高等教育出版社《电路原理》温习札记
电路理论是一门研究电路分析与网络综合,以及设计规律的基础工程学科。所谓电路分析就是指在给定的电路参数条件下,通过求解电路当中的电压
、电流
了解其所具有的特性;而网络综合是在给定电路技术指标的情况下,设计出电路并且确定元件的参数,使得电路的性能符合预先的设计要求。因此电路分析是电路理论当中最为基础的内容,也是学习电路理论的入门课程,更被列为电子信息工程类专业的通用基础课,因而其重要地位不言而喻。
电路理论作为电子信息工程类专业的技术基础课,可以为相关专业的后续诸多课程提供理论支持,例如模拟电子技术、数字电子技术、信号与系统、电机学、电力系统分析、集成电路设计、自动控制、电力电子技术等课程,它们都需要应用到电路理论当中的相关基础知识。
电路模型与电路定律
电路与电路模型
电路 (Circuit) 也被称为网络 (Network),其中电能或者电信号的发生装置称为电源,而用电设备则被称为负载。
- 激励:是指在电路当中产生
电压
、电流
的电源; - 响应:是指由于激励而在电路当中产生的
电压
与电流
;
注意:根据激励与响应之间的因果关系,可以将激励称为输入,而响应称为输出。
注意:集总参数元件假定是指任意时刻流入二端元件某一个端子的电流,一定等于从另外一个端子流出的电流,并且两个端子之间的电压为一个单值量。由集总参数元件构成的电路被称为集总参数电路。
注意:如果表征元件特性的代数关系是线性关系,则称该元件称为线性元件。如果这种代数关系属于非线性关系,则称该元件被称作非线性元件。
电流 & 电压的参考方向
电路理论当中涉及的物理量主要有电流 \(I\)、电压 \(V\)、电荷 \(Q\)、磁通 \(\varPhi\)
[faɪ]
、磁通链 \(\varPsi\)
[psaɪ]
、电功率 \(P\)、电能 \(W\)。
当分析某一个元件或者某一部分电路的电流
或者电压
时,由于两者的实际方向未知,需要为其指定一个参考方向,从而可以将电压
或者电流
视为代数量来进行处理。
如果电流的参考方向与实际方向一致,则电流为正值(\(i>0\)),否则就为负值(\(i<0\))。电流的参考方向可以任意指定,一般使用箭头和双下标来进行表示。
电压的参考方向也称为参考极性,表达两点之间的电压时,使用正极性
+
表示高电位,而负极性
-
表示低电位,由正极指向负极的方向就是电压的参考方向。
注意:当电路中的电流、电压、电荷等变量随时间变化时,通常约定使用小写字母
i
、u
、q
进行表示,而使用大写字母I
、U
、Q
表示较为恒定的变量,具体的命名还需要结合上下文进行分析。
电流或者电压的参考方向可以独立的进行指定,如果电流
与电压
的参考方向一致,就称为关联参考方向,否则就称为非关联参考方向(下面第
1、2 图为关联参考方向,而 第 3 图属于非关联参考方向):
国际单位制(SI,International
System of
Units)当中,电流的单位为安培
A
(简称安),电荷的单位为库仑
C
(简称库),电压的单位为伏特
V
(简称伏),这些单位可以与如下表示数量级的词头叠加使用:
中文词头 | 英文前缀 | 英文缩写 | 进制 | 中文词头 | 英文前缀 | 英文缩写 | 进制 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
尧 | Yotta |
Y | \(10^{24}\) | 分 | deci |
d | \(10^{-1}\) |
泽 | Zetta |
Z | \(10^{21}\) | 厘 | centi |
c | \(10^{-2}\) |
艾 | Exa |
E | \(10^{18}\) | 毫 | milli |
m | \(10^{-3}\) |
拍 | Peta |
P | \(10^{15}\) | 微 | micro |
μ | \(10^{-6}\) |
太 | Tera |
T | \(10^{12}\) | 纳 | nano |
n | \(10^{-9}\) |
吉 | Giga |
G | \(10^{9}\) | 皮 | pico |
p | \(10^{-12}\) |
兆 | Mega |
M | \(10^{6}\) | 飞 | femto |
f | \(10^{-15}\) |
千 | kilo |
k | \(10^{3}\) | 阿 | atto |
a | \(10^{-18}\) |
百 | hecta |
h | \(10^{2}\) | 仄 | zepto |
z | \(10^{-21}\) |
十 | deca |
da | \(10^{1}\) | 幺 | yocto |
y | \(10^{-24}\) |
电功率 & 能量
电功率与电压
和电流
密切相关,当正电荷从元件上面电压的正极,经过元件运动至电压的负极时,与该电压相对应的电场力需要对电荷作正功,此时元件吸收能量;反之,正电荷从电压的负极,经过元件运动到电压的正极时,与该电压相对应的电场力作负功,元件向外释放电能。
电压的定义是指 A
与 B
两点的电压等于电场力将单位正电荷从 A
点移动至 B
点时所作的功。如果在 \(dt\) 时间之内,存在着 \(dq\)
电荷从元件电压的正极,经过电压 \(u\)
到达电压的负极,此时电场力所做的功,即元件吸收的能量
\(W\) 等于:
\[ dW = udq \]
此时假设元件上的电流 i
与电压 u
成关联参考方向,根据电流
i
的定义 \(i =
\frac{dq}{dt}\) 可以推导得到 \(dW =
uidt\),由于功率 p
是能量 W
的导数,所以元件吸收的功率 \(p\) 等于:
\[ p = \frac{dW}{dt} = ui \]
- 当电压 \(u\) 与电流 \(i\) 处于关联参考方向时,功率 \(p = ui\) 为正值表示该元件吸收功率,反之亦然;
- 当电压 \(u\) 与电流 \(i\) 处于非关联参考方向时,功率 \(p = ui\) 为正值表示该元件发出功率,反之亦然;
此时在 \(t_0\) 到 \(t\) 的时间范围以内,该元件吸收的能量 \(W\) 等于:
\[ W(t) = \int dW = \int^{q(t)}_{q(t_0)} udq = \int^{t}_{t_0} u(\xi) i(\xi) d \xi \]
注意:能量 \(W\) 的单位为焦耳
J
(简称焦),功率 \(p\) 的单位为瓦特W
(简称瓦)。
电阻元件
当线性电阻元件的电压
与电流
取关联参考方向时,任意时刻其两端的电压
u
与电流 i
都遵守欧姆定律:
\[ u = Ri \]
上面等式当中的 R
称为元件的电阻,当电压
u
的单位采用伏特,而电流 i
的单位采用安培时,电阻的单位为欧姆
Ω
,简称为欧。线性电阻元件的符号如下图所示:
电阻的电导 \(G =
\frac{1}{R}\),其单位为西门子
S
,简称为西,此时就可以把欧姆定律转换为下面形式:
\[ i = Gu \]
注意:如果电压
u
与电流i
的参考方向取非关联参考方向,那么 \(u = - Ri\) 并且 \(i = - Gu\)。
由于电压的单位为伏,而电流的单位为安,因而电阻元件的特性也被称为伏安特性。下图是一个线性电阻元件的伏安特性曲线,它是一条通过原点的直线,其斜率与元件的电阻
R
相关:
当一个线性电阻元件两端的电压无论为何值时,经过的电流恒为零,这种现象称为开路。其伏安特性曲线与电压
u
轴重合,也即相当于 \(R=\infty\),\(G=0\):
当流过一个线性电阻元件的电流无论为何值时,其两端的电压恒为零,这种现象称为短路。其伏安特性曲线与电流
i
轴重合,即相当于 \(R=0\),\(G=\infty\):
当电压 \(u\) 与电流 \(i\) 取关联参考方向时,电阻元件消耗的功率 \(p\) 等于:
\[ \begin{aligned} p = ui = R i^2 = \frac{u^2}{R}\\ = G u^2 = \frac{i^2}{G} \end{aligned} \]
电阻元件从 \(t_0\) 到 \(t\) 的时间之内,所吸收的能量 \(W\) 等于:
\[ W = \int^{t}_{t_0} R i^2 (\xi) d \xi \]
注意:电阻元件一般会将吸收的电能转换成热能或者其它形式的能量。
非线性电阻元件的伏安特性曲线并非一条通过原点的直线,其电压电流关系通常可以写作:
\[ u = f(i)\ 或者\ i = h(u) \]
时变电阻元件的电压 u
与电流 i
呈比例关系,但是比例系数 R
会随着时间 t
进行变化:
\[ u(t) = R(t) \cdot i(t)\ 或者\ i(t) = G(t) \cdot u(t) \]
注意:通常情况下,线性电阻元件的伏安特性曲线位于第
1
、3
象限,而负电阻元件的伏安特性曲线位于第2
、4
象限,其电阻值为负值 \(R < 0\),本质上就是一个发出电能的元件。
电压源与电流源
电压源和电流源都是从实际电源抽象而来的电路模型,属于二端有源元件。
电压源
电压源是一个理想电路元件,其端电压 \(u(t) = u_s(t)\)。其中 \(u_s(t)\) 为给定的时间函数,称为电压源的激励电压。电压源的电压 \(u(t)\) 与通过元件的电流无关,总保持为给定的时间函数,而电流的大小则由外电路决定。电压源的符号如下图所示:
当电压源接入外电路时,端子
1
与 2
之间的电压 \(u(t)\) 等于 \(u_s(t)\),并且不会受到外电路的影响。
下图是电压源在 \(t_1\)
时刻的伏安特性曲线,这是一条不通过原点,并且与电流 i
轴平行的直线。当 \(u_s(t)\)
随着时间改变的时候,这条直线的位置会随之进行平移:
当 \(u_s(t)\) 为恒定值的时候称为直流电压源,通常使用 \(U_S\) 表示。下图是其伏安特性曲线,该直线的位置不会随着时间进行变化:
- 如果电压源不连接到外电路,那么电流总是为零值,这种情况称为电压源处于开路状态。
- 如果电压源的电压 \(u_s =
0\),则该电压源的伏安特性曲线与电流
i
轴重合,称该电压源处于短路状态;将电压源短路没有任何意义,因为短路时的端电压 \(u = 0\),这与电压源的特性并不相符;
电流源
电流源同样是一个理想电路元件,其输出的电流 \(i(t) = i_s(t)\)。其中 \(i_s(t)\) 为给定的时间函数,称为电流源的激励电流。电流源的电流 \(i(t)\) 与通过元件的端电压无关,总保持为给定的时间函数,而端电压的大小则由外电路来决定。电流源的符号如下图所示:
当电流源接入外电路时,电流源在
\(t_1\)
时刻的伏安特性曲线,是一条不通过原点,并且与电压 u
轴平行的直线。当 \(i_s(t)\)
随着时间变化时,该直线的位置将会随之进行平移:
当 \(i_s(t)\)
为恒定值的时候就称为直流电流源,通常使用 \(I_S\)
进行表示。下图是其伏安特性曲线,该直线的位置不会随着时间 t
进行变化:
正弦电压源 & 正弦电流源
当电压源的电压 \(u_s(t)\)
或者电流源的电流 \(i_s(t)\) 随着时间 t
进行正弦周期性变化时,就可以称两者为正弦电压源或者正弦电流源。
假设 \(U_m\)
为正弦电压的最大值,\(T\) 为正弦函数的周期,而
\(f = \frac{1}{T}\)
为其频率(单位为赫兹
Hz
), \(\omega = 2 \pi f\)
为角频率,\(\phi\)
为正弦函数的初相角,则该正弦电压可以被表达为下面几种形式:
\[ \begin{aligned} u_s(t) &= U_m \cos (\frac{2\pi}{T}t + \phi) \\ &= U_m \cos (2\pi ft + \phi) \\ &= U_m \cos (\omega t + \phi) \\ \end{aligned} \]
注意:独立源所谓的独立,是相对于后续即将介绍的受控源而言的。
受控电源
受控电源也称为非独立电源,其激励电压
或者激励电流
会受到电路当中某部分电压或者电流的控制。例如双极性晶体管的集电极电流会受到基极电流的控制,而运算放大器的输出电压会受到输入电压的控制。根据受控电压源或受控电流源的控制量是电压还是电流,可以将其具体划分为如下四种:
- 电压控制电压源(VCVS,Voltage Controlled Voltage Source);
- 电压控制电流源(VCCS,Voltage Controlled Current Source);
- 电流控制电压源(CCVS,Current Controlled Voltage Source);
- 电流控制电流源(CCCS,Current Controlled Current Source);
这四种受控源的符号分别如下图所示,图中的菱形符号表示电源部分,而
\(u_1\) 和 \(i_1\)
分别表示控制电压与控制电流,\(u\)、\(r\)、\(g\)、\(\beta\)
分别是相关的控制系数(其中 r
具有电阻量纲,而 g
具有电导量纲):
当控制系数 \(u\)、\(r\)、\(g\)、\(\beta\) 是一个常数的时候,被控制量与控制量就会呈正比,这种受控源被称为线性受控源。
- 独立源:表示的是外界对于电路的作用效果,电路当中的
电压/电流
是由于独立电源起到的激励作用而产生; - 受控源:用于反映电路当中某一处的
电压/电流
能够控制另外一处的电压/电流
,或者表示某一个电路变量与另外一个电路变量之间的耦合关系;
注意:当求解具有受控源的电路时,可以把受控
电压/电流
源作为普通的电压/电流
源来进行处理,但是其激励电压/电流
取决于控制量。
基尔霍夫定律
在介绍基尔霍夫定律之前,需要首先介绍一下支路
、结点
、回路
的概念:
- 支路:组成电路的每一个二端元件;
- 结点:每一条支路之间的连接点;
- 回路:由支路构成的闭合路径;
如果将电路当中各条支路的电流与电压(简称支路电流与支路电压)作为变量来看待,那么这些变量总是会受到下面两类约束:
- 由元件自身特性造成的约束,例如线性电阻元件的电压与电流必须满足 \(u = Ri\),称为电压电流关系(VCR,Voltage Current Relation);
- 元件相互连接之后,给支路电流或者电压带来的约束关系,也称为几何约束或者拓扑约束,这类约束由基尔霍夫定律进行体现,其主要内容包括有 电流定律 KCL 和电压定律 KVL;
基尔霍夫电流定律
基尔霍夫电流定律(KCL,Kirchhoff's Current Law)是指在集总参数电路当中,在任意时刻对于任意一个结点,所有流出该结点的支路电流的代数和恒等于零,即对于任意结点都有 \(\Sigma i = 0\)。该定律通常应用于结点,对于包含有几个结点的闭合面同样适用。
注意:如果流出结点的电流取正
+
,那么流入结点的电流就取负-
,这里的流入与流出都需要根据电流的参考方向进行判断。
基尔霍夫电压定律
基尔霍夫电压定律(KCL,Kirchhoff's Voltage Law)是指在集总参数电路当中,在任意时刻沿着任意一条回路,所有支路电压的代数和恒等于零,即对于任意回路都有 \(\Sigma u = 0\)。
注意:如果支路电压的参考方向与回路绕行方向一致,则该电压取 正
+
;如果支路电压的参考方向与回路绕行方向相反,则该电压取负-
。
电阻电路的等效变换
- 由
时不变线性无源元件
、线性受控源
、独立电源
组成的电路,称为时不变线性电路(简称线性电路); - 如果构成电路的无源元件均为
线性电阻
,则称该电路为线性电阻性电路(简称电阻电路); - 当电路中的独立电源都使用
直流电源
,这类电路就简称为直流电路;
电路分析计算时,可以对电路当中的某一部分进行简化,从而使用一个比较简单的电路进行代替,这个过程称为电路的等效变换。例如下图左右两个电路当中,端子
1
和 1'
具有相同的伏安特性,则右侧电路的 \(R_{eq}\)
就被称为等效电阻,其值取决于原电路当中各个电阻的值及其连接关系:
注意:使用等效电路求解分析电路的时候,
电压
和电流
保持不变的部分仅限于等效电路以外,也就是外部特性等效,即对外等效,而该电路内部并非是等效的。
电阻的串联
当 \(R_1,R_2 ... R_n\) 共
n
个电阻进行串联时,通过每一个电阻的电流相等。
根据上面的电路,可以列写出 KVL 方程 \(u = u_1 + u_2 + ...
u_n\)。由于通过每一个电阻的电流均为 i
,则可以得到
\(u_1 = R_1 i\)、\(u_2 = R_2 i\)、\(u_n = R_n i\),将它们代入
KVL 方程则可以继续得到 \(u =
(R_1 + R_2 + ... + R_n) i = R_{eq}
i\),此时等效电阻 \(R_{eq} = R_1 + R_2 + ... R_n = \sum^{n}_{k=1}
R_k\),具体的推导步骤如下面所示:
\[ \begin{cases} u_1 = R_1 i \\ u_2 = R_2 i \\ ...\ ...\ ...\ ... \\ u_n = R_n i \\ u = u_1 + u_2 + ... u_n \end{cases} \implies u = (R_1 + R_2 + ... + R_n) i = R_{eq} i \implies R_{eq} = R_1 + R_2 + ... R_n = \sum^{n}_{k=1} R_k \]
注意:串联电阻电路的等效电阻 \(R_{eq}\) 必然大于任意一个单独的串联电阻。
当 n
个电阻相互串联时,每一个电阻上面的电压都可以利用下面的分压公式计算得到:
\[ u_n = R_n i = \frac{R_n}{R_{eq}} u \]
电阻的并联
当 \(R_1,R_2 ... R_n\) 共
n
个电阻进行并联时,每一个电阻两端的电压相等。
根据上面的电路,可以列写出 KCL 方程 \(i = i_1 + i_2 + ...
i_n\)。由于每一个电阻两端的电压均为 u
,则可以得到
\(i_1 = G_1 u\)、\(i_2 = G_2 u\)、\(i_n = G_n u\),将它们代入
KCL 方程就可以继续得到 \(i =
(G_1 + G_2 + ... + G_n) u = G_{eq}
u\),此时并联之后的等效电导 \(G_{eq} = G_1 + G_2 + ... G_n = \sum^{n}_{k=1}
G_k\),而并联之后的等效电阻 \(R_{eq} = \frac{1}{G_{eq}} = \frac{1}{\sum_{k=1}^n
G_k} = \frac{1}{\sum_{k=1}^n
\frac{1}{R_k}}\),从而可以发现等效电阻小于每一个并联电阻,具体的推导步骤如下面所示:
\[ \begin{cases} i_1 = G_1 u \\ i_2 = G_2 u \\ ...\ ...\ ...\ ... \\ i_n = G_n u \\ i = i_1 + i_2 + ... i_n \end{cases} \implies i = (G_1 + G_2 + ... + G_n) u = G_{eq} u \implies G_{eq} = G_1 + G_2 + ... G_n = \sum^{n}_{k=1} G_k \implies R_{eq} = \frac{1}{G_{eq}} = \frac{1}{\sum_{k=1}^n G_k} = \frac{1}{\sum_{k=1}^n \frac{1}{R_k}} \]
注意:并联电阻电路的等效电阻 \(R_{eq}\) 必然小于任意一个单独的并联电阻。
当 n
个电阻相互并联时,通过每一个电阻的电流都可以利用下面的分流公式进行计算:
\[ i_n = G_n u = \frac{G_n}{G_{eq}} i \]
有一种特殊情况是,如果并联电阻的数量
n = 2
,即两个电阻并联在一起,则其等效电阻
\(R_{eq}\)
可以采用如下更为便捷直观的计算方式:
\[ R_{eq} = \frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \]
电阻的 \(Y - \Delta\) 等效变换
电阻除了串并联之外,还存在着一种特殊的连接形式,即下图所示的桥形连接。此时无法根据电阻的串并联关系,对电路进行简化:
如果在该电路的任意一条支路上,加入一个电压源,就可以得到一个惠斯通电桥电路,其中 \(R_1\)、\(R_2\)、\(R_3\)、\(R_4\) 所在支路称为桥臂,而 \(R_5\) 所在的支路称为对角线支路:
不难证明,当满足条件 \(R_1 R_4 = R_2 R_3\) 时,对角线支路上的电流为零,称为电桥处于平衡状态,这个条件也被称为电桥的平衡条件。当电桥平衡时 \(R_5\) 可以视为开路或者短路,此时电路可以按照串并联规律进行计算。但是当电桥不满足平衡条件时,就无法运用串并联关系进行计算,而需要用到接下来介绍的 \(Y - \Delta\) 等效变换。其中 \(Y\) 形联结也称为星形联结(下图左),而 \(\Delta\) 形联结也称为三角形联结(下图右),它们都通过 3 个端子与外部进行连接:
当两个电路的电阻之间满足一定关系时,它们在端子
1
、2
、3
上面的外特性就可以相同,此时它们相互之间可以进行等效变换。\(Y - \Delta\)
等效变换的条件是对应的端子之间具有相同电压 \(u_{12}\)、\(u_{23}\)、\(u_{31}\),而流入对应端子的电流全部相等
\(i_1 = i_1'\)、\(i_2 = i_2'\)、\(i_3 = i_3'\)。
下面展示了如何根据 \(\Delta\) 形联结的电阻,进而确定 \(Y\) 形联结电阻的公式及其相应的归纳形式:
\[ \begin{cases} R_1 = \frac{R_{12} R_{31}}{R_{12} + R_{23} + R_{31}}\\ R_2 = \frac{R_{23} R_{12}}{R_{12} + R_{23} + R_{31}}\\ R_3 = \frac{R_{31} R_{23}}{R_{12} + R_{23} + R_{31}} \end{cases} \implies \begin{cases} Y 形电阻 = \frac{\Delta 形相邻电阻的乘积}{\Delta 形电阻之和} \\ \Delta 形电阻 = \frac{Y 形电阻两两乘积之和}{Y 形不相邻电阻} \end{cases} \]
如果 \(Y\) 形联结当中的 3 个电阻相等,即 \(R_1 = R_2 = R_3 = R_Y\);那么其对应等效 \(\Delta\) 形联结当中的 3 个电阻也相等,即 \(R_{\Delta} = R_{12} = R_{23} = R_{31} = 3R_Y\),这个规律同样可以归纳为下面的形式:
\[ R_Y = \frac{1}{3} R_{\Delta} \]
电压源的串联
n
个电压源的串联,可以被等效替代为一个电压源:
这个等效电压源的激励电压 \(u_S\) 可以通过下面的公式进行计算(如果
\(u_{Sk}\) 的参考方向与 \(u_S\) 的参考方向一致,则 \(u_{Sk}\) 的前面取 +
正号,否则就取 -
负号):
\[ u_S = u_{S1} + u_{S2} + ... + u_{Sn} = \sum_{k=1}^n u_{Sk} \]
注意:只有激励电压相等,并且极性一致的电压源才允许并联,否则违背 KVL 定律。其等效电路为其中任意一个电压源,但是电压源并联之后向外提供的电流,以及各个电压源之间如何分配这些电流是无法确定的。
电流源的并联
n
个电流源的并联,也可以被等效替代为一个电流源:
这个等效电流源的激励电流 \(i_S\) 也可以通过下面的公式进行计算(如果
\(i_{Sk}\) 的参考方向与 \(i_S\) 的参考方向一致,则 \(i_{Sk}\) 的前面取 +
正号,否则就取 -
负号):
\[ i_S = i_{S1} + i_{S2} + ... + i_{Sn} = \sum_{k=1}^n i_{Sk} \]
注意:只有激励电流相等,并且方向一致的电流源才允许串联,否则违背 KCL 定律。其等效电路为其中任意一个电流源,但是电流源串联之后总电压,以及该总电压如何在各个电流源之间分配则无法确定。
实际电源模型及其等效变换
下图左侧是一个实际的直流电源(例如电池),而右侧则是其输出电压
u
与输出电流 i
的伏安特性曲线。观察可以看到电压 u
随着电流 i
的增大而减少(它们并未构成线性关系):
此时电流 i
不能超过限定的值,否则将会导致电源的损坏。但是在某一个范围以内,可以将电压与电流的关系近似为直线,如果把这一段直线加以延长,作为该电源的外特性曲线,如下图所示:
观察就可以发现,这个外特性曲线在 u
轴和 i
轴上各有一个交点,其中 \(U_{oc}\)
相当于 \(i = 0\)
时候的电压,称为开路电压;而 \(I_{sc}\) 相当于\(u = 0\)
时候的电流,称为短路电流。根据上述的伏安特性曲线,就可以使用电压源和电阻的串联组合,或者电流源与电导的并联组合,来作为实际电源的电路模型。
注意:上述参数当中的下标 \(_{OC}\) 是开路(Open Circuit)的英文缩写,而下标 \(_{SC}\) 是短路(Short Circuit)的英文缩写。
下图所示为电压源 \(U_s\) 和电阻 \(R\) 的串联组合,此时端子
1 - 1'
位置的电压 \(u\) 与输出电流 \(i\) 的关系为 \(u
= U_s - Ri\):
下图所示为电流源 \(I_s\) 和电导 \(G\) 的并联组合,此时端子
1 - 1'
位置的电压 \(u\) 与输出电流 \(i\) 的关系为 \(i
= I_s - Gu\):
如果使得 \(G = \frac{1}{R}\) 并且
\(I_s = G
U_s\),那么上面两个电压 \(u\) 与输出电流 \(i\) 关系的方程就会完全相同(即端子
1 - 1'
位置的电压 u
与电流 i
的关系完全相同),也就满足了对外等效的必需条件(\(I_s\) 的参考方向是由 \(U_s\)
的负极指向正极)。
注意:当 \(i = 0\) 的时候,端子
1 - 1'
位置的电压 \(u\) 为开路电压 \(U_{oc}\)(此时 \(U_{oc} = U_s\)),而当 \(u = 0\) 的时候,电流 \(i\) 等于将端子1 - 1'
短路之后的短路电流 \(I_{sc}\)(此时 \(I_{sc} = I_s\)),由此就可以得到 \(U_{oc} = RI_{sc}\) 或者 \(I_{sc} = GU_{oc}\) 的关系。
输入电阻
端口是指电路向外引出的一对端子,可以用于与外部电路进行联结。对于一个端口而言,从其一个端子流入的电流,必然等于从另一个端子流出的电流。这种向外引出一对端子的电路称为一端口网络,其表示符号如下面所示:
无论一端口网络内部结构如何复杂,其端口电压 \(u\) 总是与端口电流 \(i\) 呈正比,因此可以定义该一端口网络的输入电阻 \(R_i\) 等于:
\[ 输入电阻 R_i = \frac{端口电压\ u}{端口电流\ i} \]
端口的输入电阻本质上就是端口的等效电阻,但是两者在含意上会存在区别。求解端口输入电阻的一般方法称为电压电流法,即在端口添加电压源 \(u_S\),然后根据上述输入电阻公式求解出端口电流 \(i\);或者在端口添加电流源 \(i_S\),然后同样根据输入电阻公式求解出端口电压 \(u\)。
例如上图左侧电路中的一端口网络输入电阻,可以通过电阻的串并联简化求解。而右侧的电路具有桥形结构,则需要运用 \(Y - \Delta\) 变换之后才能够进行简化求解。除此之外,也可以利用电压电流法进行更加方便的求解计算。
电阻电路的一般分析
电路定理
高等教育出版社《电路原理》温习札记