充入电能;
无功功率 & 有功功率

纯电感电路的平均功率 \(P = 0\),不存在能量消耗,只存在电源电感元件之间的能量互换,这种能量互换的规模就采用无功功率 \(Q_L\) 来进行衡量,其单位为(var)或者千乏(kvar),并且规定无功功率等于瞬时功率 \(p\) 的幅值:

\[ 无功功率 Q_L = U \cdot I = I^2 X_L \]

本质上,电感元件属于一种储能元件,它与电源之间进行的是一种能量互换,由于电感元件本身没有消耗能量,所以被命名为无功功率。相应的,平均功率则会被称为有功功率

纯电容电路

对于一个只连接有电容器的电路,如果忽略连接导线的电阻不计,就可以称为纯电容电路

交流电之所以能够通过电容器,是因为在电源的电压升高时,可以为电容器充电,电荷向电容器的极板聚集,形成充电电流;而当电源的电压降低时,电容器开始放电,电荷从电容器的极板释放出来,形成放电电流。电容器的充电与放电不断交替进行,于是电路上就产生了流动的电流。

容抗

对于导线当中形成电流的自由电荷,当电源的电压推动它们向某一个方向进行定向运动时,电容器两个极板积累的电荷会抵制其向该方向进行定向运动,从而导致电容对于交流电存在着阻碍作用,这种电容对于交流电的阻碍作用称为容抗,容抗 \(X_c\) 的大小与频率 \(f\)电容器的容值 \(C\) 成反比:

\[ 容抗 X_C = \frac{1}{2 \pi \cdot 频率 f \cdot 电容 C} \]

分析下面电路,研究纯电容电路当中电流电压之间的关系,如果改变电路两端的电压,那么电路当中的电流就会随之而改变:

分析几组电压电流的数据之后就会发现,纯电容电路当中的电流 \(I\)电压 \(U\) 成正比,这里以 \(\frac{1}{X_C}\) 作为比例恒量,就可以得到纯电容电路当中欧姆定律的表达式:

\[ 电流 I = \frac{电压 U}{容抗 X_C} \]

上述方程当中的容抗 \(X_C\) 相当于欧姆定律里的电阻 \(R\),用于表示电容对于交流电的阻抗作用大小。下图当中的电容元件已经连接到了正弦电源,电路当中的电流 \(i\) 与电容器两端的电压 \(u\) 的正方向如下图所示:

当电压发生变化时,电容器极板上的电量也会随之发生改变,在电路当中就会产生电流。如果在电容器两端添加一个正弦电压 \(u= U_m \sin \omega t\),经过推算就可以得到电流 \(i\)

\[ 电流 i = 峰值电流 I_m \sin \times (角频率 \omega \cdot 时间 t + 90°) \]

上面方程当中的电流峰值 \(I_m = U_m \omega C\),因而在纯电容电路当中,电流比电压的相位超前 90°,如下面的图形所示:

隔直与旁路

容抗与通过电流的频率相关,容抗与频率成反比,频率越高容抗越小。例如 10pF 电容器,对于频率为 \(f = 0\) 的直流电,阻抗 \(X_c\) 为无穷大;而对于 f = 50Hz 的工频交流电,阻抗 \(X_C = 318Ω\);对于 500kHz 的交流电,则阻抗 \(X_C = 0.0318Ω\),所以电容器在电路当中具有通交流隔直流或者通髙频阻低频的特性。

实际电路应用当中,电流通常既包含有交流成分,也会包含有直流成分。如果需要将交流成分输送至下一级电路,那么只需要在两级电路之间串联一个电容器,就可以使得交流成分顺利的通过,而直流成分被成功的阻止,这种用法的电容器称为隔直电容器

如果只需要将低频成分传输至下一级电路,则只要在下级电路的输入端并联一个电容器,由于电容器对于高频成分的容抗较小,而对于低频成分的容抗较大,可以使得高频成分顺利的通过电容器,而让低频成分输入到下级电路,这种用法的电容器称为高频旁路电容器

功率消耗

瞬时功率

假设电压 \(u = U_m \sin(\omega t)\),而电流 \(i = I_m \sin(\omega t + 90°)\),那么瞬时功率 \(p\) 就等于:

\[ \begin{aligned} 瞬时功率 p &= 电压 u \times 电流 i \\ &= \{ 峰值电压 U_m \cdot \sin (角频率 \omega \cdot 时间 t) \} \times \{峰值电流 I_m \cdot \sin(角频率 \omega \cdot 时间 t + 90°) \} \\ &= 峰值电压 U_m \cdot 峰值电流 I_m \cdot \sin (角频率\omega \cdot 时间 t) \cdot \cos (角频率\omega \cdot 时间 t) \\ &= \frac{峰值电压 U_m \cdot 峰值电流 I_m}{2} \cdot \sin (2 \times 角频率 \omega \cdot 时间 t) \\ & \xrightarrow{\frac{U_m I_m}{2} = UI} 瞬时功率 p = 电压 U \cdot 电流 I \cdot \sin(2 \times 角频率 \omega \cdot 时间 t) \end{aligned} \]

由上述推导结果可以了解,瞬时功率 \(p\) 是一个幅值为 \(U \cdot I\),并且以 \(2 \omega\) 的角频率随时间变化的物理量,其波形变化如图所示:

在第 1 与第 3 个的 \(\frac{1}{4}\) 周期当中,电压值增高,电容元件充电,此时电容元件会从电源获取电能,并且将其储存在元件内部的电场当中,所以 \(p\)。而在第 2 和第 4 个的 \(\frac{1}{4}\) 周期内,电压值开始降低,此时电容元件释放出充电时储存的电能,所以 \(p\)

无功功率 & 有功功率

纯电容电路当中,平均功率 \(P = 0\),即有功功率等于零,说明电容元件并不消耗能量,电源与电容元件本身之间只是发生了能量转换,这个能量转换的规模就采用无功功率 \(Q\) 来进行表示,其值等于瞬时功率 \(p\) 的幅值。

通常会将电容上的无功功率称为容性无功,其值为;而将电感的无功功率称为感性无功,其值为,这样电容上的无功功率 \(Q_C\) 就可以等于:

\[ 电容无功功率 Q_C = - 电压 U \times 电流 I = - 电流 I^2 \times 容抗 X_C \]

电感与电容元件的比较
  • 电感元件上的电压超前于电流 90°,而电容元件则是电压滞后于电流 90°
  • 感抗容抗的频率特性不同,电感是通直隔交,对于低频信号的阻碍作用较小;而电容是通交隔直,对于高频信号的阻碍较小;
  • 电容电感上面流过的电流相同时,两者功率的流向相反,即电感从电源吸收功率时,电容则刚向电源发出功率,这里采用感性无功与容性无功来表达这种差别。其中,电感的感性无功功率 \(Q_L = UI =I^2 X_L\),而电容的容性无功功率 \(Q_C = -UI = - I^2 X_C\)

RLC 串联电路

电压与电流关系

下图是一个电阻电感电容元件串联组成的交流电路,电路当中的各个元件都通过相同的电流,电流与电压的正方向如下图所示,分析该电路可以应用到前述的纯电阻纯电感纯电容电路理论。

根据基尔霍夫定律可以得到 \(u = u_R + u_L + u_C\),假设电流 \(i = I_m \sin \omega t\) 为参考正弦量,则电阻元件上的电压 \(u_R\) 与电流同相,从而可以得到:

\[ u_R = I_m R \sin \omega t = U_{Rm} \sin \omega t \]

接下来,由于电感元件上的电压 \(u_L\) 超前于电流 \(90°\),由此就可以得到:

\[ u_L = I_m \omega L \sin(\omega t + 90°) = U_{Lm} \sin(\omega t + 90°) \]

类似的,由于电容元件上的电压 \(u_L\) 滞后于电流 \(90°\),同样也可以得到:

\[ u_C = \frac{I_m}{\omega C} \sin(\omega t - 90°) = U_{Cm} \sin(\omega t - 90°) \]

然后,根据阻抗的电压电流关系,就可以分别得到 电阻电容电感 的阻抗:

\[ \begin{cases} \frac{U_{Rm}}{I_m} = \frac{U_R}{I} = R \\ \frac{U_{Lm}}{I_m} = \frac{U_L}{I} = \omega L = X_L \\ \frac{U_{Cm}}{I_m} = \frac{U_C}{I} = \frac{1}{\omega L} = X_C \end{cases} \]

因为同频率的正弦量相加,所得到的仍然是同频率的正弦量,所以电源电压 \(u\) 等于:

\[ u = u_R + u_L + u_C = U_m \sin(\omega t + \phi) \]

观察可以发现,这个电压的幅值为 \(U_m\),与电流之间的相位差为 \(\phi\),这里利用向量图来求解幅值 \(U_m\)相位差 \(\varPhi\)

如果将电压 \(u_R\)\(u_L\)\(u_C\) 表示为向量 \(\dot{U_R}\)\(\dot{U_L}\)\(\dot{U_C}\),将这些向量相加就可以得到电源电压 \(u\) 的向量 \(\dot{U}\)。由电压向量 \(\dot{U}\)\(\dot{U_R}\) 以及 \((\dot{U_L} + \dot{U_C})\) 所组成的直角三角形,称为电压三角形,利用它就可以求解得到电源电压的有效值 \(U\)

\[ U = \sqrt{U_R^2 + (U_L - U_C)^2} = \sqrt{(IR)^2 + (L X_L - L X_C)^2} = I \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \]

上式也可以写做 \(\frac{U}{I} = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}\),此时电路当中电压电流的有效值(幅值)之比就等于 \(\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}\),其单位同样为欧姆,同样对于电流存在着阻碍作用,称为电路的阻抗,使用 \(|Z|\) 进行表示:

\[ |Z| = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2} \]

由此可见,电路的阻抗 \(|Z|\)电阻 \(R\) 以及 \((X_L - X_C)\) 三者之间的关系同样可以采用阻抗三角形来进行表示:

而电源电压 \(u\)电流 \(i\) 之间的相位差,可以通过电压三角形来获得:

\[ \tan \phi = \frac{U_L - U_C}{U_R} \implies \phi = \arctan \frac{U_L - U_C}{U_R} = \arctan \frac{X_L - X_C}{R} \]

阻抗 \(|Z|\)电阻 \(R\)感抗 \(X_L\)容抗 \(X_C\) 表示了电压 \(u\) 及其分量 \(u_R\)\(u_L\)\(u_C\) 与电流 \(i\) 之间的大小与相位关系。随着电路参数的不同,电压 \(u\)电流 \(i\) 之间的相位差 \(\phi\) 也会有所不同,因而可以认为 \(\phi\) 角的大小是由电路的负载参数所决定的。

从上面这个推导公式还可以看到,当频率一定时,不仅相位差 \(\phi\) 的大小取决于电路参数,而且电流是滞后还是超前于电压也与电路的参数有关:

  • 如果 \(X_L > X_C\),即 \(\phi > 0\),则在相位上电流 \(i\)电压 \(u\) 滞后 \(\phi\) 角,该电路具有电感性
  • 如果 \(X_L < X_C\),即 \(\phi < 0\),则在相位上电流 \(i\)电压 \(u\) 超前 \(\phi\) 角,该电路具有电容性
  • 如果 \(X_L = X_C\),即 \(\phi = 0\),则在相位上电流 \(i\)电压 \(u\) 同相,该电路具有电阻性

RL 串联电路

电阻 \(R\)电感 \(L\) 串联的交流电路当中,电源电压 \(\dot{U}\) 等于电阻的电压降 \(\dot{U_R}\)电感的电压降 \(\dot{U_L}\) 之和:

\[ 电源电压 \dot{U} = 电阻的电压降 \dot{U_R} + 电感的电压降 \dot{U_L} \]

根据 RLC 串联电路的相位关系,电阻的电压降 \(\dot{U_R}\) 与电流 \(\dot{I}\) 同相,电感电压降 \(\dot{U_L}\) 超前于电流 90°,由此就可以绘制出对应的相量图。然后将 \(\dot{U_R}\)\(\dot{U_L}\) 的向量相加之后,就可以得到外加电压 \(\dot{U}\)

从向量图当中可以看出 \(U \neq U_R + U_L\),即电源电压的有效值不等于电阻电感两端电压的有效值之和。

功率消耗

瞬时功率

已知电压 \(u\)电流 \(i\) 的变化规律与相互关系之后,就可以求解出瞬时功率 \(p\)

\[ p = ui = U_m I_m \sin(\omega t + \phi) \sin \omega t \implies p = UI \cos \phi - UI \cos(2 \omega t + \phi) \]

无功功率 & 有功功率

电阻元件会消耗电能,通过计算可以得到电阻元件的平均功率,公式当中的 \(\cos \phi\) 称为功率因数

\[ P = UI \cos \phi \]

对于电感电容元件,由于会存储与释放电能,并且与电源之间存在着能量互换,相应的无功功率可以根据 \(Q_L = UI = I^2 X_L\)\(Q_C = -UI = -I^2 X_C\) 得到,考虑到 \(U_L\)\(U_C\) 的相位相反,于是就可以得到:

\[ Q = (U_L - U_C) I = I^2(X_L - X_C) = UI \sin \phi \]

上述的两个公式,是计算正弦交流电路当中平均功率一般功率)和无功功率的一般公式。

注意:一个交流电源的输出功率,不仅与其端电压输出电流的有效值乘积相关,还与负载的参数相关。如果负载的参数不同,那么电压与电流之间的相位差 \(\phi\) 也就会不同,在相同的电压 \(U\)电流 \(I\) 之下,电路的有功功率无功功率同样也会有所不同。

视在功率

视在功率 \(S\) 是一个用于表示交流电器设备容量的物理量,其值等于电压有效值 \(U\)电流有效值 \(I\) 的乘积:

\[ 视在功率 S = 电压有效值 U \times 电流有效值 I = 电流有效值 I^2 \times |电路阻抗 Z| \]

生产实践里的交流电气设备,通常是按照额定工作电压 \(U_N\)额定工作电流 \(I_N\) 来设计使用。相应的,这些交流电气设备的容量就可以使用额定视在功率 \(S_N = U_N \times I_N\) 来进行标识,其单位为伏安(VA)或千伏安(kVA)。

平均功率 P无功功率 Q视在功率 S 三个功率之间存在着如下的计算关系:

\[ 视在功率 S = \sqrt{平均功率 P^2 + 无功功率 Q^2} \]

显然,上述公式也可以采用功率三角形来进行表示,功率/电压/阻抗三角形都是相似的,这里分别将它们标识在下面的图形当中:

注意:功率 \(P\)\(Q\)\(S\) 都并非正弦量,所以不能采用向量来进行表示。

本节内容介绍了电阻电感电容元件串联的交流电路,实际生活当中比较常见的是电阻与电感元件的串联电路(忽略电容)和电阻与电容元件的串联电路(忽略电感)。

归纳总结

直流电路电动势电压电流 大小方向均不会发生变化,采用的分析定理有欧姆定律基尔霍夫定律叠加原理戴维南定理等。直流电路当中,电容器会阻断电流,而电感器则会正常导通。除此之外,直流电路并不会存在相位的问题,也不会存在无功功率视在功率,而只存在有功功率的概念。

正弦交流电路当中的电压电流会按照正弦规律进行交替变换,其方向在一个周期内被划分为正半周负半周两个部分,而大小由变化到峰值又变回。正弦量拥有振幅(峰值)、周期初相位三个要素。正弦交流电路当中,电感会让电流滞后,而电容会使电流超前,由于两者都是储能元件,理想状态下即不会消耗功率也不会产生热量。

注意:实际电路当中,通常同时存在着直流交流信号,此时需要将电路划分为直流和交流两个部分来进行计算,最后再将计算得到的结果进行叠加。

RLC 并联电路(附录)

电阻 R电感 L电容 C 并联时,如果 RLC 元件两端的电压有效值\(U\),那么总电流 \(I\)总阻抗 \(|Z|\) 与每条并联支路上电流电压的关系为:

\[ \begin{cases} 电容支路电流 I_C = \frac{有效电压 U}{容抗 X_C} \\ 电感支路电流 I_L = \frac{有效电压 U}{感抗 X_L} \\ 电阻支路电流 I_R = \frac{有效电压 U}{电阻 R} \end{cases} \implies \begin{cases} 总电流 I = \sqrt{I^2_R + (I_L - I_C)^2}\\ \frac{1}{总阻抗 |Z|} = \sqrt{(\frac{1}{R})^2 + (\frac{1}{X_L} - \frac{1}{X_C})^2} \end{cases} \]

功率因数的提高(附录)

功率因数降低的原因

直流电路的功率等于电流电压的乘积,但是在计算交流电路的平均功率(有功功率)时,还需要考虑到电压电流之间的相位差 \(\phi\),即 \(P = UI \cos \phi\),该公式当中的 \(\cos \phi\) 就称为电路的功率因数

根据前面的内容可以了解,电路的功率因数取决于负载参数。当属于电阻性负载的时候,电压电流同相,其功率因数等于 1。而对于其它类型负载,既存在电阻也存在着电抗,其电压电流之间存在着相位角 \(\phi\),通常这种电感性负载的功率因数较低,一般介于 0.5 ~ 0.6 之间,说明交流电源的额定容量无法被充分利用,输出了大量的无功功率,导致供电效率降低。

除了电压电流之间相位角导致的功率因数下降以外,输入电流或者电压波形失真也是引起功率因数下降的重要原因。例如开关电源采用了桥式整流电容滤波电路来实现 AC/DC 转换,由于滤波电容的充放电作用,其两端的电压呈现出锯齿状纹波。滤波电容上电压的最小值与最大值相差不大,根据桥式整流二极管的单向导电性,只有在 AC 电路上的电压瞬时值高于滤波电容上的电压时,整流二极管才会由于正向偏置而导通。而当 AC 输入电压的瞬时值低于滤波电容上的电压时,整流二极管就会由于反向偏置而截止。

换而言之,在 AC 电路上电压的半个周期范围之内,二极管仅在其峰值附近才会导通,导通角约为 70° 度。虽然 AC 的输入电压仍然大体保持正弦波形,但是 AC 的输入电流却呈现出高幅值的尖峰脉冲,如下图所示:

这种严重失真的电流波形当中包含有大量的谐波成份,容易导致电路功率因数的严重下降。

提高功率因数的措施

为了提高负载的功率因数,通常会采取补偿措施,最为简单的方法是在电感性负载的两端并联上电容器,这种方法称为并联补偿,其电路图(左侧)与向量图(右侧)如下所示:

其中,\(\phi_1\)感性负载电流 \(\dot{I_1}\)输入电压 \(\dot{U}\) 之间的相位差。而 \(\phi\) 则是并联电容器以后,电流 \(\dot{I}\)输入电压 \(\dot{U}\) 之间的相位差。

并联电容器之后,电感性负载的电流 \(I_1 = \frac{U}{\sqrt{R^2 + X_L^2}}\)功率因数 \(\cos \phi_1 = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X_L^2}}\) 均未发生变化,但是电压 \(u\)电流 \(i\) 之间的相位差 \(\phi\) 变小(即 \(\cos \phi\) 变大)。

注意:此处讨论的功率因数提高,是指提高电源的功率因数,而非提高某个电感性负载的功率因数。

如果电容值选取适当,还可以使得 \(\phi = 0\)。当电感性负载并联上电容器之后,减少了电源与负载之间的能量互换,此时电感性负载所需的无功功率,主要由电容器提供。换而言之,能量的互换主要发生在电感性负载与电容器之间,从而使得电源得到更为充分的利用。

注意:并联电容器之后,由于有功功率并没有发生改变,所以电容器并不消耗电能。

除了并联补偿方法之外,还可以采用专门的功率因数校正电路(PFC,Power Factor Correction),它不同于传统的并联补偿,主要是针对非正弦电流波形而采取的提高线路功率因数,迫使 AC 电流追随电压波形的瞬时变化轨迹,并使得电流电压保持相同的相位,最终让整个电路呈现纯电阻性的措施。

RC 与 LC 电路

RC 的串联与并联

RC 串联电路

电阻 R电容 C 串联之后(左图),由于电容 C 对于各种频率信号的容抗各不相同,所以整个 RC 电路的阻抗特性曲线如(右图)所示:

RC 串联电路会对各个频率的信号呈现出不同的阻抗,当信号频率大于转折频率 \(f_0\) 以后,电容 C 的容抗 \(X_C = \frac{1}{2 \pi fc}\) 几乎为零,由 RC 串联电路的阻抗公式 \(|Z| = \sqrt{R^2 + X_C^2}\) 可以知道 \(|Z| \approx R\),此时 RC 串联电路的总阻抗主要由电阻 R 的大小来决定。

而当信号频率小于转折频率 \(f_0\) 时,由于信号频率已经比较低,电容 C 的容抗较大,不能被忽略,此时 RC 串联电路的总阻抗为电阻 R电容 C 的阻抗之和。又由于电容 C 的容抗会随着频率的降低而增大,所以特性曲线当中频率 \(f < f_0\) 的一段是上升的,频率越低阻抗就越大。RC 串联电路的转折频率 \(f_0\) 可以通过下面的公式进行确定:

\[ f_0 = \frac{1}{2 \pi RC} \]

通过上面方程可以看到,当电阻 R 保持不变时,增大电容 C 会降低转折频率 \(f_0\),而当电容 C 减小时,则会增大转折频率 \(f_0\)。相应的,通过改变电阻 R 的大小也可以调整转折频率 \(f_0\) 的大小。

RC 并联电路

下图所示是 RC 并联电路(左侧)及其对应的阻抗特性曲线(右侧):

该电路的阻抗特性曲线上也存在着一个转折频率 \(f_0\),其值同样可以通过下面的公式计算得到:

\[ f_0 = \frac{1}{2 \pi RC} \]

  • 当信号频率低于转折频率 \(f_0\) 时,此时电容 C 相当于开路,整个电路的阻抗由电阻 R 所决定;
  • 当信号频率高于转折频率 \(f_0\) 时,此时总阻抗为电阻 R电容 C 阻抗的并联值。由于频率升高之后电容 C 的容抗下降,所以 RC 并联电路总阻抗的斜率也在下降;

RC 串并联电路

RC 串并联电路(左图)及其阻抗特性曲线(右图)如下图所示,此处不再进行专门的分析与讨论:

RC 滤波器

滤波器是一种可以通过或者阻止特定频带信号的电路,可以分为无源滤波器有源滤波器两种类型,分别拥有 RCLC 两种电路形式。根据滤波信号的不同,可以再进一步划分为 高通低通带通 三种子类型。

低通 RC 滤波器:当输入信号 \(u_i\) 上低于转折频率 \(f_0\) 的信号进入电路时,电容 C 呈现出较大的容抗,不具备分流的作用,低频信号经过电阻 R 正常输出。而当输入信号 \(u_i\) 上高于 \(f_0\) 的信号进入时,电容 C 的容抗较小,这些高频信号在经过电阻 R 之后,由电容 C 分流接地,所以该电路具备通低频阻高频的作用,此处转折频率 \(f_0 = \frac{1}{2 \pi RC}\)

高通 RC 滤波器:当输入信号 \(u_i\) 中低于转折频率 \(f_0\) 的信号进入时,电容 C 的容抗较大,输出电压 \(u_o\) 减小,并且频率越低输出越小。而当高于转折频率 \(f_0\) 的信号进入时,电容 C 的容抗较小,不会对信号产生衰减作用,从而实现了通高频阻低频的作用,这里的转折频率同样可以由 \(f_0 = \frac{1}{2 \pi RC}\) 求解得到:

带通 RC 滤波器:只会让特定频带的信号通过,而频带之外的信号将会被阻止。将高通与低通滤波器组合到一起,设置适当的电路参数,就可以得到所需要的带通 RC 滤波器。

除此之外,还有由电感 L电容 C 构成 LC 滤波器,由于电感的感抗会随着频率的增加而增加,而电容的容抗会随着频率的增加而减小,因此 LC 低通滤波器的串臂接电感,并臂接电容,而 LC 高通滤波器当中电感与电容的位置正好相反,LC 带通滤波器则同样是 LC 低通与高通两种滤波器的组合运用。

LC 振荡电路

将下图的开关扳到电池组一侧,对电容器进行充电;然后再将开关扳到电感线圈一侧,让电容器通过电感线圈进行放电,此时会发现电流表上的指针左右摆动,表明电路当中产生了大小与方向做周期性变化的交变电流。

这种能够产生大小方向呈周期性变化电流的电路称为振荡电路,上述电路就构成了一个简单的振荡电路,采用示波器观察振荡电流可以发现:LC 回路当中产生的振荡电流与电压按照正弦规律进行变化。

接下来,分析 LC 回路当中产生振荡电流的完整过程:

  1. \(0\) 时刻:开关刚刚扳到线圈一侧的瞬间,已经充电的电容器尚未进行放电,此时电路当中不存在电流;
  2. \(0 \sim \frac{T}{4}\) 阶段:电容器开始放电,由于电感线圈的自感作用,电路当中的电流不会立刻达到最大值,而是从零开始逐渐增大。放电过程当中,线圈周围产生磁场,该磁场会随着电流的增大而增强;随着电容器极板上电荷的逐渐减少,电场逐渐减弱。当放电结束时,电流达到最大值,电容器极板上不再存在电荷,电场能全部转化为磁场能;
  3. \(\frac{T}{4} \sim \frac{T}{2}\) 阶段:电容器放电结束之后,由于电感线圈的自感作用,电路里的电流并不会立刻减小为零,而是会保持原有方向继续流动,从而使得电容器在相反方向上重新充电。电容在反向充电过程当中,随着电流的减小,电感线圈周围磁场逐渐减弱,导致电容器两个极板携带上相反的电荷,电场伴随着极板上电荷的增多而不断增强,此时电路里的磁场能又逐渐转化为电场能。当电容充电结束以后,电流减小至零,电容器极板上的电荷达到最大值,磁场能全部被转化为电场能;
  4. 再放电 \(\frac{T}{2} \sim \frac{3}{4}T\)再充电\(\frac{3}{4}T \sim T\) 阶段:通过不断的充电与放电,电场能与磁场能不断的发生周期性转换,电路当中就产生了振荡电流;

如果振荡过程当中不存在能量损失,振荡过程能够得以持续进行,并且振幅保持不变,这种振荡称为无阻尼振荡

电磁振荡在实际应用当中总会存在着能量损失,部分能量会被电路上的电阻转化为热能,这样振荡电路的能量逐渐损耗,振荡电流的振幅逐渐减小,直至最后完全停止下来,这种振荡就称为阻尼振荡

注意:实际应用当中为了获得这种振幅保持不变的等幅振荡,可以通过晶体管将电源的能量周期性的补充至振荡电路,以补充振荡过程当中的能量损耗。

振荡电路当中发生无阻尼振荡的周期与频率,称为该振荡电路的固有周期(简称为周期)和固有频率(简称为频率)。当添加至电容器上的电压恒定时,电容器的电容越大,其容纳的电荷就越多,放电与充电的时间就越长,周期也就越长,频率就会越低;电感器线圈的电感值越大,阻碍电流变化的作用就会越强,放电与充电所需的时间也就会越长,因而周期就会越长,频率也就会越低。周期 \(T\)(秒)和频率 \(f\)(赫兹)分别与自感系数 \(L\)(亨利)和电容 \(C\)(法拉)的关系如下面方程组所示:

\[ \begin{cases} 周期 T = 2 \pi \sqrt{电感 L \times 电容 C} \\ 频率 f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{电感 L \times 电容 C}} \end{cases} \]

注意:由此可见,改变电容或者电感,就可以调整振荡电路的周期频率

LC 谐振电路

LC 串联谐振电路

下图描述了一个 LC 串联谐振电路,假设信号电压\(u\)频率\(f\),当电路里的感抗 \(X_L\)容抗 \(X_C\) 相等 \(2 \pi f L = \frac{1}{2 \pi f C}\) 时,那么 \(\phi = \arctan \frac{X_L - X_C}{R} = 0\),此时输入信号电压 \(u\) 与电流 \(i\) 同相,该串联电路产生谐振现象,称为串联谐振

串联谐振频率

由于 \(2 \pi f L = \frac{1}{2 \pi f C}\) 是产生串联谐振的条件,由此就可以得到谐振频率 \(f_0\)

\[ 信号频率 f = 谐振频率 f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{电感 L \times 电感 C}} \]

从上面的方程可以看到,谐振频率 \(f_0\) 只与电感 L电容 C 的大小有关,而与电阻 R 无关。当输入的信号频率 \(f\) 等于该电路的固有谐振频率 \(f_0\) 时,电路就会发生串联谐振现象。由此可见,通过调节电感 L电容 C 以及输入的信号频率 \(f\),都可以使得电路发生谐振。

串联谐振特性
  • 谐振时电路的阻抗 \(|Z|=\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = R\),可见此时的阻抗值最小,并且呈现出纯阻性。下面的示意图里,阻抗在谐振频率 \(f_0\) 位置达到最小,该频率对应的阻抗为回路当中的电阻 R

  • 因为谐振时的阻抗值为最小,所以在信号电压不变的情况下,电路当中的电流 \(I\) 将会在谐振时达到最大值 \(I_0\)

  • 电路发生谐振时,由于感抗 \(X_L\)容抗 \(X_C\) 相等,所以电感 L 上的电压等于电容 C 上的电压(电感 L 上的电压超前于电流 90°,而电容 C 上的电压滞后电流 90°),因而信号电压 \(\dot{U}\) 与电阻 R 上的电压 \(\dot{U_R}\) 保持一致:

  • \(X_L = X_C > R\) 的时候,电感 L电容 C上的电压都将会高于信号电压,但是电压过高会导致元件损坏,因而通常需要避免发生串联谐振。但是在无线电射频应用当中,经常会利用串联谐振来进行选频。

注意:由于串联谐振时电感 L电容 C 上的电压会超过信号电压许多倍,所以串联谐振也被称做电压谐振

电感 L 的电压 \(U_L\) 以及电容 C 的电压 \(U_C\)信号电压 \(U\) 的比值使用品质因数 \(Q\) 来进行表示:

\[ 品质因数 Q = \frac{电容电压 U_C}{信号电压 U} = \frac{电感电压 U_L}{信号电压 U} = \frac{1}{\omega_0 CR} = \frac{\omega_0 L}{R} \]

品质因数 \(Q\) 简称为 \(Q\) 值,表征的是发生谐振时,电容或电感元件上的电压是输入信号电压的 \(Q\) 倍。例如品质因数 \(Q = 100\),而输入电压 \(U = 6mV\),那么电路发生谐振时,电容或者电感元件上的电压为 \(U_L = U_C = 600mV\)

串联谐振应用

无线电射频接收机选择信号时,就运用到了串联谐振原理。下图是接收机当中的输入电路,其作用是将目标频率信号,从天线所接收到的诸多频率信号当中选择出来:

该电路主要由天线线圈 \(L_1\),以及电感线圈 \(L\) 与可变电容器 \(C\) 组成的串联谐振电路所共同构成。天线接收到的各种不同频率信号会在 LC 谐振电路当中产生 \(e_1\)\(e_2\)\(e_3\)感应电动势

上图当中的 \(R\) 是电感线圈 \(L\) 的电阻,通过调节可变电容 \(C\) 的容值,就可以将目标信号的频率调整至串联谐振频率,此时 LC 回路当中该频率的电流最大,可变电容器 \(C\) 两端的该频率电压也就最高。而其它频率由于未能达到谐振,在回路当中产生的电流较小,从而起到了选择信号和抑制干扰的作用。

除此之外,当谐振曲线比较尖锐时,稍微偏离谐振频率,信号会就大大减弱。换而言之,谐振曲线越尖锐,选择性也就越强。为了定量描述信号选择性的优劣程度,此处引入了通频带宽度的概念:

电流 \(I\) 达到其最大值 \(I_0\)70.7% 位置(\(\frac{1}{\sqrt{2}}\))时,其上限(\(I_0\))与下限(\(0.707 I_0\))之间所对应的频率宽度 \(f_1 + f_0 + f_2\) 就称为通频带宽度。通频带宽度越小,说明谐振曲线就越尖锐,电路的频率选择性也就越强。谐振曲线的尖锐或者平坦,与品质因数 Q 的值密切相关:

假设电路的电感值 L 和电容值 C 不变,只改变电阻值 R,那么根据 \(Q = \frac{1}{\omega_0 CR} = \frac{\omega_0 L}{R}\)品质因数 Q 的值越大,电阻值 R 就会越小,谐振曲线就会越尖锐,信号选择性也就会越强。

LC 并联谐振电路

下图是一个 LC 并联谐振电路,其中 R 表示的是电感 L 的直流电阻:

并联谐振频率

LC 并联谐振电路的谐振频率 \(f_0\),可以通过下面的公式计算得到:

\[ 谐振频率 f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{电感 L \times 电容 C}} \]

通过上面的方程可以看出,LC 并联谐振电路的谐振频率与 R 无关,而只会与电感 L 和电容 C 相关,当信号频率等于该电路的固有谐振频率 \(f_0\) 时,就会发生并联谐振现象。

并联谐振特性
  • 发生并联谐振时,电路的阻抗值达到最大,并且呈现纯阻性,阻抗大小\(|Z| = \frac{L}{RC}\)

  • 发生并联谐振时,如果信号电压恒定,那么电路当中的电流 \(I\) 将会在谐振频率 \(f_0\) 处达到最小值

  • 并联谐振回路当中也引入了品质因数 Q 的概念,与串联回路一样 \(Q = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}\)
  • 发生并联谐振时,由于回路的总电流较小,而电容与电感支路的电流将会达到最大值,即回路总电流的 Q 倍,但是两者的方向相反大小近似,其差值为回路总电流。由于电容与电感支路当中的电流达到最大值,所以并联谐振也被称为电流谐振
  • 不同 Q 值具备不同的曲线,Q 值较大的曲线更为尖锐。谐振频率 \(f_0\) 位置,电路的阻抗最大。当信号频率 \(f\) 高于或者低于谐振频率时,电路的阻抗将会下降,并且偏差越多阻抗就会越小:

注意:同样可以利用并联谐振时阻抗较高的特点,对信号进行选择,并且将干扰信号滤除。

陷波器

陷波器广义上也属于一种滤波器,其作用是阻碍特定频带的信号,而该频带之外的信号则能够顺利通过,因而也被称为吸收电路

LC 串联谐振式陷波器

下面是 LC 串联谐振陷波器电路(左侧)及其输出信号特性曲线(右侧),输出信号 \(u_o\) 在频率 \(f_0\) 位置较弱,说明该频率的信号已经被阻隔:

由于 LC 串联谐振电路在谐振时的阻抗最小,假设谐振频率\(f_0\),此时输入信号当中的 \(f_0\) 频率信号被该电路分流至。而对于远远高于或低于 \(f_0\) 频率的信号,由于 LC 电路失去谐振能力,电路的阻抗较大不能对地分流,从而只会吸收以 \(f_0\) 为中心频率的较小频带信号。

LC 并联谐振式陷波器

下面是 LC 并联谐振陷波器电路(左侧)及其输出信号特性曲线(右侧):

由于 LC 并联谐振电路的阻抗 \(|Z|\) 为最大值,\(|Z|\) 又与下方的电阻 \(R\) 构成分压电路,此时输出信号 \(u_o = \frac{R}{R+|Z|}u_i\),可见在谐振频率 \(f_0\) 位置,由于阻抗 \(|Z|\) 最大,所以输出信号 \(u_o\) 最小,即输入信号的衰减较大。而对于输入信号 \(u_i\) 当中频率远远高于或者低于谐振频率 \(f_0\) 的信号,由于电路失去谐振效应,阻抗 \(|Z|\) 变得非常小,所以输出电压与输入电压近似相等 \(u_o \approx u_i\)

桥 T 式陷波器

下面是 桥 T 式谐振陷波器电路(左侧)及其等效电路(中间),以及它们的输出信号特性曲线(右侧):

上图左侧是一个由电阻 \(R\)电容 \(C\) 构成的三角形电路,通过三角形到星形的等效变换,可以将其转换为中间的等效电路,该电路的谐振频率 \(f_0\) 可以通过下面的公式计算得到:

\[ 谐振频率 f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{电感 L \times (2 \times 电容 C)}} \]

上图中间的等效电路当中,\(-\frac{R}{4}\) 是一个负电阻,当 \(r = \frac{R}{4}\) 的时候,该回路谐振时的总电阻为零,对于频率为 \(f_0\) 的信号体现出了极强的隔离能力。

并联桥 T 式陷波器

下面是 并联桥 T 式陷波器电路(左侧)及其输出信号特性曲线(右侧):

并联桥 T 式是在桥 T 式陷波器电路的基础上,在原来的电感 L 上面并联了电容器 \(C_1\),从而构成了一个 LC 并联谐振电路,其谐振频率为 \(f_{02}\)。当输入信号频率低于 \(f_{02}\) 时,该 LC 并联谐振电路失去谐振能力,此时电路呈现出感性,可以将其等效为一个电感 L。这个等效电感 \(L\)电阻 R 以及两个电容 C 构成了一个桥 T 式陷波电路,其吸收频率为 \(f_{01}\),并且 \(f_{01} < f_{02}\)。由此可见,该并联桥 T 式陷波器会阻隔频率为 \(f_{01}\) 的信号,而对频率为 \(f_{02}\) 的信号则会起到提升的作用。

RC 与 LC 移相电路

移相电路可以使得输出信号的相位滞后或者超前于输入信号指定角度,本小节将会介绍几种常用的移相电路。

RC 移相电路

RC 移相电路主要由电阻 R电容 C 两个元件组成,流经电阻 R 的电流与其两端的电压相位相同,而流过电容 C 的电流超前于电压 90°,RC 移相电路正是利用电容器的这个特性来实现移相的。

RC 超前移相电路

下图左侧是 RC 超前移相电路,该电路当中 \(u_i\) 为输入信号电压,而 \(u_o\) 为输出信号电压(也就是电阻 R 两端的电压)。这个电路能够让 \(u_o\) 信号的相位超前于 \(u_i\),移相电路的分析通常需要应用到右侧的向量图

根据向量图可以清楚的看到,\(\dot{U_C}\)\(\dot{U_i}\) 的夹角为 \(\phi\),即 \(\dot{U_o}\) 超前于 \(\dot{U_i}\)\(\phi\) 角。说明输入信号添加到该电路之后,输出信号被超前移相了 \(\phi\),所以该电路属于超前移相电路。分析该向量图还可以知道,通过改变 \(\dot{U_R}\) 或者 \(\dot{U_C}\) 的大小,就可以改变移相角 \(\phi\),只要适当选取电阻 R电容 C 的值,就能够获取 90° 范围之内的相位超前量

RC 滞后移相电路

下图左侧是 RC 滞后移相电路,该电路与 RC 超前移相电路的主要区别在于互换了电阻 R电容 C 的位置,输入电压依然为 \(u_i\),而输出电压 \(u_o\) 则来自于电容 C 两端的电压 \(u_c\),该电路能够使得输出信号 \(u_o\) 的相位滞后于输入信号 \(u_i\)

根据向量图可以知道,\(\dot{U_o}\)\(\dot{U_i}\) 的夹角为 \(\phi\),并且 \(\dot{U_o}\) 滞后于 \(\dot{U_i}\),说明输入信号进入该电路之后,输出信号被滞后移相了 \(\phi\),所以该电路属于滞后移相电路。除此之外,还可以从向量图当中发现,通过改变 \(\dot{U_R}\)\(\dot{U_C}\) 的大小,就可以调整相位角 \(\phi\),即适当选取电阻 R电容 C 的值,就能够获取 90° 范围以内的相位滞后量

RL 移相电路

RL 超前移相电路

下图左侧是 RL 超前移相电路电感 L 可以让电压超前于电流 90°,恰好与电容的特性相反,该电路当中输入电压为 \(u_i\),输出电压 \(u_o\) 取自于电感 L 的两端:

观察向量图可以看到,\(\dot{U_o}\) 超前于 \(\dot{U_i}\)\(\phi\) 角,通过调整 \(\dot{U_R}\) 或者 \(\dot{U_L}\) 的大小,就可以改变移相角 \(\phi\),因此只要适当选取电阻 R电感 L 的值,就能够获得 90° 范围以内的相位超前量

RL 滞后移相电路

下图左侧是 RL 滞后移相电路,该电路的输出电压 \(u_o\) 取自于电阻 R 的两端,而不像上面的 RL 超前移相电路那样取自电感 L 两端。

分析上图右侧的向量图可以发现,输出信号 \(\dot{U_o}\) 滞后于输入信号 \(\dot{U_i}\) 的角度为 \(\phi\) ,该电路的最大滞后相移量为 90°

LC 谐振移相电路

LC 并联谐振移相电路

下图左侧的 LC 并联谐振移相电路主要由电感 L电容 C 构成,其中电感 L 的值可以进行微调,该电路的谐振频率\(f_0\),下图右侧为该谐振电路的相频特性曲线

  • 当输入信号频率等于谐振频率 \(f_0\) 时,其输出信号的相移量等于 0
  • 当输入信号频率大于谐振频率 \(f_0\) 时,相移量 \(\phi\) 为负值(最大为 -90°),表示滞后相移
  • 当输入信号频率小于谐振频率 \(f_0\) 时,相移量 \(\phi\) 为正值(最大为 +90°),表示超前相移

该电路移相的原理为:如果需要对输入频率为 \(f_i\) 的信号进行滞后相移,那么只需要调整电感 L 的值,使得该电路的谐振频率 \(f_0 < f_i\),从而实现对频率 \(f_i\) 信号的滞后相移。反之,如果需要对输入信号 \(f_i\) 进行超前相移,同样只需要调整电感 L 的值,使得电路的谐振频率 \(f_0 > f_i\),从而就可以实现对于频率 \(f_i\) 的超前相移。

注意:对于 LC 并联谐振电路,当输入信号频率 \(f_i\) 等于该谐振频率 \(f_0\) 时,谐振电路呈现出阻性;当 \(f_i\) 大于 \(f_0\) 时,则该电路呈现容性;而当 \(f_i\) 小于 \(f_0\) 时,该电路就会呈现感性

LC 串联谐振移相电路

串联谐振移相电路与上述并联谐振移相电路的不同之处在于,当输入信号频率 \(f_i > f_0\) 时,就会发生滞后相移;而当 \(f_i < f_0\) 时,发生的是超前相移。与并联谐振移相电路一样,只需要通过调节电感 L,就能够改变 LC 串联谐振电路的谐振频率大小,从而获得 \(-90° \sim +90°\) 范围内的相移。

注意LC 串联谐振电路的输入信号频率 \(f_i\) 等于其谐振频率 \(f_0\) 时,谐振电路呈现出阻性;当 \(f_i\) 大于 \(f_0\) 时呈现感性;而当 \(f_i\) 小于 \(f_0\) 时就会呈现出容性

趋肤效应

当交流信号通过导线时,由于导线上各个部分的电流密度分布不均匀,导致内部的电流密度较小,而表面的电流密度较大,这种现象就称为趋肤效应。产生趋肤效应的原因主要是由于感抗的作用,导线内部比表面具有更大的电感,对于交流信号的阻碍作用更大,从而使得电流密集于导线的表面。

趋肤效应会致使导线的有效横截面积减小,导线对于交流信号的阻碍较大。交流信号的频率越高,趋肤效应就越加明显。当频率提高至一定程度以后,就可以认为电流完全从导线表面流过。因而在设计高频交流电路的时候,必须要考虑趋肤效应的影响。解决办法是通过增加导体的表面积,从而尽量克服趋肤效应带来的不良影响。

复数与交流电路

复数基础

复数的表达形式

复数具有多种表示形式,其代数形式正如下面公式所展示的那样:

\[ 复数 A= 实部 a + 虚数单位 j \times 虚部b \]

其中,a 为复数的实部b 为复数的虚部j虚数单位 \(j = \sqrt{-1}\)。除此之外,复数还可以采用复平面上的有向线段来进行表示:

上图当中的横坐标为实数轴(单位为 +1),纵坐标为虚数轴(单位为 +j),两条轴构成的平面称为复平面

复数 \(A = a + jb\) 就是复平面上横坐标为 a 纵坐标为 b 的一个点,其中 a 作为复数的实数部分,其值等于复数 A实数轴上的投影;而 b 作为复数的虚数部分,其值等于复数 A虚数轴上的投影。除此之外,复平面上矢量 OA 的长度采用 r 进行表示,称为复数的,而矢量与实轴正方向的夹角 \(\phi\),称为复数的辐角。上面的图形当中,复数 A实部 a虚部 b r辐角 Φ 之间存在着如下关系:

\[ \begin{cases} 实部 a = 模 r \times \cos 辐角 \phi \\ 虚部 b = 模 r \times \sin 辐角 \phi \end{cases} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{cases} 模 r = \sqrt{实部 a^2 + 虚部 b^2} \\ 辐角 \phi = \arctan \frac{虚部 b}{实部 a} \end{cases} \]

根据上面的方程组,就可以将 \(A = a + jb\) 改写为如下复数的三角形式

\[ 复数 A = 模 r \cdot \cos \phi + 虚数单位 j \cdot 模 r \cdot \sin \phi \]

除此之外,根据欧拉公式 \(\cos \phi = \frac{e^{j \phi} + e^{-j \phi}}{2}\)\(\sin \phi = \frac{e^{j \phi} - e^{-j \phi}}{2j}\) 还可以得到复数的指数形式

\[ 复数 A = 模 r \times e^{虚数单位 j \times 辐角 \phi} \]

为了便于书写和表达,复数的指数形式还可以变换为极坐标形式

\[ 复数 A = 模 r \times \angle 辐角 \phi \]

综上所述,复数 \(A\) 的多种表达方式都可以总结为下面的等式:

\[ A = a + jb = r \cos \phi + j r \sin \phi = re^{j \phi} = f \angle \phi \]

注意:无论复数采用哪种表达形式,只要拥有 \(r\)辐角 \(\phi\)(或是实部 \(a\)虚部 \(b\))两个要素就可以确定其对应的复数。

复数的四则运算

当复数进行相加或者相减运算的时候,通常采用其代数形式,即实部与实部相加减,虚部与虚部相加减:

\[ \begin{aligned} A_1 = a_1 + jb_1 \\ A_2 = a_2 + jb_2 \end{aligned} \implies A_1 \pm A_2 = (a_1 \pm a_2) + j(b_1 \pm b_2) \]

而复数的乘除法运算,通常会选择使用指数形式或者极坐标形式。当两个复数相乘时,其值相乘,辐角相加;而当两个复数相除时,其值相除,辐角相减:

\[ \begin{aligned} A_1 = r_1 e^{j \phi_1} = r_1 \angle \phi_1 \\ A_2 = r_2 e^{j \phi_2} = r_2 \angle \phi_2 \end{aligned} \implies \begin{cases} A_1 \times A_2 = r_1 r_2 e^{j(\phi_1 + \phi_2)} = r_1 r_2 \angle(\phi_1 + \phi_2) \\ \frac{A_1}{A_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{j(\phi_1 + \phi_2)} = \frac{r_1}{r_2} \angle(\phi_1 - \phi_2) \end{cases} \]

虚数单位 j

电路分析时,经常需要使用到 \(j\) 的乘方运算,由于虚数单位 \(j = \sqrt{-1}\),所以就可以得到下面的一系列结果:

\(j^2 = -1\) \(j^3 = -j\) \(j^4 = -j\) \(\frac{1}{j} = \frac{j}{j^2} = -j\)

根据欧拉公式可以知道 \(e^{j \frac{\pi}{2}} = \cos \frac{\pi}{2} + j \sin \frac{\pi}{2} = +j\),换而言之 \(e^{j \frac{\pi}{2}}\) 就是 \(+j\) 的复数形式,同理还可以得到 \(e^{-j \frac{\pi}{2}}\)\(-j\) 的复数形式。

  • 复数 \(A = re^{j \phi}\) 乘以 \(e^{j \frac{\pi}{2}}\),可以得到 \(re^{j \phi} \times e^{j \frac{\pi}{2}} = re^{j(\phi + \frac{pi}{2})} = jre^{j \phi}\)
  • 复数 \(A = re^{j \phi}\) 乘以 \(e^{-j \frac{\pi}{2}}\),则可以得到 \(re^{j \phi} \times e^{-j \frac{\pi}{2}} = re^{j(\phi - \frac{pi}{2})} = - jre^{j \phi}\)

由此就可以得出结论:复数 \(A\) 乘以 \(+j\) 等于该复数对应矢量在复平面上,从原矢量位置逆时针旋转 \(\frac{\pi}{2}\) 角度;同理,复数 \(A\) 乘以 \(-j\) 等于该复数对应矢量在复平面上,从原矢量位置顺时针旋转 \(\frac{\pi}{2}\) 角度,具体可以参考下面的图形:

正弦量的复数表达

正弦量主要是由幅值(或有效值)、频率初相位三个要素决定,正弦交流电路当中,由于电压与电流均属于同频率的正弦量,因而如果需要求解电压或者电流,只需要获得其幅值/有效值初相位即可,而复数正好可以代表这两个要素

假设电流 \(i\) 的瞬时表达式为 \(i = I_m \sin(\omega t + \phi) = \sqrt{2} I \sin(\omega t + \phi)\),将电流的有效值向量 \(\dot{I}\) 放置到复平面:

结合前面讨论的知识,就可以获得该正弦量的复数表达形式 \(\dot{I}\)

\[ \dot{I} = a + jb = I(\cos \phi + j \sin \phi) = I e^{j \phi} = L \angle \phi \]

由于 \(\dot{I}\) 是复数,其值等于正弦量的有效值 \(I\),辐角等于正弦量的初相角 \(\phi\),这个复数就称为有效值向量。同理,复数 \(\dot{I}_m\) 则被称作电流的最大值向量

注意:为了区别于普通的复数,表示正弦量的复数通常需要添加 \(\dot{}\) 符号。

复数的应用

纯电感欧姆定律向量复数表达式

纯电感电路当中,假设回路电流 \(i = I_m \sin \omega t\),由于纯电感电路当中电流电压滞后 90°,所以电压 \(u = U_m \sin (\omega t + 90°)\),该等式当中的 \(U_m = I_m \omega L\),即 \(U_m = I_m X_L\)

电流 \(i\)电压 \(u\) 瞬时表达式对应的复数形式,可以参考下面的推导过程:

\[ \begin{cases} \dot{I} = I e^{j 0°} = I \angle 0° \\ \dot{U} = U e^{j 90°} = U \angle 90° \end{cases} \implies \frac{\dot{U}}{\dot{I}} = \frac{U}{I} e^{j90°} \]

由于纯电感电路电压电流有效值符合欧姆定律,即 \(U = I X_L\),而 \(X_L = \frac{U}{I}\),从而可以得到纯电感电路欧姆定律的向量复数表达式:

\[ \frac{\dot{U}}{\dot{I}} = \frac{U}{I} e^{j90°} = j X_L \implies \dot{U} = j I X_L = j \dot{I} \omega L \]

纯电容欧姆定律向量复数表达式

纯电容电路当中,假设输入电压 \(u = U_m \sin \omega t\),由于纯电容电路当中电流电压滞后 90°,所以电流 \(i = I_m \sin (\omega t + 90°)\)

电流 \(i\)电压 \(u\) 的瞬时表达式所对应的复数形式,同样可以参考下面的推导过程:

\[ \begin{cases} \dot{U} = U e^{j 0°} = U \angle 0° \\ \dot{I} = I e^{j 90°} = I \angle 90° \end{cases} \implies \frac{\dot{U}}{\dot{I}} = \frac{U}{I} e^{-j90°} \]

由于纯电容电路电压电流有效值符合欧姆定律,即 \(U = I X_C\),而 \(X_C = \frac{U}{I}\),从而就可以得到纯电感电路欧姆定律的向量复数表达式:

\[ \frac{\dot{U}}{\dot{I}} = \frac{U}{I} e^{-j90°} = - j X_C \implies \dot{U} = - j I X_C = - j \frac{\dot{I}}{\omega C} = \frac{\dot{I}}{j \omega C} \]

交流电路频率特性分析

下图左侧 RC 电路上的 \(\dot{U_1}\)输入信号电压,\(\dot{U_2}\)输出信号电压,而右侧是该电路对应的向量图:

根据上述电路,可以求解出该电路的输出电压 \(\dot{U_2}\) 等于:

\[ \dot{U_2} = \dot{I} \times \frac{1}{j \omega c} = \frac{\dot{U_1}}{R + \frac{1}{j \omega C}} \times \frac{1}{j \omega C} = \frac{\dot{U_1}}{1 + j \omega RC} \]

通常情况下,输出电压 \(\dot{U_2}\)输入电压 \(\dot{U_2}\) 的比值称为这个电路的传递函数

\[ \frac{\dot{U_2}}{\dot{U_1}} = \frac{1}{1 + j \omega RC} = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}} \angle - \arctan(\omega RC) = T(\omega) \angle \phi(\omega) \]

可以看到在上述方程当中,传递函数的结果也是一个复数。而等式当中的 \(T(\omega) = \frac{U_2}{U_1} = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}}\) 是输出电压与输入电压有效值的比值,也是角频率 \(\omega\) 的函数。而 \(\phi(\omega) = - \arctan(\omega RC)\) 则是输出电压与输入电压之间的相位差,同样也是角频率 \(\omega\) 的函数。稍加归纳,即可以得出如下的结论:

  • \(\omega = 0\) 时,\(T(\omega) = 1\)\(\phi(\omega) = 0\)
  • \(\omega = \infty\) 时,\(T(\omega) = 0\)\(\phi(\omega) = -\frac{\pi}{2}\)
  • \(\omega = \omega_0 = \frac{1}{RC}\) 时,\(T(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2}} = 0.707\)\(\omega(\phi) = -\frac{\pi}{4}\)

当输出电压下降至输入电压的 0.707 倍时,两者的相位差为 \(-\frac{\pi}{4}\)。实际应用当中,为了使输出电压不至于下降过大,特规定该值为最低限度,此时对应的 \(\omega_0\) 称为截止角频率,其频率特性曲线如下图所示:

可以看到,当 \(\omega < \omega_0\) 的时候,\(T(\omega)\) 的变化不大;而当 \(\omega > \omega_0\) 时,\(T(\omega)\) 下降明显;表明该电路可以通过低频信号,而且能够抑制高频信号,这也就是前面内容介绍过的低通滤波器

三相交流电路

三相交流电的产生

一个线圈在磁场里转动,电路当中只会产生一个交变电动势,此时发出的交流电称为单相交流电。如果在磁场里有三个互成角度的线圈同时转动,那么电路当中就会产生三个交变电动势,此时发出的交流电流称为三相交流电

下图是三相发电机的示意图,在铁芯上固定着 AXBYCZ 三个线圈,它们之间互成 120° 角。转动铁芯就会带动三个线圈在磁场当中匀速的转动,从而发出最大值频率都相同,但是相位并不相同(相位之间互差 120°)的三个电动势。

取上图当中的 \(t = 0\) 时刻作为时间起点,这三个电动势可以分别被表示为 \(e_A\)\(e_B\)\(e_C\)

\[ \begin{cases} e_A = E_m \sin \omega t \\ e_B = E_m \sin (\omega t - 120°) \\ e_C = E_m \sin (\omega t - 240°) = E_m \sin (\omega + 120°) \end{cases} \]

三相交流电依次出现正最大值的顺序称为相序,顺时针按照 A → B → C 顺序循环的相序称为顺序或者正序,而按照 A → C → B 顺序循环的相序称为逆序或者负序相序是由发电机转子的旋转方向决定的,多数情况下会选择使用顺序

三相电源星形连接

电源(例如交流发电机)的三相绕组通常采用星形连接方法,将绕组的 XYZ 三个末端连接在一起形成公共点,称为电源的中性点或者零点,用英文字母 N 进行表示。然后从 ABC 三个首端以及中点 N 引出四条导线与外电路相连接,从而构成一个三相四线制电源

其中,从首端引出的三条导线称为相线或者端线,俗称为火线,分别用字母 \(A\)(黄)、\(B\)(绿)、\(C\)(红) 表示,而从中性点引出的导线称为中线或者零线,采用字母 \(N\)(黑) 进行表示。

相电压 & 线电压

三相四线制电源当中可以获得相电压线电压两种电压形式:

  • 相电压:电源每相两端之间的电压,即相线中线之间的电压,其参考方向是从相线指向中线,有效值采用 \(U_A\)\(U_B\)\(U_C\) 进行表示,或者一律采用 \(U_p\) 进行表示;
  • 线电压:相线与相线之间的电压,其有效值用 \(U_{AB}\)\(U_{BC}\)\(U_{CA}\) 进行表示,或者一律采用 \(U_1\) 进行表示;

线电压相电压之间的换算关系为 \(U_l = \sqrt{3} U_p\),线电压与相电压之间的关系可以采用下面的向量图进行表示:

从上图可以看到,三个线电压之间的相位差仍然为 120°,它们分别比三个相电压超前了 30°。如果相电压是对称的,那么线电压一定也是对称的,根据向量图可以得到三个线电压与三个相电压之间的换算关系:

\[ \begin{cases} U_{AB} = 2 U_A \cos 30° = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} U_A = \sqrt{3} U_A \\ U_{BC} = \sqrt{3} U_B \\ U_{CA} = \sqrt{3} U_C \end{cases} \]

注意:我国的低压三相供电标准为 50Hz 380V/220V,其中的 220V 是指相电压,而 380V 是指线电压\(380 V = \sqrt{3} \times 220V\)),工程上讨论三相电源的电压大小时,通常指的是电源的线电压

三相负载连接

交流用电设备(负载)可以划分为单相负载(使用单相电源供电的用电设备)和三相负载(使用三相电源供电的用电设备)两种类型,三相供电系统当中的负载具有星形\(Y\))和三角形\(\Delta\))两种基本接法。

负载星形连接

对称负载

下图所示的三相四线制电路当中,假设其线电压380V,负载连接要根据其额定电压来决定。通常情况下,电灯(单相负载)的额定电压为 220V,需要连接在火线中线之间。由于电灯负载使用量较大,不能集中连接在一相当中,而应当比较均匀的分布在各相,这种连接方法就被称为星形连接

三相四线制电路当中,负载的星形连接可以采用下图进行表示:

电路当中的 \(Z_A\)\(Z_B\)\(Z_C\) 分别为 \(A\)\(B\)\(C\) 相的负载,并且 \(Z_A = Z_B = Z_C\),它们既可以是三相交流电机的三相绕组,也可以是由三个单相负载组成的三相负载。三个负载的一端连接到火线 ABC,另外三个端连接为公共端,称为负载中点 N,然后将其与电源的中点 \(N'\) 进行连接。

如果忽略输电线路上的阻抗压降,那么每相负载的电压就等于对应电源的相电压,即电源线电压的 \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) 倍:

\[ 电源的相电压 U_p = \frac{1}{\sqrt{3}} 电源的线电压 U_l \]

三相电路当中的电流也有相电流线电流之分,每相负载当中的电流 \(I_p\) 称为相电流,每条火线当中的电流 \(I_l\) 称为线电流。当负载为星形连接时,相电流就等于线电流 \(I_p = I_l\)

对称三相负载星形连接的电路,其各相负载电流的幅度相等,各相电流的相位依次相差 120°,因而三个相电流 \(I_A\)\(I_B\)\(I_C\) 是对称的,而中线电流 \(I_N\) 等于 0。正是由于中线电流为 0,所以动力用电通常会省去中线,而直接采用三相三线制星形供电方式。尽管没有中线,但是由于负载具备对称性,从而保证了负载中点 \(N'\)电源中点 \(N\) 的电位相等。

不对称负载

阻抗不相等的三相负载称为三相不对称负载,该场景主要发生在三相四线制低压民用供电线路当中,由于各个家庭拥有的电器数量不同,使用时间又较为随意,因而供电线路会处于三相不对称负载的运行状态。此时,各相的电流不相等,中线电流也不为零。

正是由于中线的存在,即使三相负载不对称,负载的三个相电压仍然等于对称的电源相电压,因而能够保证负载的正常工作。但是如果中线发生断开事故,就会导致其中一相或者两相的电压升高,造成负载的相电压不等于电源的相电压,进而导致负载损坏或者无法正常工作,同时还会致使负载中点(零线)带电。

注意:三相负载越不对称,这个现象就越为严重,民用供电线路当中出现大范围烧毁家用电器的事故,多数情况就是由于中线断路导致的。

负载三角形连接

负载三角形连接的三相电路可以采用下图电路进行表示,该电路当中的 \(Z_{AB}\)\(Z_{BC}\)\(Z_{CA}\) 为每相的负载

当负载进行三角形连接时,由于各相负载都直接连接到电源的线电压,所以负载的相电压等于电源的线电压。因而无论负载对称与否,其相电压总是对称的:

\[ U_{AB} = U_{BC} = U_{CA} = 线电压 U_l = 相电压 U_p \]

负载三角形连接时的相电流 \(I_p\)线电流 \(I_l\) 并不相同,如果负载对称,那么线电流就是相电流\(\sqrt{3}\) 倍,并且线电流的相位滞后于相电流 30°,即 \(I_l = \sqrt{3} I_p\)

注意三相电动机的绕组即可以连接为三角形,也可以连接为星形,而照明负载通常都连接为具有中线的星形

三相电路的功率计算

有功功率

无论负载是星形连接还是三角形连接,其总有功功率 \(P\) 等于各相有功功率之和,而不管其三相负载对称与否:

\[ 总功率 P = P_A + P_B + P_C = U_A I_A \cos \phi_A + U_B I_B \cos \phi_B + U_C I_C \cos \phi_C \]

上面方程当中的 \(U_A\)\(U_B\)\(U_C\) 是三相负载的相电压,而 \(I_A\)\(I_B\)\(I_C\) 是三相负载的相电流\(\phi_A\)\(\phi_B\)\(\phi_C\) 则是三相负载相电压相电流之间的相位差

当三相负载对称时,每一相的有功功率都相等,因而三相总功率 \(P\) 等于:

\[ 总功率 P = 3 \times 相电压 U_p \times 相电流 I_p \times \cos 相位差 \phi \]

注意:当对称负载是星形连接时,线电压 \(U_l = \sqrt{3} U_p\)线电流 \(I_l = I_p\);当对称负载是三角形连接时,线电压 \(U_l = U_p\)线电流 \(I_l = \sqrt{3} I_p\)

无功功率 & 视在功率

三相电路的无功功率用于衡量三相电源与负载之间能量交换的大小,根据能量守恒定律,三相电路的无功功率 \(Q\) 等于三相负载的无功功率之和:

\[ 无功功率 Q = Q_A + Q_B + Q_C = U_A I_A \sin \phi_A + U_B I_B \sin \phi_B + U_C I_C \sin \phi_C \]

当负载对称时,无功功率 \(Q\)相电压 \(U_p\) 以及相电流 \(I_p\) 之间具备 \(Q = 3 U_p I_p \sin \phi\) 的关系。

注意:无功功率如果没有被负载完全消耗,那么就只能在电路当中反复传送(时而从电源传送到负载,时而又从负载传送至电源),无功功率的这种来回传送不仅会占用电网资源,还会加大传输线路的损耗。

三相电路的视在功率就是三相电路可以提供的最大功率,通常情况下就是电网的容量:

\[ 视在功率 S = \sqrt{P^2 + Q^2} = 3 U_p I_p = \sqrt{3} U_l I_l \]

注意:上面的公式表明,提高功率因数并且减少无功功率,就可以充分发挥电网的供电能力。

安全用电

触电危险因素

触电的危险程度与这些因素紧密相关:通过人体的电流与电压电流作用时间的长短频率高低电流经过人体的途径人体的电阻

单相与双相触电

人体触电主要有单相双相两种触电形式:

  • 单相触电:人体的一部分与带电的相线接触,另一部分又同时与大地或者零线接触;
  • 双相触电:人体的不同部位同时接触两根带电相线,触电的电压较高,危险性非常大;

保护接地

下图是三相电源中性点不接地时的示意图,虽然此时供电线路没有与大地直接连接,但是线路与大地之间却存在着电容效应(分布电容)。供电线路越长,分布电容越大,对于 50Hz 工频而言产生的容抗就越小。如果发生漏电事故,电流将会通过人体大地分布电容构成回路:

如果将负载的外壳通过导线与大地进行连接,那么发生触电事故时,人体的电阻 \(R_r\) 将会与接地电阻 \(R_d\) 并联。人体的电阻较低时约有 1000Ω,而接地装置的接地电阻应当低于 ,显然由于 \(R_r >> R_d\),漏电电流的绝大部分将会被接地电阻 \(R_d\) 分流,此时通过人体的电流较小,从而有效保障了人身安全,这种措施就称为保护接地

注意人工接地体通常需要采用钢管或者角钢植入地下 4m 以上,保护接地仅适于中性点不接地的供电网络。

保护接零

大多数三相四线制供电系统当中,三相电源(发电机)的中性点都是通过接地导线与大地进行可靠连接,此时负载的金属外壳并不会直接接地,而是连接到零线上面,这种措施称为保护接零

当电器发生漏电时,相线通过漏电的金属外壳与零线连通构成回路。由于该回路的电阻较小,导致漏电电流较大,致使相线上的保险丝 FU 熔断,进而切断电源保护人身安全。

如果保护接零系统当中的零线断开,那么非但不会起到保护作用,还会在三相负载不平衡时,引起各相电压不相等,造成用电设备无法正常工作或者烧毁,为此供电系统专门引入了多点重复接地作为保护措施:

正常情况下,重复接地电阻 \(R_c\)中性点接地电阻 \(R_o\) 并联,从而降低接零系统的电阻,提高保护能力。当零线断开时,故障电流就会通过重复接地电阻 \(R_c\) 构成回路,使得保险丝能够及时熔断,进而起到漏电保护的作用。

RC 与 RL 电路过渡过程

本节内容主要分析 RCRL 线性电路的过渡过程,主要讨论两个方面的问题:

  1. 过渡过程当中电压电流随时间变化的规律;
  2. 影响过渡过程快慢的时间常数;

过渡过程

当从一种稳定状态转换至另外一种新的稳定状态时,并不会发生跃变,而是需要经历一定的时间与过程,这个物理过程就称为过渡过程。电路当中产生过渡过程的原因主要有如下两个:

  • 电路当中存在电感 L 或者电容 C 等动态元件,这是产生过渡过程的内因
  • 电路的结构或者参数发生变化,例如开关的开启闭合、元件的接通断开等,这是产生电路过渡过程的外因

之前小节内容讨论的都是稳定状态下的电路,此时电路当中的电压电流已经达到某一个稳态值(对于交流电路而言,指其幅值达到稳定),这就是所谓的稳态,而电路在过渡过程当中的工作状态被称为暂态过程。

换路定则

一个处于稳定状态下的电路,如果电路当中的电源、元件参数、电路结构发生改变,那么电路的工作状态也会发生变化,该电路就会从原来的稳定状态进入另外一种新的稳定状态,这就是所谓的换路。发生换路之后,在过渡过程开始的瞬间,电路当中的电容电压电感电流统称为电路的初始条件或者初始值,而确定电路初始值的依据就是换路定则

下图所示的 RC 电路当中,开关 S 闭合之前,电容两端的电压 \(u_C = 0\),此时电容器极板上的电荷 \(q = 0\);当开关 S 闭合之后,由于电场能量 \(W = \frac{1}{2}C u_C^2\) 不会发生突变,所以电压 \(u_C\) 也就不会突变,电容器两端的电压会从 0 逐步转变为等于 \(U\)

而下图所示的 RL 电路当中,开关 S 闭合之前,电路当中的电流 \(i_L = 0\),电感线圈的磁通 \(\phi = 0\);当开关 S 闭合以后,由于磁场能量 \(W = \frac{1}{2}L i_L^2\) 不会发生突变,所以电流 \(i_L\) 也就无法突变,而必须从 0 逐步变化为 \(\frac{U}{R}\)

简便起见,我们可以认为换路是在一瞬间完成的,通常会将换路瞬间作为计时的起点 \(t = 0_+\),而将换路前的时刻记为 \(t = 0_-\)换路之后的初始时刻则记为 \(t = 0_+\),进而可以得出如下两条结论:

  1. 在换路的一瞬间,如果流过电容电流保持为有限值,则电容两端的电压应当保持换路前瞬间的原始值(不能发生突变),即 \(u_C(0_+) = u_C(0_-)\);对于原来两端不存在电压的电容而言,换路瞬间 \(u_C(0_+) = u_C(0_-) = 0\),电容相当于短路
  2. 在换路的一瞬间,如果电感两端的电压保持为有限值,则电感当中的电流应当保持换路前瞬间的原始值(不能发生突变),即 \(i_L(0_+) = i_L(0_-)\);对于原来不存在电流的电感而言,换路瞬间 \(i_L(0_+) = i_L(0_-) = 0\),电感相当于开路

注意换路定则仅仅只适用于换路一瞬间的状态。

电路初始值计算

电路的初始值就是换路之后 \(t = 0_+\) 时刻的电压电流值,可以根据换路定则基尔霍夫定律,按照下面步骤进行求解:

  1. 根据换路之前稳态电路 \(t = 0_-\) 时刻的等效电路,就可以计算出电容电压 \(u_C(0_-)\)电感电流 \(i_L(0_-)\),由于换路时只有电容电压电感电流维持不变,其它的电压与电流无需进行计算;
  2. 根据换路定则可以得到电容电压与电感电流的初始值,即 \(u_C(0_+) = u_C(0_-)\) 以及 \(i_L(0_+) = i_L(0_-)\)
  3. \(t = 0_+\) 时刻的等效电路当中,如果 \(u_C(0_+) = 0\),就可以将电容器 C 短路;如果 \(u_C(0_+) = U\),则可以用一个电压为 U电压源代替电容;如果 \(i_L(0_+) = 0\),就将电感器 L 开路;如果 \(i_L(0_+) = I\),则采用一个电流为 \(I\)电流源代替电感;
  4. 根据 \(t = 0_+\) 时刻的等效电路,利用稳态电路的分析方法,就可以计算出电路的任意一个初始值。

注意:在换路的一瞬间,仅有电容电压电感电流无法跃变,而电容电流电感电压是可以发生跃变的;而对于纯电阻电路,电流和电压都可以发生跃变。

电路稳态值计算

电路的稳态值是指换路之后,达到新的稳定状态时的电压电流值,通常情况下采用 \(u(\infty)\)\(i(\infty)\) 进行表示。

直流状态下的 RCRL 电路,在电路达到新的稳定状态时,电容器相当于开路,而电感器相当于短路。由此,就可以绘制出 \(t = \infty\) 时的等效电路,再通过直流电路的分析方法进行计算即可。

RC 电路过渡过程

放电过渡过程

下图是一个 RC 串联电路,换路之前,开关 S 处于位置 1,电源对电容进行充电,当充至 \(u_C = U\) 之后,在 \(t = 0\) 时刻,将开关 S位置 1 拨到位置 2,使得电路断开电源,此时电容 C 会经过电阻 R 进行放电:

接下来,讨论放电过程当中,电路的电压电流时间的变化规律。当开关 S位置 1 拔动至位置 2 时,电容器 C 开始放电,此时电容器两端电压 \(u_C\) 的变化规律如下所示:

\[ u_C = U_e^{-\frac{t}{\tau}} \]

假设电流的正方向如上图箭头所示,此时放电电流的变化规律如下面方程所示:

\[ i = \frac{U}{R} e^{-\frac{t}{\tau}} \]

在上面的等式当中,常数 \(e = 2.718\),而 RC 电路的时间常数 \(\tau = RC\)(具有时间量纲)。时间常数 \(\tau\) 会影响电容两端的电压 \(u_C\)电流 \(i\),并且决定电路放电时间的长短。如果 \(\tau\) 越大,就说明电容电阻较大(电容越大,存储电荷越多;电阻越大,放电电流越小);反过来,如果 \(\tau\) 越小,就说明电容电阻较小(放电时间更短,放电电流较大)。

换路之后,当 \(t = \tau\) 的时刻,根据 \(u_C = U_e^{-\frac{t}{\tau}}\) 可以得到 \(u_C(\tau) = U_e^{-1} = \frac{U}{2.718} = 0.368U\),此后每经过一个时间常数 \(\tau\),电容电压就会衰减至原值的 0.368 倍:

\[ \begin{aligned} u_C(2\tau) = 0.368 u_C(1\tau) = 0.135U \\ u_C(3\tau) = 0.368 u_C(2\tau) = 0.050U \\ u_C(4\tau) = 0.368 u_C(3\tau) = 0.018U \\ u_C(5\tau) = 0.368 u_C(4\tau) = 0.007U \end{aligned} \]

理论上,电路只有经过 \(t = \infty\) 时间才能达到稳定,但是实际上只经过了 \(t = 5\tau\) 之后,电容电压就已经衰减至原值的 0.7%。通常认为换路之后经过 \(5\tau\) 时间,电容的放电就已经基本结束,电容上的电压电流变化曲线如下图所示:

电容放电的快慢可以通过改变电路的时间常数来进行控制,下图给出了 \(\tau_1 > \tau_2 > \tau_3\) 三种不同时间常数下 \(u_C\) 的变化曲线:

充电过渡过程

RC 串联电路的开关闭合之后,就会开始对电容器进行充电,此时可以划分为零状态非零状态两种情况来进行分析。

零状态

换路之前,电路当中所有的储能元件均未储存能量,此时属于电路的零状态,即初始状态为零 \(u_C(0_-) = 0\)。当开关 S 闭合以后,电压源开始对电容器进行充电,经过推算,零状态下电容器两端电压 \(u_C\) 的变化规律如下所示:

\[ u_C = U(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}) \]

假设充电电流的正方向如上图所示,同样经过推算,就可以总结出充电电流 \(i\) 的变化规律:

\[ i = \frac{U}{R} e^{-\frac{t}{\tau}} \]

换路之后,当 \(t = \tau\) 的时刻,根据公式 \(u_C = U(1 - e^{-\frac{t}{\tau}})\) 就可以得到 \(u_C(\tau)\)\(u_C(5\tau)\)

\[ u_C(\tau) = U(1 - e^{-1}) = U(1 - 0.368) = 0.632 U \implies \begin{cases} u_C(2\tau) = 0.865U \\ u_C(3\tau) = 0.950U \\ u_C(4\tau) = 0.982U \\ u_C(5\tau) = 0.993U \end{cases} \]

电路在理论上只有经过 \(t = \tau\) 时间才能达到稳定,实际上在经过 \(t = 5\tau\) 之后,电容的电压就已经上升至电压源 \(U\)99.3%。因而通常认为,换路之后经过 \(5\tau\) 时间,电容器的充电就已经基本结束,电容电压 \(u_C\)电阻电压 \(u_R\) 的变化曲线如下图左侧所示,而电流 \(i\) 的变化曲线如下图右侧所示:

注意:电容器充电的快慢可以通过改变电路的时间常数来实现,时间常数越小充电越快,时间常数越大则充电越慢。

非零状态

换路之前,电路当中的储能元件已经储存有能量,此时就处于电路的非零状态。对于本节内容开头的电路而言,假设在换路之前,电容器已经存在 \(U_0\) 电压,根据推算,就可以得到换路之后电容器的充电电压 \(u_C\)充电电流 \(i\)

\[ \begin{cases} u_C = U + (U_0 - U) e^{- \frac{t}{\tau}} \\ i = \frac{U - U_0}{R} e^{-\frac{t}{\tau}} \end{cases} \]

充电电压 \(u_C\)(下图左侧)和充电电流 \(i\)(下图右侧)的波形图分别如下所示:

微分电路

下图就是一个由电阻 R电容 C 构成的微分电路

  • 微分电路的主要作用:当输入下图 A 所示的周期性矩形脉冲时,微分电路就会输出下图 B 所示的正负尖峰脉冲
  • 微分电路的构成条件:输入的脉冲宽度 \(t_p\) 要远远大于电路的时间常数 \(\tau\)

接下来,简要介绍微分电路的工作过程。当输入信号 \(u_1\) 脉冲出现的一瞬间,由于电容 C 两端的电压不能发生突变,所以呈现出短路状态,导致脉冲被添加到电阻 R 上面,此时 R 上的电压 \(u_2\) 为最大。因为 RC 时间常数 \(\tau = RC\) 非常小,所以在脉冲没有消失之前,电容 C 就已经充满了电荷,呈现开路状态。由于没有充电电流经过电阻 R,所以电压 \(u_2\) 等于零,该过程会产生上图 B 所示波形里的正尖峰脉冲。同时,这个过程还会为电容 C 充上左正右负的电压,电压大小为输入信号 \(u_1\) 脉冲的幅值 \(U\)

当输入信号 \(u_1\) 脉冲消失的一瞬间,\(u_1\) 等于零,此时相当于输入端接地。由于电容两端的电压无法突变,此刻电阻 R 上的电压 \(u_2\) 为负的最大电压值 \(-U\),即电容 C 充上了左正右负的电压。又由于电容 C 的左端接地,所以 \(u_2\) 为负电压。因为 \(\tau = RC\) 比较小,所以电容 C 通过电阻 R 很快放电完毕,而 \(u_2\) 又为零,从而得到上图 B 所示波形当中的负尖峰脉冲

当第 2 个脉冲到来的时候,电阻 R 上面又会获得正尖峰脉冲。而当 \(u_1\) 脉冲消失的时候,又会获得负尖峰脉冲。这样就可以通过微分电路,将矩形脉冲转换为正负尖峰脉冲

积分电路

下图就是一个由电阻 R电容 C 构成的积分电路

  • 积分电路的主要作用:当输入下图 A 所示的周期性矩形脉冲时,积分电路将会输出下图 B 所示的锯齿波
  • 积分电路的构成条件:与微分电路的构成正好相反,积分电路的的时间常数 \(\tau\) 要远远大于脉冲宽度 \(t_p\)

接下来,简要介绍积分电路的工作过程。当输入的矩形脉冲信号 \(u_1\) 出现时,输出 \(u_2\) 产生的电流会经过电阻 R电容 C 进行充电,使得电容 C 上面的电压 \(u_2\) 逐渐增大。当脉冲消失之后,\(u_1\) 等于零,电容 C 上面已经充满的电压又会经过电阻 R 进行放电。但是由于时间常数 \(\tau = RC\) 比较大,所以放电过程较为缓慢。当第 2 个脉冲到来的时候,又会对电容 C 继续进行充电,使得输出电压 \(u_2\) 增大。通过观察就可以发现上图 B 所示波形当中,输入脉冲越密集,输出电压 \(u_2\) 就会越大。

RL 电路过渡过程

接通恒定电压

下图是一个由电阻 R电感 L 组成的 RL 串联电路

开关 S 没有闭合的时候,电感器 \(L\) 当中没有存储能量。而将开关 S 闭合以后,电路将会与恒定电压为 \(U\)电压源导通,此时根据推算,电感器两端的电压 \(u_L\) 与电路当中的电流 \(i\) 分别等于:

\[ \begin{cases} u_L = U_e^{-\frac{t}{\tau}}\\ i = \frac{U}{R}(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}) \end{cases} \]

上面方程组当中的 \(\tau\) 同样具有时间的量纲,被称为 RL 电路的时间常数\(u_L\)\(i\) 的变化曲线如下图所示:

短路 & 断开

对于下图所示的 RL 电路,在换路之前,开关 S 与位置 2 导通,整个电路处于稳态,此时电感器 L 当中的电流 \(I = \frac{U}{R}\),电感器储存了磁场能量:

\(t = 0\) 时刻,将开关 S 从位置 2 放回到位置 1,电路就可以变换为下面的形式:

由于电感器 L 上的电流无法突变,所以电感上电流的初始值为 \(i_L(0_+) = i_L(0_-) = \frac{U}{R}\),随后电感器当中存储的能量会不断通过电阻 R 进行释放。电感值 L 越大,电感器上面储存的电量就会越多,释放能量所需要的时间也就会越长,电阻 R 越大,能量的衰减也就会越慢。经过推算,当开关 S 从位置 2 回到位置 1 的时候,如果选定上图箭头所示的方向为正方向,那么电感器上面电流 \(i_L\)电压 \(u_L\) 的变化规律为:

\[ \begin{cases} i_L = \frac{U}{R} e^{-\frac{t}{\tau}}\\ u_L = - Ue^{-\frac{t}{\tau}} \end{cases} \]

上面方程组当中的 \(u_L\) 为负值,说明电感上面电压的方向与参考方向相反,\(i_L\)\(u_L\) 的变化曲线如下图所示:

如果上面 RL 电路当中的开关 S 从电源断开,而并没有进行短路,那么此时电流的变化率 \(\frac{\Delta I}{\Delta t}\) 将会非常大,进而导致线圈产生的自感电动势 \(e_L = L\frac{\Delta I}{\Delta t}\) 也会很大,该自感电动势可能导致开关击穿损毁,所以往往会在把线圈电源断开的同时,对线圈进行短路,使得电流得以逐渐减小。

除此之外,还可以应用其它保护措施,例如在电感线圈的两端并联上续流二极管(下图左),或者接入阻容吸收电路(下图右):