模拟电子技术原理与综合运用

电子技术发展至今,基础理论方面的突破甚少,进步主要体现在工艺、材料与制程方面。特别是大规模集成电路的广泛应用,过去需要采用大量分立式元器件才能完成的工作,都已经被标准化的模拟、数字集成电路所替代。电子工程师的日常工作内容,逐步从过去各类基础电路的搭建,切换至电子自动化设计 EDA(Electronic Design Automation)、信号完整性 SI(Signal Integrity)、电磁兼容性 EMC(Electro Magnetic Compatibility)等方面。

模拟电子技术作为现代电子工业的理论基石,主要围绕双极性结型晶体管 BJT场效应晶体管 FET 构成的模拟信号放大电路展开,着重分析了其频率响应以及负反馈等特性。伴随近年碳化硅、氮化镓等第三代半导体材料在新能源汽车等领域的广泛应用,模拟电子元件在体积、效率、可靠性方面都取得了显著的提高,本文在写作过程当中参考了《Electronic Devices and Circuit Theory》第 11 版一书。

半导体导论

半导体的导电性介于导体和绝缘体之间,例如:锗Ge、硅Si、砷化镓GaAs和一些硫化物、氧化物等。半导体的导电性受到温度和光照的影响,也可以人为掺入适量的杂质,从而精确控制其导电能力,从而制造出具备不同特性的电子元器件。

本征半导体

纯净的具有晶体结构的半导体称为本征半导体(Intrinsic /ɪnˈtrɪnzɪk/ Materials);相邻原子的最外层电子不但围绕着原子核运动,还会出现在相邻原子所属的轨道上成为共用电子,即共价键;共价键上的电子可以被简称为价电子

共价键具有很强的结合性,常温下仅少数价电子由于热激发而挣脱共价键束缚变为自由电子(Free Electron)。此时会在共价键当中留下一个空位,称为空穴(Hole)。价电子带有负电荷,原子由于失去一个价电子而带正电,因此可以认为空穴带有正电荷。本征半导体当中,自由电子与空穴总是成对出现并且数目相等。

如果在本征半导体两端施加一个电场,一方面自由电子发生定向移动形成电子电流,另一方面由于空穴的存在,价电子会沿着一定方向依次填补空穴,从而认为空穴也在发生定向移动形成空穴电流。运载电荷的粒子称为载流子,导体导电只有自由电子一种载流子,而本征半导体的自由电子和空穴均参与导电;

杂质半导体

向本征半导体当中掺入某些微量元素作为杂质(主要是三价或五价元素),可以让半导体的导电特性发生显著的变化。

N 型半导体:掺杂五价元素以后,自由电子数目大量增加,半导体主要通过自由电子导电。多数载流子(多子)为自由电子,少数载流子(少子)为空穴。

P 型半导体:掺杂三价元素以后,空穴数目大量增加,半导体主要通过空穴进行导电。多数载流子(多子)为空穴,少数载流子(少子)为自由电子。

注意:杂质半导体主要依靠多数载流子导电,掺入的杂质越多,多子的浓度就越高,其导电性能就越强。

PN 结

PNP 型半导体和 N 型半导体交界面的特殊薄层,也称为耗尽层或者空间电荷区。由于杂质半导体当中载流子的扩散漂移这对相反运动最终会达到动态平衡,所以空间电荷区的厚度通常会保持基本稳定。

如果在 PN 结两侧外加电压,就会破坏这样的平衡状态。此时,扩散电流不再等于漂移电流,因而 PN 结上会有电流流过。当外加电压极性不同时,PN 结表现出截然不同的导电性能,即呈现出单向导电性

  • 正向偏置PN 结加正向电压,即 P 端连接正极 N 端连接负极,空间电荷区的厚度变窄,多子在外电场作用下定向移动形成较大的正向电流;此时 PN 结正向电阻较小,整体处于导通状态。
  • 反向偏置PN 结加反向电压,即 P 端连接负极 N 端连接正极,空间电荷区的厚度变厚,少子在外电场作用下定向移动形成极小的反向电流;此时 PN 结反向电阻较大,整体处于截止状态。

一定条件下 PN 结会发生电容效应,根据产生原因的不同,可以分为势垒电容扩散电容

  • 势垒电容 \(C_b\):当 PN 结的外加电压发生变化时,空间电荷区的宽度也会随之发生变化,存在电荷的积累、释放过程,类似于电容的充放电,其等效电容就称为势垒电容 \(C_b\)。势垒电容反向偏置时的特性尤为重要,这是由于 PN 结反偏时的结电阻较大,高频信号下 \(C_b\) 的作用不容忽视。 \[势垒电容 C_b = 介电常数 \varepsilon \times \frac{PN结截面积 S}{耗尽层宽度 l}\]
  • 扩散电容 \(C_d\):当 PN 结外加的正向电压发生变化时,扩散过程当中载流子的浓度及梯度均会产生变化,依然存在电荷的积累与释放过程,其等效电容就称为扩散电容 \(C_d\)。扩散电容是非线性的,PN 结正偏时 \(C_d\) 较大,反偏时载流子数目较少,因此反偏时扩散电容数值极小可以忽略。

注意:正向偏置时扩散电容起主要作用,反向偏置时势垒电容起主要作用,两者均是非线性电容。信号频率较高时,都会对电路产生较大影响;

势垒电容 \(C_b\) 与扩散电容 \(C_d\) 之和就称为PN 结的结电容 \(C_j\),即:

\[ C_j = C_b+ C_d \]

二极管基础

组成与分类

PN 结用外壳封装并且添加电极引线就构成了半导体二极管,简称为二极管。由 P 区引出的电极称为阳极,而 N 区引出的电极称为阴极,二极管的电路符号如下图所示:

  • 点接触型二极管:由一根金属丝经过特殊工艺与半导体表面连接形成 PN 结,由于 PN 结面积较小,不能通过较大的电流。其结电容较小一般处于 1pF 以下,而工作频率可以达到 100MHz 以上,因此适用于高频电路和小功率整流电路。
  • 面接触型二极管:采用合金工艺制成,PN 结面积较大,能够流过比较大的电流。由于结电容较大,所以只能工作在较低的频率,通常仅仅作为整流二极管使用。
  • 平面二极管:采用扩散法制成,PN 结面积较大,可用于大功率整流用途,而结面积较小的型号可以作为脉冲数字电路里的开关二极管。

伏安特性与电流方程

二极管是一种非线性元件,其伏安关系可以通过下面的电路进行测量,串联的安培表 A 测量流经二极管的电流 \(i_D\),并联的伏特表 V 测量二极管两端的电压 \(v_D\)

伏安特性

当调整可变电源的输出时,逐个记录安伏表和伏特表的读数即可得到对应的伏安特性曲线,下图是型号为 2CP10 的硅二极管伏安特性曲线:

  • 死区开启电压 \(U_{th}\):当外加正向电压很低时,由于外电场还不能够克服 PN 结内的电场对多数载流子扩散运动的阻力,所以正向电流极小几乎为零,这一区域就称为死区
  • 导通压降 \(U_{on}\):当外加正向电压超过死区电压时,内电场会被极大削弱,正向电流迅速增加,二极管进入正向导通区。当电压再继续增加时,电流迅速增大,而二极管两端电压几乎不变,此时二极管的端电压称为导通压降
  • 反向饱和电流 \(I_{S}\):二极管两端加反向电压时,将会存在极小的,由少子漂移运动形成的反向饱和电流通过二极管。在反向电压不超过某一个范围值时,反向电流的大小基本保持恒定。反向饱和电流越小,说明元件的温度稳定性越好。
  • 反向击穿电压 \(U_{R}\):当外加的反向电压超过反向击穿电压时,反向电流将会突然增大,导致二极管失去单向导电性,进入反向击穿区。反向击穿是一种可逆的电击穿(雪崩击穿齐纳击穿)。

注意:如果元件的功率超过其额定值,导致元件过热发生热击穿,此时元件就彻底损坏无法使用。

下面的表格是二极管的伏安特性参数比较:

材料 死区开启电压 \(U_{th}\) 导通压降 \(U_{on}\) 反向饱和电流 \(I_{S}\)
(Si) 约为 0.5V \(0.6V \sim 0.8V\)(典型值 0.7V 小于0.1uA
(Ge) 约为 0.1V \(0.1V \sim 0.3V\) 数十微安

电流方程

二极管的特性除了使用上面的伏安特性进行描述以外,还可以根据二极管的物理原理得到如下的二极管电流方程

\[ i_D = I_s(e^{u_D/U_T} - 1) \]

其中,\(i_D\) 是通过二极管的电流,\(u_D\) 则是二极管两端的电压,\(U_T = \frac{kT}{q}\) 是温度的电压当量(常温 27℃ 时约为 26mV),二极管电流方程对应的图像如下所示:

PN 结外加正向电压处于正向偏置时,由于 \(U_D \gg U_T \gg 26mV\),方程指数部份的 \(\frac{U_D}{U_T} \gg 1\),此时二极管电流方程可以近似记作 \(i_D \approx I_S^{e^{U_D/U_T}}\)。而当 PN 结外加反向电压处于反向偏置时,由于 \(U_D\) 为负数,指数部分将远远小于 1 几乎可以忽略不记,此时 \(i_D \approx -I_S\)

从图中可以看出,二极管的正向特性为指数曲线,反向特性为接近横轴的平行线,因此可以认为二极管的电流方程与伏安特性是相互印证的。

温度特性

当环境温度升高时,二极管的正向特性曲线向左移动,反向特性曲线向下移动,即下图蓝色线条部分:

电阻级别

随着二极管的工作点从一个区域移动至另外一个区域,二极管的电阻也会由于特性曲线的非线性形状而发生变化。

直流电阻:二极管两端电压与电流为确定值(即直流信号)时,可以在特性曲线上找到一个确定的工作点,该工作点的电压电流比值是一个电阻量纲:

\[ R_D = \frac{V_D}{I_D} \]

直流电阻与工作点的位置密切相关,当工作点位置发生变化时,对应直流电阻的阻值也会发生变化,这个数据对于实际工程的意义不大。

交流电阻:即二极管的内阻,当二极管输入交流信号时,其工作点会在特性曲线的上下范围内发生变化:

\[ r_D = \frac{\Delta V_D}{\Delta I_D} \]

几何意义上就是过工作点切线斜率的代数,这个电阻会对交流信号的传输产生较大影响,是一个对工程实践非常重要的数据。

主要特性参数

为了描述二极管的性能,通常需要引用厂家数据手册当中的如下几个重要参数:

  • 最大整流电流 \(I_F\):二极管长期稳定运行时所允许通过的最大平均正向电流,其值与 PN 结面积以及外部散热条件等相关。指定散热条件下,二极管平均正向电流超过该值就会有烧坏风险。
  • 最高反向工作电压 \(U_R\):二极管工作时所允许外加的最大反向电压,超过该值二极管就可能由于反向击穿而损坏,通常 \(U_R\) 为反向击穿电压 \(U_{BR}\) 的一半左右。
  • 反向电流 \(I_R\):二极管没有发生击穿时的反向电流,这个值越小,二极管的单向导电性就越好,该参数对于温度非常敏感。
  • 最高工作频率 \(f_M\):二极管工作的上限截止频率,超过该值就会由于结电容的作用,不能较好的体现单向导电性。

实际电路当中,二极管选型所遵循的一般原则:

  • 要求导通压降较小时选择锗管,要求反向电流较小时选择硅管
  • 要求工作电流较大时选择面接触型,要求工作频率较高时选择点接触型
  • 要求反向击穿电压更高,温度特性更好就都选择硅管

二极管电路分析

实际电路通常存在两个电源:提供能量的直流电源、携带数据信息的交流信号源。

根据叠加原理,可以将电路从信号响应的层面进行分解,分解为由直流电源单独作用下的响应(静态)和交流信号源作用下的响应(动态):

  • 静态:当放大电路没有输入信号时,电路当中各点的电流电压为直流信号,称为直流工作状态或者静态;
  • 动态:当放大电路存在输入信号时,电路当中的电压和电流随交流信号而变化,称为动态;

注意:电路当中的静态与动态密不可分,动态驮载在静态之上。在电路分析时,通常遵循先运态后静态的原则

正是因为电路通常由直流量交流量叠加而成,所以为了便于后续的电路分析,需要对不同信号量使用对应的符号进行区分:

符号 描述 规则
\(I_B\) 直流分量 符号大写,下标大写;
\(i_b\) 交流分量瞬时值 符号小写,下标小写;
\(i_B\) 电流的总瞬时值 符号小写,下标大写;
\(I_b\) 交流有效值 符号大写,下标小写;
\(I_{bm}\) 交流幅值 -

由于二极管是一个非线性元件,所以包含有二极管的电路就是一个非线性电路,非线性电路的分析方法主要有数值求解法图解分析法等效模型分析法三种,其中数值求解法是利用外电路方程与元件方程联立求解,这种方式精度较高但是计算量较大,需要计算机辅助进行;工程上较为常用的是图解分析法等效模型分析法

图解分析法

图解分析法是利用元件的伏安特性曲线以及外电路的特性曲线,通过作图的方式求解电路问题,并且同样遵循先静态后动态的理念:

  1. 静态分析:交流信号源置0,得到直流通路,再结合外电路特性曲线得到二极管电流电压,即静态工作点 \(Q(I_D, V_D)\)
  2. 动态分析:直流电源置0,得到交流通路,在静态工作点的基础之上,进行小信号分析;

▶【例题】已知二极管的伏安特性曲线,电源 \(V_{DD}\) 和电阻 \(R\),信号源 \(v_s =V_m sin \omega t\),利用图解法求二极管两端的电压 \(v_D\) 以及流过的电流 \(i_D\)

▶【解答】首先,进行静态分析,绘制上面电路的直流通路,即将交流信号源置零的情况下,直流分量所流经的通路:

显然,此时电路中的电流和电压都是由直流电源确定的固定值,显然二极管两端的电压 \(v_D\) 电流 \(i_D\) 在坐标系中是一个点,这个点即满足二极管伏安特性曲线,也满足外电路的电流电压关系:

\[ I_D = -\frac{1}{R}V_D + \frac{V_{DD}}{R} \]

上面方程在伏安特性坐标系下,显然是一条斜率为 \(-\frac{1}{R}\) 的直线,称为负载线。负载线与伏安特性曲线的唯一交点就是二极管的静态工作点 Q

然后,进行动态分析,绘制上面电路的交流通路,即仅考虑交流信号源作用的时候,交流分量流经的通路:

输入的交流电压信号源 \(v_s\) 驮载在直流电压 \(v_{dd}\) 上注入电路(需要保持两者坐标轴方向一致),此时二极管的工作点将会在 \(Q^{'}\)\(Q^{''}\) 之间进行变化,通过作图就可以得到二极管两端的电压 \(v_d\) 和电流 \(i_d\) 的变化:

最后,结合前面得到的静态工作点,最终就可以得到流过二极管两端电压和电流的总瞬时值,并且完成图解法分析。

图解法运用的前提是已经获取到元件的伏安特性曲线,其优点在于能够直观展示电路参数对于性能的影响,缺点则在于存在作图误差,且某些参数无法直接进行求解。

等效模型分析法

虽然二极管的伏安特性是一种非线性元件,但是其局部区域依然具有线性的特征。如果选择合适的线性元件,等效的反映二极管在这些区域的端口特性,就可以建立二极管的线性等效模型,将非线性电路转换为线性电路,进而利用线性电路分析方法简化分析过程。

二极管常用的等效模型主要有下面三种,其中红色线条为折线化处理的伏安特性,黑色虚线则表示实际的伏安特性,最底部为相应的等效电路。

  • 理想模型:表明二极管导通时正向压降为零,截止时反向电流为零,称为理想二极管,采用空心的二极管符号来表示。
  • 恒压降模型:表明二极管导通时正向压降为一个常量 \(U_{on}\),截止时反向电流为零,因而等效电路是理想二极管串联一个电压源 \(U_{on}\)
  • 折线模型:表明当二极管正向电压 \(U\) 大于 \(U_{on}\) 以后,电流 \(I\)\(U\) 成线性关系,直线斜率为 \(\frac{1}{r_D}\);二极管截止时反向电流为零,因此等效电路为二极管串联电压源 \(U_{on}\) 和电阻 \(r_D\),并且 \(r_D=\frac{\Delta U}{\Delta I}\)

注意:二极管工作在线性区是以上模型成立的充分必要条件,如果二极管工作在非线性区,则只能选择图解法。

分析二极管电路,需要遵循先静态后动态以及先定性后定量的原则,即首先判断二极管是处于导通还是截止状态,具体分析方法与步骤如下所示:

首先,对二极管进行定性分析 (1)将二极管断开;
(2)独立分析二极管阴阳两极接入点间电压的极性和大小;
然后,对二极管进行定量分析 (3)根据所选择的等效模型得到等效电路;
(4)利用线性电路分析方法分析电路。

▶【例题】设二极管电路如下面左图所示,\(V_{DD}\) 分别为 10V 以及 1.5V,电阻 \(R\)\(10kΩ\),下面右图是左图的习惯画法。对于上述两种情况,试分别应用理想模型、恒压降模型、折线模型求解 \(i_D\)\(u_D\) 的值?

▶【解答】首先,针对 10V 直流电源进行分析,假设断开二极管 D,由于此时电路当中没有电流,所以二极管阳极电位 \(V_阳 = V_{DD}=10V\) 阴极电位 \(V_阴 = 0V\)

如果采用理想模型,由于其阳极电位大于阴极电位 \(V_阳 > V_阴\),此时二极管处于导通状态,可以等效为一个闭合的开关:

此时流过二极管的端电流 \(i_D = \frac{V_{DD}}{R} = 1mA\),而端电压 \(u_D = 0V\)

如果采用恒压降模型,由于其阳极电位高于阴极电位0.7V以上 \(V_阳 - V_阴 > 0.7V\),此时二极管仍然处于导通状态,可以利用恒压降模型的等效电路进行替换:

此时流过二极管的端电流 \(i_D = \frac{V_{DD} - 0.7V}{R} = 0.93mA\),端电压 \(u_D = 0.7V\) 为恒压降的0.7V。

如果采用折线模型,同样因为 \(V_阳 - V_阴 > 0.7V\),所以二极管依然处于导通状态,其线性等效电路需要加上二极管的内阻 \(r_D\) 进行替换:

由于二极管内阻 \(r_D = \frac{26mV}{I_D} = 28Ω\),将其代入电压方程即可以求解出端电流 \(i_D = \frac{V_{DD} - 0.7V}{R + r_D} = 0.927mA\),而端电压包含有内阻上的压降 \(u_D = 0.7V + i_D \cdot r_D = 0.73V\)

举一反三,同样可以计算出 \(V_{DD} = 1.5V\) 时分别采用理想模型、恒压降模型、折线模型得到的 \(i_D\)\(u_D\) 的值,然后通过下面表格的前 3 行对全部计算结果进行统计:

上面表格的最后 3 行,则分别展示了采用各种模型计算后所产生的相对误差。可以发现 \(V_{DD} = 10V\) 时候误差相对较小,当 \(V_{DD} = 1.5V\) 的时候误差则急剧增大。这是由于二极管等效模型所忽略的变量,会在电压较低的情况下凸显出来。此外,无论是在 10V 还是 1.5V,恒压降和折线模型的误差都比较小。

综上所述就可以得到这样的结论:如果电源电压较高,可以选择理想模型或者恒压降模型;而当电源电压或者信号较小的时候,则应该选择更加精确的恒压降模型和折线模型。如果要考虑二极管对于交流信号的响应,则应该选择折线模型。日常电路分析当中,恒压降模型会相对更加常用

▶【例题】下面电路当中有 2 个二极管,2 个直流电源,输入信号的波形已经给出,要求绘制出当二极管指定为理想模型时,电路的输出波形?

▶【解答】首先,断开二极管,独立分析其两端的电压大小与极性。

二极管 \(D_1\) 的阳极电位 \(V_阳 = v_i\) 阴极电位 \(V_阴 = V_1\)。而二极管 \(D_2\) 的阳极电位 \(V_阳 = -v_2\) 阴极电位 \(V_阴 = V_i\)。对于 \(V_1\)\(-v_2\)\(V_i\) 三者的比较关系存在 3 种情况:

  1. \(v_i > V_1\) 的时候,二极管 \(D_1\) 导通,二极管 \(D_2\) 截止,此时 \(v_o = V_1\)
  2. \(-V_2 < v_i < V_1\) 的时候,二极管 \(D_1\) 截止,二极管 \(D_2\) 截止,此时 \(v_o = v_i\)
  3. \(v_i < -V_2\) 的时候,二极管 \(D_1\) 截止,二极管 \(D_2\) 导通,此时 \(v_o = -V_2\)

根据上面的分析结果,可以马上得到 \(V_2\) 如下的输出波形:

这样就完成了本题的求解,观察上面的输出波形会发现,如果调整两个直流电源 \(V_1\)\(V_2\) 的值,就可以确定输出信号的幅值,因此该电路实现的是双向限幅功能

▶【例题】硅二极管组成的电路如图所示。当 \(V_{I1}\)\(V_{I2}\) 分别取值为 \(0V\)\(3V\) 时,试采用二极管的恒压降模型(导通压降 \(0.7V\)),求解 \(V_{I1}\)\(V_{I2}\) 在不同值组合的情况下,输出电压 \(v_o\) 的值分别为多少?

▶【解答】

  1. \(V_{I1} = 0V\)\(V_{I2} = 0V\) 的时候,断开二极管观察会发现,两个二极管连接处的电位为 \(V_{DD}\)\(5V\),此时两个二极管皆处于导通状态。由于本题采用了恒压降模型,所以输出电压 \(V_o = 0.7V\)
  2. 如果 \(V_{I1} = 0V\)\(V_{I2} = 3V\),由于二极管 \(D_1\) 的压降为 \(5V\),二极管 \(D_2\) 的压降为 \(2V\),由于电荷总是偏向电势差较大的支路流动,因此 \(D_1\) 将会优先导通,此时会立刻让二极管连接处的电位变为恒压降模型的导通压降 \(0.7V\);因为 \(0.7V < 3V\) 所以二极管 \(D_2\) 不会导通,所以这种情况下 \(D_1\) 导通 \(D_2\) 截止,所以输出电压依然为 \(V_o = 0.7V\)
  3. 同理,当 \(V_{I1} = 3V\)\(V_{I2} = 0V\),此时二极管 \(D_1\) 截止 \(D_2\) 优先导通,输出电压依然为 \(V_o = 0.7V\)
  4. \(V_{I1} = 3V\)\(V_{I2} = 3V\),显然两者的二极管压降都为 \(2V\),因此两个二极管都处于导通状态,输出电压为 \(V_o = 3.7V\)

这样就完成了本题的求解,此时如果采用上表中的 \(0V\) 表示低电平,\(3V\) 表示高电平,就会发现这个电路就是一个逻辑与门电路

常见二极管应用电路

二极管的单向导电性,可以用于稳压电源中的整流电路,将交流信号转变为交流脉动信号。

此外,普通收音机中的检波电路,也是利用了二极管的单向导电性,保留了信号的正半周,再利用电容还原得到广播的低频有效信号。

放大电路通常需要双电源供电,利用双绕组变压器结合二极管构成的整流桥,就可以方便的得到一个双电源电路

许多电子设备同时采用 220V 交流电和电池进行双电源供电,供电门电路正是利用了二极管的单向导电性,让两套电源在向用电器供电时都经过二极管,从而确保电流只从直流电源或者电池流向用电器,避免两套电源相互干扰。

利用二极管与电容配合组成的倍压电路,将一个较低的交流电压,整流为一个较高的直流电压。

稳压二极管

稳压二极管除了具备单向导电性之外,还具有稳压的能力,其符号与普通二极管稍有区别,并且阳极和阴极的标识与普通二极管相反,即阳极为+阴极为-

稳压二极管的伏安特性与普通二极管类似,正向特性为指数曲线,当稳压二极管外加反向电压增大到一定程度时则发生击穿。但是稳压二极管击穿区的曲线非常陡峭,几乎平行于纵轴,虽然击穿后电流变化较大,但是两端电压的变化极小,利用这个特性,稳压二极管在电路当中就可以表现出稳压特性。

  • 稳定电压 \(U_z\):稳压二极管正常工作时(反向击穿)两端的电压;
  • 稳定电流 \(I_z\):稳压管正常工作时的参考电流;
  • 动态电阻 \(r_z\):稳压二极管工作在稳压区时,端电压变化量与其电流变化量的比值,\(r_z = \frac{\Delta U_z}{\Delta I_z}\),该值越小,电流 \(I_z\) 变化时 \(U_z\) 的变化就越小,稳压管的稳压特性就越好;
  • 最大允许耗散功率 \(P_{zm}\):等于稳压二极管的稳定电压 \(U_z\) 与最大稳定电流 \(I_{zm}\) 的乘积;不超过该功率时,电流越大,稳压效果越好,超过该值则可能会导致损坏;

稳压二极管发挥稳压功能所需要遵循的规则和典型电路如下所示:

  • 稳压二极管反偏,并且确保工作在反向击穿区;
  • 稳压二极管必须与负载电阻 \(R_L\) 并联;
  • 必须通过限流电阻限制流过稳压二极管的电流 \(I_Z\),使其不超过额定工作值;

引发负载两端电压变化的因素主要有两个:一个是电源电压本身的波动,另一个则是负载本身的变化

  1. 如果电压 \(U_1\) 出现波动,而负载 \(R_L\) 保持不变的时候。如果由于某种原因造成输入电压 \(U_I\) 增大,此时输出电压 \(U_O\) 也会有增大的趋势(输出电压 \(U_O\) 就是二极管两端的电压),稳压二极管的电流 \(I_{DZ}\) 将会显著增加(结合伏安特性曲线,稳压二极管的特性在于两端电压出现微小变化时,电流将会出现较大的变化)。根据基尔霍夫电流定律 \(I_R = I_{DZ} + I_O\) 就会使得 \(I_R\) 增大,进而导致限流电阻 \(R\) 上的电压降 \(U_R\) 也会增大,根据基尔霍夫电压定律 \(U_O = U_I - U_R\),当输入电压 \(U_I\) 增大的时候,由于限流电阻上的电压 \(U_R\) 也在增大,就会使得输出电压 \(U_O\) 基本保持不变,达到稳压的效果。
  2. 当负载 \(R_L\) 发生变化,输入电压 \(U_I\) 保持不变的时候。负载电阻 \(R_L\) 的增大会导致输出电压 \(U_O\) 增大,进而导致稳压二极管上的电流 \(I_{DZ}\) 显著增大,同样使得 \(I_R\) 也会增大,最终通过限流电阻电压的变化,使得 \(U_O\) 保持不变。

综上所述,稳压二极管稳定电压的基本过程,都是通过两端电压的微小变化,引起电流的显著变化,从而调整限流电阻 \(R\) 上的压降,最终使得输出电压 \(U_O\) 保持基本稳定。

通过上面对稳压二极管原理的讨论,限流电阻对于稳压二极管的正常工作和稳压而言都至关重要,因此限流电阻的选择就成为了稳压二极管电路设计的重要环节。接下来,基于下面典型的稳压二极管电路,讨论限流电阻的选择问题。

假设上面电路当中,输入电压的变化范围为 \(U_{INmin} \sim U_{INmax}\),负载电阻的变化范围为 \(R_{Lmin} \sim R_{Lmax}\),根据欧姆定理很容易发现,负载电流的最小值和最大值分别为:

\[ \begin{cases} I_{Lmin} = \frac{U_Z}{R_{Lmax}} \\ I_{Lmax} = \frac{U_Z}{R_{Lmin}} \end{cases} \]

当输入电压最大负载电流最小的时候,根据 KCL 定律,此时稳压二极管上的电流 \(I_Z\) 将为最大,并且其电流值不能超过上面的 \(I_{Zmax}\)

\[ \frac{U_{INmax} - U_Z}{R} - I_{Lmin} = I_Z \le I_{Zmax} \implies R \ge \frac{U_{INmax} - U_Z}{I_{Lmin} + I_{Zmax}} = R_{min} \]

当输入电压最小负载电流最大的时候,根据 KCL 定律,此时稳压二极管上的电流 \(I_Z\) 将为最小,但是其电流值不能低于上面的 \(I_{Zmin}\)

\[ \frac{U_{INmin} - U_Z}{R} - I_{Lmax} = I_Z \ge I_{Zmin} \implies R \le \frac{U_{INmin} - U_Z}{I_{Lmax} + I_{Zmin}} = R_{max} \]

根据上面的分析,就可以得到限流电阻的取值范围应为 \(R_{min} \sim R_{max}\),即 \(R_{min} \le R \le R_{max}\)

▶【例题】如图所示的稳压二极管电路,已知其具体参数为 \(U_Z = 12V\)\(I_Z = 5mA\)\(I_{ZM} = 50mA\)

(1)如果 \(U_I = 3V\) 并且限流电阻等于负载电阻 \(R_L = R\),求解 \(U_O\)

(2)如果 \(U_I = 20V\) 并且其允许的变化量为 \(\pm 2V\),而 \(I_O\) 的变化范围要求在 \(0mA \sim 15mA\),试选择限流电阻 \(R\) 的合适阻值与功率?

▶【解答-1】稳压二极管电路的分析,依然秉承先定性后定量的原则。这里首先将稳压二极管从电路里断开,从而独立讨论两端电位的极性与大小,从而判断出稳压二极管的工作状态。

\(U_I = 3V\) 并且 \(R_L = R\),显然此时稳压二极管的阴极电位为 1.5V,而阳极电位为 0V,稳压二极管处于反偏状态。此时由于 \(1.5V < U_Z = 12V\),工作点并没有进入反向击穿区,此时稳压二极管反偏截止,不能进行稳压。

根据上面的结论,就可以很容易求解得到此时 \(U_O\) 的值为:

\[ U_O = \frac{R_L}{R_L + R} \cdot U_I = \frac{3}{2}V = 1.5V \]

▶【解答-2】由于此时 \(U_I = 20V\),稳压二极管处于反向偏置,只要选择合适的限流电阻,就可以让电路进行稳压工作。

输入电压 \(U_I\) 最大并且输出电流 \(I_O\) 最小的时候,此时稳压二极管上的电流 \(I_{DZ}\) 为最大值,限流电阻 \(R\) 的阻值需要满足 \(I_{DZ} \le I_{ZM}\),列出方程求解限流电阻的最小取值 \(R_{min}\)

\[ R_{min} = \frac{U_{Imax} - U_Z}{I_{ZM} + I_{Omin}} = \frac{(20+2-12)V}{50mA} = 200Ω \]

输入电压 \(U_I\) 最小并且输出电流 \(I_O\) 最大的时候,此时稳压二极管上的电流 \(I_{DZ}\) 为最小值,限流电阻 \(R\) 的阻值需要满足 \(I_{DZ} \ge I_{ZM}\),列出方程求解限流电阻的最大取值 \(R_{max}\)

\[ R_{max} = \frac{U_{Imin} - U_Z}{I_{Z} + I_{Omax}} = \frac{(20-2-12)V}{(5 + 15)mA} = 300Ω \]

结合上面的分析结论,可以在 \(200Ω \le R \le 300Ω\) 范围选取限流电阻 \(R\) 的值。如果取值为 \(270Ω\),则限流电阻上产生的最大功耗 \(P_{Rmax}\) 应为:

\[ P_{Rmax} = \frac{(U_{Imax} - U_Z)^2}{R} = \frac{(22-12)^2}{270} \approx 0.37W \]

本题到这里求解完毕,通过以上的介绍和分析,虽然稳压二极管仍然具有单向导电性,但其使用和性能上与普通二极管存在较大区别:

  1. 稳压二极管工作在反向击穿区,普通二极管工作在正向导通区
  2. 稳压二极管反向特性曲线比普通二极管更为陡峭,虽然两端电流会在较大范围内变化,但是两端的电压变化较小,因此具备稳压作用;
  3. 稳压二极管反向击穿电压相比普通二极管更低,普通二极管反向击穿电压为 25 \sim 50V,稳压二极管的反向击穿电压则要低得多,其中 6V 左右稳压二极管的稳压输出最为稳定;
  4. 稳压二极管去掉反向击穿电压之后,只要不超过其额定功耗,就又可以恢复正常工作;而普通二极管进入反向击穿区,就会失去单向导电性,同时由于反向电流过大,容易烧毁普通二极管;

除了普通二极管和稳压二极管之外,还存在下面表格当中的这些其它类型二极管:

双极型晶体管

晶体三极管当中存在两种带有不同极性电荷的载流子参与导电,所以称为双极型晶体管Bipolar Junction Transistor),也称为半导体三极管。主要分为 PNPNPN 两种类型,通过它们符号中箭头的指向加以区分记忆,即都是从 P 型半导体指向 N 型半导体

基于不同的掺杂方式在同一块硅片上制造出 3 个掺杂区域,并且形成 2 个 PN 结。以上图的 NPN 型三极管为例,位于中间的 P 区称为基区,它很薄且杂质浓度很低,所引出的电极为基极Base);位于左边的 N 区是发射区,其掺杂浓度非常高,引出的电极称为发射极Emitter);位于右边的 N 区是集电区,面积较大,所引出的电极就是集电极Collector);

注意:三极管的组成结构可以概括为:3 个极(基极、发射极、集电极)、3 个区(基区、发射区、集电区)、2 个 PN 结(发射结、集电结)

放大原理

三极管的电流放大能力必须从内部结构和外部偏置条件两个方面来进行满足:

  • 内部结构:基区最薄掺杂浓度最低(空穴浓度最低),主要用于传送和控制载流子;发射区掺杂浓度(自由电子浓度最高)最高,主要用于发射载流子;集电区的面积最大,主要用于收集载流子。
  • 外部结构:通过正确的偏置保证晶体管的放大,所谓偏置就是利用直流电源为电路设置固定的电流与电压。对于晶体管而言,必须保证发射结正偏集电结反偏(通过选择合适的电源与电阻)。对于 NPN 晶体管而言,发射结正偏是 \(V_B > V_E\),集电结反偏是 \(V_C > V_B\);而对于 PNP 晶体管而言,发射结正偏是 \(V_B < V_E\),集电结反偏是 \(V_C < V_B\)

NPN 型晶体管加入正确的外部偏置以后,晶体管内部载流子的运动规律如下所示:

  1. 发射结加正向电压,扩散运动形成发射极电流 \(I_E\):由于发射结加正向电压,且发射区杂质浓度较高,大量自由电子经过扩散运动越过发射结到达基区。与此同时,空穴也从基区向发射区扩散,但是由于基区杂质浓度较低,所以空穴形成的电流非常小,基本可以忽略不计,即扩散运动形成了发射极电流 \(I_E\)
  2. 扩散到基区的自由电子与空穴的复合,形成基极电流 \(I_B\):由于基区很薄杂质浓度较低,当集电结加反向电压时,仅少部分扩散到基区的电子与空穴发生复合,其余部分均作为基区的非平衡少子到达集电结。同时又由于电源 \(V_{BB}\) 的作用,电子与空穴的复合运动将会持续不断的进行,从而形成基极电流 \(I_B\)
  3. 集电结加反向电压,漂移运动形成集电极电流 \(I_C\):由于集电结加反向电压并且其结面积较大,基区的非平衡少子在外电场作用下越过集电结到达集电区,形成漂移电流。与此同时,集电区与基区的平衡少子也参与漂移运动,但是其数量较少基本可以忽略不计。即在集电极电源 \(V_{CC}\) 的作用下,漂移运动形成集电极电流 \(I_C\)

如图所示,假设由发射区向基区扩散所形成的电子电流为 \(I_{EN}\),由基区向发射区扩散所形成的空穴电流为 \(I_{EP}\),由基区内部复合运动所形成的电流为 \(I_{BN}\),由基区内非平衡少子(即发射区扩散到基区但没有被复合的自由电子)漂移至集电区所形成的电流为 \(I_{CN}\),由平衡少子在集电区与基区之间的漂移运动所形成的电流为 \(I_{CBO}\)。接下来,分别对晶体管的发射极电流 \(I_E\)集电极电流 \(I_C\)基极电流 \(I_B\) 进行分析:

\[ \begin{cases} 发射极电流 & I_E = I_{EN} + I_{EP} = (I_{CN} + I_{BN}) + I_{EP} \\ 集电极电流 & I_C = I_{CN} + I_{CBO} \\ 基极电流 & I_B = I_{BN} + I_{EP} - I_{CBO} = I^{'}_B - I_{CBO} \end{cases} \]

联立上面的公式,可以发现晶体管三个电极电流的分配关系依然遵循着基尔霍夫电流定律:即将晶体管视为一个结点,\(I_B\)\(I_C\) 为流入结点的电流,\(I_E\) 则为流出结点的电流,它们之间存在着如下的关系:

\[ 发射极电流 I_E = 集电极电流 I_C + 基极电流 I_B \]

注意:当晶体管满足发射结正偏集电结反偏时,这种分配关系将会是固定的,与外加电压并没有关系,主要取决于晶体管基区的宽度以及发射区多子的浓度。

基本晶体管三个电极电流的固定关系,可以定义出下面几个比较重要的参数:

  • 共基极直流电流放大系数 \(\bar \alpha = \frac{I_C}{I_E}\):根据前面对载流子运动规律的分析,\(I_C\) 约等于 \(I_E\) 并且小于 \(I_E\),所以 \(\bar \alpha\) 小于1并且接近于1
  • 共发射极直流电流放大系数 \(\bar \beta = \frac{I_C}{I_B} = \frac{\bar \alpha}{1 - \bar \alpha}\):该参数直接反映了输出电流 \(I_C\) 与输入电流 \(I_B\) 的比例关系,由于 \(I_C\) 较大而 \(I_B\) 这样复合运动产生的电流较小,所以非常直观的体现了晶体管的放大能力,是后续直流分析当中需要经常使用到的参数
  • 共发射极交流电流放大系数 \(\beta = \frac{\Delta i_C}{\Delta i_B}\):晶体管对于交流电流也具备放大能力,该参数对于后续的交流分析而言至关重要;

注意:上述晶体管参数上面的小横扛代表这是一个直流参量。

综上所述,当晶体管发射结正偏集电结反偏时,基极电流的微小变化就可以引发集电极电流的较大变化,从而使得晶体管具备了电流放大能力。

伏安特性

晶体管的伏安特性是指晶体管各个电极的电压电流关系曲线,是晶体管内部载流子运动的外部表现。对伏安特性的全面了解,是分析与设计晶体管放大电路的前提和基础,这里以应用较为广泛的共发射极连接方式的特性曲线为例,来介绍晶体管的伏安特性。

类似于二极管,晶体管的伏安特性也是通过实际电路测量而来的,下图是型号为 3DG100 的 NPN 型晶体管伏安特性测量电路:

在基级和射极之间连接了电源 \(E_B\) 以及可变电阻 \(R_B\),同时在集电极和发射极之间连接了可变电源 \(E_C\),并且在输入回路用伏特表和安倍表分别测量输入电压 \(U_{BE}\) 和输入电流 \(I_B\),而在输出回路则测得其输出电流 \(I_C\) 和输出电压 \(U_{CE}\)。信号从晶体管的基极输入集电极输出,此时输出回路和输入回路共用一个电极,所以将这种电路连接方式称为共发射极接法

在这种连接方式下,可以通过调节可变电源 \(E_C\) 的值来调节可变电阻 \(R_B\),此时输入电流 \(I_B\) 和输入电压 \(U_{BE}\) 的读数都会发生变化,将得到的数据逐一记录并且描述,就得到了 \(I_B\)\(U_{BE}\) 的伏安关系曲线。多次重复该操作,就可以得到一组在 \(U_{CE}\) 为常数情况下,\(I_B\)\(U_{BE}\) 的关系曲线,称为输入特性曲线

\[ I_B = f(U_{BE}) |_{U_{CE} = 常数} \]

采用同样的方式,也可以在指定 \(I_B\) 为常数情况下,得到一组反映 \(U_{CE}\)\(I_C\) 关系的曲线,称之为输出特性曲线

\[ I_C = f(U_{CE}) |_{I_{B} = 常数} \]

注意:晶体管特性曲线都拥有一个常数条件的原因在于,晶体管的输入和输出回路并不是孤立存在的,两者之间存在一条共用的支路,所以必然会产生相互影响,为了避免这种情况对测量造成的影响,会在测量某一特性回路的时候,固定另一个回路的参数,从而得到较为准确的特性曲线。

输入特性曲线

输入特性曲线是在 \(U_{CE}\) 指定的前提下,考察输入电流 \(I_B\)(纵轴)输入电压 \(U_{BE}\)(横轴):

  • 当指定 \(U_{CE} = 0V\) 时测得一条输入特性曲线,该特性与二极管的正向特性极为相似,这是由于晶体管的基极和射极之间就是一个 PN 结,所以其特性与 PN 结的正向特性一致,对于硅管而言依然是 \(0.5V\) 的开启电压以及 \(0.7V\) 的导通电压。
  • 当指定 \(U_{CE} = 1V\) 时再次进行测量,此时形成的新特性曲线会向右移动。\(U_{CE}\) 增加导致特性曲线向右移的原因在于基极电流主要来源于复合电流,随着 \(U_{CE}\) 的增大集电区收集自由电子的能力增强,大部分自由电子都被收集到集电区,从而减小了自由电子和基区当中空穴复合的机会,使得在同样的 \(U_{BE}\) 条件下 \(I_B\) 的值会减小,导致特性曲线向右移动;
  • 当继续增大 \(U_{CE}\) 取值的时候,特性曲线继续右移,但是移动的幅度并不明显。当 \(U_{CE}\) 达到一定程度时大部分自由电子都已经被收集,但仍然会有小部分的自由电子进行复合,此时 \(U_{CE}\) 的增大就不会让 \(I_D\) 减小很多;因此对于小功率晶体管,可以认为当 \(U_{CE} > 1V\) 时的这条输入特性曲线,可以代替 \(U_{CE} > 1V\) 时的所有输入特性曲线。由于这个条件通常是满足的,所以本文后续通常只会讨论一条输入特性曲线;

输出特性曲线

输出特性曲线是晶体管相关内容的核心,也是后续内容的出发点,因此需要十分重视。输出特性曲线反映的是在 \(I_B\) 为常数情况下,输出电压 \(U_{CE}\) 和 输出电流 \(I_C\) 的关系,对于每一个 \(I_B\) 都会对应一条 \(I_C\) 随着 \(U_{CE}\) 变化的特性曲线,而且每条特性曲线的变化趋势都是相同的,这里以下图当中红色的曲线为例进行讨论:

  • \(U_{CE}\) 较小的时候\(I_B\) 随着 \(U_{CE}\) 的变化呈现较大的变化过程。这是由于在原点 \(U_{CE} = 0V\) 时,集电结并没有反向偏置,集电区不能收集自由电子,所以此时电流 \(I_C\) 为零。随着 \(U_{CE}\) 逐渐增大,集电区收集自由电子的能力逐渐增强,此时集电极电流 \(I_C\) 也随之增大,\(I_C\)\(U_{CE}\) 的变化基本呈现出一种线性关系。
  • \(U_{CE}\) 增大到一定程度的时候\(I_C\) 就将不再增加,使得特性曲线几乎平行于横轴。这是由于当 \(U_{CE}\) 足够大的时候,集电结完全反向偏置,集电区收集了几乎所有的电子,此时 \(I_C\) 将不会再增大,从而表现出一种恒流特性。在这个恒流区域 \(I_C\)\(I_B\) 的比值将会为一个固定值,这就是前面定义的直流电流放大系数 \(\bar \beta = \frac{I_C}{I_B}\)。同时,还可以发现恒流区除了每一条特性曲线与横轴平行之外,特性曲线之间的间隔距离也基本是相同的,这就说明在这个区域变化的 \(\Delta i_C\) 与变化的 \(\Delta i_B\) 的比值也基本是一个常数,也就是前面所定义的交流电流放大系数 \(\beta = \frac{\Delta i_C}{\Delta i_B}\)。总而言之,晶体管在这个区域体现了电流放大能力。除此之外,在这样的区域还可以发现 \(I_C\) 的变化几乎与 \(U_{CE}\) 无关,\(I_B\) 才是决定 \(I_C\) 大小的重要因素,这就体现了基极电流 \(I_B\) 控制集电极电流 \(I_C\) 的特性,说明晶体管是一个有源的电流控制元件

工作区

根据晶体管的伏安特性,可以将晶体管划分为 3 个工作区:

  1. 放大区:线性区,此时 \(I_C = \beta I_B\),发射结正偏集电结反偏即可进入放大区,模拟电路当中主要应用的就是晶体管的放大能力;
  2. 截止区:非线性区,发射结和集电结都反向偏置即可进入该区,此时发射区当中的自由电子不能进入基区,基极电流 \(I_B = 0\) 同时 \(I_C \approx 0\),此时 \(I_C\) 仍然存在来自于少子漂移运动产生的电流 \(I_{CEO}\),称为极射穿透电流;该电流对于小功率晶体管而言几乎可以忽略不计(小于1uA);
  3. 饱和区:非线性区,发射结和集电结全部正向偏置即可进入该区域,当 \(U_{CE} < U_{BE}\) 并且 \(U_{CE} \approx 0\) 的时候,此时集电极还没有反向偏置,集电区收集自由电子的能力并不强,这就导致电流 \(I_C < \beta I_B\);对于小功率 NPN 型晶体管,可以将 0.3V 作为晶体管从放大区进入饱和区的临界电压;

晶体管除了工作在放大区提供电流放大作用以外,还可以在饱和区截止区分别提供短路开路的功能:

  • 放大区:发射结正偏 \(U_{BE} > 0\) 集电结反偏 \(U_{BC} < 0\),这种状态下晶体管具有放大能力 \(I_C = \bar \beta I_B\),即合适大小的基极电流 \(I_B\) 可以在集电极 \(I_C\) 上获得数以百倍的输出;
  • 截止区:发射结反偏 \(U_{BE} \le 0\) 集电结反偏 \(U_{BC} < 0\),此时 \(I_B = 0\),且 \(I_C \approx 0\),导致发射极到集电极几乎没有电流流过,相当于开路状态,此时集电极的输出电压 \(V_o \approx V_{CC}\)
  • 饱和区:发射结正偏 \(U_{BE} > 0\) 集电结正偏 \(U_{BC} > 0\),此时 \(U_{CE} \approx 0\),这就意味着集电极和发射极之间近似于短路状态,此时临界集电极饱和电流 \(I_{CS} = \frac{(V_{CC} - U_{CES})}{R_C}\),而集电极输出电压 \(V_O \approx 0\)

综上所述,当晶体管工作于饱和区时 \(U_{CE} \approx 0\),集电极与发射极之间电阻极小,近似于短路状态;当晶体管工作于截止区时,\(I_C \approx 0\) ,集电极与发射极之间电阻极大,近似于开路状态。由此可见,晶体管除了具有放大作用以外,还具备开关的作用,可以在数字电路当中大显身手。

下面的表格给出了晶体管处于不同工作状态时的典型电压值:

注意:需要重点记忆硅基三极管导通情况下的 \(U_{BE} = 0.7V\) 以及 \(U_{CES} = 0.3V\),这两个值将会应用于后续的具体计算。

通过前面的分析可以了解,晶体管在三个不同的工作区域分别具有不同的特性,分析晶体管电路同样需要首先了解其工作状态,从而决定后续采用什么样的分析方法,判断晶体管工作状态的方法主要有如下两种:

三极管结偏置判定法:根据发射极与集电极偏置的不同来判定晶体管的工作状态,该方法通常用于实际存在电路的场景,借助万用表可以容易的测得晶体管每个电极对应的电位,进而判断出发射极与集电极的偏置状态,最后得到晶体管的工作状态:

三极管电流关系判定法:适用于实际电路不存在的场合,由于晶体管是一个电流控制元件,其输出状态与输入电流 \(I_B\) 有着极大的关系。因此可以将临界的 \(I_B\) 值作为标尺,去衡量晶体管当前所处的工作区域:

▶【例题】下图为 NPN 型三极管构成的两个电路,假设电路当中三极管 VT\(U_{BE} = 0.7V\),试分析该三极管处于何种工作状态?

▶【解答 - a】首先,假设晶体管处于临界状态,从而求解出此时的临界基极饱和电流 \(I_{BS}\)

基于上图红线所示支路的电压方程,求解出 \(I_{BS}\)

\[ \begin{aligned} V_{CC} = \beta \cdot I_{BS} \cdot R_C + U_{CES} \implies I_{BS} = \frac{V_{CC} - U_{CES}}{\beta \cdot R_C} = \frac{5 - 0.3}{40 \times 2000} = 0.058mA \end{aligned} \]

接下来求解出实际的 \(I_B\) 值,再将其与 \(I_{BS}\) 进行比较。

基于上图所示输入回路的电压方程,对 \(I_B\) 进行求解:

\[ \begin{aligned} V_{CC} = I_B \cdot R_b + U_{BE} \implies I_B = \frac{V_{CC} - U_{BE}}{R_b} = \frac{5 - 0.7}{100000} = 0.043mA \end{aligned} \]

此时,由于 \(I_B < I_{BS}\),所以晶体管 VT 当前处于放大状态。

▶【解答 - b】与前面电路相比,该电路多出了一个射极电阻 \(R_E\),这里仍然假设晶体管处于临界饱和状态:

通过上面红线支路的电压方程,可以对 \(I_{BS}\) 进行求解:

\[ \begin{aligned} V_{CC} = \beta \cdot I_{BS} \cdot R_C + U_{CES} + (1 + \beta) \cdot I_{BS} \cdot R_e \implies I_{BS} = \frac{V_{CC} - U_{BE}}{R_e + \beta(R_c + R_e)} \approx \frac{12 - 0.3}{50 \times (1.5 + 0.1)} = 0.14mA \end{aligned} \]

具体的 \(I_B\) 仍然需要通过输入回路的电压方程进行求解:

通过上面标红支路的电压方程对 \(I_B\) 进行求解:

\[ \begin{aligned} V_{CC} = I_B \cdot R_b + U_{BE} + (1 + \beta) \cdot I_{B} \cdot R_e \implies I_{B} = \frac{V_{CC} - U_{BE}}{R_b + (1 + \beta) \cdot R_e} = \frac{12 - 0.7}{100 + 51 + 0.1} = 0.11mA \end{aligned} \]

此时,由于 \(I_B < I_{BS}\),所以晶体管 VT 当前是处于放大状态。

主要参数

晶体管的数据手册详细说明了元件的各项参数、特性曲线、封装尺寸等等,本小节将会讨论一些比较重要的参数。

电流放大系数

共发射极电流放大系数是晶体管电流放大能力的最直接体现。

  • 直流电流放大系数 \(h_{FE}\):体现了晶体管的直流电流放大能力,即共发射极直流电流放大系数 \(\bar \beta = \frac{I_C}{I_B}\)
  • 交流电流放大系数 \(h_{fe}\):体现了晶体管的交流电流放大能力,即共发射极交流电流放大系数 \(\beta = \frac{\Delta I_C}{\Delta I_B}\)

注意\(\bar \beta\)\(\beta\) 参数的含义并不相同,但是在晶体管工作于恒流状态,特性曲线接近于平行,并且 \(I_{CE0}\) 较小的情况下,两者在数值上比较接近,因而在后续的计算过程当中,会对这两个参数作近似相等处理;通过参数手册可以发现,\(\beta\) 值的大小并不是固定的,它将会伴随 \(I_C\) 的变化而变化;

共基极电流放大系数在数据手册中并不直接体现,但是可以通过 \(\alpha\)\(\beta\) 的如下关系进行求解:

  • 直流电流放大系数 \(\bar \alpha = \frac{I_C}{I_E} = \frac{\bar \beta}{1 + \bar \beta}\)
  • 交流电流放大系数 \(\alpha = \frac{\Delta I_C}{\Delta I_E} = \frac{\beta}{1 + \beta}\)

极间反向电流

晶体管拥有 CBE 三个极,极间反向电流符号当中的哪个极被字母 \(O\) 所取代,那么这一极就处于开路状态。

  • 集基极反向截止电流 \(I_{CBO}\):发射极 E 开路情况下,集电极到基极的反向电流,该电流由少子漂移运动产生,受温度影响较大,温度升高时 \(I_{CBO}\) 也会明显增大;对于硅管而言,该参数的数值较小,仅为纳安 nA 量级;
  • 集射极反向截止电流 \(I_{CEO}\):即前面提到的极射反向穿透电流,是基极 \(B\) 在开路情况下,集电极与发射极之间的电流,类似该电流直接从集电极穿透进入发射极一样。该参数同样也会受到温度的影响,当温度升高时该参数将会急剧增大;

注意:通过对这两个参数的讨论可以发现,晶体管工作时的性能指标受温度的影响比较大,体现出的温度特性较差。

极限参数

  • 集电极最大允许电流 \(I_{CM}\):前面内容提到 \(\beta\) 随着 \(I_C\) 的增大而减小,当 \(\beta\) 值下降到线性放大区 \(\beta\) 值的 70% 的时候,此时所对应的集电极电流就称为集电极最大允许电流 \(I_{CM}\)。虽然晶体管的 \(I_C > I_{CM}\) 不至于损坏元件,但是电流放大系数 \(\beta\) 会出现明显下降,影响了晶体管的放大能力,因此晶体管进行线性应用时,\(I_C\) 不能够大于 \(I_{CM}\)
  • 集射极反向击穿电压 \(U_{BR/CEO}\):当晶体管集射极之间(集电结)的电压 \(U_{CE}\) 超过该数值时,三极管就会被反向击穿(如果晶体管使用过程中发现该值突然增大,表明可能已经被击穿);
  • 集电极最大允许功率损耗 \(P_{CM}\):即集电极电流通过集电结时产生的功耗 \(P_C = I_C U_{CE} < P_{CM}\)(当晶体管工作在放大状态时,集电结承受着较高的反向电压和电流,所以集电结上会由于消耗较高功率而发热,如果超过该额定参数就会发生热击穿而损坏);

通过以上 3 个极限参数的约束,以及对晶体管放大区的定义,就可以在特性曲线上得到一个安全工作区:

除了让晶体管工作的电流、电压处于安全工作区范围以内,确保晶体管安全稳定的工作还需要注意温度的影响:

  • 温度对输入特性的影响:当温度每升高 1°C\(U_{BE}\) 将会减小 -(2~2.5)mV,即晶体管具有负温度系数;
  • 温度对输出特性 \(\beta\) 的影响:当温度升高时载流子的扩散和漂移运动都将会加快,因而减少了复合的机会。对于同样的基极电流 \(I_B\),当温度升高时,集电极电流 \(I_C\) 将会明显增大,从而使得电流放大系数 \(\beta\) 也对于温度敏感,即温度升高,输出特性曲线上移,间距拉大。温度每升高 1°C,电流放大系数 \(\beta\) 就会增加 \(0.5% \sim 1.0%\)
  • 温度对反向电流 \(I_{CBO}\)\(I_{CEO}\) 的影响:温度每增加 10°C 就会导致 \(I_{CBO}\)\(I_{CEO}\) 显著增大,在该特性上硅管会优于锗管;

晶体管放大电路基础

放大电路是一种可以将微弱信号(包括电压、电流、功率)放大至所需数量级的电路。

所有放大电路都需要至少一路直流电源进行供电,而直流电源正是放大所需能量的提供方。而放大的本质就是利用晶体管这样的有源控制元件,实现能量的控制与转换,不失真则是放大的前提与基本条件。

放大电路当中同时存在有交流信号源直流电源,基于叠加原理,可以将电路当中信号的响应分解为单独在直流电源作用下的静态以及叠加交流信号源作用的动态

  • 静态:放大电路没有输入信号时,电路当中各点的电流、电压为直流信号;
  • 动态:放大电路存在输入信号时,电路当中的电流、电压随交流信号而发生变化;

静态工作点 Q

当输入电压 \(u_i\) 为零时,此时放大电路仅有直流电源单独作用,晶体管各极的电流和管压降都是直流分量,称为静态工作点 Q。对于放大电路而言,下图当中 \(I_{BQ}\)\(U_{BEQ}\)\(I_{CQ}\)\(U_{CEQ}\) 四个值就是静态工作点 Q 的坐标;

静态工作点的确立是放大电路分析与设计的重要环节,因为静态工作点的位置直接决定了晶体管是否能够稳定的工作在放大区,所以放大电路需要时刻保持静态工作点的稳定,从而确保信号能够被不失真的被放大。

动态参数

选择了合适的静态工作点,就可以开始关注用于指征放大电路性能指标的动态参数:放大倍数输入电阻输出电阻非线性失真最大输出幅度通频带/频率响应最大输出功率信号噪声比抗干扰能力等。由于当前学习目标是放大中低频小信号,所以这里主要关注放大倍数 \(\dot{A}\)、输入电阻 \(R_i\)、输出电阻 \(R_o\)

放大倍数 \(\dot{A}\)

下面这个放大电路的输入端有输入端电流 \(\dot{I_i}\) 和电压 \(\dot{U_i}\),输出端有输出端电流 \(\dot{I_o}\) 和电压 \(\dot{U_o}\),利用这四个量的比值,就可以定义出一系列的放大倍数参数

  • 电压放大倍\(\dot{A_u} = \frac{\dot{U_o}}{\dot{U_i}} = \frac{输出电压}{输入电压}\)
  • 电流放大倍数\(\dot{A_i} = \frac{\dot{I_o}}{\dot{I_i}} = \frac{输出电流}{输入电流}\)
  • 互阻增益\(\dot{A_r} = \frac{\dot{U_o}}{\dot{I_i}} = \frac{输出电压}{输入电流}\)
  • 互导增益\(\dot{A_g} = \frac{\dot{I_o}}{\dot{U_i}} = \frac{输出电流}{输入电压}\)

输入电阻 \(R_i\)

从放大电路输入端看进去的等效电阻 \(R_i\) 是输入电压 \(U_i\) 和输入电流 \(I_i\) 的比值,即交流信号下的等效电阻,该参数代表了放大电路的信号拾取能力。

对于电压放大而言,基于如下两点原因,输入电阻 \(R_i\) 越大越好:

  • \(R_i\) 越大 \(i_i\) 就越小,从信号源索取的电流就越小,信号源消耗的功率也就越小;
  • 输入电压 \(U_i\) 和 信号源内阻 \(u_s\) 的关系可以通过分压公式 \(U_i = \frac{R_i}{R_s + R_i} u_s\) 表达,可以看到 \(R_i\) 越大 \(u_i\) 就越接近 \(u_S\)

输出电阻 \(R_o\)

从放大电路的输出端看进去的等效电阻,这个参数代表了放大电路的带负载能力:

将上图左侧的有源二端口网络基于戴维南定理,等效为电压源与电阻的串联,这个戴维南等效电阻 \(R_o\) 就是输出电阻。因此,可以将其定量的描述为当负载开路 \(R_L = \infty\) 信号源置零 \(u_s = 0\) 时,外加激励所得到的电阻阻值:

\[ R_o = \frac{U_o}{I_o} |_{R_L = \infty, u_s = 0} \]

由于负载两端的输出电压 \(u_o = \frac{R_L}{r_o + R_L} u_{so}\),所以输出电阻 \(r_o\) 越小放大电路的带负载的能力就越强,反之则会越差。

组态与偏置

组成放大电路时必须从静态和动态两个角度遵循如下原则:

  • 静态构建原则:首先,外加直流电源的极性必须让三极管发射结正偏集电结反偏,以确保其工作于放大区;然后,配置大小合适的直流电源与电阻,保证合适的静态工作点;
  • 动态构建原则:要求动态信号能够作用于晶体管输入回路,在负载上能够获得放大后的动态信号;输入回路的连接应该让输入电压的变化量 \(\Delta u_i\) 能够传送至基极回路,并使得基极电流 \(i_B\) 产生相应的变化量 \(\Delta i_b\)输出回路的连接应让集电极电流 \(i_C\) 的变化量 \(\Delta i_c\) 能够转化为集电极电压的变化量 \(\Delta u_{ce}\),并且传送至输出端;

偏置

所谓偏置就是利用直流电源为电路设置固定的直流电压或者电流的过程,也就是设置静态工作点,并且保持静态工作点的稳定。

向下面 NPN 型晶体管的基极 B 和射极 E 之间添加一个电源 \(E_B\) 就可以保证发射结正偏,此时由于 PN 结正向导通电阻较小,为了防止晶体管烧毁,还需要在基级回路添加一个电阻 \(R_B\)。在输出回路添加电源 \(E_C\) 可以确保集电结反偏,由于晶体管的集电极会输出被放大的电流 \(I_C\),由于此时负载上需要的是被放大的电压信号,因此需要在集电极上添加一个电阻 \(R_C\),根据集电极电位 \(V_C = E_C - R_CI_C\),即可将输出电流的变化转换为电压的变化。

上面的电路已经可以从原理上保证发射结正偏集电结反偏,将该电路当中的两个直流电源合二为一,即可得到如下这个单电源供电的偏置电路:

上面的偏置电路当中,一旦确定电源 \(V_{CC}\) 和基极电阻 \(R_B\),基极电流 \(I_B\) 也就基本固定,因此这种偏置也被称为固定偏置

由于基极电流 \(I_B\) 基本固定类似于一个常量,如果由于某种因素导致晶体管的电流放大系数 \(\beta\) 出现变化,此时 \(I_B\) 依然会保持不变,然而由于 \(I_C = \beta I_B\),因而 \(I_C\) 就会出现变化,这意味着当晶体管电流放大系数因为某种因素发生变化时,静态工作点都将会受到较大的影响。

例如在上面的参数条件下,\(\beta\)50 变为 100 时,由于 \(I_B\) 基本固定不变,输出回路的两个静态工作点 \(I_C\)\(V_{CE}\) 就会发生明显的变化,由此说明这种固定偏置电路不能稳定静态工作点 Q。

究其原因,这种固定偏置之所以不能够稳定静态工作点,就是由于在 \(\beta\) 变化的情况下 \(I_B\) 依然固定不变,因此需要打破这种固定才能够达到稳定静态工作点的目的。比如在晶体管射极加入一个电阻 \(R_E\),此时再来考察上面的情况:

\(\beta\)50 变到 100 的时候,由于此时 \(I_B\) 并不是一个固定的量,这样就可以使得输出的 \(I_C\)\(V_{CE}\) 变化程度较小,因而具备了稳定静态工作点的能力,这种射极添加了电阻的电路称为射极偏置。射极偏置添加电阻能够稳定静态工作点的原因在于 \(R_E\) 在电阻中引入了直流负反馈

虽然射极偏置可以减小 \(\beta\) 变化对静态工作点 Q 造成的影响,但是如果希望电路获得更好的稳定性,可以在基极与发射极之间再添加一个电阻,从而得到分压式偏置电路。下面的分压式偏置电路,利用了电阻 \(R_{B1}\)\(R_{B2}\) 的串联分压来稳定基极电位,配合 \(R_E\) 带来的负反馈,可以进一步提高稳定静态工作点的能力。

既然反馈可以稳定静态工作点,那么还可以在基极和集电极之间引入反馈,得到如下的电压反馈式偏置电路:

组态

晶体管拥有三个极,输入和输出回路必然共用一个极,由此晶体管可以构成三种基本组态的放大电路,

晶体管放大电路的输入、输出信号分别作用于晶体管的两个电极,而另外一个即没有作为信号输入也没有作为信号输出的电极即为共 X 极放大电路,通过这种方式就可以在纷繁复杂的晶体管放大电路当中识别出其组态

▶【例题】下面电路是由 VT1VT2VT3 三个晶体管构成的多级放大电路,请识别这些三极管的组态?

▶【解答】

  • 晶体管 VT1 的输入信号由 \(u_I\) 经过基极输入,而输出没有直接添加到负载上,而是用于驱动 VT2 晶体管,所以 VT1 是一个共射极放大电路
  • 晶体管 VT2 从射极输入信号,而输出则是通过集电极驱动 VT3 晶体管,因此 VT2 是一个共基放大电路
  • 晶体管 VT3 从基极输入信号,然后通过发射极驱动负载,因此 VT3 构成的是一个共集放大电路

上述各种组态的放大电路当中,都会存在一个电容元件(隔直通交),使得输入信号与放大电路、放大电路与负载都通过该电容进行连接,这种连接方式称为阻容耦合,这个电容称为耦合电容。这种阻容耦合的放大电路,最大优点在于可以隔离输入输出对于电路当中直流电流的影响,同时保证交流信号的顺利传输。

而不经过耦合电容直接相连的连接方式称为直接耦合,由于没有了隔直通交的电容,其静态工作点更容易受到输入信号与负载的影响,并且由于 \(R_{B1}\) 对于输入电压存在一定的串联分压效果,因此对于晶体管的放大倍数也会造成一定影响。但这种类型的电路也并非一无是处,正是由于不存在耦合电容,其低频特性非常良好而且更加容易集成,因而广泛应用于各种集成电路当中。

共射放大电路工作原理

前一小节,从静态需求的角度引入了多种偏置电路,进而从动态信号传输的角度定义了三种基本组态。

上面电路是一个前面已经介绍过的固定偏置电路,搭配合适的电源与电阻,就可以保证发射结正偏集电结反偏,从而得到一个恰当的静态工作点。

如果将输入信号从基极输入,而将负载连接到集电极上面,就可以得到上面这个较为常用的共射放大电路。其中,信号源 \(u_i\) 提供了一个变化的输入信号 \(\Delta u_i\),经过耦合电容 \(C_1\) 的作用之后,输入信号 \(\Delta u_i\) 将会引起晶体管输入电压 \(\Delta u_{be}\) 的变化。

基于晶体管的输入特性曲线,可以发现变化的 \(\Delta u_{be}\) 必然引起 \(\Delta i_b\) 的变化,因为 \(\Delta i_c = \beta i_b\),所以 \(\Delta i_b\) 的变化又会引起 \(\Delta i_c\) 的变化,从而在输出端获得一个被放大的电流。

集电极电阻 \(R_c\) 上的电流会由于 \(\Delta i_c\) 的变化而变化,\(\Delta i_c\) 的变化必然会引起 \(R_c\) 上电压降 \(\Delta u_{R_c}\) 的变化。由于 \(u_{R_c} + U_{CE} = U_{CC}\),这里直流电源 \(U_{CC}\) 是固定的,因此 \(\Delta u_{ce} = - \Delta u_{R_c} = - \Delta i_c R_c\),这样就可以将变化的电流 \(\Delta i_c\) 转换为变化的电压 \(\Delta u_{ce}\),变化的 \(\Delta u_{ce}\) 经过耦合电容 \(C_2\) 以后,就是被放大的输出电压 \(\Delta u_o\)

通过上述分析还可以得到一个重要结论:因为 \(u_{R_c} + U_{CE} = U_{CC}\),所以 \(u_{R_c}\) 的变化与 \(U_{CE}\) 的变化是反向的,\(u_o\) 的变化与 \(i_c\) 或者 \(u_i\) 的变化也是反向的。通过直观的信号变化可以更容易理解这个过程,假如这里给上面的共射放大电路输入一个正弦的电压信号 \(u_i\)

显然,\(u_i\) 的变化会引起晶体管输入电压信号 \(u_{BE}\) 呈现等量同向的变化:

\(u_{BE}\) 的变化显然会引发基极电流 \(i_B\) 和集电极电流 \(i_C\) 的变化:

\(i_C\) 的变化经过 \(R_C\) 的作用以后,在 \(u_{CE}\) 上就可以得到一个反向的信号变化:

经过耦合电容 \(C_2\) 过滤掉直流分量,即可以得到纯交流的输出信号 \(u_o\)

通过上述过程可以非常清楚的看到输入信号 \(u_i\) 和输出信号 \(u_o\) 是明显反向的,此外除了 \(u_i\)\(u_o\) 是纯交流分量以外,电路当中其它位置的电流电压都不是纯交流信号,而是交流与直流(静态工作点)的叠加。综上所述,放大电路内部的直流交流分量是共存的,两种信号的来源和作用各有不同;其中直流分量是基础,其来自于直流电源,用于保证三极管正确偏置,并且保持合适的静态工作点;而交流分量则用于携带信息然后被放大的量;

BJT 放大电路静态分析

前一节讨论了共射放大电路的工作原理,清楚展示了放大过程中交流与直流共存的状态,即直流是基础,交流是驮载在直流之上被放大的信号

放大电路结构当中的一些元件,对于直流信号和交流信号所呈现的阻抗是不相同的:

  • 电容隔直通交,对于直流信号的阻抗为无穷大,可以视为开路;对于交流信号在电容上的压降可以忽略不计,可以作短路处理;
  • 电感隔交通直,对于直流信号的阻抗很小,可以视为短路;而对于交流信号则呈现出感抗 \(ωL\),因而视为开路;

除了上述电抗元件,由于动态信号下重点关注的是信号本身的变化,如果电路当中某些点的电压、电流不随交流信号变化,那么也需要重点进行考虑:

  • 理想直流电压源:电压恒定不变,即电压变化量等于零,因此在交流信号的作用下相当于短路
  • 理想直流电流源:电流恒定不变,即电流变化量等于零,因此在交流信号的作用下相当于开路

由于电路当中存在上述分别对交直流呈现不同阻抗的元件,那么交流分量和直流分量所经过的通路就是不同的:

  • 直流通路:没有交流信号源作用时,直流电流所流经的通路,主要用于分析静态工作点
  • 交流通路:输入交流信号时所流经的通路,主要用于计算电压放大倍数、输入电阻、输出电阻等动态性能指标

获取交流通路与直流通路对于放大电路的分析具有极为重要意义:

  1. 进行静态分析和动态分析的基础;
  2. 直流通路,用于识别偏置方式,定性的判断静态特征;
  3. 交流通路,用于识别电路组态,定性的判断交流特征;
  4. 判断电路是否满足放大电路的组成要求;

获得直流通路的步骤:

  1. 将交流电压信号源短路,保留内阻;
  2. 将交流电流信号源开路,保留内阻;
  3. 将电容视为开路;
  4. 将电感视为短路;

【例如】根据上面的定义,可以先将下图左侧电路的信号源作短路处理,进而将耦合电容 \(C_1\)\(C_2\) 视为开路,就可以得到该电路对应的右侧直流通路。此时,由于电路当中只存在直流电源 \(U_{CC}\) 的作用,各点的电流电压都是静态值,即静态工作点 Q:

获得交流通路的步骤:

  1. 将大容量电容视为短路;
  2. 无内阻的直流电源可以视为对地短路;

【例如】根据上面的定义,将下图左侧电路当中的电容 \(C_1\)\(C_2\) 视为开路处理,将直流电源 \(U_{CC}\) 进行对地短路,从而得到右侧的交流通路。通过交流通路可以发现信号从基极输入集电极输出,输入输出回路两者共用发射极,说明这是一个共射放大电路,基于这样的交流通路,就可以开展动态分析,求解该放大电路的放大倍数 \(A_u\)、输入电阻 \(R_i\)、输出电阻 \(R_o\) 等动态性能指标:

估算法

基于上一节获得的直流通路,可以秉承先静态后动态的原则开展静态分析,即基于放大电路的偏置电路求取静态工作点,静态分析的方法主要有估算法图解法两种:

首先,任何一种静态分析方法,都需要准确的获得放大电路的直流通路:

上面这个直流通路当中各点的电流、电压都是直流分量,可以采用大符号大下标进行表示,这里的 \(I_B\)\(I_C\)\(U_{BE}\)\(U_{CE}\) 就是待求取的静态工作点。

已知当晶体管处于发射结正偏时,PN 结的正向导通压降可以视为一个确定值,例如硅管 \(U_{BEQ} = (0.6V \sim 0.8V)\),通常取典型值 0.7V。此外,当晶体管进行放大的时候,\(I_C\)\(I_B\) 之间有着比较固定的 \(I_C = \beta I_B\) 关系。最后,结合 KVL 方程就可以对静态工作点进行求解,如果已知 \(V_CC\)\(R_B\)\(R_C\)\(U_{BEQ}\)\(\beta\),就可以联立得到如下的方程:

\[ \begin{cases} I_{BQ} = \frac{V_{CC} - U_{BEQ}}{R_B} \approx \frac{V_{CC}}{R_B} \\ I_{CQ} = \beta I_{BQ} \\ U_{CEQ} = V_{CC} - R_C I_{CQ} \end{cases} \]

▶【例题】采用估算法求解下图射极偏置电路的静态工作点 ?

▶【解答】首先,对射极偏置电路进行静态分析的时候,需要找到通过一个方程就能确定的未知数,本题当中这个未知数就是 \(I_B\),基于上图蓝色箭头标识的输入回路列写电压方程:

\[ U_{CC} = I_B R_B + U_{BE} + (1+\beta) I_B R_E \]

上面方程当中,\(R_E\) 上经过的电流即不是 \(I_B\) 也不是 \(I_C\),而是 \((1+\beta) I_B\),这个方程当中只有 \(I_B\) 一个未知数,通过求解就可以得到 \(I_B\) 的表达式:

\[ I_B = \frac{U_{CC} - U_{BE}}{R_B + (1+\beta)R_E} \]

进而马上可以得到 \(I_C \approx \beta I_B\) 这个结果,再基于上图红色箭头标识的输出回路列写电压方程:

\[ U_{CE} = U_{CC} - I_C R_C - I_E R_E \]

最后,联立方程完成静态工作点的分析,并且可以由此总结出估算法求解静态工作点的一般步骤:

  1. 精简出放大电路的直流通路;
  2. 根据基极回路求解 \(I_{B}\)
  3. 由 BJT 的电流分配关系求解 \(I_{C}\)
  4. 由集电极回路求解 \(U_{CE}\)

即基于基尔霍夫定律列写放大电路输入与输出回路的电压方程,求取 \(I_{B}\)\(I_{C}\)\(U_{CE}\)

注意:当电路结构发生变化时,求解的表达式也会发生变化,求解的思路也可能会发生变化,因此必须具体问题具体分析,而不能生搬硬套。

图解法

由于静态工作点 \(I_{BQ}\)\(U_{BEQ}\)\(I_{CQ}\)\(U_{CEQ}\) 分别对应输入、输出特性曲线上的点,所以可以采用作图的方法,通过晶体管特性曲线分析静态工作点。

在已知元件实际伏安特性曲线的情况下,图解法可以直观的分析各个参数对于静态工作点的影响,并且了解静态工作点的变化对于放大电路静态特性的影响。这里以下面的偏置电路为例,采用图解法求解其静态工作点:

已知晶体管的输入、输出特性曲线如下所示:

由于晶体管的电压和电流除了满足伏安特性以外,还需要满足外电路的电压、电流关系,基于输入回路可以列写如下的电压方程:

\[ \begin{cases} V_{CC} = I_B R_B + U_{BE} \\ I_B = -\frac{1}{R_B} U_{BE} + \frac{V_{CC}}{R_B} \end{cases} \]

此时,在输入特性曲线下,上面输入回路的电压方程就是一条以 \(-\frac{1}{R_B}\) 作为斜率的直线,该条直线与输入特性曲线具有唯一交点,即静态工作点 \((I_{BQ}, U_{BEQ})\)

接下来观察输入回路曲线,同样也可以列写出如下的电压方程:

\[ \begin{cases} U_{CE} = V_{CC} - I_C R_C \\ I_C = -\frac{1}{R_C} U_{CE} + \frac{V_{CC}}{R_C} \end{cases} \]

同理,在输出特性曲线下,上面输入回路的电压方程就是一条以 \(-\frac{1}{R_C}\) 为斜率的直线(直流负载线),该条直线与输出特性曲线具有多个交点。由于前面已经基于输入特性求取了 \(I_{BQ}\),所以 \(I_{BQ}\) 对应的特性曲线与该直线的交点就是待求的静态工作点 \((I_{CQ}, U_{CEQ})\)

经过上述过程,可以非常直观的观察到静态工作点在特性曲线当中的位置,这样就有利于观察电路参数 \(V_{CC}\)\(R_B\)\(R_C\)\(\beta\) 对于静态工作点的影响:

  • 如果改变 \(R_B\),其它参数保持不变;下图左侧输入回路的电压方程是一条以 \(-\frac{1}{R_B}\) 为斜率的直线,因此当 \(R_B\) 变化的时候,这条直线的斜率也会发生变化,当 \(R_B\) 增大的时候,斜率变小导致静态工作点向下移动。对于右侧的输出回路,当 \(R_B\) 增大的时候,\(I_{BQ}\) 变小,导致静态工作点 Q 沿着直流负载线向下移动;所以 \(R_B\) 的变化将会非常明显的影响静态工作点的位置;
  • 如果改变 \(R_C\),其它参数保持不变;由于输入回路的方程是一条斜率为 \(-\frac{1}{R_B}\) 的直线,所以 \(R_C\) 的变化不会影响到输入回路的静态工作点;而输出回路当中,直流负载线的斜率为 \(-\frac{1}{R_C}\),因此 \(R_C\) 的变化将会直接导致直流负载线的变化,如果 \(R_C\) 增大,直流负载线斜率变小,将会导致静态工作点向左移动靠近饱和区;
  • 如果改变 \(V_{CC}\),其它参数保持不变;输入回路的直线和输出回路的直流负载线都与 \(V_{CC}\) 密切相关,例如当 \(V_{CC}\) 减小的时候,输入回路的直线将会向下平移,从而导致静态工作点向下移动,\(I_{BQ}\) 会减小;输出回路的直流负载线则由于 \(V_{CC}\) 的减小而向下平移,而 \(I_{BQ}\) 的变小也会导致静态工作点向下移动,所以 \(V_{CC}\) 对于静态工作点也有明显影响;
  • 如果改变 \(\beta\),其它参数保持不变;由于这种情况下 \(V_{CC}\)\(R_B\)\(R_C\) 都没有发生变化,所以对于固定偏置电路而言,输入输出回路的特性方程都不会发生改变,发生变化的主要是特性曲线;当 \(\beta\) 发生变化时,输入回路的特性将不会发生变化,因此输入回路的静态工作点将不会受到影响;而输出回路当中,如果 \(\beta\) 变化必然导致输出特性曲线变化。比如 \(\beta\) 增大,那么特性曲线就会向上移动,而且曲线间距将会拉大,造成直流负载线与 \(I_{BQ}\) 所对应特性曲线的交点(即静态工作点)向上移动;由此可见,晶体管 \(\beta\) 参数的稳定,对于静态工作点的稳定至关重要;

通过上述讨论可以发现,放大电路当中电源、电阻、三极管的参数都会对静态工作点造成明显影响,具体的电路设计过程当中,主要是基于基极电阻 \(R_B\) 对静态工作点进行调整,这是由于晶体管本身是一个电流控制元件,调整 \(R_B\) 就可以改变 \(I_B\) 的大小,从而牵一发动全身的调整晶体管的静态工作点,同时调整 \(R_B\) 并不会影响放大电路的输出回路,减小了对于电路动态性能的影响。

BJT 放大电路动态分析

上一讲已经基于叠加原理,将放大电路分解为静态和动态两部分,进而基于直流通路开展了静态分析,获取了放大电路的静态工作点:

在静态的基础上,就可以开展动态分析,从而获取真正关心的放大倍数 \(A_u\)、输入电阻 \(R_i\)、输出电阻 \(R_o\) 等交流指标:

等效电路法

交流分析思路

这里依然基于下图左侧的放大电路进行讨论,开展动态分析的前提依然是准确的获得放大电路的交流通路,前一讲已经得到了下图右侧的交流通路:

由于只有交流信号源的作用,电路当中各点的电流和电压已经是交流信号,但是非线性元件晶体管的出现给电路分析带来了麻烦,线性电路的分析方法已经不再适用,而需要采用非线性电路的分析方法,这种方式虽然可以获取到非常精确的结果,但是当电路变得复杂的时候,计算量非常巨大且需要借助计算机辅助分析。因此,需要采用更为实用与高效的分析方法,也就是本节重点介绍的等效电路分析法图解法

仔细的观察下面的晶体管特性曲线,可以发现在线性区的局部范围,特性曲线具有线性化的特征。因此,可以考虑把由非线性元件晶体管组成的放大电路等效为一个线性电路,即将非线性的晶体管元件线性化处理,等效为一个线性元件,从而简化放大电路的分析与设计。

这种方法的关键在于建立起晶体管的小信号交流等效模型,建立晶体管等效模型的思路主要有如下两种:

  1. 从晶体管物理结构出发建立的物理模型,例如:\(\pi\) 参数等效模型\(T\) 参数等效模型
  2. 从网络理论出发建立的网络参数模型,例如:\(h\) 参数等效模型\(y\) 参数等效模型\(z\) 参数等效模型

基于不同的放大电路组态,还可以构成不同的等效电路。虽然建模的思路不同,模型的结构可能有所不同,各个模型之间是等价的,在一定条件下可以相互转换,下面就针对最常用的共射极组态,讨论其共发射极组态低频小信号模型

开始正式建立模型之前,需要首先明确建模条件,建立共发射极组态下的低频小信号模型隐含的条件主要有三个:

  1. 合适的静态工作点:使晶体管工作于线性区,实际特性与模型特性保持相似,从而建立起两者的等效;
  2. 交流小信号:即使静态工作点工作于线性放大区,如果交流信号过大,也可能使得在信号工作周期内,部分信号进入饱和区或者截止区,产生意外的结果,因此信号幅度不宜过大,这样条件下建立的模型称为微变等效模型
  3. 中低频信号:PN 结除了具有单向导电性之外还存在结电容,晶体管的发射结和集电结也同样存在着这样的结电容,结电容对于高频信号的传输具有较为明显的影响,本文主要针对中低频的信号进行讨论,因此可以不考虑结电容的影响。

建立混合参数模型

交流通路当中,可以将晶体管视为一个二端口网络,其中输入回路输出回路分别可以视为一个端口。

建模就是要建立这个二端口网络的线性等效模型,而等效则是保证替换以后的电路,仍然能够保持原有的电压电流关系。

晶体管的输入特性曲线反映的是 \(i_B\)\(u_{BE}\)\(u_{CE}\) 三者之间的关系,而输出特性曲线反映的则是 \(i_C\)\(i_B\)\(u_{CE}\) 三者之间的关系,因此可以采用如下函数分别描述输入输出端口的特性:

\[ \begin{cases} 输入端口特性 \implies u_{BE} = f(i_B, u_{CE}) \\ 输出端口特性 \implies i_C = f(i_B, e_{CE}) \end{cases} \]

数学上考察一个函数参数变化量之间关系的方法,就是对其进行全微分,那么可以得到:

\[ \begin{cases} 输入端口特性 \implies du_{BE} = \frac{\alpha u_{BE}}{\alpha i_B}|_{U_{CE}} \cdot di_B + \frac{\alpha u_{BE}}{\alpha u_{CE}}|_{I_B} \cdot du_{CE} \\ 输出端口特性 \implies di_C = \frac{\alpha i_C}{\alpha i_B}|_{U_{CE}} \cdot di_B + \frac{\alpha i_C}{\alpha u_{CE}}|_{I_B} \cdot du_{CE} \end{cases} \]

这里采用交流分量代替信号的变化量,采用 \(h_{ie}\)\(h_{re}\)\(h_{fe}\)\(h_{oe}\) 这四个参数分别表示每个变量前面的系数,从而得到如下的方程:

\[ \begin{cases} u_{be} = h_{ie} i_b + h_{re} u_{ce} \\ i_c = h_{fe} i_b + h_{oe} u_{ce} \end{cases} \]

上面方程中的下标字母 irfoe 分别代表着不同的含义:

  • iinput,输入;
  • rreverse,反向传输;
  • fforward,正向传输;
  • ooutput,输出;
  • eemitter,共射接法;

\(h_{ie}\)\(h_{re}\)\(h_{fe}\)\(h_{oe}\) 四个参数的量纲是不同的,所以这个模型也称为混合参数模型,简称为 H 模型(h-model)。

上面的每个参数都有一个条件,或者 \(u_{ce}\) 为常量,或者 \(i_B\) 为常量,物理上看是对全微分的要求,而对于具体电路的含义在于:

  • \(u_{CE}\) 为常量,意味着此时 \(u_{CE}\) 的变化量 \(du_{CE} = 0\),即当前输出端没有交流输出,而只有直流输出,相当于输出端交流短路
  • \(i_B\) 为常量,意味着此时 \(i_{B}\) 的变化量 \(di_B = 0\),即当前输入端没有交流输入,而仅有直流输入,相当于输入端交流开路

因为此时只存在直流的电流与电压,所以上述参数以及即将介绍的模型,都是在静态工作点附近进行定义的。根据上面由 4 个不同参数所构成的函数,就可以寻找对应的等效元件,并且搭建等效电路:

首先,观察输入端口 \(u_{be} = h_{ie} i_b + h_{re} u_{ce}\),晶体管的输入电压 \(u_{be}\) 是两个电压量之和,显然电路当中串联可以分压,所以这样的输入端口应该是由 \(h_{ie} i_b\) (即输入电流 \(i_b\) 与电阻 \(h_{ie}\) 的乘积)与 \(h_{re} u_{ce}\) (即无量纲的 \(h_{re}\) 乘以输出电压 \(u_{ce}\),可以等效为电压控制电压源)两部份串联而成。

然后,观察输出回路 \(i_c = h_{fe} i_b + h_{oe} u_{ce}\),晶体管的输出电流 \(i_c\) 是两个电流量之和,显然电路当中并联可以分流,所以输出端口应该是由 \(h_{fe} i_b\)(即无量纲的 \(h_{fe}\) 乘以输入电流 \(i_b\),可以等效为电流控制电流源)与 \(h_{oe} u_{ce}\)(即输出电压 \(u_{ce}\) 与电导 \(h_{ie}\) 的乘积)两部份串联而成。

简化混合参数模型

上一节从晶体管的实际端口特性出发,获得了一个完整的混合参数等效模型,本小节将会针对四个参数,再进行深入的讨论,使得在低频小信号放大需求下,进一步简化这个模型。

\[ \begin{cases} u_{be} = {\color{Red}h_{ie}} i_b + {\color{Red}h_{re}} u_{ce} \\ i_c = {\color{Red}h_{fe}} i_b + {\color{Red}h_{oe}} u_{ce} \end{cases} \]

第 1 个参数 \(h_{ie}\)

上述方程组第 1 个参数 \(h_{ie}\) 是在 \(U_{CE}\) 为常量的时候,变化的输入电压 \(u_{BE}\) 与变化的输入电流 \(i_B\) 的比值:

\[ h_{ie} = \frac{\alpha u_{BE}}{\alpha i_B}|_{U_{CE}} \]

根据动态电阻的定义,这样的参数反映的是晶体管的动态输入电阻,即 \(U_{CE}\) 恒定(输出端交流短路)时的输入电阻。该参数从物理意义上反映了输入电压 \(u_{BE}\) 对于输入电流 \(i_B\) 的控制能力。而几何意义上则表示输入电流在 Q 点处切线斜率的倒数。

当静态工作点位于线性区的时候,由于在静态工作点附近的特性曲线具有线性化特点,小范围之内特性曲线各点的切线斜率处处相等,所以静态工作点附近的这个参数也是相等的,通常使用符号 \(r_{be}\) 表示该参数。当晶体管工作于放大区的时候发射结正偏,所以该参数的数量级并不大,通常处于 \(10^2Ω \sim 10^3Ω\) 范围。

注意:虽然 \(r_{be}\) 的量级并不大,但是由于它非常直观的反映了输入电压变化量 \(u_{BE}\) 引入输入电流 \(i_B\) 的变化过程,因而具有非常重要的意义,不能忽略。

第 2 个参数 \(h_{re}\)

上述方程组第 2 个参数 \(h_{re}\) 是在 \(I_B\) 为常量的情况下,变化的输入电压 \(u_{BE}\) 与变化的输出电压 \(u_{CE}\) 之间的比值:

\[ h_{re} = \frac{\alpha u_{BE}}{\alpha u_{CE}}|_{I_B} \]

输出电压 \(u_{CE}\) 影响了输入电压 \(u_{BE}\),这就是广义上的反馈的概念,因此该参数也称为反向电压传输比或是内反馈系数。即 \(I_B\) 恒定(输入端交流开路)时的反向电压传输比。该参数在物理意义上反映了输出回路 \(u_{CE}\) 对输入回路 \(u_{BE}\) 的影响程度。几何意义上则反映了在静态工作点 Q 附近输入特性曲线横向的疏密程度,通常采用符号 \(\mu_T\) 描述该参数。

通过前面的讨论可以发现当 \(u_{CE}\) 大于 1V 的时候,这种由于 \(u_{CE}\) 变化而造成的特性曲线左右移动并不会很明显,所以该参数量级非常小,通常在 \(10^{-4}\) 范围。

注意:由于该参数量级非常小,此时 \({\color{Red}h_{re}} u_{ce}\) 部分的电压,对于串联分压的影响也就非常小,因此该参数可以在等效电路当中忽略不计。

第 3 个参数 \(h_{fe}\)

上述方程组第 3 个参数 \(h_{fe}\) 是在 \(U_{CE}\) 为常量的情况下,变化的输出电流 \(i_C\) 与变化的输入电流 \(i_B\) 的比值:

\[ h_{fe} = \frac{\alpha i_C}{\alpha i_B}|_{U_{CE}} \]

该参数实质就是前面已经定义过的电流放大系数,即当 \(U_{CE}\) 恒定(输出端交流短路)时的电流放大系数。物理意义上是晶体管电流放大能力最直观的表征;几何意义上则是静态工作点 Q 附近的输出特性曲线在纵向的疏密程度;通常采用符号 \(\beta\) 描述该参数,对于小功率晶体管该参数的大小处于 \(10 \sim 100\) 范围以内。

注意:由于该参数是晶体管电流放大能力的最直观表征,因此非常重要。

第 4 个参数 \(h_{oe}\)

上述方程组第 4 个参数 \(h_{oe}\) 是在 \(I_B\) 为常量的情况下,变化的输出电流 \(i_C\) 与变化的输出电压 \(u_{CE}\) 的比值:

\[ h_{oe} = \frac{\alpha i_C}{\alpha u_{CE}}|_{I_B} \]

该参数实际就是晶体管的输出电导,物理意义上反映了输出电压 \(u_{CE}\) 对输出电流 \(i_C\) 的控制能力;几何意义上则展示了输出特性曲线在恒流区的倾斜程度;通常采用输出电阻 \(r_{ce}\) 的倒数 \(\frac{1}{r_{ce}}\) 来描述该参数。

注意:当晶体管工作于恒流区的时候,输出电压 \(u_{CE}\) 的变化将不再过多的影响输出电流 \(i_C\) 的变化,所以恒流区的特性曲线几乎与横轴平行,这就意味着晶体管的输出电导将会非常小,通常位于 \(10 \mu S \sim 100 \mu S\) 量级。与此相反的,作为分母的输出电阻 \(r_{ce}\) 将会变得很大。基于这样的原因,在并联分流的情况下,如果 \({\color{Red}h_{oe}} u_{ce}\) 支路的电阻非常大,那么它对电流造成的影响反而就会较小,因而在电路模型当中可以对其进行忽略处理。

简化的 H 参数等效模型

因为输入端口的 \({\color{Red}h_{re}} u_{ce}\) 是一个受控电压源,又由于 \(h_{re}\) 的大小在 \(10^{-4}\) 左右,因此这部分的分压对于输入电压 \(u_{BE}\) 的影响较小,几乎可以忽略不计。而输出端口的 \(\frac{1}{h_{oe}}\) 表示的是输出电阻,由于输出电阻的大小通常在 \(100kΩ\) 左右非常大,从而使得该支路的电流对于输出电流的影响也可以忽略不计。

经过上述合理的近似之后,就可以基于左侧的混合参数模型得到右侧的简化 H 参数等效模型

从上面的右图可以看到,在基极和发射极之间是输入电阻 \(r_{be}\)(表征输入端电压对于电流的控制),而集电极和射极之间则是受控电流源 \(\beta i_b\)(直观的表征了晶体管是一个电流控制元件)。

注意:本节内容对于模型的简化是基于小信号放大这个前提,但是在某些场景里,上面的某些参数是不能够忽略的。因此,实际使用模型的过程当中,必须做到具体问题具体分析。

混合参数的确定

前一节内容已经得到了下面这个简化的 H 参数等效模型,具体电路分析时需要了解晶体管的输入电阻 \(r_{be}\) 和电流放大系数 \(\beta\)。其中,电流放大系数 \(\beta\) 可以通过查阅数据手册中的 \(h_{fe}\) 参数获取。

接下来求解输入电阻 \(r_{be}\),从晶体管的物理结构上看,输入电阻 \(r_{be}\) 主要由如下 3 部分电阻构成:

  1. 基区体电阻 \(r_{bb^{'}}\):取值可以通过数据手册或者经验值获得,通常在 \(100Ω \sim 300Ω\) 范围以内;
  2. 发射区体电阻:数值较小,基本可以忽略;
  3. 发射结电阻 \(r_{b^{'}e^{'}}\):发射结两端的电流 \(i_e\) 和电压 \(u_{b^{'}e^{'}}\) 需要满足电流方程 \(i_E = I_S (e^{u_{b^{'}e^{'}}/U_T} - 1)\),对该电流进行求导可知 \(r_{b^{'}e^{'}} = \frac{U_T}{I_{EQ}} = \frac{26mV}{I_{EQ}}\),进而再结合 \(r_{be}\) 电流与电压的关系 \(r_{be} = \frac{u_{be}}{i_b}\),就可以得到 \(r_{be}\) 的最终表达式:

\[ r_{be} = 300Ω + (1+\beta) \frac{26 (mV)}{I_{EQ} (mA)} \]

首先,这里的 \(r_{be}\)晶体管的动态等效输入电阻,因此只能用于动态分析,不能用于静态工作点的计算。其次,通过对式子的分析不难发现,\(r_{be}\) 的计算公式中发生变化的主要是静态工作点 \(I_{EQ}\),因而从计算的角度而言,只有经过静态分析才能够获取到 \(I_{EQ}\),从而确定 \(r_{be}\) 的值。这样的过程在特性曲线上也可以发现,由于特性曲线具有非线性特征,而 \(r_{be}\) 的几何特点是在静态工作点附近切线斜率的倒数,因此静态工作点发生变化的时候,切线的斜率也会发生变化,所以 \(r_{be}\) 的值与静态工作点密切相关,是沟通静态与动态的桥梁

在使用 h 参数等效模型进行具体的动态分析之前,还需要明确以下几个注意事项:

  • h 参数模型是针对变化量定义的,因此只能用于分析动态信号,而不能用于分析直流信号(静态工作点);
  • h 参数是在静态工作点的基础上定义的,因此只有当晶体管工作于线性区,并且输入信号幅度不大时,该等效模型才能成立;
  • H 参数等效模型当中受控电流的方向不能随意假定,必须与 \(i_b\) 的方向保持一致,即当 \(i_b\) 流入基极时,受控电流应从集电极流向发射极;
  • H 参数等效模型中没有考虑结电容的影响,因此只能适用于中低频信号,所以称为低频小信号模型
  • NPN 和 PNP 型晶体管的模型相同,电流 \(i_b\) 与受控电流源的方向也是相同的;

微变等效电路法

本节将会基于晶体管的微变等效模型,进行放大电路的动态分析,也就是微变等效电路法。利用它可以计算出放大电路的电压放大倍数 \(A_u\)、输入电阻 \(r_i\)、输出电阻 \(r_o\) 等动态性能指标,进而讨论这些指标与其它电路参数的关系,为后续的电路设计打下基础。

这里依然需要秉承先静态,后动态的理念,对放大电路开展静态分析,从而获得其静态工作点。这里假设已经通过估算法、图解法获得了放大电路的静态工作点,接下来依然基于下面的基本共射放大电路,按照微变等效电路法的步骤进行求解,获得其动态性能指标:

★ 第一步:获得微变等效电路,即采用晶体管的 h 参数等效模型替换交流通路中的晶体管;对于上面的基本共射放大电路,前面已经获得其交流通路:

在保持其它元件与晶体管连接方式不变的前提下,采用上一节获得的 H 参数等效模型替换晶体管,就可以得到下面仅包含有线性元件的微变等效电路

★ 第二步:采用线性分析方法,计算电压放大倍数(输出电压 \(u_o\) 与输入电压 \(u_i\) 有效值之比)。由于上图中的 \(u_i\) 处于输入回路而 \(u_o\) 处于输出回路,通过同时出现在输入输出回路中的 \(i_b\),分别表示 \(u_i\)\(u_o\),就可以计算得到电压放大倍数。

首先,尝试使用 \(i_b\) 表示输入电压 \(u_i\),观察上图可以知道 \(i_b\) 是流经电阻 \(r_{be}\) 的电流,而电阻 \(r_{be}\) 两端的电压恰恰是输入电压 \(u_i\),这样立刻就可以得到 \(i_b\)\(u_i\) 的关系:\(u_i = i_b r_{be}\)

然后,尝试使用 \(i_b\) 表示输出电压 \(u_o\),输出电压 \(u_o\)\(R_C\)\(R_L\) 并联电阻上的电压,这两个并联支路上的总电流为 \(i_c = \beta i_b\),这样就可以获得 \(i_b\)\(u_o\) 的关系:\(u_o = - \beta i_b R^{'}_L\),其中 \(R^{'}_L = R_C // R_L\)

联立上述三个方程,根据放大倍数的定义,就可以得到这个共射放大电路的电压放大倍数:

\[ \begin{cases} u_i = i_b r_{be} \\ u_o = - \beta i_b R^{'}_L \\ R^{'}_L = R_C // R_L \end{cases} \implies \dot A_u = \frac{\dot U_o}{\dot U_i} = - \beta \frac{R^{'}_L}{r_{be}} \]

接下来再简单考察一下这个电路的电流放大倍数,电流放大倍数的定义是输出电流 \(i_o\) 和输入电流 \(i_i\) 的比值,这里忽略电阻 \(R_B\) 对输入电流的影响以及电阻 \(R_C\) 对输出电流的影响,可以发现共射放大电路的电流放大倍数约等于 \(\dot I_c\)\(\dot I_b\) 的比值,其数量级与晶体管的电流放大系数 \(\beta\) 相当:

\[ \dot A_u = \frac{\dot I_o}{\dot I_i} \approx -\frac{\dot I_c}{\dot I_b} \approx -\beta \]

通过上面对晶体管电压、电流放大倍数的分析,可以得到如下的定性结论:

  • 共射放大电路的电压、电流放大倍数都比较大,因此共射放大电路具有较强的放大能力
  • 电压与电流放大倍数都带有负号,说明输出信号与输入信号除了幅值有所增大之外,在相位上都发生了反相(180°相移),因此共射放大电路是一个反相放大器
  • 观察电压放大倍数可以发现,除了晶体管的放大系数 \(\beta\) 与输入电阻 \(r_{be}\) 之外,该参数还与负载 \(R^{'}_L\) 有关,负载越大放大倍数越大。虽然可以通过增大负载提高电压放大倍数,但是电路的性能不应该过多受到负载的影响,由此可见共射放大电路的带负载能力不强
  • 除此之外,电压放大倍数还与 \(r_{be}\) 有关,虽然 \(r_{be}\) 是一个动态参数,但是其值与静态工作点密切相关,这也反映出电压放大倍数这个动态性能指标,也与静态工作点密切相关;

综上所述,共射放大电路的电压放大倍数与晶体管参数、负载、静态工作点都有关系。

除了关注电压放大倍数 \(\dot A_u = \frac{\dot U_o}{\dot U_i}\) 之外,还会关注 \(U_o\) 对于信号源 \(U_s\) 的放大过程,即前级电压放大倍数 \(\dot{A_{us}} = \frac{U_o}{U_s}\),根据下面输入电阻的等效电路:

可以很容易得到 \(\dot{A_{us}}\)\(\dot{A_u}\) 的关系:

\[ \dot{U_i} = \frac{R_i}{R_i + R_s} \dot{U_i} \implies \dot{A_{us}} = \frac{\dot{U_o}}{\dot{U_s}} = \frac{\dot{U_o}}{\dot{U_i}} \cdot \frac{\dot{U_i}}{\dot{U_s}} = \frac{R_i}{R_i + R_s} \dot{A_u} \]

显然,如果能求解得到输入电阻 \(R_i\),那么就可以根据电压放大倍数 \(\dot{A_u}\) 求解得到前级电压放大倍数 \(\dot{A_{us}}\)

★ 第三步:输入电阻是从输入端看进去的一个等效电阻 \(R_i = \frac{U_i}{I_i}\),对于这个电路而言,输入电阻 \(R_i = R_B // r_{be}\)

通常情况下,晶体管的输入电阻 \(r_{be}\) 是远远小于 \(R_B\) 的,所以共射放大电路的输入电阻 \(R_i\) 约等于晶体管的输入电阻 \(r_{be}\)

\[ 当 R_b >> r_{be}时,R_i \approx r_{be} \]

前面已经知道 \(r_{be}\) 的值非常小,仅为 1kΩ 左右,这就意味着共射放大电路的输入电阻也不大。对于电压放大而言,输入电阻越大越好,因此可以看到共射放大电路的输入电阻较小,信号拾取能力不强

注意:电路调试过程当中,如果增大晶体管的输入电阻 \(r_{be}\),相应的输入电阻 \(R_i\) 自然就会变大了,由于电压放大倍数 \(\dot A_u = - \beta \frac{R^{'}_L}{r_{be}}\) 将会出现下降的趋势,因此放大电路的整体性能也将会出现变化。由此可见,放大电路内部的各种动态性能指标并非孤立存在,它们之前相互影响,牵一发而动全身。设计电路时必须通观全局、紧扣需求、抓大放小、合理折中才能够获得最佳的性能。

输出电阻是从输出端看进去的一个戴维南等效电阻,可以根据下面 3 个步骤求解输出电阻 \(R_o\) 的值:

  1. 首先,断开负载 \(R_L\)
  2. 然后,将放大电路内部的信号源置零 \(e_s = 0\),电压源短路,电流源开路;
  3. 最后,外加激励电压 \(u_o\) 产生电流 \(i_o\),求取两者的比值就可以获得输出电阻 \(R_o\)

当上面电路的信号源置零以后,输入回路没有信号源,而输出外加的电压 \(u_o\) 所产生的电流 \(i_o\) 无法作用于输入回路,因此 \(i_b\) 等于零,这样受控电流源 \(\beta i_b\) 也为零,从而等效为开路,显然此时共射放大电路的输出电阻 \(R_o = R_c\),而 \(R_c\) 的值通常为几十千欧姆,这就意味着共射放大电路的输出电阻很大,带负载能力不强。

本节内容采用了微变等效电路法,对共射放大电路进行了动态分析,求得其电压放大倍数 \(\dot{A_u}\)、输入电阻 \(R_i\)、输出电阻 \(R_o\) 三个动态参数:

\[ \begin{cases} 电压放大倍数 & \dot A_u = - \beta \frac{R^{'}_L}{r_{be}} \\ 输入电阻 & R_i = R_B // r_{be} \\ 输出电阻 & R_o = R_c \end{cases} \]

并且通过定性的讨论,得到了共射放大电路的一些性能特点:放大能力强信号拾取能力弱带负载能力弱

图解法

同样对于这个放大电路,基于元件实际特性,通过作图的方法评估其动态性能,这就是动态电路的图解法。

交流负载线分析

任何一种动态分析的前提,都必须建立在先静态后动态的理念上,这里假设已经通过估算法得到了上面共射放大电路的静态工作点,接下来就尝试通过图解法分析其对于交流信号的响应:

(1)首先,依然要获得这个放大电路的交流通路,交流通路当中各点的电流与电压都已经是交流分量,这样就可以在交流信号的作用下,观察各点电流与电压的变化:

(2)然后,在上面电路的 \(u_i\) 上给予一个幅值为 \(U_{im}\) 的正弦小信号,然后分析输入回路的响应:

\(u_i\) 的变化量就是晶体管输入电压 \(u_{be}\) 的变化量,并且 \(u_i\) 是驮载在静态工作点上输入的,因此 \(u_{be}\)\(i_b\) 的波形应该是直流分量与交流分量的叠加:

\[ \begin{aligned} & u_{be} = U_{BEQ} + u_i \\ & i_b = I_{BQ} + i_b \end{aligned} \]

因此作图过程当中,应该是在静态工作点的基础上,再叠加一个输入信号 \(u_i\)。根据特性曲线的变化,逐点的得到此时的 \(i_b\)。由于静态工作点位于线性区,各处切线的斜率近似相等,因此所获得的 \(i_b\) 也会是一个较为完整的正弦信号,这里的 \(i_b\) 也并非纯交流分量,而是驮载在静态工作点 \(I_{BQ}\) 上的交流分量与直流分量的叠加。

(3)继续关注输出回路的响应,从交流通路上可以得到输出电压 \(u_ce\) 和输出电流 \(i_c\) 之间的关系可以描述为 \(u_{ce} = -i_c R_L^{'}\),这在输出特性坐标系下是一条斜率为 \(-\frac{1}{R_L^{'}}\) 的直线,这条直线会有很多条,其中经过静态工作点(\(u_i = 0\) 时)的这条直线称为交流负载线

由于交流负载线的斜率为 \(-\frac{1}{R_L^{'}}\),而之前定义的直流负载线的斜率为 \(-\frac{1}{R_c}\),因此大部分情况下交流负载线都要比直流负载线更为陡峭;而当负载开路的时候,交流负载线与直流负载线就重合了。

(4)得到交流负载线之后,就可以对输出回路展开交流分析了。前面已经通过输入回路的图解法,获得了 \(i_B\) 随着 \(u_i\) 变化的波形,那么就可以在输出特性曲线上找到每一个 \(i_b\) 的瞬时值所对应的输出特性曲线,输出特性曲线与交流负载线的交点,就是其所对应的 \(i_c\) 的瞬时值,逐点描述就可以得到 \(i_c\) 的波形。

由于此时静态工作点位于线性区,因此交流负载线与特性曲线的交点,也可以使得 \(i_c\) 的波形呈现一个完整的正弦波信号,采用同样的方法还可以向下绘制出 \(u_{ce}\) 的波形,经过电路分析可以知道,\(u_{ce}\) 经过耦合电容 \(C2\) 的作用,其交流部分就是所需要的输出电压 \(u_o\),通过测量输出电压 \(u_o\) 与输入电压 \(u_i\) 幅值的有效值,就可以得到电压放大倍数的值:

\[ A_u = \frac{\dot{U_o}}{\dot{U_i}} = \frac{\dot{U_{ce}}}{\dot{U_i}} = - \frac{\dot{U_{cem}}}{\dot{U_{im}}} \]

这里除了关注幅值的变化之外,还需要关注信号相位的变化,即输出信号 \(u_o\) 与输入信号 \(u_i\) 出现了反相,上面的等式最右侧的负号就表示了这种 \(180°\) 的相移。

图解法非常直观的展示信号的传输过程与波形的变化,除了可以获得电压放大倍数之外,还可以了解到如下信息:

  • 放大电路当中交直流信号共存,交流驮载在直流(静态工作点)之上;
  • 单晶体管共射放大电路当中,输出信号比输入信号的幅度增大很多,说明具有较强的电压放大作用;
  • 输出 \(u_o\) 与输入 \(u_i\) 电压相比,幅度增大,频率不变,但是相位相反,即倒相作用;

非线性失真分析

非线性失真是一种由元件的非线性特性引起的输出信号失真。

  • 截止失真:由静态工作点 Q 设置过,部分信号进入截止区导致;现象是在输入回路产生失真,输出信号顶部失真;可以通过减小基极电阻 \(R_B\) 适当增加基极电流消除这种失真。
  • 饱和失真:由静态工作点 Q 设置过,部分信号进入饱和区导致;现象是在输出回路产生失真,即输出信号的顶部出现失真;可以通过增大基极电阻 \(R_B\) 或者减小集电极电阻 \(R_C\) 来减小基极电流从而消除这种失真。

截止和饱和失真并非一定是由于静态工作点 Q 不合适引起的,输入信号的幅值过大也会产生失真,这种情况下减小信号的幅值就可以消除失真。

最大不失真输出电压是在输出波形不失真的情况下,放大电路所能够提供给负载的最大输出电压的有效值。

如果输入一个动态信号,它所能够得到的输出电压信号正半周幅值,是交流负载线与截止区交点和静态工作点 \(U_{CEQ}\) 之间的距离。这里由于截止区非常小,所以可以认为该幅值就是交流负载线与横轴的交点与 \(U_{CEQ}\) 之间的差:

\[ 输出信号正半周幅值 \implies U_{OM1} = V_{CC}^{'} - U_{CEQ} = R_L^{'} I_{CQ} \]

同样的,输出电压信号负半周幅值,则是静态工作点 \(U_{CEQ}\) 与饱和电压 \(U_{CES}\) 之间的差:

\[ 输出信号负半周幅值 \implies U_{OM2} = U_{CEQ} - U_{CES} \]

通过选择输出电压信号正半周幅值 \(U_{OM1}\) 与输出电压信号负半周幅值 \(U_{OM2}\) 之间较小的值,就可以获得最大不失真输出电压的幅值,进而就可以求解得到最大不失真输出电压的有效值:

\[ 最大不失真输出电压幅值 \implies U_{OM} = min \{U_{OM1},U_{OM2} \} \]

对于小信号放大电路而言,遵循下面 3 个原则设置静态工作点将会得到比较满意的结果:

  • 静态工作点的位置应该适中,既不能太高,也不能太低,保证整个信号周期内晶体管都处于放大区,避免出现饱和与截止失真;
  • 将静态工作点的位置设置在交流负载线的中间位置,将会获得较大的信号动态输出范围;
  • 如果输入信号的幅度较小,那么可以适当降低静态工作点,保证不失真的前提下可以减小晶体管的静态功耗;

综上所述,可以发现图解法的分析过程较为直观,有利于进一步理解放大电路的工作原理;而且相对于前面的微变等效电路法,图解法还适用于大信号作用下放大电路的动态分析;但是图解法的缺点除了作图误差之外,还难以进行定量求解,难以分析输入输出电阻、频率特性等指标;因此工程实践当中,需要定性分析电路性能时依然采用等效电路法。图解法仅用于定性分析(观察静态工作点位置是否合适、分析波形非线性失真)与指标估算(估算最大输出幅值)。

静态工作点稳定技术

静态工作点稳定需求分析

对于下图右侧的电路,将静态工作点置于交流负载线的中间位置,有利于获得最大的动态输出范围。在温度变化晶体管老化电源电压波动等外部因素的影响下,都将会引发静态工作点的变化,严重时将会导致放大电路不能够正常工作,其中影响最大的是温度变化

对于上面的共射放大电路,其中晶体管内部的电流分配关系如下面等式所示:

\[ I_C = \beta I_B + I_{CEO} = \beta \frac{U_{CC - U_{BE}}}{R_B} + (1+\beta) I_{CBO} \]

上面等式当中,电源电压 \(U_{CC}\) 和电阻 \(R_B\) 都是温度性能比较稳定的元件,而其它参数 \(\beta\)\(U_{BE}\)\(I_{CBO}\) 都对于温度较为敏感。

  1. 温度对 \(U_{BE}\) 的影响:温度每升高 1°C,输入特性曲线向左移动,\(U_{BE}\) 将减小 \(2mV \sim 2.5mV\)
  2. 温度对 \(\beta\)\(I_{CBO}\) 的影响:温度每升高 1°C,输出特性曲线向上移动间距拉大,\(\beta\) 增加 \(0.5% \sim 1.0%\);温度每增加 10°C,\(I_{CBO}\) 就将增大一倍。

由此可见,当温度升高的时候,\(U_{BE}\) 会下降,而 \(\beta\)\(I_{CBO}\) 将会增大,将这样的变化代入上面 \(I_C\) 的表达式:

\[ I_C \uparrow = \beta \uparrow \frac{U_{CC - U_{BE}\downarrow}}{R_B} + (1+\beta \uparrow) I_{CBO} \uparrow \]

可以看到,当温度升高的时候,客观产生的现象就是 \(I_C\) 将会增大,反映到特性曲线上可以发现:当温度升高的时候,静态工作点沿着负载线向上移动。如果 \(I_C\) 升高得过快,超过元件的额定功耗,就有可能导致晶体管损坏。

解决静态工作点稳定的思路主要有如下三个方面:

  1. 从元件入手,选择温度性能好的元件,或者采用经过一定的工艺处理,以稳定元件的参数,防止器件老化;
  2. 从环境入手采用,为电路提供恒温的工作环境,避免静态工作点受到温度的影响;
  3. 最为常用的手段,则是从电路改进入手,采用温度补偿或者引入反馈等手段稳定静态工作点;

依然回到下面这个固定偏置的共射放大电路:

前面已经求得该电路静态下的基极电流 \(I_B = \frac{U_{CC} - U_{BEQ}}{R_B}\),由于 \(U_{BEQ}\) 受到温度的影响较小,而 \(R_B\) 的阻值通常较大,所以可以推导得到 \(I_B \approx \frac{U_{CC}}{R_B}\),这意味 \(I_B\) 几乎是一个温度无关的量,一旦 \(U_{CC}\)\(R_B\) 确立,\(I_B\) 就会基本被固定下来,这也是固定偏置名称的由来。

而当温度发生变化的时候,虽然 \(I_B\) 不会变化,但是 \(\beta\) 会发生变化,这种变化会直接影响到输出的 \(I_C\)\(U_{CE}\),导致静态工作点受到温度的影响,所以固定偏置是不能够稳定静态工作点的。如果要稳定静态工作点,就必须打破这种固定,改进偏置电路:使得当温度升高使得 \(I_C\) 增加时,能够自动的减小 \(I_B\),从而抑制住静态工作点的变化,保持其基本稳定。

稳定静态工作点的典型电路

二极管温度补偿电路

稳定静态工作点的思路已经非常明确,就是在温度升高的时候,通过减小 \(I_B\) 降低 \(I_C\)。在下面的固定偏置电路当中,基于基尔霍夫定律,在橙色圆圈标识的结点上进行分流,就可以达到减小 \(I_B\) 的效果。

这样就可以利用同样对温度敏感的元件,例如二极管来构成温度补偿电路,此时由基尔霍夫电流定律可以得到:

\[ I_{R_b} = I_R + I_B \]

这里由于固定偏置电路的 \(I_{R_b}\) 基本确定,当温度升高的时候,在引起 \(I_C\) 增大的同时,导致二极管的反向电流 \(I_R\) 增大。由于这里 \(I_{R_b}\) 固定不变,因此 \(I_B\) 自然就会减小,由于 \(I_C = \beta I_B\),这样就可以将本应该升高的 \(I_B\) 拉下来,从而保持了静态工作点的稳定。

直流负反馈 Q 点稳定电路

负反馈也可以用于稳定静态工作点,例如在下面的电压反馈偏置当中,就通过 \(R_f\) 引入了直流电压负反馈

而在下面的射极偏置当中,则通过 \(R_e\) 引入了直流电流负反馈,这种在射极引入的负反馈,是一种常用的静态工作点稳定手段:

前面讨论射极偏置的时候,已经将其与固定偏置进行过对比,当在 \(\beta\) 出现变化的时候,射极偏置能够较好的稳定静态工作点。

对上面电路进行静态分析,就可以得到静态下 \(I_B\) 的表达式:

\[ I_B = \frac{V_{CC} - U_{BEQ}}{R_b + (1+\beta)R_e} \]

此时 \(I_B\) 将不再是一个与温度无关的量,由于 \(\beta\) 的出现,当温度升高的时候,\(I_C\) 变大的同时,\(\beta\) 也会增大,这就会导致 \(I_B\) 减小,从而将本应升高的 \(I_C\) 拉下来,起到稳定静态工作点的效果。接下来进一步改进偏置电路,得到如下的电路形式:

这里分别用 \(R_{B1}\)\(R_{B1}\) 取代了原来的基极电阻 \(R_B\),显然对于电源 \(U_{CC}\) 而言,\(R_{B1}\)\(R_{B2}\) 是一种串联分压的联结形式,因此这种电路连接形式也称为 分压偏置共射放大电路

该电路之所以能够稳定静态工作点的原因,在于合理选择 \(R_{B1}\)\(R_{B2}\),使得 \(R_{B2}\) 上的电流 \(I_2\) 远远大于基极电流 \(I_B\),而基极电位 \(V_B\) 远远大于 \(U_{BE}\)。通过上面橙色圈注点的基尔霍夫电流定律,\(I_B\) 所在支路可以视为开路,基于支路的串联分压关系,就可以得到基极电位 \(V_B\) 的表达式:

\[ V_B \approx \frac{R_{B2}}{R_{B1} + R_{B2}} U_{CC} \]

此时,\(V_B\) 都是由电阻和电源确定的,这些都是与温度无关的稳定元件,可以认为基极电位基本恒定,不会由于温度而发生变化:当温度升高的时候 \(I_C\) 将会增大,而 \(I_C\) 约等于 \(I_E\),而 \(I_E\) 又是 \(R_E\) 上的电流,从而导致 \(R_E\) 上的电压降增大,也就是会抬高射极电位 \(V_E\)。由于基极电位 \(V_B\) 是一个几乎与温度无关的固定量,因此 \(V_B - V_E = U_{BE}\) 将会呈现下降的趋势。根据晶体管的特性曲线,\(U_{BE}\) 变小 \(I_B\) 自然就会变小,从而将本应该升高的集电极电流 \(I_C\) 拉下来,达到稳定静态工作点的目的。

通过上述过程可以看到,这种分压偏置稳定静态工作点主要是通过串联分压稳定基极电位 \(V_B\),而另外一个方面则有赖于 \(R_E\) 引入的直流负反馈。

同时引入负反馈与温度补偿

采用二极管和热敏电阻进行温度补偿,同时结合 \(R_E\) 的直流反馈来稳定静态工作点:

上面二极管的阳极连接到了晶体管基极,此时利用的是二极管正向特性对于温度的敏感性,当温度升高时二极管的正向特性将会左移,这意味着二极管的端电压 \(U_D\) 将会下降,进而导致基极电位 \(V_B\) 变小;同时由于射极电阻 \(R_E\) 的存在,使得温度升高的时候,射极电位 \(V_E\) 将会被抬高;一增一减从而导致 \(U_{BE}\) 变小,并且带来 \(I_B\) 的减小,最终导致 \(I_C\) 减小,稳定住了静态工作点。

注意:零零总总的静态工作点稳定电路当中,分压偏置是最为常用的一种形式。

分压偏置共射放大电路

静态分析

同样秉承先静态后动态的理念,对下图左侧的分压偏置共射放大电路电路开展静态分析,从而获取静态工作点。

对于中低频信号而言,可以将电容视为开路,从而得到其右侧的直流通路,然后分别采用戴维南等效电路法估算法进行静态分析:

戴维南等效电路法

首先,将左图的输入回路视为一个有源的二端口网络,利用戴维南等效定理,将其等效为右侧电压源与电阻的串联。

戴维南等效电阻 \(R_B\) 就是这个有源二端网络将信号源置零以后的等效电阻,将 \(V_{CC}\) 对地短路可以知道 \(R_B = R_{B1} // R_{B2}\),而电源 \(U_{BB}\) 则是端口的开路电压,即 \(R_{B1}\)\(R_{B2}\)\(U_{CC}\) 的串联分压 \(U_{BB} = \frac{R_{B2}}{R_{B1} + R_{B2}} U_{CC}\),接下来对这个电路进行静态分析就非常容易了。

根据上面输入回路的电压方程,就可以得到未知数 \(I_{BQ}\)\(I_CQ\)\(U_CEQ\) 的表达式:

\[ U_{BB} = I_{BQ} R_B + U_{BEQ} + I_{EQ} R_E \implies \begin{cases} I_{BQ} = \frac{U_{BB} - U_{BEQ}}{R_B + (1+\beta) R_E} \\ I_{CQ} = \beta I_{BQ} \\ U_{CEQ} = U_{CC} - I_{CQ} R_C - I_{EQ} R_E \end{cases} \]

上述的分压偏置之所以能够稳定静态工作点,其中一个重要的因素就是因为基极电位 \(V_B\) 是一个与温度无关的恒定量,根据上面的回路方程可以知道:

\[ V_B = U_{BEQ} + (1+\beta) I_B R_E \]

结合上面关于 \(I_{BQ}\) 的表达式,可以马上得出一个非常重要的结论:\((1+\beta) R_E >> R_B\) 的时候,此时 \(V_B \approx \frac{R_{B2}}{R_{B1} + R_{B2}} \cdot U_{CC}\),因此可以满足固定基极电位的需求。因此,这个条件与刚刚引入的 \(I_R >> I_B\),以及 \(V_B >> U_{BE}\) 的电流电压条件是等价的,工程上,通常将这个关系表达式作为分压偏置电路的稳定偏置条件,也是选取 \(R_{B1}\)\(R_{B2}\)\(R_E\) 阻值的依据

估算法

除了采用戴维南等效这样比较精确的方式进行求解以外,还可以采用估算法来分析静态工作点。

根据前面电路稳定偏置的条件 \(I_R >> I_B\) 并且 \(V_B >> U_{BE}\),基于上图标注点的基尔霍夫定律,将叉掉的位置开路,就可以得到 \(V_B\) 的表达式:

\[ V_B \approx \frac{R_{B2}}{R_{B1} + R_{B2}} U_{CC} \]

再基于标识支路的电压方程,就可以求解得到 \(I_{EQ}\)

\[ I_{EQ} = \frac{V_B - U_{BEQ}}{R_E} \approx I_{CQ} \]

再利用 \(I_C = \beta I_B\) 的表达式得到:

\[ I_{BQ} = \frac{I_{CQ}}{\beta} \]

最终,基于输出回路求取 \(U_{CEQ}\),从而完成静态分析:

\[ U_{CEQ} = U_{CC} - I_{CQ}R_C - I_{EQ}R_E \]

事实上,由于分压偏置电路参数的选择,使得估算法和戴维南等效法求取的结果几乎没有差别,因此工程上广泛的采用估算法求解这类电路的静态工作点。

静态分析的过程当中,可以看到 \(R_E\) 与静态工作点的位置是密切相关的。\(R_E\) 越大,负反馈越强,电路温度稳定性越好。但是由于\(R_E\) 上的电流就是输出电流 \(I_C\),所以 \(R_E\) 的增大必然导致电路功率的增大。如果 \(R_E\) 过大,将会使得 \(V_E\) 被增高许多,最终减小了 \(U_{CE}\),导致放大电路的动态范围变窄,降低了最大电压输出幅度,进而影响放大电路的动态性能。

如果希望在 \(R_E\) 增大的同时,依然保持原有的动态范围,就必须要增大 \(V_{CC}\)。因此,\(R_E\) 的取值不宜取得太大,在小电流工作状态下,\(R_E\) 可以取值数百欧至数千欧;而在大电流工作状态下,\(R_E\) 的取值则应该在数欧到数十欧之间。

动态分析

有了前面静态分析的基础,就可以对这个分压偏置共射放大电路进行动态分析。首先,依然是获取下图左侧电路的右侧交流通路:

然后,将下图左侧交流通路中的晶体管替换为 H 参数等效模型,就可以得到下图右侧的微变等效电路:

这个微变等效电路与前面提到的固定偏置放大电路的微变等效电路完全相同,这样就可以基于相同的方法,求解其放大倍数、输入电阻、输出电阻。

\[ \begin{cases} 电压放大倍数 & \dot A_u = - \beta \frac{R^{'}_L}{r_{be}} \\ 输入电阻 & R_i = R_{B1} // R_{B2} // r_{be} \\ 输出电阻 & R_o = R_c \end{cases} \]

通过这样的分析可以看到,这样的分压偏置放大电路,一方面能够稳定静态工作点,另一方面保持着与固定偏置放大电路相同的动态性能。电路当中的各个元件都已经发挥出相应的作用,其中 \(R_{B1}\)\(R_{B2}\) 串联分压,确定了基极电位 \(V_B\),而 \(R_E\) 更是引入了负反馈来稳定静态工作点。

此外,需要注意上面电路当中的旁路电容 \(C_E\),这个旁路电容通常采用几十微法的大电容,交流作用下可以认为其短路。如果去掉这个旁路电容,虽然对放大电路的静态性能没有影响,但是对于动态性能则会存在比较大的影响,因为如果去掉这个旁路电容 \(C_E\),那么 \(R_E\) 就将会出现在微变等效电路当中:

首先,求取电压放大倍数,利用 \(i_b\) 来表示 \(u_o\)\(u_i\) 进而得到电压放大倍数,在输出回路可以看到 \(u_o\) 是这两个并联电阻上的电压,而两者的总电流就是 \(\beta i_b\),所以仍然可以得到下面的等式:

\[ u_o = - \beta i_b R_L^{'},其中 R_L^{'} = R_C // R_L \]

列写下图蓝色标注支路的电压方程,就可以尝试利用 \(i_b\) 来对 \(u_i\) 进行描述:

这部分电压由两部分组成,一部分是 \(r_{be}\) 电阻上的电压降 \(r_{be} i_b\),另一部分则是 \(R_E\) 上的电压降,其中 \(R_E\) 上的电流等于 \(\beta i_b\),列写出表达式可以得到:

\[ u_i = i_b r_{be} + (1+\beta) i_b R_E \]

将上面的 \(u_o\)\(u_i\) 相除,就可以得到这个电路的电压放大倍数:

\[ \dot{A_u} = \frac{\dot{U_o}}{\dot{U_i}} = - \beta \frac{R_L^{'}}{r_{be} + (1+\beta)R_E} \]

显然这个电压放大倍数与前面的固定偏置放大电路不尽相同,通常情况下 \((1+\beta)R_E\) 远远大于 \(r_{be}\),而上面等式中的 \(\beta\)\(1 + \beta\) 相差无几,经过变化以后的电压放大倍数可以近似为下面的等式:

\[ \dot{A_u} = - \frac{R_L^{'}}{R_E} \]

这意味着此时的电压放大倍数与晶体管参数没有太大关系,而只与比较稳定的电阻有关,放大电路的稳定性得到了极大的提高。接下来,再来观察该放大电路的输入电阻:

由于 \(R_{B1}\)\(R_{B2}\) 所组成并联支路的阻值已经确定,那么就可以得到下面 \(R_i\) 的表达式:

\[ R_i = \frac{U_i}{I_i} = R_{B1} // R_{B2} // R_i^{'} \]

\(R_i^{'}\) 的值依然由端口电压 \(U_i\) 除以端口电流 \(I_b\) 得到 \(R_i^{'} = \frac{U_i}{I_b}\),其中前面已知 \(U_i = i_b r_{be} + (1+\beta) i_b R_E\),那么就可以得到如下 \(R_i^{'}\) 的表达式:

\[ R_i^{'} = \frac{U_i}{I_b} = r_{be} + (1 + \beta) R_E \]

因此,这样一种电路的输入电阻等于如下的形式:

\[ R_i = R_{B1} // R_{B2} // [r_{be} + (1 + \beta) R_E] \]

最后,输出电阻仍然可以利用前面介绍过的三个步骤进行求解 \(R_o = R_c\),这样就完成了不带旁路电容的分压偏置共射放大电路分析,这里对有无旁路电容 \(C_E\) 的结果,分别进行对比分析:

旁路电容 \(C_E\) 对于放大电路性能产生较大影响的原因在于:如果没有这个旁路电容 \(C_E\),那么 \(R_E\) 就将会引入交流负反馈,必然会对电路的动态性能产生各种影响,关于这一点将会在后续的反馈内容中进一步进行讨论。

工程上对于搭建分压偏置共射放大电路,还需要注意以下几个问题:

  • 为了保证分压偏置放大电路能够切实的稳定静态工作点,应该合理的选择元件参数,使得 \(I_2\) 远远大于 \(I_B\),而 \(V_B\) 远远大于 \(U_{BE}\)(实际电路当中通常取 \(I_2\)10 倍的 \(I_B\),而 \(V_B\) 等于 3 倍的 \(U_{BE}\));
  • \(R_E\) 的取值不宜过大,在小电流工作状态下,取值几百至几千欧姆即可;
  • 如果需要调整分压偏置放大电路的静态工作点,通常的方法是调整上偏置电阻 \(R_{B1}\)
  • 电路调试过程中,如果发现分压偏置放大电路的静态工作点正常,而电压放大倍数衰减非常严重,则应当重点检查旁路电容 \(C_E\) 是否开路或者失效;

其它组态晶体管放大电路

基本共集放大电路

下图左侧的基本共集放大电路基极输入信号,然后从发射极取输出信号,即这里采用的是射极偏置。当然也可以采用分压偏置构成下图右侧的分压偏置共集放大电路。由于共集放大电路是从发射极输出的,因此也经常被称为射极输出器

上面两个电路的性能基本相似,这里就以最基本的共集放大电路展开讨论。这里首先对其进行静态分析,将电容视为开路就可以得到对应的直流通路:

讨论上图蓝色支路的电压方程,可以得到 \(I_{BQ}\)\(I_{CQ}\) 的表达式,进而通过输出回路求解得到 \(U_{CEQ}\) 完成静态分析

\[ \begin{cases} I_{BQ} = \frac{V_{CC} - U_{BEQ}}{R_B + (1+\beta)R_E} \\ I_{CQ} = \beta I_{BQ} \\ U_{CEQ} = V_{CC} - I_{EQ}R_E \end{cases} \]

由于上面电路采用的是射极偏置,因此电阻 \(R_E\) 同样具有稳定静态工作点的作用。接下来,利用微变等效电路法,对该电路进行动态分析,这里依然需要先得到其交流通路:

将交流通路中的晶体管用 H 参数等效模型替换,就可以得到该电路的微变等效电路:

电压放大倍数

电路结构变化了,但是求解电压放大倍数的思路并没有变化,仍然是将 \(i_b\) 作为中间量,分别表示 \(u_o\)\(u_i\) 从而求解电压放大倍数:

\[ \begin{cases} u_i = i_b r_{be} + (1+\beta)i_b R_L^{'},其中 R_L^{'} = R_E // R_L \\ u_o = (1+\beta)i_b R_L^{'} \end{cases} \implies \dot{A_u} = \frac{(1+\beta)R_L^{'}}{r_{be} + (1+\beta)R_L^{'}} \]

相比于共射放大电路,上述方程中放大倍数前的负号消失了,这意味共集放大电路的输入输出电压是同相的。同时,从数值关系上看,这个电压放大倍数分母比分子多出一个 \(r_{be}\),显然 \((1+\beta)i_b R_L^{'}\) 远远大于 \(r_{be}\),因此可以说共集放大电路的电压放大倍数小于一且约等于一。这意味着如果在 \(u_i\) 上给予一个正弦信号,在共集放大电路的作用下,输出端 \(u_o\) 将会得到一个同相且大小几乎相同的输出波形,就像 \(u_o\) 在跟随着 \(u_i\) 变化一样,即体现出了跟随特性,因此共集放大电路除了被称为输出器之外,还被称为射极跟随器。也由此可见,共集放大电路没有电压放大能力

电流放大倍数

电流放大倍数等于输出电流 \(i_o\) 与输入电流 \(i_i\) 的比值,这里忽略 \(R_B\)\(i_i\) 的影响,以及 \(R_E\)\(i_o\) 的影响,就可以得到共集放大电路的电流放大倍数:

\[ \dot{A_i} = \frac{\dot{I_o}}{\dot{I_i}} \approx \frac{\dot{I_e}}{\dot{I_b}} = 1 + \beta \]

通过分析上面的等式可以发现,共集放大电路虽然没有电压放大能力,但是具有与共射放大电路相当的电流放大能力。

输入电阻

下图当中 \(R_i = R_B // R_i^{'}\),由于 \(R_B\) 这条支路基本确定,所以只需要求解 \(R_i^{'}\) 就可以得到整个电路的输入电阻 \(R_i\)

这里 \(R_i^{'}\) 依然等于端口电压比上端口电流:

\[ R_i^{'} = \frac{u_i}{i_b} = \frac{i_b r_{be} + i_c (R_E // R_L)}{i_b} \implies r_{be} + (1+\beta)R_L^{'},其中 R_L^{'} = R_E // R_L \]

所以,共集放大电路的输入电阻表达式,可以整理为下面所示:

\[ R_i = R_B // [r_{be} + (1+\beta) R_L^{'}] \]

与共射放大电路的输入电阻约等于 \(r_{be}\) 相比,共集放大电路的输入电阻要大得多,可以达到几十到几百千欧姆的数量级。而且在上面公式当中,还出现了负载的身影,说明共集放大电路的输入电阻,还与负载有关系。

输出电阻

断开负载,并将信号源置零,外加激励产生输入输出,就可以得到如下求取输出电阻的电路:

由于 \(R_O = R_E // R_O^{'}\),所以只要求解出 \(R_O^{'}\) 即可得到输出电阻 \(R_O\),这个 \(R_O^{'}\) 同样等于端口电压比上端口电流:

\[ R_O^{'} = \frac{(r_{be} + R_S // R_B) i_b}{(1+\beta) i_b} = \frac{r_{be} + R_S // R_B}{1+\beta} \]

将上面的表达式与 \(R_E\) 并联,即可得到 \(R_O\) 的表达式:

\[ R_O = R_E // \frac{r_{be} + R_S^{'}}{1+\beta} \]

上面等式中的 \(R_S^{'}\) 等于信号源内阻 \(R_S\)\(R_B\) 的并联,其阻值较小,上面公式将与几十上百的 \(1+\beta\) 相除,因此该部分的阻值将会非常小,所以共集放大电路的输出电阻就约等于:

\[ R_O \approx \frac{r_{be} + R_s^{'}}{1+\beta} \]

通过上面的分析可以得出结论,共集电路的输出电阻相比于共射放大电路而言要小得多,通常在几十至几百欧姆之间。此外,输出电阻与信号源内阻有关,根据输出内阻的等效电路可以知道,当负载变化的时候,共集放大电路的输出电压几乎不会发生变化,这就意味着共集放大电路具有恒压输出的特点,也就是带负载能力较强。综上所述,就可以得到共集放大电路的各项动态性能指标:

\[ \begin{cases} \dot{A_u} = \frac{(1+\beta)R_L^{'}}{r_{be} + (1+\beta)R_L^{'}} \\ R_i = R_B // [r_{be} + (1+\beta) R_L^{'}] \\ R_O \approx \frac{r_{be} + R_s^{'}}{1+\beta} \end{cases} \]

总结与对比

通过对这些动态性能指标的定性分析,可以得到共集放大电路的如下基本特点:

  • 共集放大电路没有电压放大能力,但是具有与共射电路相当的电流放大能力,因此仍然可以放大信号的功率;
  • 共集放大电路输出与输入电压的相位相同,输出电压几乎跟随着输入电压的波形变化,所以共集放大电路也称为射极跟随器;
  • 共集放大电路的优势主要体现在输入和输入电阻方面,输入电阻较高并且与负载 \(R_L\) 有关,使得当共集放大电路面对含有信号源内阻的电压源时,能够减小信号源到放大电路的信号衰减,将大部分的能力传输至放大电路进行放大,即信号的拾取能力较强;而其输出电阻非常小,并且与信号源的内阻 \(R_S\) 相关,使得在负载变化的时候,共集放大电路的输出几乎不变,具有恒压输出的特点,表现出非常强的带负载能力;

由此可见,虽然共集放大电路不具备电压放大能力,但是由于在输入输出电阻上的优势,广泛应用于放大电路的信号源、负载以及各级电路的耦合环节当中:

  1. 当信号源为内阻较小的电压源时,可以利用共集放大电路输入电阻较大的特点,将其应用于多级放大电路的输入端。因其输入电阻较大,使得电路对信号源索取电流小,降低对于信号源的负担。同时由于前级电压放大倍数与电压放大倍数的关系与输入电阻密切相关 \(\dot{A_us} = \frac{R_i}{R_i + R_s}\),由于共集放大电路的输入电阻非常大,就会使得前级电压放大倍数与电压放大倍数几乎相等 \(\dot{A_{us}} \approx \dot{A_u}\),这意味着电压源提供的能量能够被尽可能多的送入放大电路,提高了对信号电压源的利用率;
  2. 由于输出电阻较低,共集放大电路也可以用于多级放大电路的输出级(多级放大电路的输出电阻等于输出极的输出电阻),这样可以增强整个电路的带负载能力,提供稳定的输出电压;例如下面的扬声器电路,前级是一个共射放大电路,需要驱动的是阻值较低的负载,一个 喇叭。如果将这个低阻抗负载直接连接至共射放大电路的输出端,由于共射放大电路的电压放大倍数与负载有关,当负载较小的时候,电压放大倍数会大打折扣,影响电路的放大性能。同时由于共射放大电路的输出电阻比较大,使得被放大的能量不能输送到负载,大部分消耗在电路自身,也就是所谓的阻抗不匹配,在两者之前加入一个共集放大电路,就可以解决这个问题,由于共集放大电路的输入电阻很大,因此不会对前级的共射放大电路的电压放大倍数带来影响,同时共集放大电路的电压跟随特性,使得被共射放大电路放大的电压信号顺利的被传送至输出极。又由于共集放大电路的输出电阻很小,当其连接一个低阻抗负载的时候,会使得大部分信号的能量可以被传输到低阻抗负载,从而驱动负载,达到阻抗匹配的效果。
  3. 利用共集放大电路输入电阻大、输出电阻小以及电压跟随的特点,可以将其放置于多级放大电路的两级之间,作为缓冲级或者中间隔离级,起到隔离、缓冲、阻抗匹配的作用;例如下面的无线电台电路,就将共集放大电路作为隔离用途;

注意:共集电路虽然没有电压放大能力,但是却是电路耦合的纽带,需要重视它的应用。

基本共基放大电路

共基放大电路也是一种非常重要的晶体管放大电路组态,下图是基本共基放大电路的结构,输入信号 \(u_i\) 从射极输入,然后输出信号 \(u_o\) 从集电极输出:

这里依然分别从静态动态两个角度对这个电路进行分析,这里首先进行静态分析。将电容视为开路,就可以得到这个电路的直流通路

显然这是一个分压偏置电路,利用前面对分压偏置的估算法,就可以分别得到这个电路的静态工作点:

\[ \begin{cases} I_{CQ} \approx I_{EQ} = \frac{V_B - U_{BEQ}}{R_E},其中 V_B \approx \frac{R_{B2}}{R_{B1} + R_{B2}} \cdot V_{CC} \\ I_{BQ} = \frac{I_C}{\beta} \\ U_{CEQ} = V_{CC} - I_C R_C - I_E R_E \approx V_{CC} - I_C (R_C + R_E) \end{cases} \]

接下来重点来看看动态分析,将电路中的电容视为短路,并且将 \(V_{CC}\) 对地短路,就可以得到共基放大电路的交流通路,此时输入和输出回路共用基极,因此是一个共基放大电路:

将交流通路中的晶体管替换为 H 参数等效模型,就可以得到共基放大电路的微变等效电路(注意无论等效模型如何绘制,电流的参考方向都应该与晶体管的实际电流方向保持一致):

电压放大倍数

思路是一脉相承的,通过 \(i_b\) 来分别表示 \(u_o\)\(u_i\),从而求解得到电压放大倍数:

\[ \begin{cases} u_o = - i_c (R_C // R_L) = - \beta i_b R_L^{'} \\ u_i = -i_b \cdot r_{be} \end{cases} \implies \dot{A_u} = \frac{\dot{U_o}}{\dot{U_i}} = \frac{\beta R_L^{'}}{r_{be}} \]

上面的等式与共射放大电路的电压放大倍数只相差一个负号,所以共基极放大电路同样具有较强的电压放大作用,并且输出与输入电压信号是同相关系

电流放大倍数

电流放大倍数依然是输出电流 \(i_o\) 与输入电流 \(i_i\) 的比值,这里忽略 \(i_c\) 对输出电流的影响,以及 \(i_e\) 对输入电流的影响,就可以得到共基放大电路的电流放大倍数:

\[ \dot{A_i} = \frac{\dot{I_o}}{\dot{I_i}} \approx \frac{-\dot{I_c}}{-\dot{I_c}} = \alpha \]

上面方程中的 \(\alpha\) 就是前面定义过的共基电流放大系数,由于该系数小于1并且约等于1,所以共基放大电路虽然能够放大电压,但是几乎不能放大电流,表现出一种电流跟随的特性。由于放大性能主要体现在功率方面,而共基放大电路虽然具有较好的电压放大能力,但是由于不具备电流放大特征,所以整体放大性能不如共射放大电路。

输入输出电阻

输入电阻 \(R_i\) 和输出电阻 \(R_o\) 如下图标识所示:

输入电阻求解的方式依然是输入电压 \(U_i\) 与输入电流 \(I_i\) 的比值,对于共基放大电路只需要将 \(I_i\) 求解出来,就可以得到其输入电阻:

\[ \begin{cases} R_i = \frac{\dot{U_i}}{\dot{I_i}} = R_E // R_i^{'} \\ R_i^{'} = \frac{u_i}{-i_e} = \frac{-r_{be}i_b}{-(1+\beta)i_b} = \frac{r_{be}}{1+\beta} \end{cases} \implies R_i = R_E // \frac{r_{be}}{1+\beta} \approx \frac{r_{be}}{1+\beta} \]

由于 \(\frac{r_{be}}{1+\beta}\) 的阻值远远小于 \(R_E\),所以共基放大电路的输入电阻可以约等于 \(\frac{r_{be}}{1+\beta}\),由此可见共基放大电路的输入电阻非常小,通常只有几十欧姆左右。

接下来继续断开负载,然后将信号源置零,最后外加激励求解输出电阻。此时由于信号源置零,输入回路没有电流,而外加的激励电压 \(u_o\) 又无法作用于输入回路,导致基极电流 \(i_b\) 为零,进而使得 \(\beta i_b\) 为零,即将受控电流源视为开路,由此可知共基放大电路的输出电阻依然等于 \(R_c\)

\[ R_o = R_c \]

与共射放大电路一样,共基放大电路的输出电阻也比较大。

总结与对比

通过共基放大电路如下动态性能指标的分析,可以总结出共基放大电路的基本特点:

\[ \begin{cases} \dot{A_u} = \frac{\beta R_L^{'}}{r_{be}} \\ R_i = R_E // \frac{r_{be}}{1+\beta} \approx \frac{r_{be}}{1+\beta} \\ R_o = R_c \end{cases} \]

  • 共基放大电路具有与共射放电路相当的电压放大能力,而且输入输出电压同相,但是不能放大电流,虽然具有功率放大能力,但是整体放大能力弱于共射放大电路
  • 共基放大电路的输入电阻低,而输出电阻与共射放大电路相当(都比较大),都不利于电压放大,特别是输入电阻非常低,使得输入信号的电压不能有效激励放大电路,输入信号的衰减非常严重;例如对于同样一个含有信号源内阻的电压源而言,共基放大电路的前级放大倍数要远远小于共射放大电路。因此,共基极放大电路的输入阻抗很小,会使得输入信号严重衰减,不适合作为电压放大器,但利用其电流跟随特性,可以将其用作电流缓冲器
  • 共基放大电路高频性能良好,通频带在三种组态的放大电路当中最宽,适用于宽频与高频情况,例如下图的共射共基级联的高频调谐放大器就是利用了这个特点;

比较三种组态放大电路

下面表格分别从电路结构电压电流放大倍数输入输出电压相位输入输入电阻的角度,对三种基本组态的放大电路进行了直观的比较:

根据上表的对比分析,可以看到三种组态的放大电路各有优缺点:

  • 共射电路:电压增益和电流增益都较高,输入电阻在三种组态中居中,输出电阻与集电极电阻有很大关系。由于具备这些优点,因此是最为常用的一种组态,而且还可以将多个共射放大器级联起来,构成多级放大器,以获得更高的增益;
  • 共集电路:只能放大电流,不能放大电压,有电压跟随作用。所以不能用多个共集电路组成多级放大电路。但是在三种组态当中,输入电阻最高,输出电阻最小,常用于多级电路输入输出级,或者中间缓冲级;
  • 共基电路:只放大电压,不放大电流,有电流跟随作用,所以也不宜单纯由共基电路组成多级电路。其输入电阻小,输出电阻高, 可以用作恒流源。从目前所看到的这些特性,还看不出其突出的优点,实际上共基放大电路的通频带很宽,在高频和宽带领域大有用武之地;

达林顿管放大电路

通过前面对一系列晶体管放大电路的分析,放大电路性能与晶体管本身的电流放大系数、输入电阻密切相关,如果能够增大晶体管的电流放大系数、输入电阻,就可以改善放大电路的性能。基于这样的思路,将两只或者多只三极管按照一定规律进行组合,等效为一只晶体管,就称为复合管或者达林顿管,常用的达林顿管有如下 4 种类型:

达林顿管的构成必须遵循如下三个原则:

  1. 前后两个晶体管的连接关系,应当保证前级晶体管的输出电流与后级晶体管的输入电流实际方向一致;
  2. 应当保证前后两个晶体管均处于发射结正偏集电结反偏,即使两个晶体管都工作在放大区;
  3. 为了实现放大,通常将第 1 只晶体管的集电极或发射极电流作为第 2 只晶体管的基极电流;

通过对四种常用组态的达林顿管的分析,可以发现当达林顿管工作的时候,每只晶体管的工作电流都是一致的。如果将整个达林顿管视为一个结点,分别考察三个极的电流关系,就可以得到一个非常重要的结论:不同类型晶体管所构成的晶体管,其类型取决于第 1 个晶体管的类型;这样就可以将四种类型的达林顿管等效为常用的 NPN 或者 PNP 晶体管:

这里基于如下的 NPN-NPN 达林顿管分析其性能特点:

首先,考察上图达林顿管的电流放大系数 \(\beta\)

\[ \begin{cases} \Delta i_B = \Delta i_{B1} \\ \Delta i_C = \Delta i_{C1} + \Delta i_{C2} = \beta_1 \Delta i_{B1} + \beta_2 \Delta i_{B2} = \beta_1 \Delta i_{B1} + \beta_2 (1 + \beta_1) \Delta i_{B1} = (\beta_1 + \beta_2 + \beta_1 \beta_2) \Delta i_{B1} \end{cases} \]

基于上面的方程组可以得到整个达林顿管的电流放大系数 \(\beta\)

\[ \beta = \frac{\Delta i_C}{\Delta i_B} = \beta_1 + \beta_2 + \beta_1\beta_2 \approx \beta_1\beta_2 \]

观察上面等式可以发现,与单个晶体管相比,达林顿管的电流放大系数大大得到了提高。然后,考察输入电阻 \(r_{be}\):

\[ \begin{cases} \Delta u_{BE} = \Delta i_{B1} r_{be1} + \Delta i_{B2} r_{be2} = \Delta i_{B1} [r_{be1} + (1+\beta_1)r_{be2}] \\ r_{be} = \frac{\Delta u_{BE}}{\Delta i_B} \\ \end{cases} \implies r_{be1} + (1 + \beta_1) r_{be2} \]

观察上面等式依然会发现,与单个晶体管相比,达林顿管的输入电阻也提高了许多。采用同样方式,可以得到另外三种类型的电流放大系数与输入电阻:

通过对上面表格信息的统计,可以得到如下非常重要的结论:当相同类型晶体管组成达林顿管的时候,电流放大系数和输入电阻都得到了很大提升

\[ \begin{cases} 电流放大系数 & \implies \beta \approx \beta_1 \beta_2 \\ 输入电阻 & \implies r_{be} = r_{be1} + (1+\beta_1) r_{be2} \end{cases} \]

两个不同类型晶体管构成的达林顿管,电流放大系数依然提升较大,但是输入电阻仅为第 1 个晶体管的输入电阻:

\[ \begin{cases} 电流放大系数 & \implies \beta_1 \beta_2 \\ 输入电阻 & \implies r_{be} = r_{be1} \end{cases} \]

通过这样的分析可以发现,无论采用何种结构的达林顿管,其电流放大系数都会得到较大提升,这对于放大电路而言是非常好的消息,采用达林顿管替换单晶体管放大电路当中的晶体管,就可以得到达林顿管放大电路

下图的复合管共射放大电路依然可以沿用前面的分析方法得到其动态参数:

\[ \begin{cases} \dot{A_u} = - \beta_1 \beta_2 \frac{R_C // R_L}{r_{be1} + (1 + \beta_1)r_{be2}} \\ R_i = R_b // r_{be1} + (1 + \beta_1) r_{be2} \\ R_o = R_c \end{cases} \]

达林顿管共射放大电路的电压放大倍数与单晶体管放大电路相当,但是输入电阻明显增大,而输出电阻保持不变;其中,达林顿管共射放大电路的电流放大倍数提升明显;

下面的 达林顿管共集放大电路,仍然可以将原有公式中的 \(\beta\) 替换为 \(\beta_1\beta_2\),将 \(r_{be}\) 替换为 \(r_{be1} + ( 1 + \beta r_{be2})\),然后分别得到电压放大倍数、输入输出电阻:

\[ \begin{cases} \dot{A_u} = \frac{(1+\beta_1)(1+\beta_2)R_L^{'}}{r_{be1} + (1+\beta_2)r_{be2} + (1+\beta_1)(1+\beta_2)R_L^{'}} \\ R_i = R_b // [r_{be1} + (1+\beta_2)r_{be2}+(1+\beta_1)(1+\beta_2)(R_e // R_L)] \\ R_o = R_e // \frac{r_{be2} + \frac{R_s // R_b + r_{be1}}{1+\beta_1}}{1+\beta_2} \end{cases} \]

相比于单晶体管放大电路,达林顿管共集放大电路的输入电阻进一步增大,而输出电阻则进一步减小,让共集放大电路的优势体现得更为明显,有效改善了放大电路的性能。

频率响应基础

问题引入

实际应用当中,电子电路处理的信号都不是简单的单一频率信号,其幅度以及相位通常都是由固定比例关系的多频率分量信号组合而成,并且具有一定的频谱。

例如对于上面左图的输入信号,通过傅里叶展开的方式,将其分解为基波和二次谐波,两者的频率并不相同。

\[ u_i = \{U_{m1} \sin(\omega_1 t + \phi_1)\} + \{ U_{m2} \sin(\omega_2 t + \phi_2) \} \]

这样的信号被放大电路进行放大以后,在输出端就可以得到上面右图的输出信号,此时输入信号与输出信号不再具备线性关系,因而出现了失真

将这个输入信号进行展开,可以发现基波和二次谐波都得到了放大,只是两者放大的幅度不同,由此可知:放大电路对不同频率信号的幅值放大是不同的,这样造成的失真称为幅度失真

\[ u_i = \dot{A} \{ U_{m1} \sin(\omega_1 t + \phi_1)\} + \dot{A} \{ U_{m2} \sin(\omega_2 t + \phi_2) \} \]

同样是这个输入信号,经过放大以后就可以得到如下的输出信号:

经过展开以后可以发现,基波与二次谐波的相移是不相同的,由此叠加的输出信号也出现了失真,这种由放大电路对不同频率信号产生的相移不同所导致的失真称为相位失真

\[ u_i = \dot{A} \{ U_{m1} \sin(\omega_1 t + \phi_1) + \Delta \phi_1 \} + \dot{A} \{ U_{m2} \sin(\omega_2 t + \phi_2) + \Delta \phi_2 \} \]

相位失真和幅度失真都属于线性失真,线性失真是由于放大电路对于不同频率信号的响应不同造成的,这种失真不会产生新的频率分量。而非线性失真的信号会进入元件的非线性区域,并且产生新的频率分量。

当放大电路处于合适的静态工作点,并且处于放大区的时候,依然产生失真的原因是由于放大电路当中存在电抗元件(例如晶体管极间电容、电路负载电容、分布电容、耦合电容、射极旁路电容等)。当信号频率较高或者较低的时候,不但放大倍数会变小,还会产生超前或者滞后的相移,导致放大电路对于不同频率信号分量的放大倍数与相移都不尽相同。

当一个由多谐波构成复杂信号的不同频率分量,获得不同增益与相移的时候,在输出端叠加以后必然导致相位失真或者幅度失真。因此,放大电路的放大倍数实际就是信号频率的函数,这样的关系就称为频率响应或者频率特性

放大电路中存在耦合电容、旁路电容、变压器等电抗性元件,观察如下之前已经介绍过的固定偏置共射放大电路的微变等效电路:

上面电路当中,一直认为耦合电容 C1 是一个理想元件,对于直流开路交流短路。但是如果考量到频率对于电抗的影响,当耦合电容 \(C1 = 20 \mu F\),频率由低变高时电抗就会发生明显变化,例如当频率较低小于 100Hz 的情况下,此时电抗较大(几百欧姆左右)。通过观察电容 C1 与输入回路的关系可以发现,此时 C1 的电抗与整个放大电路的输入电阻 \(r_{be}\) 相当,因此必然会对输入回路的信号传输产生较大影响,不能将其视为短路。只有在当信号频率较高(大于 100Hz 以上)的时候,由于电抗急剧减小,才可以忽略它对输入回路的影响,并将其视为短路。因此不难得出结论:正是由于耦合电容的电抗对于频率的敏感,使得放大电路的传输也会受到频率影响,当放大电路传输低频信号的时候,由于 C1 电抗的影响,必须会影响到整个放大电路的放大性能。

当频率降低的时候,C1 的电抗将会增大,使得晶体管输入电流 \(I_b\) 减小,从而导致 \(I_c\) 的减小,使得输出电压 \(U_o\),面对相同的信号源 \(U_s\) 时也会出现衰减,最终导致整个放大电路的前级放大倍数 \(A_{us}\) 出现下降。由此可以看出,耦合电容 C1 的存在,使得放大电路在低频段出现了增益损失。

晶体管的极间电容较小,信号频率较低的时候,可以认为其电抗较大视为开路,不会对信号的传输造成影响。但是随着信号频率的逐渐升高,晶体管极间电容、分布电容、寄生电容等杂散电容的容抗迅速减小,必然会对信号的传输带来较大的影响。所以晶体管的极间电容,将会对放大电路的高频响应产生较大影响。

注意:前面用于分析中低频信号的 H 参数等效模型,由于没有考虑到电容效应的影响,将不再适用于高频电路的分析,此时必须采用考虑到电容效应的高频小信号模型

综上所述,频率响应是衡量放大电路对于不同频率输入信号适应能力的一项技术指标:

  1. 电路当中存在的电抗元件是影响频率响应的主要因素;
  2. 对于低频信号,耦合电容起到主要作用,晶体管结电容可以视为开路;
  3. 对于高频信号,晶体管结电容起到主要作用,耦合电容可以视为短路;
  4. 由于耦合电容和结电容的影响,使得放大电路的放大倍数在低频段与高频段都将会产生损失;

放大电路的频率特性直接影响到输出信号的质量,对于放大电路的稳定性也会造成直接影响。设计电路时,首先应当了解处理信号的频率范围,并据此设计电路的频率特性;而在使用电路前,应当分析或者实际测量该电路的频率特性,从而确定当前电路是否适用于指定工作频率。

基本概念

放大电路的放大倍数(增益)可以描述为信号频率的函数:

\[ \dot{A_u} = | \dot{A_u}(f) | \angle \varphi(f) \]

  • \(| \dot{A_u}(f) |\),增益的幅值与频率 \(f\) 的函数关系,称为幅频响应
  • \(\angle \varphi(f)\),增益的相位与频率 \(f\) 的函数关系,称为相频响应

实际工程应用当中,除了采用公式化的方式描述幅频和相频响应之外,还可以采用图形化的方式来描述,下图分别展示了放大电路的幅频响应(左图)与相频响应(右图):

通过定性的观察,可以发现这个放大电路在低频段和高频段,增益都出现了损失,这与前一节耦合电容、晶体管结电容对增益有影响的结论是相符的。同时,观察相频特性还可以发现,该电路在低频段和高频段还会产生超前和滞后的附加相移。基于上面的幅频与相频响应图,可以定义出几个非常重要的频率参数:

  • 通带增益:中频段放大电路对应的增益是最大的,它就是前面采用 H 采数等效模型所求解得到的电压放大倍数;
  • 上下限频率:当增益下降至通带增益的 0.707 倍时,即 \(0.707 A_{um}\) 所对应的两个频率分别称为上限频率下限频率
  • 半功率线:由于 0.707 等于 \(\frac{1}{\sqrt{2}}\),当放大电路频率位于上下限频率的位置时,放大电路的功率将会下降一半,这样的一条直线就称为半功率线;
  • 通频带:将上下限频率中间的频率范围称为通频带(即带宽),这是放大电路最为重要的一个频率参数,在这个带宽当中可以认为不同频率信号所获得的增益与附加相移是相同的,当在输出端进行叠加的时候,就不会发生之前的幅度与相位失真;

由于信号的频率范围极为宽泛,可以从几赫兹达到几百兆赫兹的数量级,而放大电路的增益也可以从几倍达到几百万倍的数量级,如果采用线性的坐标图描述幅频与相频特性,那么得到的图形将会非常巨大。因而,这里采用对数坐标所描述的波特图来解决这个问题。

频率响应的波特图(Bode Plot)是指在横坐标上,将原来的线性增长更换为指数增长,采用对数坐标来表示频率变化;对于幅频特性而言,采用分贝形式表示幅度的增长,也就是以 \(20 \cdot lg |\dot{A_u}|\) 的幅值来描述原来线性增长的幅值,这样就可以极大的压缩坐标。此外大部分系统的频率响应在局部范围内都比较有规律,因此通常可以对曲线进行直线化处理,得到近似的折线化波特图,进而更加清晰的反映幅频与相频特性。

  • 对数幅频特性曲线:横轴 \(f\) 为对数坐标,纵轴为 \((\dot{A_U}) \sim 20 \lg |\dot{A_u}|\)
  • 对数相频特性曲线:横轴 \(f\) 为对数坐标,纵轴为相角 \(\varphi\)

下图就是上面幅频与相频特性的波特图,此时横轴的频率已经采用对数坐标进行表示,每 1 个刻度都是 10 倍频的关系。而幅频的纵坐标则已经变为 \(20 \cdot lg |\dot{A_u}|\) 的分贝形式,这样就可以在有限的视野之内,一目了然的观察整个放大电路的频率特性,有效的压缩坐标并且扩大视野。

波特图除了要标注出它的关键频率 \(f_H\)\(f_L\) 之外,还应该标识出折线化之后,折线随频率变化的规律。在 \(f_H\)\(f_L\) 处出现了一个拐点,此时图中的拐点依然处于通带增益 \(20 \cdot lg | A_{usm} |\),但是实际波特图当中,此处的增益已经下降了 0.707\(A_{usm}\)(既上下限频率的定义),通过取 \(20 \cdot lg | 0.707 \cdot A_{usm} |\) 这样的分贝形式,可以得到下面的推导过程:

\[ 20 \cdot lg | 0.707 \cdot A_{usm} | = 20 \cdot lg | A_{usm} | - 20 \cdot \log \sqrt{2} = 20 \cdot lg | A_{usm} | - 3dB \]

上面等式说明该拐点处的增益已经较通带增益下降了 3dB,所以也可以将上下限频率称为 3dB 频率。通过这样的一个波特图,可以全面的了解一个放大电路的频率特性,因此获得这样的波特图就成为放大电路进行频率响应分析的主要目标。

RC 电路的频率响应

RC 高通电路

下图是由一个电阻 R 和一个电容 C 构成的单时间常数 RC 电路。

这里分析一下频率对该放大电路增益的影响,当信号频率较低的时候,电容 C 的电抗较大,对信号的传输会产生较大影响。伴随信号频率的逐渐增高,电容 C 的电抗迅速减小,甚至可以等效为短路,此时信号传输畅通无阻。所以,该电路反映了阻低频通高频的频率特征,通常将具备这样频率特性的电路称为高通电路

此外,通过定性分析不难发现,当电容 C 不再对信号传输产生影响的时候,输出 \(u_o\) 应该等于 \(u_i\),所以电路的最大增益(通带增益)为1

增益(电压放大倍数)的定义的依然为 \(U_o\) 比上 \(U_i\),这里只需要将 C 视为阻抗为 \(\frac{1}{j \omega C}\) 的电阻,利用欧姆定律就可以得到该电路的增益表达式:

\[ \dot{A_u} = \frac{U_o}{U_i} = \frac{R}{R + \frac{1}{j \omega C}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{j \omega RC}} \]

这里定义时间参数为 \(\tau_L\),从而得到一个关键频率 \(f_L\)

\[ f_L = \frac{1}{2 \pi RC} = \frac{1}{2 \pi \tau_L} \]

将上面的 \(f_L\) 代入前面的公式,同时用 \(2 \pi f\) 取代等式里的 \(\omega\),就可以得到一个关于 \(f\) 的增益表达式:

\[ \dot{A_u} = \frac{1}{1 + \frac{1}{j \omega \tau_L}} = \frac{1}{1 - j \frac{f_L}{f}} \]

由此,可以看出该电路的增益是一个频率的函数,那么取这个表达式的相角,就可以得到该电路的幅频特性与相频特性:

\[ \begin{cases} 幅频特性 &\implies |\dot{A_u}| = \frac{1}{\sqrt{1+(\frac{f_L}{f})^2}} \\ 相频特性 &\implies \varphi = \arctan (\frac{f_L}{f}) \end{cases} \]

接下来,就可以基于这里的幅频特性与相频特性绘制出波特图。

对数幅频特性

首先来分析对数幅频特性,根据波特图的要求,将电路的幅值分贝化处理为 \(20 \cdot lg\)

\[ |\dot{A_u}| = \frac{1}{\sqrt{1+(\frac{f_L}{f})^2}} \xrightarrow{分贝化为 20 \cdot lg 形式} 20 \lg|\dot{A_u}| = -20 \lg \sqrt{1 + (\frac{f_L}{f})^2} \]

上面等式中的 \(\frac{f_L}{f}\) 是一个比值关系,那么这里具体分析 \(f_L\)\(f\) 存在的几种比较关系:

  • \(f >> f_L\) 的时候,\(20 \lg |\dot{A_u}| \approx 0 dB\),此时整个的对数幅频特性等于 0 dB,对应的是通带增益幅值为1的情况;
  • 伴随频率的逐渐减小,当 \(f << f_L\) 的时候,方程的 \(\frac{f_L}{f}\) 部分将会变得非常大,前面的 \(1 + ...\) 可以忽略不计,表达式可以记为 \(20 \lg |\dot{A_u}| \approx -20 \lg \frac{f_L}{f} = 20 \lg \frac{f}{f_L}\),这反映出当信号的频率小于 \(f_L\) 的时候,幅频特性将以每 10 倍频 20dB 的速率衰减;
  • \(f = f_L\) 的时候,将 \(f_L\) 代入表达式,此时的对数幅频特性为 \(20 \lg |\dot{A_u}| = -20 \lg \sqrt{2} = -3 dB\),这意味着这里的增益相较于通带增益下降了 3dB,根据前面对于上下限频率的定义,\(f_L\) 就是该电路的下限频率。

根据上述结论,可以马上在对数坐标下面绘制出该电路幅频特性的波特图:

当高频信号 \(f>f_L\) 的时候,通带增益 \(|\dot{A_u}| \approx 1\);当低频信号 \(f<f_L\) 的时候,通带增益 \(|\dot{A_u}| < 1\);伴随频率减小,将以每 10 倍频 20dB 的速度衰减,频率越低增益幅值越小,反映出对低频信号的较大阻碍作用。

注意:该波图图当中,拐点出现在 \(f_L\) 处,此处在折线化波特图当中为通带增益 1,但是实际上此处增益已经下降 3dB,这个 3dB 也就是实际幅频特性与折线化幅频特性的最大误差,这一点十分值得重视。

对数相频特性

根据该电路的相频特性,仍然考察 \(f\)\(f_L\) 的比较关系,可以发现如下规律:

  • \(f >> 10 \cdot f_L\) 的时候,附加相移 \(\varphi \approx 0°\)
  • \(f << 0.1 \cdot f_L\) 的时候,附加相移 \(\varphi \approx 90°\)
  • \(f = f_L\) 的时候,附加相移 \(\varphi = 45°\)

根据上面趋势化的讨论结果,就可以绘制出相频特性的波特图:

通过上图可以看到,高频段输入输出信号的相位是相同的,随着信号频率的降低,该电路将会产生 \(0° \sim 90°\) 的超前相移,对于相频特性有两点需要强调:

  1. 相频特性当中,\(f_L\) 下限频率对应的附加相移不是 ,而是存在 45° 的超前,只有当频率达到 10 倍的 \(f_L\) 时,附加相移才会为
  2. 实际相频特性与折线化相频特性的最大误差也将出现在拐点处,即 \(5.71°\) 左右;

综上所述,就得出了左侧电路的幅频特性与相频特性的波特图,通过波特图就可以对该电路的频率特性一目了然:

  • 当信号频率较高 \(f \ge f_L\) 时,电路的增益 \(|A_u| \approx 1\),高频信号能够顺利通过;当信号频率较低 \(f \le f_L\) 时,频率越低增益的幅值 \(|A_u|\) 将会越小,对低频信号有较强阻碍作用;反映出该电路具备阻低频通高频的特性,称为高通电路
  • 通过对 \(f_L\) 关键频率的讨论,该位置的增益已经相较于通带增益下降了 \(3 dB\),也就是前面所定义的下限频率
  • 频率对于相角也会产生影响,对于这个高通电路而言,在低频阶段将会产生 \(0° \sim 90°\) 的超前相移;

RC 低通电路

举一反三,将这个电路当中的电容 C 与电阻 R 位置互换,就可以得到相应的对偶电路

信号频率较低的时候,电容 C 的容抗较大可以视为开路,信号可以畅通无阻的进行传输;随着信号频率的升高,电容 C 的容抗逐渐减小,甚至可以等效为短路,此时 \(U_o\) 就无法响应 \(U_i\) 的输入,反映出通低频阻高频的特点,称为RC 低通电路,其通带增益也为1

与前面的高通电路一样,也可以将 C 视为 \(\frac{1}{j \omega C}\) 的电阻,求解出增益的表达式:

\[ \dot{A_u} = \frac{ \frac{1}{j \omega C} }{R + \frac{1}{j \omega C}} = \frac{1}{1 + j \omega RC} \]

进而定义时间常数 \(\tau_H\) 以及关键频率 \(f_H = \frac{1}{2 \pi \tau_H} = \frac{1}{2 \pi RC}\) ,得到增益 \(\dot{A_u}\) 与频率 \(f\) 的关系:

\[ \dot{A_u} = \frac{1}{1 + j \omega \tau_H} = \frac{1}{1 + j \frac{f}{f_H}} \]

最后,就可以获得其幅频特性与相频特性:

\[ \begin{cases} 幅频特性 \implies |\dot{A_u}| = \frac{1}{\sqrt{1 + (\frac{f}{f_H})^2}} \\ 相频特性 \implies \varphi = -\arctan(\frac{f}{f_H}) \end{cases} \]

同样的,通过抓取关键点和寻找趋势,就能够绘制出该电路幅频特性与相频特性的波特图:

通过波特图就可以发现 RC 低通电路在频率特性方面的一些特点:

  • 当信号频率较低 \(f \le f_H\) 的时候,反映出通带增益为 \(|A_u| \approx 1\) 的情况,可以确保信号能够正常得以传输;当信号频率逐渐增高 \(f \ge f_H\) 时,增益的幅值以每 10 倍频 -20 dB 的速率衰减,表现出对高频信号较强的阻碍作用;所以,这是一个通低频阻高频低通电路
  • 通过对关键频率 \(f_H\) 的讨论,在频率点 \(f_H\) 上面,电路增益的幅值下降为通带增益的 \(0.707%\),也就是衰减了 3dB,即之前定义的上限频率;
  • 相频特性上,信号频率较低时,可以确保输出输出信号具有相同相位;而随着信号频率的增加,电路将会产生一个 \(0° \sim 90°\) 的滞后相移;

分析总结

通过前面对一阶 RC 高通低通电路的讨论,可以得出如下几点结论:

  • 电路的截止频率(下限频率 \(f_L\)上限频率 \(f_H\))取决于电容所在回路的时间常数 \(\tau\)
  • 截止频率的表达式总是可以写作 \(\frac{1}{2 \pi \tau}\) 的形式;如果在电路中找到电容回路并且确定其时间常数,就可以得到其截止频率;
  • 对于一阶 RC 电路而,截止频率处的增益将会下降 3dB,并且产生 \(-45° \sim +45°\) 的相移;
  • 实际波特图的局部区比较有规律,因此分析当中,可以采用折线化的近似波特图来描述电路的频率特性;

下面的表格归纳了单时间常数的 RC 低通高通电路的频率特性:

晶体管频率特性

晶体管高频等效模型

高频情况下,晶体管结电容将会对信号传输带来较大影响。而之前得到的 H 参数等效模型,由于没有考虑到结电容的影响,因而不再适用。此时,需要建立一个新的模型来反映晶体管的结电容,这就是高频等效模型。本小节将从晶体管的物理结构出发,建立其物理模型:

\(b^{'}\) 是基区的一个点;\(r_{bb^{'}}\) 是基区的体电阻;\(r_{b^{'}e}\) 是发射结电阻;\(r_{b^{'}c}\) 是集电结电阻;\(r_{ce}\) 是输出电阻;\(C_{b^{'}c}\) 是集电结电容;\(C_{b^{'}e}\) 是发射结电容;\(g_m u_{b^{'}e}\) 是电压控制电流源(取代 \(\beta i_b\)),其中跨导 \(g_m = \frac{\Delta i_c}{\Delta u_{b^{'}e}} \vert u_{ce}为常量\);跨导的定义是变化的 \(i_c\) 与变化的 \(u_{b^{'}e}\) 的比值,通过下面的推导可以发现,该动态参数也与静态工作点有关:

\[ \begin{cases} \Delta i_C = g_m \Delta u_{b^{'}e} = g_m \Delta i_B r_{b^{'}e} \\ \Delta i_C = \beta \Delta i_B \end{cases} \implies g_m = \frac{\beta}{r_{b^{'}e}} = \frac{\beta}{(1+\beta)\frac{26mV}{I_{EQ}}} \approx \frac{I_{EQ}}{26mV} \]

当静态工作点确定以后,\(g_m\) 就是一个常数,说明这是一个与频率无关的量。而已知 \(\beta\) 是与频率有关的,所以采用 \(g_m \Delta i_B r_{b^{'}e}\) 来取代原来的 \(\beta \Delta i_B\),将整个元件受频率影响的因素,归结到两个电容对频率的响应上,这样就给分析带来了极大便利。

所以在上面的电路当中,一方面体现了晶体管的极电容,同时采用电压控制电流源体现晶体管的电流控制特性。将上面的模型重新进行绘制,习惯性的把输入回路画在左侧,输出回路画在右侧,就得到了一个完整的晶体管高频 \(\pi\) 等效模型,该模型反映了结电容在晶体管中的客观存在,由于模型的形状很像字母 \(\pi\),所以也称为 \(\pi\) 等效模型

接下来着手简化上面这个模型,基区体电阻 \(r_{bb^{'}}\) 与发射结电阻 \(r_{b^{'}e}\) 之和,就是前面所一直讨论的 \(r_{be}\),不能够进行忽略;\(r_{b^{'}c}\) 是集电结的结电阻,由于放大电路工作时集电结反偏,而反偏 PN 结的等效电阻较大,所以可以忽略其对信号传输的影响,将其作为开路处理。根据前面的讨论,晶体管输出电阻 \(r_{ce}\) 也非常大,通常在 100 千欧姆左右,所以也可以忽略其对信号传输的影响,视为开路处理。

除此之外,上面电路当中的两个电容作为研究对象,自然不能忽略,这样就可以得到一个简化后的 \(混合 \pi 等效模型\)

要使用这个模型,就要确定模型当中的各个参数,其中 \(r_{bb^{'}}\) 可以通过查询元件手册获得,分析中通常视为 \(100Ω \sim 300Ω\) 的一个电阻,而 \(r_{b^{'}e}\) 则通过 \(r_{b^{'}e} = (1+\beta) \frac{26mV}{I_{EQ}}\) 求得。除此之外,两个电容 \(C_{b^{'}c}\) 可以通过元件手册查询到,而 \(C_{b^{'}e}\) 则通过 \(C_{b^{'}e} \approx \frac{g_m}{2 \pi f_T}\) 进行估算(晶体管特征频率 \(f_T\) 可以查询元件手册获得),晶体管的 \(C_{b^{'}e}\) 通常在几皮法到几十皮法 \(C_{b^{'}c}\),而 \(C_{b^{'}c}\) 通常只有零点几皮法至几皮法,所以 \(C_{b^{'}e}\) 要远远大于 \(C_{b^{'}c}\)。而 \(g_m\) 刚才已经知道可以通过 \(g_m \approx \frac{I_{EQ}}{26mV}\) 进行求解。

通过这样的分析就可以发现,与 H 参数等效模型一样,\(\pi\) 模型当中的各个参数也与静态工作点密切相关,所以在分析放大电路的频率响应时,仍然需要秉承先动态后静态的思路进行分析。

即然\(\pi\) 模型与 H 参数等效模型都是对晶体管进行的等效,当处于低频与中频的时候,由于结电容的容抗较大可以视为开路,那么 \(\pi\) 模型可以转变为如下形式:

上面简化电路中的 \(r_{bb^{'}}\) 加上 \(r_{b^{'}e}\) 就是 \(r_{be}\),而 \(g_m u_{b^{'}e}\) 与 H 参数模型中的 \(\beta i_b\) 表征的是相同的量 \(i_c\),由此可知低频的时候,如果忽略晶体管内部电容,那么混合 \(\pi\) 模型与 H 参数模型是完全等效的

利用 \(\pi\) 模型就可以开展对放大电路高频段的分析,因为它非常忠实的反映了结电容的存在,可以支撑对晶体管更为详细的讨论。

晶体管频率特性分析

结电容的存在,让晶体管成为了一个频率敏感的元件,晶体管的电流放大系数 \(\beta\) 是晶体管信号传输能力的重要标志,因此在全频率范围内,需要考虑电流放大系数 \(\beta\) 与信号频率 \(f\) 之前的关系。将下图 \(\pi\) 模型的 ce 两端短路,由于电流放大系数 \(\beta\) 是在 \(U_{ce}\) 为常量的情况下,变化的 \(I_c\) 与变化的 \(I_b\) 的比值:

\[ \dot{\beta} = \frac{\dot{I_c}}{\dot{I_b}} \vert \dot{U_{ce}} = 0 \]

输出特性的几何关系上,则反映出在固定 \(U_{ce}\) 的情况下,纵向特性曲线的疏密程度,因此对于交流分析,由于 \(u_{ce}\) 为常数,所以必须将 ce 两端短路起来。

由于 \(U_{b^{'}e}\) 同时出现在输入和输出回路,所以如果能够采用它来表示 \(I_c\)\(I_b\) 就可以解决 \(\beta\) 求解的问题。对上图橙色标记的结点列写 KCL 方程 \(g_m \dot{U_{b^{'}e}} = C_{b^{'}c}+ \dot{I_c}\),通过对电路的观察可以发现,\(C_{b^{'}c}\) 两端的电压恰恰就是 \(U_{b^{'}e}\),如果将 \(C_{b^{'}c}\) 的电抗视为 \(\frac{1}{j\omega C}\) 就可以得到 \(I_c\)\(U_{b^{'}e}\) 的关系式:

\[ \dot{I_c} = (g_m - j \omega C_{b^{'}c}) \dot{U_{b^{'}e}} \]

\(U_{b^{'}e}\) 是上图当中三条并联支路的端电压,而晶体管输入电流 \(I_B\) 正好是这三条支路的总电流,根据欧姆定律就可以得出 \(U_{b^{'}e}\)\(I_B\) 的关系:

\[ \dot{U_{b^{'}e}} = \dot{I_b} (r_{be} // \frac{1}{j \omega C_{b^{'}e}} // \frac{1}{j \omega C_{b^{'}c}}) \]

联立上述两个方程,就可以得到 \(\beta\) 关于 \(\omega\) 的表达式:

\[ \begin{cases} \dot{I_c} = (g_m - j \omega C_{b^{'}c}) \dot{U_{b^{'}e}} \\ \dot{U_{b^{'}e}} = \dot{I_b} (r_{be} // \frac{1}{j \omega C_{b^{'}e}} // \frac{1}{j \omega C_{b^{'}c}}) \end{cases} \implies \dot{\beta} = \frac{\dot{I_c}}{\dot{I_b}} = \frac{g_m - j \omega C_{b^{'}c}}{\frac{1}{r_{b'e}} + j \omega (C_{b^{'}e} + C_{b^{'}c})} \]

实际电路当中,通常满足 \(g_m\) 远远大于 \(\omega C_{b'c}\) 这个条件,经过合理的近似,就可以得到如下简化后的 \(\beta\) 关于 \(\omega\) 的表达式:

\[ \dot{\beta} \approx \frac{g_m r_{b'e}}{1 + j \omega (C_{b'e} + C_{b'c}) r_{b'e}} \]

对上面简化后的表达式进行定性分析,当信号频率非常低的时候,即 \(j \omega (C_{b'e} + C_{b'c}) r_{b'e} \approx 0\),电流放大系数 \(\beta\) 将会出现一个最大值,即低频情况下的通带增益 \(\beta_0 = g_m r_{b'e}\)。随着频率的逐渐增加,分母逐渐变大,电流放大系数 \(\beta\) 会有所损失。

接下来,仍然定义关键频率 \(f_\beta = \frac{1}{2 \pi (C_{b'e} + C_{b'c}) r_{b'e}}\),注意这里的电容 C\(C_{b'e}\)\(C_{b'c}\) 两个电容之和,进而将 \(f_\beta\) 代入上面的表达式,并且将 \(\omega\)\(2 \pi f\) 取代,就可以得到 \(\beta\) 关于 \(f\) 的表达式,进而就可以得到电流放大系数 \(\beta\)幅频特性相频特性

\[ \dot{\beta} = \frac{\beta_0}{1 + j \frac{f}{f_\beta}} \implies \begin{cases} 幅频特性 \implies |\dot{\beta}| = \frac{\beta_0}{\sqrt{1 + (\frac{f}{f_\beta})^2}} \\ 相频特性 \implies \varphi = - \arctan \frac{f}{f_\beta} \end{cases} \xrightarrow{取对数} \begin{cases} 幅频特性 \implies 20 \lg |\dot{\beta}| = 20 \lg \beta_0 - 20 \lg \sqrt{1 + (\frac{f}{f_\beta})^2} \\ 相频特性 \implies \varphi = - \arctan \frac{f}{f_\beta} \end{cases} \]

对上面的方程组取对数以后发现,这里的幅频特性与相频特性与单时间常数 RC 电路当中的低通电路十分相似,只是在一阶低通电路的情况下叠加了一个常数 \(20 \lg \beta_0\),从而绘制出 \(\beta\) 的波特图:

  • \(f << f_\beta\) 时,\(20 \lg |\dot{\beta}| \approx 20 \lg \beta_0,\varphi = 0°\)
  • \(f >> f_\beta\) 时,\(20 \lg |\dot{\beta}| \approx 20 \lg \beta_0 - 20 \lg \frac{f}{f_\beta}\)
  • \(f = f_\beta\) 时,\(20 \lg |\dot{\beta}| \approx 20 \lg \beta_0 - 20 \lg \sqrt{2} \approx 20 \lg \beta_0 - 3dB,\varphi = -45°\)

通过波特图可以看到,上面电路就是在原来的一阶 RC 低通电路基础上,抬升至 \(20 \lg \beta_0\) 位置,并且仍然是在 \(f_{\beta}\) 位置出现拐点。值得强调的是,在上面波特图当中,拐点处依然会产生 \(3dB\) 的最大误差,也就是 \(f \beta\) 处对应的电流放大系数 \(\beta\) 的增益,已经相比通带增益下降了3dB,因此 \(f_\beta\) 同时也是这个波特图的上限频率。

同样的,观察相频特性可以发现,与低通电路一样,在频率较低的时候,电流的放大系数将不会产生相移;随着频率的增高,电流放大系数将会产生最大 \(90°\) 的相位滞后,而相频特性的最大误差也出现在拐点处,仍然为 5.71°

基于这样的晶体管电流放大系数的幅频特性与相频特性,就可以定义一些非常重要的频率参数来表征一个晶体管的频率特性。因此,定义当 \(|\dot{\beta}|\) 的值下降至 \(0.707 \cdot \beta_0\) 的时候(即 \(\frac{1}{\sqrt{2}}\beta_0\) 时的频率)所对应的频率,称为共射截止频率,也就是波特图上的上限频率。显而易见,该频率点的电流放大系数幅值下降了 3dB,在这个位置并不意味晶体管失去了电流放大能力,而只是表示当前的频率已经下降了 3dB,如果频率进一步提高,将会以每 10 倍频 20dB 的速率衰减,电流放大能力由此大打折扣。

当信号频率进一步提高,电流放大系数的幅值将会进一步下降,这里定义当电流放大系数幅值 \(\dot{\beta}\) 降为 1 的时候,所对应的频率称为特征频率 \(f_T\),即位于幅频特性与坐标横轴的交点处。

\(f = f_T\) 代入上面得到的频率响应,就可以得到 \(f_T\)\(f_\beta\) 之间的关系:

\[ |\dot{\beta}| = \frac{\beta_0}{\sqrt{1 + (\frac{f_T}{f_\beta})^2}} = 1 \implies f_T \approx \beta_0 f_\beta \]

特征频率 \(f_T\) 约等于 \(\beta_0\) 倍的 \(f_{\beta}\),说明晶体管的特征频率远远大于其共射截止频率。特征频率是晶体管非常重要的特征参数,因为当晶体管工作频率等于或者大于特征频率 \(f_T\) 的时候,意味着放大系数已经等于或者小于 1,此时晶体管将会失去放大作用

与共射电流放大系数 \(\beta\) 一样,我们也可以对共基电流放大系数 \(\alpha\) 展开频率响应分析,采用同样的方法可以得到 \(\alpha\) 与频率 \(f\) 的关系,可以发现 \(\alpha\)\(\beta\) 一样都具有低通特性:

\[ \dot{\alpha} = \frac{\alpha_0}{1 + j \frac{f}{f_\alpha}} \]

\(|\dot{\alpha}|\) 值下降为低频 \(\alpha_0\)0.707 倍时所对应的频率,称为共基截止频率 \(f_a\)。根据 \(\alpha\)\(\beta\) 的关系,以及 \(\beta\) 的频率特性,就可以得到 \(f_{\alpha}\)\(f_{\beta}\) 的关系:

\[ \begin{cases} \dot{\beta} = \frac{\beta_0}{1 + j \frac{f}{f_\beta}} \\ \dot{\alpha} = \frac{\dot{\beta}}{1 + \dot{\beta}} \end{cases} \implies \begin{cases} a_0 = \frac{\beta_0}{1 + \beta_0} \\ f_\alpha = (1 + \beta_0)f_{\beta} \end{cases} \]

上面等式说明,对于同样的晶体管而言,其共基截止频率要远远大于共射截止频率。这也是为什么共基放大电路的带宽,通常要远远大于共射放大电路的原因所在。

注意低频小功率晶体管\(f_\alpha\) 为几十至几百千赫,高频小功率晶体管\(f_\alpha\) 约为几十至几百兆赫。

通过以上对晶体管的频率特性分析,可以得出以下重要结论:

  1. 晶体管电流放大系数 \(\alpha\)\(\beta\) 都是频率的函数,两者都具有低通特性;意味着在低频和中频阶段,晶体管能够保证较好的电流放大能力;伴随频率的升高,电流放大能力将会大打折扣;
  2. 共射截止频率 \(f_{\beta}\) 与特征频率 \(f_T\) 是晶体管最重要的频率参数,其中 \(f_{\beta}\) 表征的是晶体管能够保证中频时电流放大系数能力的一个上限频率,而 \(f_T\) 则是表征晶体管具有放大能力的一个最高截止频率。
  3. \(f_\alpha\)\(f_\beta\)\(f_T\) 之间是可以换算的:\(f_T = \beta_0 f_\beta\) 以及 \(f_{\alpha} = (1+\beta_0) f_{\beta}\)
  4. 通过上面的换算关系,可以得到 3 个频率之间的大小关系:\(f_\beta < f_T < f_\alpha\);其中 \(f_\beta\)\(f_T\) 可以从参数手册获得,而 \(f_\alpha\) 则需要通过换算求取;

高频等效模型的单向化

在下面的 \(\pi\) 模型当中,由于电容 \(C_{b'c}\) 跨接在输入回路与输出回路之间,导致输入信号传输出现了双向化过程,引入了反馈,让电路分析复杂化。解决这个问题,可以采用密勒定理简化电路。

密勒定理是指一个输入和输出之间跨接阻抗 \(Z\) 的网络,如果这个网络的传输函数 \(\dot{A} = \frac{\dot{U_2}}{\dot{U_1}}\) 是可以确定的话,那么就可以将跨接阻抗 \(Z\) 等效为位于输入回路的 \(Z_1\) 和位于输出回路的 \(Z_2\) 两个阻抗,从而完成电路的单向化。

为了确保两个电路的等效,需要保证输入与输出端口在等效前后的电压电流关系是相同的,对于输入回路可以建立下面的关系:

\[ 输入回路 \implies \begin{cases} \dot{I_1} = \frac{\dot{U_1} - \dot{U_2}}{Z} = \frac{\dot{U_1}(1 - \frac{\dot{U_2}}{\dot{U_1})}}{Z} \\ \dot{K} = \frac{\dot{U_2}}{\dot{U_1}} \end{cases} \implies \dot{I_1} = \frac{\dot{U_1}(1 - \dot{K})}{Z} = \frac{\dot{U_1}}{\dot{Z_1}} \]

这里的 \(\dot{I_1}\) 经过等效之后,变成 \(\frac{\dot{U_1}}{\dot{Z_1}}\) 应该与原来相等,同样对于输出回路也可以建立这样的关系:

\[ 输出回路 \implies \begin{cases} \dot{I_2} = \frac{\dot{U_2} - \dot{U_1}}{Z} \\ \dot{K} = \frac{\dot{U_2}}{\dot{U_1}} \end{cases} \implies \dot{I_2} = \frac{\dot{U_2}}{\frac{Z}{1 - \frac{1}{\dot{K}}}} = \frac{\dot{U_2}}{Z_2} \]

经过对比以后,可以得出下面这样的结论:

\[ \begin{cases} Z_1 = \frac{Z}{1 - \dot{K}} \\ Z_2 = \frac{Z}{1 - \frac{1}{\dot{K}}} \end{cases} \]

换而言之,只要将原来的 \(Z\) 分解为满足这样关系式的 \(Z_1\)\(Z_2\),分别放入输入和输出回路,就可以实现单向化前后系统的等效。而密勒定理对于跨接在输入与输出回路之间的电容元件同样适用。

▶【例题】如下图所示电路,采用密勒定理将左图电路等效为右图,求解左图当中 \(C_1\)\(C_2\) 的值?

▶【解答】将电容视为 \(\frac{1}{jwC_1}\) 的阻抗,将其代入上面得到的密勒定理,就可以得到 \(C_1\)\(C_2\) 的具体数值:

\[ \begin{cases} \frac{1}{jwC_1} = \frac{\frac{1}{jwC}}{1 - \dot{K}} \\ \frac{1}{jwC_2} = \frac{\frac{1}{jwC}}{1 - \frac{1}{\dot{K}}} \end{cases} \implies \begin{cases} C_1 = (1 - \dot{K})C = 303pF \\ C_2 = (1 - \frac{1}{\dot{K}})C = 3.03pF \end{cases} \]

通过这个过程可以看到,密勒定理对于将系统单向化而言是非常有效的。同时重点观察计算后的结果,会发现等效到输入端的密勒等效电容 \(C_1\) 比原电容增大了 \(1 + |K|\) 倍,这种现象称为密勒效应

利用密勒定理,就可以针对 \(\pi\) 模型进行讨论,尝试将 \(C_{b'c}\) 等效到输入输出回路当中。根据引入的密勒定理,就可以用两个电容来取代 \(C_{b'c}\),分别连接至下图的 \(b'\)\(e\)\(c\)\(e\) 两端,两个等效电容的大小分别为 \((1-\dot{K})C_{b'c}\)\(\frac{\dot{K}-1}{\dot{K}}C_{b'c}\),由此就可以将这样的 \(\pi\) 模型进行单向化,从而得到 单向化的混合 \(\pi\) 等效模型

在上面的模型当中 \(\dot{K} \approx \frac{\dot{U_{ce}}}{\dot{U_{b'e}}}\),可以通过具体电路来求得。上图中的电容 \(C'\) 则是 \(C_{b'e}\) 与等效电容 \((1-\dot{K})C_{b'e}\) 的并联值,而其容值为两者之和:

\[ C' = C_{b'e} + (1+\dot{K})C_{b'e} \]

根据这个结论可以发现,\(C'\)\(\frac{\dot{K}-1}{\dot{K}}C_{b'c}\) 要大很多,这意味着在一定频率信号作用下,该等效电容的电抗较大,对输出信号的传输几乎不会带来影响,因此可以将其视为开路处理:

最后,就得到了更加简洁的单向化混合 \(\pi\) 等效模型,从而为后续放大电路的频率响应分析扫清了障碍。

放大电路频率响应分析

单管共射放大电路中低频响应

全面分析一个放大电路的频率响应,可以分别从中频段低频段高频段来进行分析。

  • 中频段:所有电容对于信号传输的影响均可忽略不计,即耦合电容、旁路电容视作短路,极间电容视作开路;
  • 低频段:主要考虑耦合电容、旁路电容对于信号传输的影响,晶体管的极间电容由于电抗较大,可以视为开路;
  • 高频段:重点考虑晶体管极间电容、分布电容、杂散电容带来的影响,耦合电容可以视为短路;

接下来,针对下图这个固定偏置的共射放大电路进行频率响应分析:

\(C_2\)\(R_L\) 看作下一级的输入电容与输入电阻,因此这里重点考察耦合电容 \(C_1\) 与晶体管极间电容对频率响应的影响,基于前一节得到的晶体管 \(\pi\) 等效模型,就可以得到如下适用于信号频率从 \(0 \sim \infty\) 的交流等效电路:

根据前面提供的分析思路:

  • 中频段:耦合电容 \(C_1\) 短路,晶体管极间电容开路;
  • 低频段:主要考察耦合电容 \(C_1\) 的影响,晶体管极间电容开路;
  • 高频段:主要考察晶体管极间电容的影响,耦合电容 \(C_1\) 短路;

首先,分析中频段状态下电路的频率响应,忽略一切电容带来的影响,将耦合电容 \(C_1\) 视为短路,晶体管的极间电容视为开路,这样就得到了中频段下的等效电路:

采用与前面介绍的微变等效电路法相同的思路,用 \(U_{b'e}\) 作为中间量,分别表示 \(U_o\)\(U_i\),从而得到电压增益。通过观察输出回路,可以很容易得到 \(U_o\)\(U_{b'e}\) 的关系 \(\dot{U_o} = -g_m \dot{U_{b'e} R_c}\);观察输入回路,利用串联分压的原理可以得到 \(U_i\)\(U_{b'e}\) 的关系 \(\dot{U_i} = \frac{r_{be}}{r_{b'e}} \dot{U_{b'e}}\)。由此,可以立刻得到此时的电压放大倍数 \(\dot{A_{uM}}\)

\[ \dot{A_{uM}} = \frac{\dot{U_o}}{\dot{U_i}} = - \frac{r_{b'e}}{r_{be}} g_m R_c \]

结合前面对于前级电压放大倍数以及放大倍数的定义,就可以求解得到中频段的前级电压增益:

\[ \dot{A_{usM}} = \frac{\dot{U_o}}{\dot{U_s}} = - \frac{R_i}{R_s + R_i} \cdot \frac{r_{b'e}}{r_{be}} g_m R_c \]

将前一小节得到的结论 \(g_m = \frac{\beta}{r_{b'e}}\) 代入到上面的关系式,经过整理可以得到:

\[ \dot{A_{usM}} = - \frac{R_i}{R_s + R_i} \cdot \frac{\beta R_c}{r_{be}},其中 R_i = R_b \\ r_{be} \]

上面这个式子就是前面用 H 参数等效模型得到的前级电压放大倍数。通过中频段的分析可以看到:放大电路在中频段的电压放大倍数表达式,与利用 H 参数等效模型分析的结果一致。此时的电压增益是一个与信号频率无关的实数,频率特性非常平坦。基于这样一个结果,可以得到对数坐标下的波特图:

显然这是一条位于 \(20 \lg \dot{A_{usM}}\) 位置的直线,由于增益前面存在一个负号,可以知道在中频段,共射放大电路存在 180° 的相移,这样的结论与前面的分析是一致的。

接下来继续分析共射放大电路在低频段的频率响应,基于前面全频段的等效电路,在低频段单独考虑耦合电容 \(C_1\) 对电路产生的影响,而将晶体管的结电容 \(C'\) 视为开路,得到了低频段的等效电路:

利用输入电阻的定义,将后端电路等效为输入电阻,就得到了如下的等效电路:

上面的电路与之前讨论过的单时间常数的 RC 高通电路非常类似,由此可以得出一个定性的结论,共射放大电路的低频响应具有高通特性。接下来,从定量的角度对它进行分析,对于前级电压放大倍数,可以将 \(U_o\)\(U_s\) 的比值换算为两个比值的乘积:

\[ \dot{A_{usL}} = \frac{\dot{U_o}}{\dot{U_s}} = \frac{\dot{U_o}}{\dot{U_{b'e}}} = \frac{\dot{U_{b'e}}}{\dot{U_s}} \]

根据输出回路可以得到 \(\frac{\dot{U_o}}{\dot{U_{b'e}}} = -g_m R_c\);如果这里将 \(C_1\) 仍然视为阻值为 \(\frac{1}{j \omega C_1}\) 的阻抗,利用欧姆定理就可以得到如下反映 \(U_{b'e}\)\(U_s\) 的关系式:

\[ \dot{U_{b'e}} = \frac{U_s}{R_S + R_i + \frac{1}{j \omega C_1}} \cdot R_i \frac{r_{b'e}}{r_{bc}},其中 (R_i = R_b // r_{be}) \implies \frac{\dot{U_{be}}}{\dot{U_s}} = \frac{R_i}{R_i + R_s} \cdot \frac{r_{b'e}}{r_{be}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{j \omega C_1 (R_i + R_s)}} \]

将上面 2 个表达式代入 \(\dot{A_{usL}}\) 的表达式:

\[ \dot{A_{usL}} = -\frac{R_i}{R_i + R_s} \cdot \frac{r_{b'e}}{r_{be}} \cdot g_m R_c \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{j \omega C_1(R_i + R_s)}} \]

由于上面等式当中的 \(-\frac{R_i}{R_i + R_s} \cdot \frac{r_{b'e}}{r_{be}} \cdot g_m R_c\) 部分就是之前得到的中频段的电压增益 \(A_{usM}\),因此可以将上面的等式简化为如下形式:

\[ \dot{A_{usL}} = A_{usM} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{j \omega C_1(R_i + R_s)}} \]

跟前面的一阶 RC 电路所讨论的一样,同样令 \(\omega = 2 \pi f\),并且定义 \(C_1(R_i + R_s)\) 为时间常数 \(\tau\),就可以得到下限截止频率 \(f_{L1}\)

\[ f_{L1} = \frac{1}{2 \pi \cdot [R_b // r_{be} + R_s] \cdot C_1 } \]

将下限截止频率表达式代入到 \(\dot{A_{usL}}\) 就可以获得更为简洁的 低频电压增益 表达式:

\[ \dot{A_{usL}} = \dot{A_{usM}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{1 - j \frac{f_{L1}}{f}}} \]

此处的 \(\frac{1}{1 + \frac{1}{1 - j \frac{f_{L1}}{f}}}\) 就是前面讨论过的一阶 RC 高通电路的频率响应,这再次印证了前面定性分析的结果,基于这个等式取对数,就可以得到共射放大电路在低频段的幅频响应,可以看出就是在一阶高通电路幅频响应的基础上平移 \(20 \lg |\dot{A_{usM}}|\)

\[ 20 \lg |\dot{A_{usL}}| = 20 \lg |\dot{A_{usM}}| + 20 \lg \frac{1}{\sqrt{1 + (\frac{f_{L1}}{f})^2}} \]

基于这个等式,可以立刻绘制出共射放大电路在低频段的幅频响应波特图:

可以看到,在下限频率向下的范围以内,共射放大电路增益的幅度将会以每 10 倍频 \(-20dB\) 的速率衰减。同样的,通过上图下半部分的相频特性也可以发现,它就是在一阶高通 RC 电路的基础上增加了 -180° 的相移。

由此可见,当频率低于下限频率 \(f_L\) 的时候,放大电路还会产生 0° ~ 90° 的超前附加相移,通过对波特图和下限频率表达式的分析,显然放大电路的低频特性与输入回路所在的时间常数是密切相关的,特别是耦合电容 \(C_1\) 的大小,将会直接影响下限频率,并且影响放大电路的低频特性。

如果放大电路采用的不是阻容耦合,而是没有电容 \(C_1\) 的直接耦合,此时该放大电路的低频特性与中频特性完全一致,即低频段将不会出现增益幅值的衰减,而是出现一条与中频相同的直线,同时也不会产生 0° ~ 90° 的超前附加相移,由此可见直接耦合放大电路具有更加优良的低频特性

采用同样的原理,还可以单独分析耦合电容 \(C_2\) 对于频率响应的影响,同样可以得出由 \(C_2\) 所决定的下限频率 \(f_{L2}\)

\[ f_{L2} = \frac{1}{2 \pi (R_o + R_L) C_2} \approx \frac{1}{2\pi (R_c + R_L)C_2} \]

显然,观察上面的等式可以发现,下限频率 \(f_{L2}\) 也与输出回路的时间常数有关。

旁路电容是电路当中常见的一种电抗元件,例如下图所示的分压偏置共射放大电路当中,并联在射极电阻 \(R_e\) 旁边的旁路电容 \(C_e\)

接下来单独考察该电容对于低频响应的影响,得到此时的微变等效电路:

将前端的有源二端口网络,用戴维南定理进行等效,就可以将前端电路等效为一个电压源与电阻的串联。此时,由该回路确定的时间常数为 \(\tau_e = R'C_e\),该等式中的 \(R'\) 就是将其中的信号源短路以后得到的戴维南等效电阻 \(R' = R_e // \frac{r_{be} + R_s // R_{b1} // R_{b2}}{1 + \beta}\),这样就可以得到由 \(C_e\) 确定的下限截止频率 \(f_{Le}\)

\[ f_{Le} = \frac{1}{2 \pi \tau_e} = \frac{1}{2 \pi R' C_e} \]

由于等效电阻 \(r'\) 非常小,如果 $ C*e$ 的值不是很大,那么这样一个由 \(C_e\) 确定的下限频率将会远远大于 \(f*{L1}\)\(f_{L2}\),从而让该旁路电容 \(C_e\) 成为了影响放大电路低频响应的主要因素。如果想避免 \(C_e\) 影响放大电路的低频特性,那么 \(C_e\) 的选择一定要足够大。

基于以上对放大电路低频响应的分析,从上面的波特图可以得到如下重要结论:

  • 中频区的波特图曲线非常平坦,放大倍数不会随着信号频率变化;
  • 低频区内放大倍数随着频率的降低而减小,并产生 0 ~ 90° 的超前附加相移;

同时,对于电路当中广泛存在的三类电容进行了分析,分别得出了由这三个电容所确立的下限频率的表达式:

\[ \begin{cases} f_{L1} = \frac{1}{2 \pi \cdot [R_b // r_{be} + R_s] \cdot C_1 } \\ f_{L2} = \frac{1}{2 \pi (R_o + R_L) C_2} \approx \frac{1}{2\pi (R_c + R_L)C_2} \\ f_{Le} = \frac{1}{2 \pi \tau_e} = \frac{1}{2 \pi R' C_e},其中 (R' = R_e // \frac{r_{be} + R_s // R_{b1} // R_{b2}}{1 + \beta}) \end{cases} \]

因此,当电路当中存在多个电容的时候,电路的低频特性就可能会出现多个折点,如果其中某一个下限频率远远大于其它下限频率,则可以取最大的那个作为整个电路的下限频率,通过对上面三个电容表达式的分析,它们都与其所在回路的时间常数密切相关,特别是电容的大小将会直接影响到下限频率。

  • 电容 \(C_1\)\(C_e\)\(C_2\) 取值越大,整个电路的下限频率就越低,由此产生的低频失真就越小,附加相移也将会减小,低频特性越好;
  • 直接耦合放大电路具有更加良好的低频响应;
  • 需要特别关注旁路电容 \(c_e\) 对于下限频率的影响,由于旁路电容 \(c_e\) 等效到输入回路需要除以 \(1+\beta\),使得 \(C_e\) 电容成为影响低频特性的主要因素。如果要求 \(C_e\) 对下限频率 \(f_L\) 的影响与耦合电容 \(C_1\) 相当,那么射极旁路电容 \(C_e\) 的取值要远远大于耦合电容 \(C_1\)
  • 下限频率与输入输出电阻也是密切相关的,输入输出电阻增大,也可以有效降低下限频率;但是调整输入输出回路,必然会影响到放大电路的其它性能指标;

单管共射放大电路高频响应

将前面全频段等效电路当中的耦合电容视为短路,单独考虑结电容对于高频响应的影响,就得到了下面的高频等效电路:

利用戴维南等效,从上图红色箭头端口看进去,将前端电路等效为一个电压源与电阻的串联,根据戴维南等效定理,此时的等效电源 \(\dot{U_s'}\) 就等于开路电压:

\[ \dot{U_s'} = \frac{R_i}{R_s + R_i} \cdot \frac{r_{b'e}}{r_{be}} \cdot \dot{U_s} \]

而戴维南等效电阻 \(R'\) 则是前端将信号源置零以后的电阻:

\[ R' = r_{b'e} // [r_{bb'} + (R_s // R_b)] \]

结合前面对于 \(\pi\) 模型单向化的讨论,可以知道电容 \(C'\) 实际上是 \(C_{b'e}\) 与密勒等效电容 \((1-K)C_{b'c}\) 所构成的,

\[ C' = C_{b'e} + (1+K) C_{b'e} = C_{b'e} + (1 + g_mR_c) C_{b'c} \]

上面等式中的 \(K\) 就是 \(\frac{U_{ce}}{U_{b'e}}\),通过电路结构可以知道这个 \(K\) 就等于 \(-(1 + g_mR_c)\),这样就得到了 \(C'\) 的表达式:

\[ C' = C_{b'e} + (1+K)C_{b'c} = C_{b'e} + (1 + g_m R_c)C_{b'c} \]

通过观察前面的输入回路,可以发现这是一个由 \(C'\)\(R'\) 构成的 RC 低通电路。那么就可以定性的判断:此时共射放大电路的高频响应具有低通特性。

接下来,定量的分析该电路的高频特性,将此时的高频前级电压放大倍数变换为 3 个比值的乘积:

\[ \dot{A_{usH}} = \frac{\dot{U_o}}{\dot{U_s}} = \frac{\dot{U_o}}{\dot{U_{b'e}}} \cdot \frac{\dot{U'_s}}{\dot{U_s}} \cdot \frac{\dot{U_{b'e}}}{\dot{U_s}} = - g_m R_c \cdot \frac{R_i}{R_s + R_i} \cdot \frac{r_{b'e}}{r_{be}} \cdot \frac{1}{1 + j \frac{f}{f_H}} \]

通过对比马上可以发现,上面等式中的 \(- g_m R_c \cdot \frac{R_i}{R_s + R_i} \cdot \frac{r_{b'e}}{r_{be}}\) 仍然是前面所得到的中频前级电压放大倍数,所以整个电路的高频电压增益表达式可以写作如下形式:

\[ \dot{A_{usH}} = \dot{A_{usM}} \cdot \frac{1}{1 + j \frac{f}{f_H}} \]

可以发现这是一个具有低通特性的频率响应表达式,而这里的上限截止频率 \(f_H\) 仍然是 \(f_H = \frac{1}{2 \pi R'C'}\) 的形式,只是这里的时间常数是由戴维南等效以后的 \(R'\)\(C'\) 共同构成。基于这样的表达式取对数,就看到其幅频响应只是在一阶 RC 低通电路基础上叠加了 \(20 \lg |\dot{A_{usm}}|\)

\[ 20 \lg |\dot{A_{usH}}| = 20 \lg |\dot{A_{usm}}| + 20 \lg \frac{1}{\sqrt{1 + (\frac{f}{f_H})^2}} \]

相频响应方面,则是在一阶 RC 低通电路基础之上平移了 \(-180°\)

\[ \varphi = -180° - \arctg(\frac{f}{f_H}) \]

马上就可以得到其幅频与相频响应的波特图,通过波特图可以发现,当放大电路的工作频率超过上限频率的时候,增益将会以每 10 倍频 -20dB 的速率衰减,并且还会产生 \(0° \sim 90°\) 的滞后附加相移。

如果这个电路驱动的是一个容性负载,由于电容的出现,使得输出回路也会确定一个时间常数,该时间常数必然会影响到整个放大电路的高频响应,这就表明共射放大电路的带容性负载能力较差

至此,就完成了放大电路在高、中、低频段的响应分析,将这三个频率的频率响应组合以后,就可以得到完整的阻容耦合共射放大电路的频率响应:

\[ \dot{A_{us}} = \dot{A_{usM}} \cdot \frac{1}{(1 - j \frac{f_L}{f})} \cdot \frac{1}{(1 + j \frac{f}{f_H})} \]

基于这个完整的阻容耦合共射放大电路频率响应,可以得到其对应的完整波特图:

通过上面的波特图可以看到如下的特点:

  • 中频段下放大电路的增益稳定,而在高频与低频段都将会出现增益的下降与附加相移,这意味着当放大电路处理含有不同频率信号分量的时候,如果部分信号分量落入了高频或者低频段,那么它们获得的增益与附加相移就可能会不同,进而在输出端叠加的时候,有可能出现前面提到的幅度与相位的失真。只有当所有信号分量都落入带宽以内的时候,才会保证放大电路的输入输出不出现失真;
  • 与前面讨论的一阶 RC 电路类似,经过折线化的波特图,会在折线拐点处出现与实际波特图最大的误差;其中,幅频特性呈现 3dB 的最大误差,而相频特性则会在拐点处产生 5.71° 的最大误差;

通过上面的分析,可以发现放大电路的上下限频率与下面这些因素相关:

  • 下限频率通常由耦合电容、旁路电容、输入电阻所决定;
  • 直接耦合放大电路具有更加优良的低频响应;
  • 上限截止频率与结电容密切相关;
  • 选择 \(r_{bb'}\) 参数较小,\(C_{b'c}\) 参数较小,\(f_T\) 参数较高的高频晶体管有助于提高上限频率;

放大器的中频电压增益与通频带宽的乘积称为增益带宽积GBW,Gain-Bandwidth Product),通常放大电路的上限频率远远大于下限频率,因此可以认为其通频带约等于上限频率:

\[ 通频带 f_{BW} = f_H - f_L = \approx f_H \]

因此,这里定义的增益带宽积就可以约等于 \(A_{uM}f_H\),将前面得到的中频增益和上限频率的表达式代入以后,就可以得到如下完整的增益带宽积表达式:

\[ \begin{aligned} & 增益带宽积 GBW = A_{uM} f_{BW} \approx A_{uM} f_H = - \frac{R_i}{R_s + R_i} \cdot \frac{r_{b'e}}{r_{be}} g_m R_c \frac{1}{2 \pi R' C'} \\ & 其中,R' = r_{b'e} // [r_{bb'} + (R_s // R_b)],C' = C_{b'e} + (1 + g_m R_c)C_{b'c} \end{aligned} \]

对上述表达式当中的参数进行合理近似:首先,由于 \(R_b\) 远远大于信号源内阻 \(R_s\),此时上面等式中的并联电阻 \((R_s // R_b) \approx R_s\);然后,又由于 \(R_b\) 远远大于晶体管输入电阻 \(r_{be}\),所以输入电阻 \(R_i \approx r_{be}\);最后,因为 \((1 + g_m R_c)C_{b'c}\) 远远大于 \(C_{b'e}\),其中 \(g_m R_c\) 又远远大于 1,所以 \(C' \approx g_m R_c C_{b'c}\);将这些近似结果重新代入表达式整理,就可以得出增益带宽积的近似表达式

\[ GBW = A_{uM} f_H \approx \frac{1}{2 \pi (R_s + r_{bb'})C_{b'c}} \]

观察上面等式可以发现,信号源内阻 \(R_s\) 不属于放大电路本身,而 \(r_{bb'}\) 是基区体电阻,\(C_{b'c}\) 则是集电结的结电容,这几个参数都是由工艺决定的晶体管固有参数,不会随着外界的电压而变化,这意味着晶体管一旦选定,那么其增益带宽积基本就是一个常数。当增益带宽积的两个乘积项 \(GBW = A_{uM} f_H\) 其中一个为常数的时候,两者之间必然存在着此消彼涨、相互矛盾的关系。

正是因为这种矛盾关系的存在,如果想要得到一个通频带比较宽,而电压放大倍数又比较高的放大电路,首先要解决的问题就是选择一个\(r_{bb'}\)\(C_{b'c}\) 都比较小的高频小功率三极管,同时尽可能减小信号源内阻,从而获得较大的增益带宽积。

如果信号源内阻较大,或者负载电容较大时,可在信号源与放大器、放大器与负载之间插入射极跟随器作为隔离,利用射极跟随器的阻抗变换作用,减少信号源内阻 \(R_s\) 和容性负载 \(C_L\) 的影响。

最后需要强调的是,虽然普遍认为带宽越大越好,但是在实际电路应用当中,面对一个已知的信号频率范围时,放大电路只需要具有与信号源频率相对应的带宽即可,这样既可以保证较大的增益,也可以将不需要的干扰信号隔离在带宽之外,确保放大信号的质量。如果盲目追求带宽的增大,不但会造成增益的损失,也可能将不需要放大的干扰信号引入放大电路,造成信号质量的下降。因此具体电路设计时,应当结合需求合理折中,用系统级的观点考量各个参数。

比较 3 种组态放大电路频率响应性能

有了前面共射放大电路的频率分析基础,本小节再来分析共集共基放大电路的高频响应。

共集放大电路频率响应分析

对下面的单晶体管共集放大电路进行频率响应分析:

这里仍然可以利用前面所得到的 \(\pi\) 模型获得该电路的高频等效电路:

可以看到其中的两个结电容 \(C_{b'e}\)\(C_{b'c}\),将会对放大电路的高频响应带来影响。

结电容 \(C_{b'c}\) 影响

由于交流通路当中,共极放大电路的集电极是接地的,因此电容 \(C_{b'c}\) 一端连接到 b' 另外一端接地,因为可以认为这是一个直接跨接在输入回路中的电容,而不像共射放大电路跨接在输入与输出回路之间,因此不存在密勒倍增效应,此外由于 \(C_{b'c}\) 本身非常小(通常在零点几至几皮法之间),只要信号源内阻 \(R_s\)\(r_{bb′}\) 较小,就可以保证其所在回路的时间常数非常小,从而使得结电容 \(C_{b′c}\) 对高频响应的影响非常小。

结电容 \(C_{b'e}\) 影响

这是一个跨接在输入端与输出端的电容,利用密勒定理将其等效为分别连接在输入回路与输出回路的两个电容,得到如下的等效电路:

观察输入回路的密勒等效电容 \(C_M\),根据密勒定理可以得到:

\[ C_M = (1-K) C_{b'e} \]

由于共集放大电路的增益 \(K\) 小于 1 且约等于 1,所以 \(C_M\) 远远小于 \(C_{b'e}\),这意味着该电容对于共集放大电路高频响应的影响非常小。

共集放大电路高频响应特点

通过对上述两个电容的讨论,就可以得到共集放大电路高频响应的如下特点:

  • 两个电容对于共集放大电路的高频响应都极小,所以共集电路的上限频率远远大于共射电路,理论分析表明,共集电路的 \(f_H\) 可以接近于晶体管的特征频率 \(f_T\)
  • 由于经过等效后的共集放大电路输入电容非常小,所以当信号源内阻较大的时候,仍然可以保证输入回路的时间常数较小,从而确保较宽的通频带,因此共集放大电路可用于输入的隔离级,以减小信号源内阻对于带宽的影响;
  • 由于共集放大电路的输出电阻非常小,当其接入容性负载时,仍然可以保证输出回路的上限频率非常高,从而具有较大的通频带宽,带容性负载能力较强,可以作为输出的隔离级

由此可见,共集放大电路除了具有阻抗变换电压跟随的特点以外,其频率特性也是它适用于隔离级的重要因素之一。

共基放大电路频率响应分析

接下来,再进行单晶体管共基放大电路高频特性的定性分析:

仍然利用 \(pi\) 模型得到上图所示的共基放大电路的高频等效电路:

在这里,可以认为基区体电阻 \(r_{bb'}\) 将会远远小于 \(R_L'\),忽略其带来的影响,就可以得到如下的近似等效电路:

此时,两个结电容 \(C_{b'e}\)\(C_{b'c}\) 分别连接在输入与输出回路,这里分别对它们带来的影响进行讨论。

结电容 \(C_{b'e}\) 影响

\(C_{b′e}\) 是直接连接在输入回路当中的,它就是共基放大电路的输入电容 \(C_i = C_{b′e}\),因而不存在密勒倍增效应,而且它与 \(C_{b′c}\) 无关。所以,共基放大电路的输入电容要比共射放大电路小得多。因为共基放大电路的输入电阻是三种组态当中最小的,所以由输入回路的时间常数所确定的上限频率 \(f_{H1}\) 非常的大,理论上可以约等于共基截止频率 \(f_{H1} \approx f_{\alpha}\)

结电容 \(C_{b'c}\) 影响

电容 \(C_{b′c}\) 位于输出回路,同样也不会存在密勒倍增效应。由于此时输出回路的时间常数由 \(R_{L'}\)\(C_{b′c}\) 共同确立,因此由输出回路确定的上限频率 \(f_{H2}\) 为:

\[ f_{H2} = \frac{1}{2 \pi R_L' C_{b'c}} \]

在上面等式中 \(R_L'\) 不大的情况下,仍然可以保证上限频率较大。同时需要注意,如果共基放大电路驱动的是一个容性负载,由于容性负载出现在输出回路必然会增大此时的电容,使得 \(f_{H2}\) 出现极大的下降,由此可见共基放大电路的带容性负载能力也不强

共基放大电路高频响应特点

通过前面的分析,也可以总结得到共基放大电路高频性能的如下特点:

  • 由于共基放大电路不存在密勒倍增效应,因此其上限频率远远大于共射放大电路 \(f_{H(CB)} >> f_{H(CE)}\),可以达到 \(f_{\alpha}\) 数量级,是三种组态当中最大的;
  • 由于共基放大电路的输入电阻非常小,因此即使信号源内阻较大,仍然可以确保输入回路具有较小的时间常数,从而维持较宽的通频带;
  • 由于共基放大电路的输出电阻比较大,当携带容性负载的时候,输出回路所确定的上限频率将会极大衰减,影响通频带;与共射放大电路类似,共基放大电路带容性负载能力也不强;
  • 电流增益约为 1,上限截止频率非常高可以达到约 \(f_\alpha\),输入电阻小输出电阻大,这些特性可以保证其较好的适应电流跟随要求,即在很宽的频率范围内,将输出电流接续至输出端;

下面的表格对 3 种组态放大电路的特点进行了分门别类的比较:

通过上表的比较可以发现,三种组态的放大电路,无论从通带特性还是频率特性都各有所长,如果希望获得一个宽带放大器(即在较宽的频段范围内依然具有较大增益),此时依然可以采用取长补短的思路,将共射放大电路作为主放大器,同时配合共基、共集放大电路改善其频率特性。例如下图,就是一个 共射共基级联放大器

由于共基放大电路的输入电阻成为了共射放大电路的集电极负载,因此共基放大电路的输入电阻较小,这样就会降低前级的电压放大倍数,使得整个放大电路的增益与单晶体管共射放大电路相当。同时,正是由于共基放大电路的输入电阻非常小,而其同时又是共射放大电路的负载,结合前面对于共射放大电路的分析,就可以得到经过密勒等效之后的前端输入回路的密勒等效电容 \(CM = C_{b′c} \cdot (1 + g_m R_{c})\),这里的 \(R_c\) 由于负载电阻(即共基放大电路的输入电阻)非常小衰减较大,因而密勒倍增电容的减小幅度也较大,从而有利于减小共射放大电路的等效输入电容 \(C'\),从而提高共射放大器的上限截止频率 \(f_H = \frac{1}{2πR'C'}\)

经过这样的组合之后,既能够保证共射放大电路的增益,同时也可以有效的拓展带宽,因此这种共射共基的级联放大电路被广泛应用于集成宽带放大器当中。

场效应管

场效应管EFT,Field Effect Transistor)是一种单极型晶体管以及电压控制元件,其热稳定性好,输入电阻较大,制作工艺简单,几乎所有集成电路都是场效应管为基本结构制作而成。

场效应管可以划分为结型JFET,Junction Field Effect Transistor)与绝缘栅型IGFET,Insulated Gate Field Effect Transistor)两种类型,同时根据导电沟道的不同,可以分别再划分为 N 沟道P 沟道两种类型,其中绝缘栅型场效应管还可以进一步划分为增强型耗尽型两大类。

结型场效应管

结型场效应分为 N 沟道P 沟道两种类型,它们的符号如下所示:

下面展示的是 N 沟道结型场效应管的实际结构示意图:

下面的 N 沟道结型场效应管在同一块 N 型半导体上制作出左右两个高掺杂的 P 区,并且将它们连接在一起形成栅极(Gate);而 N 型半导体的两端则分别引出漏极(Drain)源极(Source),P 区与 N 区的交界面形成耗尽层,漏极与源极之间的非耗尽层区域称为导电沟道

改变结型场效应管的栅极与源极之间电压 \(U_{GS}\) 的大小,就可以改变耗尽层的宽度,从而控制漏极电流 \(I_D\)。其工作原理类似于下图:源极(Source) 类似于水管,漏极(Drain) 类似于地漏,栅极(Gate) 则类似于阀门。水管具有水压,通过拧动水龙头的阀门,就可以控制水流大小。

N 沟道结型场效应管正常工作,需要在栅极与源极之间添加反向电压(即 \(u_{GS}<0\)),在漏极与源极之间添加正向电压 \(u_{DS}\),从而形成漏极电流 \(i_D\)。这样既可以确保栅极源极之间内阻较高的特点,又实现了 \(u_{GS}\) 对于沟道电流的控制。

工作原理

这里通过栅-源电压 \(u_{GS}\) 和漏-源电压 \(u_{DS}\) 对导电沟道的影响,来说明结型场效应管的工作原理:

\(u_{DS} = 0V\),即漏极和源极短路时,\(u_{GS}\) 对于导电沟道的控制作用:

  1. \(u_{DS} = 0V\)\(u_{GS} = 0V\) 时,耗尽层很窄,导电沟道很宽,如上面左图所示;
  2. \(u_{GS}\) 增大时,耗尽层加宽,沟道变窄电阻增大,如上面中间图片所示;
  3. \(u_{GS}\) 增大至某个数值时,耗尽层闭合,沟道消失电阻趋于无穷大,此时 \(u_{GS}\) 的值称为夹断电压 \(u_{GS(off)}\)

\(u_{GS}\)\(u_{GS(off)} \sim 0V\) 之间的某个固定值时,\(u_{DS}\) 对于漏极电流 \(i_D\) 的影响:

  1. 如果 \(u_{DS} = 0\),虽然存在由 \(u_{GS}\) 确定的一定宽度导电沟道,由于漏极与源极之间的电压为零,漏极电流 \(i_D\) 同样为零;
  2. 如果 \(u_{DS} > 0\),漏极电流 \(i_D\) 从漏极与源极之间流过,使得沟道中各点与栅极之间的电压不再相同,而是沿着沟道从源极到漏极逐渐增大,造成靠近漏极一侧的耗尽层比靠近源极一侧的更宽,如上面左图所示;
  3. 由于栅极与漏极之间的电压 \(u_{GD} = u_{GS} - u_{DS}\),所以当 \(u_{DS}\) 从零逐渐增大时,\(u_{GD}\) 将会逐渐减小,靠近漏极一侧的导电沟道必将随之变窄。但是,只要栅极与漏极之间不出现夹断区域,基本上沟道电阻仍然决定着栅极与源极电压 \(u_{GS}\),因此,电流 \(i_D\) 将会随着 \(u_{DS}\) 的增加而线性增大,栅极与源极之间呈现电阻特性。一旦 \(u_{DS}\) 的增大让 \(u_{GD}\) 等于 \(U_{GS(off)}\),漏极一则的耗尽层将会出夹断区,则称 \(u_{GD} = U_{GS(off)}\)预夹断,如上面中间示意图所示;
  4. 如果 \(u_{DS}\) 继续增大,当 \(u_{GD} < U_{GS(off)}\) 的时候,耗尽层闭合部分将沿沟道方向延伸,即夹断区不断加长。此时电子从漏极向源极定向移动的阻力加大,导致 \(i_D\) 减小;而随着 \(u_{DS}\) 的增大,使得漏极与源极之间的纵向电场增强,必然导致 \(i_D\) 增大。这两种 \(i_D\) 的变化趋势相互抵消,\(u_{DS}\) 的增大几乎全部施加在夹断区,用于克服夹断区对于 \(i_D\) 的阻力。因此,从外部看 \(u_{DS}\) 增大时 \(i_D\) 几乎不变,即 \(i_D\) 仅仅由 \(U_{GS}\) 决定,表现出 \(i_D\) 的恒流特性,如上面右图所示;

\(u_{GD} = (u_{GS} - u_{DS}) < u_{GS(off)}\),即 \(u_{DS} > u_{GS} - u_{GS(off)}\) 的情况下,当 \(u_{DS}\) 为一个常量时,对于确定的 \(u_{GS}\) 都会有确定的 \(i_D\),即可以通过 \(u_{GS}\) 控制 \(i_D\) 的大小。场效应管采用低频跨导 \(g_m\) 来描述栅极源极电压对于漏极电流的控制作用:

\[ g_m = \frac{\Delta i_D}{\Delta u_{GS}} \]

综上所述,可以得到下面的结论:

  1. \(u_{GD} > u_{GS(off)}\) 时,对于不同的 \(u_{GS}\) 漏极与源极之间呈现不同电阻值;
  2. \(u_{GD} = u_{GS(off)}\) 时,漏极与源极之间预夹断;
  3. \(u_{GD} < u_{GS(off)}\) 时,\(i_D\) 仅仅决定于 \(u_{GS}\),而与 \(u_{DS}\) 无关,此时可将 \(i_D\) 近似为由 \(u_{GS}\) 控制的电流源;

输出特性

输出特性曲线描述当栅极源极电压 \(u_{GS}\) 为常量时,漏极电流 \(ip\) 与漏极源极之间的电压 \(u_{DS}\) 之间的函数关系:

\[ i_D = f(u_{DS}) |_{u_{GS} = 常数} \]

每一个 \(u_{GS}\) 都对应一条曲线,因此场效应管的输出特性曲线是由一系列曲线构成的:

根据上面的场效应管输出特性曲线,可以将场效应管划分为 3 个工作区域:

  1. 可变电阻区:也称为非饱和区,上图中的虚线部分为预夹断轨迹,由每条曲线上使得 \(u_{GD} = u_{GS(off)}\) 的点连接而成;\(u_{GS}\) 越大,预夹断时的 \(u_{DS}\) 值也愈大,该区域当中曲线可以近似为不同斜率的直线。当 \(u_{GS}\) 确定时,直线的斜率也会被唯一确定,直线斜率的倒数为漏极与源极之间的等效电阻,因此该区域中,可以通过改变 \(u_{GS}\) 的大小改变漏极源极等效电阻的阻值,故称之为可变电阻区。
  2. 恒流区:也称为饱和区,当 \(u_{GD} < u_{GS(off)}\) 时,各条曲线可以近似为一系列横轴的平行线,当 \(u_{DS}\) 增大时,\(i_D\) 仅略有增大,因此可以将 \(i_D\) 近似为电压 \(u_{GS}\) 控制的电流源;
  3. 夹断区:当 \(u_{GS} < u_{GS(off)}\) 时,导电沟道被夹断 \(i_D \approx 0\),通常将让 \(i_D\) 等于某个微小电流(例如 5A)时的 \(u_{GS}\) 定义为夹断电压 \(u_{GS(off)}\)
  4. 击穿区:当 \(u_{DS}\) 增大到一定程度时,漏极电流会陡然增大,场效应管被瞬时击穿,由于这种击穿是因为栅极漏极之间耗尽层破坏而造成的,所以如果栅极源极的击穿电压为 \(U_{(BR)GD}\),则漏极源极击穿电压 \(U_{(BR)DS} = u_{GS} - U_{(BR)GD}\)。因此,当 \(u_{GS}\) 增大时,漏极源极击穿电压 \(U_{(BR)DS}\) 将会增大;

注意恒流区是模拟电子当中主要采用的区域,而可变电阻区夹断区则是数字电路广泛采用的工作状态。

转移特性

转移特性曲线描述的是当漏极源极电压 \(u_{DS}\) 为常量时,漏极电流 \(i_D\) 与栅极源极电压 \(u_{GS}\) 之间的函数关系:

\[ i_D = f(u_{GS}) |_{u_{DS} = 常数} \]

当场效应管工作在恒流区,因为一系列输出特性曲线都可以近似的平行于横轴,所以可以采用一条转移特性曲线代替恒流区的所有曲线。在输出特性曲线的恒流区中做横轴的垂线,读取垂线与各曲线交点的坐标值,建立 \(u_{GS}\)\(i_D\) 的坐标系,连接各点所得到的曲线就是转移特性曲线,由此可见转移特性曲线输出特性曲线具有严格的对应关系:

结型场效应管的转移特性曲线,也可采用如下的肖克莱方程进行表示:

\[ i_D = I_{DSS}(1 - \frac{u_{GS}}{u_{GS(off)}})^2,其中 U_{GS(off)} < u_{GS} < 0 \]

上面等式中的 \(I_{DSS}\) 是在 \(u_{GS} = 0\) 情况下发生预夹断时的 \(I_D\),称为饱和漏极电流。当场效应管工作在可变电阻区时,对于不同的 \(u_{DS}\),转移特性曲线都将会有很大的差别。

上面内容主要介绍了 N 沟道的结型场效应管,下面的表格分别列出了 N 沟道P 沟道结型场效应管的符号、输出特性、转移特性比较:

绝缘栅型场效应管

绝缘栅型场效应管的栅极与源极、栅极与漏极之间均采用二氧化硅绝缘层进行隔离,栅极采用金属铝,故又称为金属氧化物半导体场效应管MOSFET,Metal Oxide-Semiconductor FET),其栅-源之间的电阻比结型场效应管更大,可以达到 \(10^{10}Ω\) 以上,且相比结型场效应管温度稳定性更好,集成化时制造工艺简单,因而广泛应用于集成电路。

绝缘栅型场效应管也大体分为 N 沟道P 沟道两类,每一类又进一步划分为增强型耗尽型两种:

  • 增强型:栅-源电压 \(u_{GS}\) 为零时,漏极电流也为零;
  • 耗尽型:栅-源电压 \(u_{GS}\) 为零时,漏极电流不为零;

N 沟道增强型 MOS 管

下图是 N 沟道增强型 MOS 管的结构示意图,它以一块低掺杂的 P 型硅片为衬底,利用扩散工艺制作出 2 个高掺杂的 N 区,分别引出源极 S漏极 D 两个电极,半导体表面制作一层二氧化硅绝缘层,然后再覆盖一层金属铝,引出电极,作为栅极 G

通常将 P 型硅片衬底与源极连接在一起使用,栅极和衬底各相当于一个极板,中间是绝缘层,从而形成电容效应。当栅-源电压发生变化时,将会改变衬底绝缘层处的感应电荷数量,从而控制漏极电流的大小,这个工作原理与结型场效应管并不相同。当栅-源极之间不加电压时,漏-源极之间只是两个背向的 PN 结,不存在导电沟道,因而即使漏-源极之间添加电压,也不会产生漏极电流。

\(u_{DS}=0\)\(u_{GS}>0\) 时,由于二氧化硅的存在,栅极电流为零。但此时栅极金属层将会聚集正电荷,从而排斥 P 型衬底靠近二氧化硅一侧的空穴,导致剩下不能移动的负离子区形成耗尽层

\(u_{GS}\) 增大时,一方面耗尽层变宽,另一方面衬底的自由电子被吸引到耗尽层与绝缘层之间,形成一个称为反型层的 N 型薄层,该反型层就构成了漏-源极之间的导电沟道。形成沟道的栅-源极电压称为开启电压 \(U_{GS(th)}\)\(u_{GS}\) 越大,反型层就越厚,导电沟道的电阻就会越小。

\(u_{GS}\) 是大于 \(U_{GS(th)}\) 的一个确定值时,如果在漏-源极之间加正向电压,则将会产生一定的漏极电流。此时,\(u_{DS}\) 的变化对导电沟道的影响与结型场效应管相似。即当 \(u_{DS}\) 较小时,其增大会导致 \(i_D\) 线性增大,沟道沿源-漏方向逐渐变窄。

一旦 \(u_{DS}\) 增大到致使 \(u_{GD} = U_{GS(th)}\),即 \(u_{DS} = u_{GS} - U_{GS(th)}\) 时,沟道在漏极一侧出现夹断点,称为预夹断

如果 \(u_{DS}\) 继续增大,夹断区将会随之延长,而且 \(u_{DS}\) 的增大部分几乎全部用于克服夹断区对于漏极电流的阻力。从外部看,\(i_D\) 几乎不会由于 \(u_{DS}\) 的增大而变化,场效应管进入恒流区,\(i_D\) 几乎仅仅由 \(u_{GS}\) 决定。

\(u_{DS} > u_{GS} - U_{GS(th)}\) 时,对应于每一个 \(u_{GS}\) 就有一个确定的 \(i_D\)。此时,可以将 \(i_D\) 视为电压 \(u_{GS}\) 控制的电流源。

下图分别为 N 沟道增强型 MOS 管的转移特性曲线输出特性曲线

MOS 管同样拥有 3 个工作区域:可变电阻区恒流区夹断区\(i_D\)\(u_{GS}\) 的近似关系式为:

\[ i_D = I_{DO}(\frac{u_{GS}}{U_{GS(th)}} - 1)^2,其中 I_{DO} 为 u_{GS} = 2U_{GS(th)} 时的 i_D \]

N 沟道耗尽型 MOS 管

制造 MOS 管时,向二氧化硅绝缘层当中掺入大量正离子,那么即使 \(u_{GS} = 0\),在正离子作用下 P 型衬底表层也存在反型层,即漏-源之间存在导电沟道。只要在漏-源之间施加正向电压,就会产生漏极电流。

\(u_{GS}\)时,反型层宽度加大,沟道电阻变小,\(i_D\) 增大;反之,当 \(u_{GS}\)时,反型层变窄,沟道电阻变大,\(i_D\) 减小。而当 \(u_{GS}\) 从零减小到一定值时,反型层消失。漏-源极之间的导电沟道消失,\(i_D = 0\);此时的 \(u_{GS}\) 称为夹断电压 \(u_{GS(off)}\)

与 N 沟道结型场效应管相同,N 沟道耗尽型 MOS 管的夹断电压也为负值。但是,前者只能在 \(u_{GS} < 0\) 的情况下工作,而后者的 \(u_{GS}\) 可以在正、负值一定范围内控制 \(i_D\),并且仍然保持栅-源间具有非常大的绝缘电阻。

下面表格分别列出了增强型耗尽型绝缘栅型场效应管 N 沟道P 沟道的符号、输出特性、转移特性比较:

主要参数与选用

直流参数

  1. 开启电压 \(U_{GS(th)}\):当 \(U_{DS}\) 为常量时,使得\(i_D\) 为规定的微小电流(例如 \(5μA\) 时)所需的最小 \(|u_{GS}|\) 值,该参数为增强型 MOS 管的参数;
  2. 夹断电压 \(U_{GS(off)}\):该参数是在 \(U_{DS}\) 为常量情况下 \(i_D\) 为规定的微小电流(例如 \(5μA\) 时)的 \(u_{GS}\) 值,该参数为结型场效应管和耗尽型 MOS 管的参数;
  3. 饱和漏极电流 \(I_{DSS}\):对于结型场效应管,在 \(u_{GS} = 0V\) 情况下产生预夹断时的漏极电流;
  4. 直流输入电阻 \(R_{GS(DC)}\):为栅-源电压与栅极电流之比,结型场效应管的该参数大于 \(10^7Ω\),而 MOS 管的该参数大于 \(10^9Ω\)

交流参数

  1. 极间电容:场效应管的三个极之间都存在极间电容,通常栅-源电容 \(C_{gd}\)栅-漏电容 \(C_{ds}\) 约等于 \(1pF \sim 3pF\),而漏-源电容 \(C_{ds}\) 约为 \(0.1pF \sim 1pF\)。高频电路需要考虑极间电容的影响,场效应管的最高上限工作频率 \(f_M\) 参数已经综合考虑了三种电容的影响。
  2. 低频跨导 \(gm\):表示 \(u_{GS}\)\(i_D\) 控制作用的强弱,当场效应管工作在恒流区并且 \(U_{DS}\) 为常量时,\(i_D\) 的微小变化量 \(\Delta i_D\) 与引起它变化的 \(\Delta u_{GS}\) 之间的比值,称为低频跨导

\[ g_m = \frac{\Delta i_D}{\Delta u_{GS}} \vert_{U_{DS} = 常数} \]

注意\(gm\) 的单位为 \(S\)(西门子),实质为转移特性曲线上某一点切线的斜率。

极限参数

  1. 最大漏极电流 \(I_{DM}\):场效应管正常工作时,漏极电流的上限值;
  2. 最大耗散功率 \(P_{DM}\):该参数取决于场效应管允许的温升,一旦确定以后,就可以在输出特性上绘制出临界最大功耗线;再根据 \(I_{DM}\)\(U_{(BR)DS}\),就可以得到晶体管的安全工作区;
  3. 击穿电压:场效应管进入恒流区以后,致使 \(i_D\) 骤然增大的 \(u_{DS}\) 称为漏-源击穿电压 \(U_{(BR)DS}\),如果 \(u_{DS}\) 超过该值会导致损坏。对于结型场效应管,栅极与沟道间 PN 结反向击穿的 \(u_{GS}\) 为栅-源击穿电压 \(U_{(BR)GS}\)。对于绝缘栅型场效应管,绝缘层击穿的 \(u_{GS}\) 为栅-源击穿电压 \(U_{(BR)GS}\));

注意:由于 MOS 管的栅-衬之间电容较小,只要少量的感应电荷就会产生很高的电压,而由于 \(R_{GS(DC)}\) 通常较大,感应电荷难以释放,以至于其产生的高压会让较薄的绝缘层击穿损坏。因此,无论是存放还是在电路里,都应当为栅-源极提供直流通路,从而避免栅极悬空;同时在焊接时,需要保证电烙铁接地良好。

场效应管与晶体管比较

只允许从信号源获取较少电流的情况下,即信号源内阻较高时,可以选用场效应管,否则应选用晶体管;在低功耗、弱信号、超高频、环境温度变化较大、信噪比要求较高的场合,都可以选用场效应管

场效应管放大电路

观察下面场效管特性曲线图可以发现,N 沟道P 沟道的场效应管呈现 180° 对称,而耗尽型场效应管在 \(u_{GS}\) 为零时,具有漏极饱和电流 \(I_{DSS}\)

除了使用上述图形化的方式反映场效应管特性之外,还可以采用上图的肖克莱方程来反映增强型与耗尽型的场效应管,输入 \(u_{GS}\) 与输出 \(I_{D}\) 之间的关系如下所示:

\[ \begin{cases} i_D = I_{DSS}(1 - \frac{u_{GS}}{u_{GS(off)}})^2 \\ i_D = I_{DO}(\frac{u_{GS}}{u_{GS(off)}} - 1)^2 \\ \end{cases} \]

采用场效应管搭建放大电路,同样需要从静态(确定合适的静态工作点,让场效应管工作在恒流区,由于场效应管的恒流区比晶体管更为宽阔,加之场效应管属于电压控制元件,所以场效应管放大电路的偏置电路设计更为简单)和动态(确保将交流信号正确的传递给负载)两个方面保证电路需求。

基于动态与静态的双重要求,可以采用场效应管构成共源极共漏极共栅极三种基本组态的放大电路:

注意:类似于晶体管放大电路类型的划分,分别找到信号的输入与输出端,而未使用到的电极就是共 X 极放大电路。

静态分析

合理的静态偏置是放大的基本前提,对于晶体管而言需要发射结正偏,集电结反偏,但是对于场效应管,则需要满足如下三点要求:

  1. 栅极设置合理的偏置电压,而无需设置偏置电流;
  2. 注意各种类型场效应管对于偏置极性的要求,例如:耗尽型需要 \(u_{GS}\) 反偏夹断导电沟道,增强型则需要 \(u_{GS}\) 正偏产生导电沟道;
  3. 采用偏置电路稳定场效应管放大电路的静态工作点;

基于上述要求,常用的场效应管偏置电路分为固定偏置电路自给偏压电路分压式自偏压电路三种。对于场效应管放大电路的静态分析也分别可以采用图解法估算法,这里重点采用估算法进行场效应管放大电路的静态分析。

固定偏置电路

下面电路当中,输入信号从栅极进入,输出信号则取自于漏极,因此是一个共源放大电路。

  • 核心元件 \(T\) 是一个 N 沟道耗尽型 MOS 管;
  • 直流电源 \(V_{DD}\) 提供能量;
  • 直流电源 \(V_{GG}\) 提供输入回路偏置;
  • 耦合电容 \(C_1\)\(C_2\) 起到隔直通交的作用;
  • 漏极电阻 \(R_D\) 将变化的电流转化为变化的电压;

根据 N 沟道耗尽型 MOS 管的特性曲线,为了保证其工作于恒流区,必须满足 \(U_{GS}\) 为负值,而且 \(U_{DS}\) 始终为正值,同时要让 \(U_{DG}\) 大于夹断电压 \(|U_P|\)。这里将耦合电容视为开路,就可以得到该电路的直流通路

可以看到,由于 MOS 管的栅极电流几乎为零,这意味着 \(R_G\) 上几乎没有电压降,\(V_{GG}\) 的值几乎就决定着栅极电位,即此时 \(U_{GS}\) 等于 \(-V_{GG}\)。因而只要选择合适的 \(V_{GG}\) 就可以得到满足需求的 \(U_{GS}\),使得场效应管工作于恒流区。通过这样的定性分析以后,就可以很容易的进行静态分析:

\[ \begin{cases} 根据上述分析已知 & \implies U_{GS} = -V_{GG} \\ N 沟道耗尽型 MOS 管肖克莱方程 & \implies I_D = I_{DSS}(1 - \frac{u_{GS}}{u_{GS(off)}})^2 \\ 输出回路的基尔霍夫电压方程 & \implies U_{DS} = V_{DD} - I_D R_D \end{cases} \]

联立求解以后,就可以得到整个放大电路的静态工作点 \(Q(U_{GSQ}, I_{DQ}, U_{DSQ})\),从而完成静态分析。

注意:上述推倒过程没有求解 \(I_{GQ}\) 的原因在于场效应管栅极电流几乎为零,因此静态分析时就将其视为进行处理。

上面的分析过程当中,由于栅极的直流偏置电压是一个固定值 \(U_{GS} = -V_{GG}\),所以称之为固定偏压式电路。这种类型偏置电路的 \(I_D\) 表达式当中,存在 \(I_{DSS}\)\(u_{GS(off)}\) 两个温度敏感的变量,所以当温度变化时,输出回路的静态工作点将会出现变化,因此场效应管的这种固定偏置电路与晶体管的固定偏置类似,同样不能起到稳定静态工作点的作用,因此这样的偏置电路实际应用较少。

自给偏压电路

同样是由 N 沟道耗尽型 MOS 管构成的共源放大电路,删除了 \(V_{GG}\),只保留一个栅极电阻 \(R_G\),而且源极上多出一个电阻 \(R_S\)

在直流通路当中,可以看到由于栅极几乎没有电流,这就意味 \(R_G\) 上面没有电压降,因此静态时的栅极电位 \(U_G = 0\)

而源极电阻 \(R_S\) 的出现使得电路具备了全新的含义,对于耗尽型 MOS 管而言,当 \(U_{GS} = 0\) 的时候,在 \(V_{DD}\) 的作用下,漏极会有电流出现,该漏极电流作用于 \(R_S\) 就会产生电压降 \(I_D \cdot R_S\),该电压降恰好就是源极电位 \(U_S\),因此就可以得出静态下的栅源偏置电压 \(U_{GS}\)

\[ U_{GS} = U_G - U_S = - I_D R_S \]

这样一个反偏的 \(U_{GS}\) 恰好就是耗尽型 MOS 管所需要的偏置电压,该电路完全可以满足偏置需求。由于该偏置电压完全由场效应管自身的电流 \(I_{DSS}\) 产生,所以被称为自给偏压电路。根据前述的定性分析,对于自给偏压式电路的静态分析也就一目了然:

\[ \begin{cases} 根据上述分析已知 & \implies U_{GS} = -I_D \cdot R_S \\ N 沟道耗尽型 MOS 管肖克莱方程 & \implies I_D = I_{DSS}(1 - \frac{U_{GS}}{U_{P}})^2 \\ 输出回路的基尔霍夫电压方程 & \implies U_{DS} = V_{DD} - I_D (R_D + R_S) \end{cases} \]

同样联立进行求解之后,就可以得到整个放大电路的静态工作点 \(Q(U_{GSQ}, I_{DQ}, U_{DSQ})\) 完成静态分析。

由于 \(R_S\) 的存在,使得该电路除了可以正确设置偏置以外,还具有稳定静态工作点的作用。当温度升高时,漏极电流 \(I_D\) 增大,进而导致 \(U_{GS}\) 减小,通过转移特性可以知道 \(U_{GS}\) 的减小,又会降低本来应该增大的 \(I_D\),从而稳定了静态工作点。本质上,这里 \(R_S\) 扮演的角色与晶体管射极偏置当中的 \(R_E\) 相同,都是引入了直流负反馈。这种方式虽然比固定偏压式电路更为优越,但是缺点在于增强型的场效应管无法采用这种方式,因为增强型场效应管在 \(U_{GS} = 0\) 时并没有形成导电沟道,自然就不会产生漏极电流,所以自给偏压电路仅适用于耗尽型场效应管

分压式自偏压电路

下图左侧的场效应管偏置电路,与前面分析过的晶体管分压偏置共射放大电路颇为相似。这里依然由 N 沟道耗尽型 MOS 管构成共源放大电路,其中 \(R_{G1}\)\(R_{G2}\) 形成了对电源 \(V_{DD}\) 的串联分压,而配合射极电阻 \(R_S\) 共同形成了偏置电路。而实际电路应用当中,广泛采用的是下图右侧的分压式自偏压电路:

同样的,将上图右侧的耦合电容和旁路电容开路,就可以得到对应的直流通路:

这里需要重点关注栅极电位,由于场效应管的栅极电流为零,所以 \(R_{G3}\) 上的电流也为零,这意味着此处没有电压降,此时上图两处标红位置的电位相等,从而得出如下的表达式:

\[ \begin{cases} 源极电位 \implies U_S = I_D R_S \\ 串联分压 \implies U_G = \frac{R_{G2}}{R_{G1} + R_{G2}} V_{DD} \\ \end{cases} \implies U_{GS} = U_G - U_S = \frac{R_{G2}}{R_{G1} + R_{G2}} \cdot V_{DD} - I_D R_S \]

根据上面最后推导出的表达式可以发现,当使用不同类型的场效应管时,可以通过调整元件参数让偏置电压 \(U_{GS}\) 即可以为正也可以为负,因而适用于所有类型的场效应管。

注意:此处存在一个疑问,那就是由于上面电路中 \(R_{G3}\) 上的电流为零,所以并没有出现在上述方程组当中,下一节动态分析时将会明确该元件的用途。

基于上面的定性讨论,对于这种分压式自偏压电路的静态分析也就水到渠成:

\[ \begin{cases} 根据上面得到的 U_{GS} 表达式 & \implies U_{GS} = \frac{R_{G2}}{R_{G1} + R_{G2}} \cdot V_{DD} - I_D R_S \\ N 沟道耗尽型 MOS 管肖克莱方程 & \implies I_D = I_{DSS}(1 - \frac{U_{GS}}{U_{P}})^2 \\ 输出回路的基尔霍夫电压方程 & \implies U_{DS} = V_{DD} - I_D (R_D + R_S) \end{cases} \]

最后,联立进行求解就可以得到放大电路的静态工作点 \(Q(U_{GSQ}, I_{DQ}, U_{DSQ})\),进而完成静态分析。

微变等效模型

场效应管与晶体管一样都是一种典型的非线性元件,因而可以采用与晶体管相似的思路,运用等效建模的理念建立起线性模型,从而将含有场效应管的放大电路等效为一个线性电路,进而简化分析过程:

这里,可以将场效应管视为一个双端口网络,栅极与源极之间视为输入端口,漏极与源极之间视为输出端口。接下来,从场效应管的特性曲线出发,研究输入与输出端口的关系:

由于场效应管的输入电流几乎为零,所以输入端口 \(i_G\) 可以近似约等于零;根据漏极特性,可以反映出漏极输出电流 \(i_D\) 是输入电压 \(u_{GS}\) 与输出电压 \(u_{DS}\) 的一个函数:

\[ \begin{cases} 输入端口 \implies i_G = 0 \\ 输出端口 \implies i_D = f(u_{GS}, u_{DS}) \end{cases} \]

类似于前面晶体管的建模过程,这里可以对上面的方程组进行全微分,即可得到如下的方程:

\[ \begin{cases} 交流作用下输入端口 \implies di_G = 0(可视为开路) \\ 交流作用下输出端口 \implies di_D = \biggl(\frac{\delta i_D}{\delta u_{GS}} \bigg \vert_{U_{DS}} du_{gs} \biggl) + \biggl(\frac{\delta i_D}{\delta u_{DS}} \bigg \vert_{U_{GS}} du_{ds} \biggl) \implies \end{cases} \]

这里将输出端口的变换量,写作交流分量的形式:\(i_D = (\frac{\delta i_D}{\delta u_{GS}} \vert_{U_{DS}} u_{gs}) + (\frac{\delta i_D}{\delta u_{DS}} \vert_{U_{GS}} u_{ds})\),这里 \(i_D\) 等于两个量之和,其中 \(u_{ds}\)\(u_{gs}\) 前面的参数都是变化的电流与电压的比值,即属于电导的量纲。

  • 第 1 个参数 \(\frac{\delta i_D}{\delta u_{GS}} \vert_{U_{DS}} u_{gs} = g_m\) 实质就是前面讲解过的低频跨导,其物理含义反映了输入电压 \(u_{gs}\) 对于输出电流 \(i_D\) 的控制作用,体现了场效应管的电压控制特性。而几何含义在漏极特性上也可以得到直观的反映,即体现出恒流区对于确定的 \(u_{DS}\) 输出特性曲线,在纵向上的疏密程度;
  • 第 2 个参数 \(\frac{\delta i_D}{\delta u_{DS}} \vert_{U_{GS}} u_{ds}l = \frac{1}{r_{ds}}\) 反映的是在 \(u_{GS}\) 为常量的情况下,\(i_D\) 的变化量与 \(u_{DS}\) 的变化,这显然也是一个电导,反映的输出电压对于输出电流的控制关系,即输出电导,也称为漏极电阻率。电导是电阻的倒数,因此这里的 \(r_{ds}\) 就称为输出电阻(类似于晶体管当中的输出电阻 \(r_{ce}\))。其几何特性也可以在漏极特性上反映,指的是对于一个确定的 \(u_{GS}\),当 \(u_{DS}\) 发生变化的时候,特性曲线与坐标系横轴的倾斜程度;

经过上述讨论之后,将 2 个参数代入表达式就可以得到如下的方程:

\[ i_D = (\frac{\delta i_D}{\delta u_{GS}} \vert_{U_{DS}} u_{gs}) + (\frac{\delta i_D}{\delta u_{DS}} \vert_{U_{GS}} u_{ds}) \implies i_d = g_m u_{gs} + \frac{1}{r_{ds}} u_{ds} \]

根据上面推导的等式,找到对应的元件并且绘制模型,就可以得到如下场效应管的微变等效模型

上图输入端口经过前面讨论,可以被视为开路。而输出端口由于等式是 2 个电流量之和,根据并联分流,输出端口可以等效为 2 个并联的支路:

  1. 第 1 条支路 \(g_m u_{gs}\),这部分的电流受控于输入电压 \(u_{gs}\),可以使用电压控制的电流源进行表示;
  2. 第 2 条支路 \(\frac{1}{r_{ds}} u_{ds}\) 则是输出电压 \(u_{ds}\) 与电导 \(\frac{1}{r_{ds}}\) 的乘积,可以使用并联的输出电阻表示;

由于从输入端看进去,场效应管可以视为开路。这意味着场效应管的输入电阻非常大,可以近似为开路状态。而从输出端观察,输出回路被等效为一个电压控制电流源,反映了场效应管输入电压对于输出电流的控制作用,体现了电压控制元件的特性。其中,等式里的 \(g_m\)\(r_{ds}\) 都可以通过特性曲线的作图方法实际测量得到,其中的 \(r_{ds}\) 通常为几十千欧到几百千欧,通常远远大于负载电阻,因此在不影响输出电流的前提下,可以将其视为开路,从而得到如下场效应管的简化微变等效模型

参数 \(g_m\) 可以通过查询数据手册得到,该参数是在某一个静态值下面的参考值,通过对肖克莱方程的求导,可以得到如下 \(g_m\) 的表达式:

\[ \begin{cases} i_d = g_m u_{gs} + \frac{1}{r_{ds}} u_{ds} \\ g_m = \frac{\delta i_D}{\delta u_{GS}} \bigg \vert_{U_{DS}} \end{cases} \implies g_m = \frac{2 I_{DO}}{U_T} (\frac{u_{GS}}{U_T} - 1) \bigg \vert_{U_{DS}} \implies g_m = \frac{2}{U_T} \sqrt{I_{DO} I_D} \]

分析上面推导最后的表达式,可以发现 \(g_m\) 的值受制于漏极的静态工作点,这意味着 \(g_m\) 这个动态参数与晶体管的 \(r_{be}\) 一样,也受到了静态工作点的影响,静态工作点 Q 同样是沟通静态与动态的桥梁。

至此,我们就已经利用了同样的思路与方法,分别得到了晶体管的 H 参数等效模型,以及场效应管的微变等效模型,两者的特点与区别如下面的表格所示:

注意:场效应管的 \(g_m\) 与晶体管的 \(\beta\) 虽然物理含义不同,但是计算过程当中两者均可以像上面表格最后一行那样进行换算。

与晶体管相似,场效应管的各个电极之间也会存在极间电容,根据场效应管的物理结构,可以得到场效应管的高频等效模型

上面的高频等效模型当中,输入电阻 \(r_{gs}\) 和输出电阻 \(r_{ds}\) 非常大,可以视为开路,这样就可以得到简化的高频等效模型

上面模型中的 \(C_{dg}\) 仍然跨接在输入与输出回路之间,不利于进行求解。当然,也可以借助前面介绍的密勒定理将其进行单向化,然后再分别等效为:

\[ \begin{cases} 栅极 G 与源极 S 之间的等效电容 \implies C'_{gs} = C_{gs} + (1 - \dot{K}) C_{gd},其中 \dot{K} = -g_m R'_L \\ 漏极 D 与源极 S 之间的等效电容 \implies C'_{ds} = C_{ds} + \frac{\dot{K} - 1}{\dot{K}} C_{gd},其中 \dot{K} = -g_m R'_L \end{cases} \]

根据之前讨论过的密勒倍增效应,输出回路的时间常数比输入回路小得多,故分析频率特性时可以忽略 \(C'_{ds}\) 的影响。因此,上面得到的简化高频等效模型可以单向化为如下的高频等效模型

利用上图这个高频等效模型,就可以开展场效应管放大电路的频率响应分析。

动态分析

场效应管构成的三种基本组态放大电路:共源极放大电路共漏极放大电路共栅极放大电路,其中共栅极放大电路输入电阻较小,不利于发挥场效应管输入电阻较大的优势,实际应用较少。因此,本小节只针对共源共漏两种放大电路展开动态分析。

共源放大电路

耗尽型 N 沟道 MOS 管所构成的共源放大电路,采用了前面介绍过的分压式自给偏置方式。

动态分析要建立在静态分析基础之上,这里假设已经完成了静态分析,得到了其静态工作点。而动态分析的思路与晶体管类似,首先也需要得到该电路的交流通路,这里将上面电路中的耦合电容 \(C_1\)\(C_2\) 以及旁路电容 \(C_s\) 视为短路,同时将 \(V_{DD}\) 对地短路,就得到了这个电路的交流通路,然后再将场效应管替换为其微变等效模型,最终得到该共源放大电路的微变等效电路

接下来,基于上面的微变等效电路,对其动态性能分别进行讨论:

电压放大倍数

电压放大倍数 是输出电压 \(u_o\) 与输入电压 \(u_i\) 的比值,分析思路不变,依然需要通过同时出现在输入与输出回路的中间量 \(u_{gs}\),分别表示出 \(u_o\)\(u_i\)

\[ \begin{cases} 输出电压 \implies u_o = -g_m u_{gs} \cdot R'_L,其中 R'_L = R_D // R_L \\ 输入电压 \implies u_i = u_{gs} \end{cases} \implies \dot{A} = -g_m R'_L \]

如果将上一节得到的 \(g_m = \frac{\beta}{r_{be}}\) 代入上面的推导结果,得到的结果与共射放大电路的放大倍数形式完全相同,而且同样是一个反相放大器,由于 \(g_m\) 与静态工作点密切相关,这就意味着电压放大倍数这个动态性能指标,也会与静态工作点存在密切关系。

输入电阻与输出电阻

输入电阻是从放大电路输入端看进去的等效电阻,基于上图的电路结构可以得到:

\[ R_i = R_{G3} + (R_{G1} // R_{G2}) \]

观察上面的等式可以发现,如果没有 \(R_{G3}\) 输入电阻 \(R_i\) 就会直接等于另外两个电阻的并联,从而极大的减小输入电阻,如果这里串联上一个较大的 \(R_{G3}\),就可以确保在不影响静态工作点的前提下,极大的提高输入电阻,因此这里 \(R_{G3}\) 的作用就是增大输入电阻

输出电阻 是从输出端看进去的戴维南等效电阻,这里仍然可以通过下面三步走的方式进行求解:

  1. 将负载开路;
  2. 将输入的交流信号短路;
  3. 外接激励电压源;

此时,由于输入的交流信号短路 \(u_{gs} = u_i = 0\),从而导致电压控制的受控电流源也等于零,可以近似为开路状态,由此可以得到:

\[ R_o = R_D \]

分析总结

进行到这里就已经完成了共源放大电路的动态分析,分别得到了其电压放大倍数输入电阻输出电阻

\[ \begin{cases} 电压放大倍数 &\implies \dot{A} = -g_m R'_L \\ 输入电阻 &\implies R_i = R_{G3} + (R_{G1} // R_{G2}) \\ 输出电阻 &\implies R_o = R_D \end{cases} \]

通过对上面三个参数的定性分析,不难发现场效应管组成的共源放大电路,电压放大倍数与输出电阻参数都与晶体管共射放大电路相似,只是由于更大的输入电阻参数 \(R_i\),而体现出了相对优越的性能。因而,可以认为场效应管共源放大电路晶体管共射放大电路是一对相互对应的电路。

注意:共源放大电路中的旁路电容 \(C_s\) 对于放大倍数与输入输出电阻等动态参数的影响,其作用类似于分压偏置共射放大电路当中的旁路电容 \(C_e\)

共漏放大电路

下图当中的共漏放大电路由 N 沟道增强型 MOS 管构成,依然采用可适用于所有类型场效应管的分压式自给偏置:

上面的共漏放大电路也称为源极输出器或者源极跟随器,这里仍然获取其交流通路,然后得到其微变等效电路

电压放大倍数

根据电压放大倍数的求取思路,仍然利用 \(u_{gs}\) 作为中间量分别找到 \(u_o\)\(u_i\) 的关系:

\[ \begin{cases} 输出电压 \implies u_o = g_m u_{gs} (R_S // R_L) \\ 输入电压 \implies u_i = u_{gs} + g_m u_{gs} (R_S // R_L) \end{cases} \implies \dot{A_u} = \frac{\dot{U_o}}{\dot{U_i}} = \frac{g_m R'_L}{1 + g_m R'_L},其中 R'_L = R_S // R_L \]

上面的电压放大倍数表达式没有了负号,说明共源放大电路是一个同相放大器,而且从数值关系上可以看到分母仅比分子多出一个1,这就意味着该电压放大倍数约等于1并不具备电压放大能力),这种同向放大并且放大倍数约为1的特性称为电压跟随特性,这也正是共漏放大电路被称为源极跟随器的原因所在。

输入电阻与输出电阻

输入电阻依然是类似于晶体管共射放大电路的表达形式:

\[ R_i = R_{G3} + (R_{G1} // R_{G2}) \]

通过上面的等式可以看到,如果选择较大的 \(R_{G3}\) 就可以获得较大的输入电阻。而输出电阻也依然遵循三步走的分析方法:

  1. 将负载断开;
  2. 在保留信号源内阻的基础之上,将信号源置零;
  3. 外加激励,求取 \(u_o\)\(i_o\) 所得到的输出电阻;

基于这一系列思路,就可以得到如下求取输出电阻的电路(注意电路当中电压、电流等参量的极性关系都要与外加激励保持一致):

基于基尔霍夫电流定律,考察上图右侧标红的小圈:

\[ i_o = i_{RS} + g_m u_{gs} = \frac{u_o}{R_S} + g_m u_{gs} \]

基于上图左侧圈出的回路,如果忽略掉信号源内阻 \(R_{us}\) 对于分压的影响,可以近似的得到:

\[ u_{gs} \approx u_o \]

联立这个两个方程,就可以得到输出电阻 \(R_o\) 的表达式:

\[ \begin{cases} i_o = i_{RS} + g_m u_{gs} = \frac{u_o}{R_S} + g_m u_{gs} \\ u_{gs} \approx u_o \end{cases} \implies R_o = \frac{u_o}{i_o} = \frac{1}{ \frac{1}{R_S} + g_m } \implies R_o = R_S // \frac{1}{g_m} \]

最后得到的表达式可以反映出 \(R_o\) 就是源极电阻 \(R_s\)\(\frac{1}{g_m}\) 的并联,这样的并联电阻数值上非常小,这就意味着共漏放大电路的带负载能力非常强。

分析总结

通过上述一系列的分析,最后就得到了共漏放大电路的各项动态性能指标:

\[ \begin{cases} 电压放大倍数 &\implies \dot{A_u} = \frac{g_m R'_L}{1 + g_m R'_L},其中 R'_L = R_S // R_L \\ 输入电阻 &\implies R_i = R_{G3} + (R_{G1} // R_{G2}) \\ 输出电阻 &\implies R_o = R_S // \frac{1}{g_m} \end{cases} \]

定性的分析之后可以发现,共漏放大电路的电压放大倍数约为1,而且同向,具有电压跟随的特性。此外,输入电阻非常大,输出电阻非常小,这样的特性与晶体管共集放大电路的特性非常相似。

注意:举一反三,分析场效应管共栅放大电路,也会发现其与晶体管共基放大电路具有特性上的相似之处。由此可见,分别由场效应管晶体管组成的 3 种组态放大电路具有一一对应的关系。

场效应管与晶体管放大电路比较

下面表格对场效应管构成的 3 种组态放大电路进行了比较,并且标识出与其功能相似的晶体管放大电路:

既然场效应管晶体管构成的放大器具有这样的相似关系,这里将具体电路转化为抽象模型,分析 6 种组态放大电路所具备的共同特性:

通过上面表格可以看到,三种类型的放大器都各有千秋,具体电路当中选择场效应管还是晶体管搭建放大电路,可以参考如下的原则:

  • 场效应管搭建的共源共漏共栅放大电路输入电阻要大于晶体管搭建的共射共集共基放大电路输入电阻,有利于电压放大;
  • 场效应管的噪声较低、温度稳定性较好、抗辐射能力较强;且集成度更高,非常适用于大规模集成电路;
  • 场效应管的缺点在于低频跨导较小,对于相同信号源的放大能力要远比晶体管小;
  • 此外,由于场效应管的栅源等效电容非常小,栅源之间容易发生击穿造成元件永久损坏,因而其使用与保存的要求很高;

综上所述,场效应管更加适用于环境温度变化较大、信噪比与集成度要求较高的场合。通过上述一系列的对比分析,可以发现不同元件所构成的不同组态放大电路,都各自具备其优缺点,想要获得更加优越的性能,可以将这些不同组态的放大电路级联起来,进而构成性能更加完备与优越的多级放大电路

多级放大电路

在实际应用中,往往需要放大非常微弱的信号。为了获得更高的电压放大倍数,并且进一步优化放大器的性能,可以将多个基本放大电路连接起来,构成多级放大电路

耦合方式

各级放大电路输入输出之间的连接方式称为耦合方式,满足如下要求的耦合方式可以正确的构成多级放大电路:

  • 静态:保证各级放大电路具有合适的静态工作点 Q;
  • 动态:确保动态信号的顺利传输,实现不失真的放大;同时耦合电路上,应当尽量减少压降损失;

基于上面的耦合方式要求,通常采用的耦合方式包括:变压器耦合光电耦合阻容耦合直接耦合

变压器耦合

由于变压器可以通过磁路的耦合,将一次侧的交流信号传递到二次侧,所以可以作为耦合元件。将前级的输出端用变压器连接到后级的输入端或者负载,就称为变压器耦合,下图是一个采用变压器进行耦合的变压器耦合放大电路

上图当中,输入信号通过耦合变压器 \(T_{r1}\) 进入三极管 \(T_1\) 构成的共射放大电路,而 \(T_1\) 管共射放大电路的输出又通过另一个耦合变压器 \(T_{r2}\) 进入到第 2 级,其中 \(T_2\) 管的输出信号又通过耦合变压器 \(T_{r3}\) 传输到负载电阻 \(R_L\) 上面。

变压器具有隔直通交的作用,因此理想情况下,可以认为变压器对于直流信号处于开路的状态,基于此可以得出变压器耦合的一些特点:

  1. 变压器对于直流信号起到较好的隔离作用,可以消除由于温度引起的静态工作点漂移;各级电路的静态工作点相互独立,便于设计和调试。
  2. 变压器可以进行阻抗变换,通过调节原边副边的匝数比,可以实现多级电路之间的阻抗匹配;因此选择合适的变比,就可以在负载上获取尽可能大的输出功率,功率放大电路和调谐电路上广泛采用了变压器耦合方式;
  3. 变压器耦合的缺点在于低频、高频特性比较差(直流和缓慢变化的低频信号无法通过变压器,高频信号则会受到变压器漏感和分布电容的影响),并且体积大、重量重、成本高、不易集成,因而该耦合方式已经较少使用;

光电耦合

顾名思义,就是以光信号作为媒介来实现电信号的耦合与传输,下图是一个光电耦合放大电路

上面电路当中,发光二极管与信号源构成了一个输入回路,其中输入信号 \(i_D\) 的变化,将会导致发光二极管亮度的变化,从而将电能转化为光能,而输出回路则通过一个光电二极管接收发光二极管的亮度信号,并将其转换为电信号,完成光能到电能的转换,这样的过程就称为光电耦合

通过这样的结构,也可以分析得到光电耦合所具有的如下主要特性:

  1. 前后两级的电气部分完全隔离,可以非常有效地抑制电干扰;
  2. 各级电路的静态工作点相互独立,有利于电路的设计与调试;
  3. 缺点在于放大能力较差,面对这种情况可以选择集成有放大电路的光电耦合元件;

阻容耦合

两级之间通过耦合电容相互连接,下图为阻容耦合放大电路:

可以看到,信号源与第一、二级放大电路,以及负载都是通过耦合电容进行连接,这种阻容耦合方式的优缺点都体现在耦合电容上面:

  1. 各级电路的静态工作点相互独立,非常便于分析调试和设计(将每级放大电路的静态工作点设置好以后,将它们连接在一起,仍然可以认为各级的静态工作点保持不变);由于耦合电容对于直流信号具有隔离作用,可以有效消除由于温度引起的静态工作点漂移(前一级静态工作点的变化,并不会影响到下一级静态工作点);
  2. 耦合电容无法传输直流信号,并且对低频信号产生较大的容抗导致衰减过大;耦合电容通常采用体积较大的电解电容构成,无法将其整合到集成电路当中,因此通常用于由分立元件构成的多级放大电路;

直接耦合

直接耦合是将前一级电路的输出端直接连接到后一级电路的输入端,例如下图就是一个直接耦合的两级放大电路:

由于直接耦合没有耦合电容的存在,因而具备如下的主要特点:

  1. 低频特性非常好,可以用于放大缓慢变化的交流信号,例如伴随温度、光线、压力变化的信号;
  2. 适宜于整合至集成电路,在集成运放的内部,每一级之间都采用了直接耦合;
  3. 直接耦合的缺点在于,各级电路的静态工作点互相影响,不利于分析设计与调试;

除此之外,直接耦合的另外一个缺点在于信号的动态范围受到放大电路静态工作点的限制,例如对于下面的两级直接耦合放大电路:

由于要求发射结正偏集电结反偏,上图三极管 \(T_2\)\(U_{beq}\) 同时也是三极管 \(T_1\)\(U_{ceq}\),当 \(T_2\) 管发射结正偏的时候,上图红圈标识点的电位为 \(0.7V\) 左右,这个数值对于 \(T_1\) 管构成的单管共射放大电路而言过小,导致其进入饱和区,要解决这个问题可以采取如下方案:

通过添加射极电阻 \(R_{e2}\) 抬高第二级电路 \(T_2\) 管的射极电位,从而拉高第一级电路 \(T_1\) 管的集电极电位,使其远离饱和区。

这种方式提供的静态工作点是有效的,但是对于动态性能会产生较大影响,即造成放大电路增益的大幅度下降:

\[ \begin{aligned} 未加入 R_e 电阻时 &\implies A_u = - \frac{\beta R_c}{r_{be}} \\ 加入 R_e 电阻以后 &\implies A_u = -\frac{\beta R_c}{r_{be + (1+\beta)R_e}} \end{aligned} \]

通过稳压二极管,即能够在静态中有效抬高 \(T_2\) 管的射极电位,也能够在动态中等效为一个极小的电阻,从而避免损失增益。

上图中的电阻 \(R\) 从电源 \(V_{CC}\) 引出电流,确保稳压二极管反向击穿。该电路利用稳压二极管反向击穿时的电压降 \(U_z\) 较高,有效提高了射极电位 \(U_{CEQ1}\),并且其击穿之后的动态输入电阻极小,有效降低了动态性能的损失,从而同时确保动静态的双赢。

而这种方式的缺点在于:当多级放大电路的级数较多时,会导致稳压二极管的稳定电压越来越高,进而造成后级电路的集电极电位水涨船高,静态工作点的设置将会变得异常困难。解决这个问题,可以将稳压二极管放置到两级电路的耦合部分,起到一个电平移动的作用,这样即可以降低第二级的集电极电位,也不至于损失过多的电压放大倍数。

但是这样的方式又会带来新的问题:稳压二极管的噪声较大,会影响到信号的传输质量。通观前面一系列解决方案,核心问题还是要解决如何在电路级数增多时,降低后一级电路的集电极电位。解决该问题,普遍采用的方案是混合使用 NPN 和 PNP 两种元件:

上面的两级直接耦合放大电路当中,第一级采用了 NPN 类型的三极管,第二级则采用 PNP 类型的晶体管。众所周知,NPNCB高,BE高)与 PNPBC高,EB高)两种类型的管子正常工作时的电位关系正好相反,搭配使用就能够有效降低输出端原本升高的直流电压,获得一个合适的静态工作点。

除此之外,直接耦合电路还存在零点漂移问题,即当输入电压信号 \(u_i = 0\) 时,输出电压信号 \(u_o\) 并不恒定,而是出现缓慢的、无规则的漂移,这种现象就称为零点漂移,简称为零漂,其本质上就是前一级放大电路的静态工作点由于温度等因素发生变化,导致后一级放大电路将其作为动态的输入信号处理,进而被逐级放大,最终在输出端得到下面这样缓慢无规律的飘移信号:

零点漂移问题是直接耦合放大电路不可回避的一个问题,其对于具体电路的危害非常之大:当漂移信号与输入信号混叠在一起时,会导致无法准确测量输入信号,严重时甚至可能会直接淹没有效信号。因此,抑制零点漂移是设计高质量直接耦合放大电路的重要议题,具体电路当中通常会采取如下措施:

  • 为晶体管提供恒温的工作环境;
  • 采用非线性元件进行温度补偿;
  • 引入直流负反馈;
  • 对信号进行调制解调;
  • 采用差分放大电路(较为常用,后续将重点介绍);

注意:多级放大电路当中,第一级放大电路的漂移对于整个电路的总漂移起到了决定性作用。

多级放大电路分析

多级放大电路的分析同样要秉承先定性,后定量的分析思路,定性分析当中需要解答如下问题:

  • 由几级放大电路构成;
  • 各级之间采用的耦合方式;
  • 确定每级电路所采用的组态;

例如下面这个由 2 个晶体管构成的两级放大电路,采用了直接耦合方式。其中,第一极是由三极管 \(T_1\) 构成的共射放大电路,第二极则是由三极管 \(T_2\) 构成的共集放大电路。

通过上面的定性分析,可以初步判断由于该电路前级后级相互耦合,静态工作点的获取比较麻烦。动态上由于共射放大电路的存在,可以保证较好的电压放大能力,而输出端的共集放大电路则可以保证较好的带负载能力。

在定性分析的基础之上,就可以开展定量分析,这里仍然要保持先静态后动态的理念。通过前面定性分析的结果,判断前后两级静态工作点是否相互影响;对于阻容耦合,前后两级电路的静态工作点相互独立,可以分别进行独立计算之后,再求取整个电路的静态工作点。如果是直接耦合,则前后两级电路的静态工作点会相互影响,需要联立方程进行求解。

首先,对上面的直接耦合放大电路进行静态分析,将上图中的动态信号 \(u_i\) 短路从而获得该电路的直流通路,进而对第一级电路列写 KCL 方程(左侧橙色圈)和 KVL 方程(右侧橙色箭头),对第二级电路(绿色箭头所标识回路)列写 KVL 方程,联立以后可以得到下面的方程组:

\[ \begin{cases} KCL 方程(左侧橙色圈) &\implies I_{B1} = \frac{V_{BB} - U_{BEQ1}}{R_B + (1+\beta_1)R_{E1}} \implies I_{C1} = \beta_1 I_{B1} \\ KVL 方程(右侧橙色箭头)&\implies U_{CEQ1} = V_{CC} - R_{C1}(I_{C1} + I_{B2}) - R_{E1} (1+\beta_1) I_{B1} \\ KVL 方程(绿色箭头标识回路) &\implies I_{B2} = \frac{U_{CEQ1} + (1+\beta)I_{B1}R_{E1} - U_{BEQ2}}{(1+\beta_2)(R_{E2} // R_L)} \end{cases} \]

求解上述方程即可以得到 \(I_{B2}\)\(U_{CEQ1}\),进而根据 \(I_{C2} = \beta_2 I_{B2}\) 得到 \(I_{CQ2}\),最终利用输出回路(蓝色箭头标识)求解得到 \(U_{CEQ2} = V_{CC} - (1+\beta_2) I_{B2} (R_{E2} // R_L)\),从而完成两级放大电路的静态分析。接下来,基于该静态分析结果,就可以继续开展动态分析。

这里可以将多级放大电路的动态分析,化简为多个单级放大电路来进行,这样就需要将后一级视为前一级的负载,而前一级视为后一级的信号源:

  1. \(i+1\) 级放大电路的输入电阻,应该将其视为第 \(i\) 级放大电路的负载电阻;
  2. \(i-1\) 级放大电路的输出电阻,应该将其视为第 \(i\) 级放大电路的信号源内阻;

电压放大倍数

多级放大电路的总电压放大倍数,等于各级电压放大倍数的乘积:

\[ \dot{A_u} = \frac{\dot{U_0}}{\dot{U_i}} = \frac{\dot{U_{01}}}{\dot{U_i}} \times \frac{\dot{U_{02}}}{\dot{U_{i2}}} ... \frac{\dot{U_0}}{\dot{U_{in}}} = \dot{A_{u1}} \times \dot{A_{u2}} \times \dot{A_{un}} \implies \dot{A_u} = \prod_{j=1}^{n} \dot{A_{uj}} \]

输入输出电阻

多级放大电路的输入电阻就是输入级输入电阻,输出电阻就是输出级输出电阻

\[ \begin{cases} 输入电阻 \implies R_i = R_{i1} \\ 输出电阻 \implies R_o = R_{on} \end{cases} \]

注意:具体计算单极放大电路时,其放大性能不仅仅决定于本级参数,也与后级或者前级参数有关。

针对上面的多级直接耦合放大电路,列写出其第一级共射放大电路的电压放大倍数表达式:

\[ \dot{A_{u1}} = \frac{\dot{U_{o1}}}{\dot{U_i}} = \frac{-\beta R'_{L1}}{R_B + r_{be1} + (1+\beta_1)R_{E1}},其中 R'_{L1} = R_{c1} // R_{i2} \]

将第二级共集放大电路的输入电阻表达式 \(R_{i2} = r_{be2} + (1+\beta_2)(R_{E2}//R_L)\) 代入上面方程组,即可以求解得到第一级共射放大电路的放大倍数。而第二级共集放大电路的电压放大倍数也可以通过下面的推导得出:

\[ \dot{A_{u2}} = \frac{\dot{U_o}}{\dot{U_{i2}}} = \frac{(1+\beta_2)R'_{L2}}{r_{be2} + (1+\beta_2) R'_{L2}},其中 R'_{L2} = R_{E2} // R_L \]

上面这个等式的所有参数都是由本级决定的,将前后两级放大电路的电压放大倍数相乘,就可以得到整个多级放大电路的电压放大倍数:

\[ \dot{A_u} = \dot{A_{u1}} \dot{A_{u2}} = \frac{-\beta R'_{L1}}{R_B + r_{be1} + (1+\beta_1)R_{E1}} \times \frac{(1+\beta_2)R'_{L2}}{r_{be2} + (1+\beta_2) R'_{L2}} \]

通过上面的定性分析可以看出,由于第二级共集放大电路的输入电阻非常大,有效保障了第一级共射级放大电路的放大能力,所以整个多级放大电路的电压放大能力与单级共射放大电路相当。

接下来,求解该多级放大电路的输入输出电阻。其中,输入电阻等于第一级放大电路的输入电阻:

\[ R_i = R_{i1} = R_B + r_{be1} + (1+\beta_1)R_{E1} \]

输出电阻等于最后一级,也就是第二级放大电路的输出电阻:

\[ R_o = R_{o2} = R_{E2} // \frac{r_{be2} + R_s}{1 + \beta_2} \]

上面等式中的 \(R_s\) 对于共集放大电路而言是信号源的内阻,而对于上面这个多级放大电路,该信号源内阻则是第一级共射放大电路的输出电阻 \(R_s = R_{o1} = R_{C1}\),将其代入上面方程即可得到整个多级放大电路的输出电阻:

\[ R_o \approx \frac{r_{be2} + R_{C1}}{1 + \beta_2} \]

通过输入输出电阻的分析可以看到,由于 \(R_{E1}\) 的出现,导致整个多级放大电路的输入电阻比较大。而又由于采用了共集放大电路作为输出级,利用其输出电阻较小的特点,提升了整个放大电路的带负载能力。由此可见,将不同类型放大电路组合使用,可以极大的优化多级放大电路的动态性能。

多级放大电路频率响应

由于多级放大电路当中包含有多个放大管,因此在高频等效模型当中就会产生多个低通电路,从而对整个放大电路的高频响应造成一定影响。对于采用阻容耦合方式的多级放大电路,由于存在耦合电容或者旁路电容,导致产生多个高通电路,从而影响整个放大电路的低频响应。

对于多级放大电路的频率响应分析,也应该建立在单级放大电路的频率响应分析之上。通过上一节对于多级放大电路动态特性的讨论,可以发现整个多级放大电路的电压放大倍数,可以等效为各级放大电路电压放大倍数的乘积:

\[ \dot{A_u} = \dot{A_{u1}} \times \dot{A_{u2}} \times ... \times \dot{A_{uk}} = \prod_{k=1}^{m} \dot{A_{uk}} \]

将上面这个关系式表达为对数形式,可以发现总的对数增益就是各级对数增益的代数和:

\[ 20 \cdot \lg |\dot{A_u}| = 20 \cdot \lg |\dot{A_{u1}}| + 20 \cdot \lg |\dot{A_{u2}}| + ... + 20 \cdot \lg |\dot{A_{un}}| = \sum_{k=1}^{n} 20 \lg |\dot{A_{uk}}| \]

而总的相移也就是各级相移的代数和:

\[ \varphi = \varphi_1 + \varphi_2 + ... + \varphi_m = \sum_{k=1}^{m} \varphi_k \]

这就意味着绘制多级放大电路幅频与相频特性的波特图时,只需要将各级放大电路的幅频与相频特性在同一坐标系下进行逐点叠加即可。例如假设一个两级放大电路的各级都具备相同的频率响应(即增益与上下限频率完全相同):

\[ \begin{cases} \dot{A_{u1}} = \dot{A_{u2}} \\ f_{L1} = f_{L2} \\ f_{H1} = f_{H1} \end{cases} \]

首先来分析这个两级放大电路的幅频特性,将其两个单级放大电路的波特图叠加到同一个坐标系下面,就可以得到整个放大电路的波特图:

可以看到,叠加之后依然在 \(f_{L1}\)\(f_{H1}\) 两个频率处出现了拐点,而拐点之外增益的下降速率将会变成 \(\pm 40dB/10倍频程\)。接下来,考察当 \(f=f_{L1}\) 或者 \(f=f_{H1}\) 的时候,增益的变化情况:

\[ 20 \lg |\dot{A_u}| = 20 \lg \bigg |\frac{\dot{A_{um1}}}{\sqrt{2}} \bigg | + 20 \lg \bigg |\frac{\dot{A_{um2}}}{\sqrt{2}} \bigg | = 40 \lg |\dot{A_{um1}}| - 40 \lg \sqrt{2} \approx 40 \lg |\dot{A_{um1}}| - 6dB \]

分析上面的等式可以发现,在 \(f_{L1}\)\(f_{H1}\) 两个频率点,增益相对于通带增益下降了 6dB,这意味两个频率并不是该两级放大电路的上下限频率。通过定性分析可以发现,这个两级放大电路的上下限频率位于更靠近中间的位置,即经过两级叠加之后,新的下限频率将会大于单级的下限频率 \(f_L > f_{L1}\),而上限频率将会小于原来的上限频率 \(f_H < f_{H1}\),这意味着经过两级的级联之后,多级放大电路的带宽将会比单极放大电路更窄一些。

同样的,上面两级放大电路的相频特性,也可以通过叠加单级放大电路的相频特性来获得:

通过对上面波特图的讨论,可以得出一个重要结论:多级放大电路的增益虽然有所增加,但通频带宽却比任何一级都更窄,而放大倍数的变化趋势与通频带宽的变化趋势呈反比。基于如下的两个表达式,就可以定量的求取多级放大电路的上下限频率:

\[ \begin{cases} 总上限频率 \implies \frac{1}{f_H} \approx 1.1 \sqrt{\frac{1}{f_{H1}^2} + \frac{1}{f_{H2}^2} + ... + \frac{1}{f_{Hm}^2}} \\ 总下限频率 \implies f_L = 1.1 \sqrt{f_{L1}^2 + f_{L1}^2 + ... + f_{Lm}^2} \end{cases} \]

注意:上述方程当中的数值 1.1 称为修正系数

通过公式可以发现:多级放大电路的级数越多,带宽就越小,例如对于由 3 个频率特性相同的电路构成的一个三级放大电路:

\[ \begin{cases} 总上限频率 \implies \frac{1}{f_H} \approx 1.1 \sqrt{\frac{3}{f_{Hk}^2}} \implies f_H \approx 0.52 f_{H1} \\ 总下限频率 \implies f_L \approx 1.1 \sqrt{3} f_{L1} \approx 1.91 f_{L1} \end{cases} \]

观察上面等式可以发现,该三极放大电路的下限频率约等于 1.91 倍的 \(f_{L1}\),而上限频率会衰减为 0.52 倍的 \(f_{H1}\),整个通频带宽几乎只有原来单级电路的一半。通过以上定性以及定量的分析,就可以得出下面三个重要结论:

  1. 多级放大电路的总上限频率 \(f_H\) 比其中任何一个单级电路的上限频率 \(f_{Hk}\) 都要低,而总下限频率 \(f_L\) 则比其中任何一个单级电路的下限频率 \(f_{Lk}\) 都要高。即多级放大电路的总放大倍数提高了,但是总通频带宽 \(BW = f_H-f_L\) 变窄;
  2. 设计多级放大电路时,必须保证每一级的通频带宽都比总的通频带宽更大。例如:一个四级放大电路的总通频带宽要求为 300Hz ~ 3.4kHz(电话传输所需带宽),如果每一级的通频带宽都相同,则每一级放大器的上限频率应为 \(\frac{3.4KHz}{\sqrt{2^{\frac{1}{4}} - 1}} = 7.8KHz\),而下限频率应为 \(\frac{300Hz}{\sqrt{2^{\frac{1}{4}} - 1}} = 130Hz\)
  3. 如果每一级电路的通频带宽不相同,则总上限频率基本取决于频率最低的一级电路,而总下限频率则取决于频率最高的一级电路;即当第 \(k\) 级电路的上限频率 \(f_{Hk}\) 比其它各级小很多时,就可以近似的认为总的 \(f_H \approx f_{Hk}\);而当第 \(k\) 级电路的下限频率 \(f_{Lk}\) 比其它各级大很多时,则可以近似认为总的 \(f_L \approx f_{Lk}\)

集成运放简介

在半导体制造工艺的基础上,将全部电路和元件制作到一块硅基片上面,就构成了特定功能的电子电路,称为集成电路。集成电路的封装方式非常丰富,

从信号角度划分,集成电路可以分为数字型模拟型混合信号型。而从功能的角度进行划分,则可以分为集成运算放大器集成功率放大器集成高频放大器集成中频放大器集成比较器集成乘法器集成稳压器集成数模和模数转换器等。这里以应用较为广泛的集成运算放大器为例,探讨集成电路的内部构成。

集成运放本质是一个多级放大电路,其增益高、输入电阻大、输出电阻小、温漂抑制能力非常强,具备这些优点的原因是在于其内部采取了如下措施:

  1. 为了保证集成度,采用了直接耦合方式;
  2. 充分利用晶体管性能良好的一致性,采用了差分放大电路电流源电路,有效抑制了零点漂移;
  3. 伴随工艺的提高,可以采用更为复杂的电路来实现更加高性能的放大电路;
  4. 使用了有源元件广泛代替无源元件,例如集成运放内部无法制作大电阻,所以采用其它有源元件代替电阻;
  5. 为提高放大电路的性能,广泛采用了复合晶体管;

由此可见,集成运放本质上是一个具有高放大倍数的多级直接耦合放大电路,其内部基本组成如下图所示:

  • 输入级:需要较高的输入阻抗、较低的零点漂移、高共模抑制能力、高差模放大倍数、低静态电流,因而一般由带恒流源的差分放大器构成;
  • 中间级:用于对整个电路的主放大器进行调理,要求具有较大的放大能力,一般由一级或多级直接耦合放大电路构成,并广泛采用复合晶体管;
  • 输出级:需要输出电阻较小、电压线性范围较宽、非线性失真较小,通常采用互补对称输出电路提高其负载能力;
  • 偏置电路:用于设置运算放大器各级的静态工作点,通常采用恒流源电路

上述关于集成运放的定性讨论当中,可以发现各个组成部分都各司其责,充分利用组合电路的优势获得了性能上的提升。

电流源电路

晶体管和场效应管这类半导体元件,除了构成放大电路之外,还可以用于构成电流源电路。由于能够提供恒定的电流输出(不随负载电阻的变化而变化),所以也称为恒流源。静态下可以为各级放大电路提供用于稳定静态工作点的偏置电流,以及作为有源负载取代不易集成的大阻值电阻。因此,设计性能优越的电流源电路,就成为了构建优秀集成运放的重要环节。将理想电流源内阻并联在一起,就可以构成电流源的电路模型:

镜像电流源

一个设计良好的电流源电路,必须同时满足如下这四点要求:

  • 能够输出符合要求的直流电流;
  • 温度稳定性更好;
  • 受到电源电压等因素的影响较小;
  • 输出电阻要尽可能更大;

如果一个电流源能够同时满足上述这些要求,那么就可以将其等效为下面的理想电流源

构建理想电流源,需要从晶体管、场效应管疆域辽阔的恒流区入手。晶体管和场效应管等有源元件,在放大区的输出电流几乎不受输出电压的影响,展现出恒流特性:

利用晶体管、场效应管的恒流特性,使其工作于放大区,并且稳定静态工作点,就可以在静态方面满足电流源电路的构建要求。事实上,前面学习过的分压偏置电路就能够满足这样的要求:

在上面的分压偏置电路当中,如果将集电极作为端口,由于基极电位 \(V_B\) 等于 \(R_{b1}\)\(R_{b2}\) 对电源电压 \(V_{cc}\) 的串联分压:

\[ V_B \approx \frac{R_{b2}}{R_{b1} + R_{b2}} V_{cc} \]

由此可以认为基极电位 \(V_B\) 是一个与温度无关的常量,进而基于上面红色圆圈标出的回路,就可以列出方程并求解得到射极电流 \(I_E\)

\[ I_E = (\frac{R_{b2}}{R_{b1} + R_{b2}} V_{cc} - U_{BE}) \cdot \frac{1}{R_e} \approx I_C \]

由于 \(I_E\) 约等于 \(I_C\),一旦确定电阻和电源,那么输出电流 \(I_C\) 就会成为一个与负载无关的常数。接下来,可以从等效电阻的角度,考察上述电路的静态与动态电阻,假设该电路的静态工作点 Q 位于下图位置:

根据直流电流的定义,可以得到其直流电阻的表达式:

\[ R_{CE} = \frac{U_{CEQ}}{I_{CQ}} \]

由于晶体管的 \(U_{CEQ}\) 通常为几伏,而 \(I_{CQ}\) 通常在几毫安数量级,因此这样的直流电阻将会非常小。接下来,再来分析该电路的动态电阻。首先,这里仍然需要获取该电路的微变等效电路:

通过前面讲解的微变等效电路输出电阻的求解方法,就可以得到该电路输出电阻的表达式,也就是该电路的交流电阻:

\[ R_o \approx (1+\beta)r_{ce} \]

这里的 \(r_{ce}\) 是晶体管的输出电阻(通常约为 \(10^5\) 数量级),这意味着上面电路的交流电阻较大。总而言之,该电路在静态下,可以在集电极上获得一个稳定的与负载无关的直流电流输出,而在动态下又可以等效为一个较大的电阻,基本满足了对电流源电路的要求。

这里,可以基于该电路进一步改进,从而获得更加稳定的输出电流,分析下面的方程:

\[ \begin{cases} V_B \approx \frac{R_{b2}}{R_{b1} + R_{b2}} V_{CC} \\ I_E = (\frac{R_{b2}}{R_{b1} + R_{b2}} V_{CC} - U_{BE}) \cdot \frac{1}{R_e} \approx I_C \end{cases} \]

观察基极电压 \(V_B\) 的表达式,可以看到其等于电阻 \(R_{b1}\)\(R_{b2}\) 对电源电压 \(V_{CC}\) 的串联分压,这意味基极电位受到了电源电压的影响,为了减少这种影响,我们可以采用一个稳压二极管 \(D_Z\) 替代 \(R_{b2}\),减小电源电压波动对于输出电流的影响,提升电路稳定性。

再来观察上面射极输出电流 \(I_E\) 的表达式,可以发现这里存在另一个不稳定因素 \(U_{BE}\),这个量与温度有关,当温度变化的时候,必然也会影响输出电流的稳定性。为了解决这个问题,可以利用静态工作点稳定技术当中所提到的二极管温度补偿特性,利用普通二极管替代 \(R_{b2}\),从而补偿温度变化对于晶体管 \(U_{BE}\) 的影响,并进一步稳定集电极电流 \(I_C\)

这样的电路就比较接近实际的电流源电路,实际电路当中,为了解决元件的温度一致性问题,通常会采用与该晶体管特性完全相同的一个晶体管来取代二极管,同时去掉占用较大面积的 \(R_E\),得到如下电路:

上面的电路当中,\(T_1\) 管与 \(T_2\) 管的特性完全相同,其中 \(T_1\) 管的集电极与基极连接在一起,这就意味着如果从 \(T_1\) 管的集电极看进去,直接面对的就是一个发射结,所以这里的 \(T_1\) 管实际被连接成了一个二极管的形式。理想情况下,\(T_1\) 管与 \(T_2\) 管完全对称,即两者的特性曲线完全重合,参数完全相同:

\[ \beta_1 = \beta_2 = \beta \]

电路当中 \(T_1\) 管与 \(T_2\) 管的基极是连接在一起的,这就说明 \(U_{BE1} = U_{BE2} = U_{BE}\),而由于 \(U_{BE1}\)\(U_{BE2}\) 相等,必然会导致:

\[ \begin{cases} I_{B1} = I_{B2} \\ I_{C1} = I_{C2} \end{cases} \]

由此可以说明上面电路当中两个晶体管的静态工作点完全相同,基于这种对称的关系,接下来分析其功能特点。通过上面的定性分析,可以在电路当中找到一个已知的确定电流,如下图红色线条表示:

基于这条通路,马上可以列写出参考电流 \(I_R\) 的表达式:

\[ I_R = \frac{V_{CC} - U_{BE}}{R} \approx \frac{V_{CC}}{R} \]

由于这个电路具有对称结构,前面已经知道 \(I_{C2} = I_{C1}\),再进一步考察上面蓝色圆圈所标识的电流关系,可以得到如下表达式:

\[ I_R = I_{C1} + 2 I_\beta = I_{C2} + 2I_{B} = I_{C2}(1+\frac{2}{\beta}) \]

由于上面等式中的 \(I_{C2}\) 就是我们的输出电流 \(I_O\),经过变化以后就可以得到:

\[ I_O = I_{C2} = \frac{I_R}{1+\frac{2}{\beta}} \approx I_R \]

\(\beta >> 2\) 的时候,\(I_R\)\(I_{C2}\) 两者几乎相等,这意味着这样的参考电流 \(I_R\) 发生变化的时候,\(I_O\) 也会发生相应的变化。反之,如果 \(I_R\) 确定,那么 \(I_O\) 也就确定,两者呈现镜像关系,因此这样的电流源电路也称为镜像电流源(Current Mirror Circuits)。

到这里,就完成了对于该电路静态性能的考察,接下来分析其动态等效电阻,即输出电阻 \(R_O\),下图是该电路的微变等效电路:

由于 \(i_{b1} = i_{b2} = 0\),则从右侧端口看进去,整个电路的输出电阻就是 \(T_2\) 管输出电阻 \(r_{ce2}\),该电阻通常在 \(10^5Ω\) 数量级。通过这里的一系列分析,可以发现该电路在静态与动态方面的特点:

  • 静态:静态电阻较小,可以输出稳定的静态电流;
  • 动态:等效为一个大电阻,具有较好的恒流特性;

这些特点满足前面对于电流源电路的基本要求,并且具备如下优点:

  1. 结构简单,调试方便;
  2. 参考电流与输出电流具有镜像关系 \(I_O \approx I_R\),即输出电流 \(I_O\) 总是由参考电流 \(I_R\) 确定,与输出电压与负载无关;
  3. \(T_1\) 管对于 \(T_2\) 管具有温度补偿作用,当温度升高的时候,\(T_1\)\(T_2\) 管的集电极电流 \(I_{C1}\)\(I_{C2}\) 都有增大的趋势,而 \(I_{C1}\) 的增大必然导致参考电流 \(I_R\) 的增大,进而导致电阻 \(R\) 上的电压降 \(U_R\) 也随之增大。并且进一步降低 \(T_1\)\(T_2\) 管的基极电位 \(U_{B}\),引起基极电流 \(I_B\) 的下降,从而致使本应增高的输出电流被拉了下来,使得输出电流几乎不受温度的影响,体现出较好的稳定性。

基于前面静态分析的结论,还可以发现该电路具有如下缺点:

\[ \begin{cases} I_R = \frac{V_{CC} - U_{BE}}{R} \approx \frac{V_{CC}}{R} \\ I_O = I_{C2} = \frac{I_R}{1+\frac{2}{\beta}} \approx I_R \end{cases} \]

  1. \(I_O\)\(I_R\) 镜像关系的前提是 \(\beta\) 远远要大于 2,这就意味着输出电流 \(I_O\) 与参考电流 \(I_R\) 之间存在误差,该误差会随着 \(\beta\) 的减小而增大;
  2. 参考电流 \(I_R\)\(U_{BE}\) 有关,而输出电流 \(I_O\) 又与 \(\beta\) 有关,而两者都是对于温度较为敏感的参数,从而导致输出电流 \(I_O\) 的热稳定性受到影响;
  3. 参考电流 \(I_R\) 受电源电压变化的影响较大,当电源电压发生变化的时候,参考电流 \(I_R\) 与输出电流 \(I_O\) 都会受到影响,说明该电路仅适合电源电压较为稳定的情况;
  4. 如果实际电路当中需要获取微安数量级的电流(实际集成运放的广泛需求),那么参考电流 \(I_R\) 的取值也需要非常小,因而必须采用较大阻值的 \(R\),集成化难度较大;
  5. 虽然该电流源电路的输出电阻在 \(10^5Ω\) 数量级,但对于某些需求而言该阻值还不足够大,导致电路的恒流特性还不够突出;

其它类型电流源

基于前一节讨论的镜向电流源,可以得到一系列的改进型电流源。

精密镜像电流源

对于镜向电流源精度不高的问题,通过下面的式子可以看出 \(I_O\)\(I_R\) 并不严格相等:

\[ I_O = I_{C2}= \frac{I_R}{1 + \frac{2}{\beta}} \approx I_R,其中 \beta >> 2 \]

由于在分母上存在 \(\frac{2}{\beta}\),导致输出电流 \(I_O\) 和参考电流 \(I_R\) 存在着如下相对误差:

\[ \frac{|I_{C2} + I_R|}{I_{C2}} = \frac{2}{\beta} \]

显然,随着 \(\beta\) 的下降,这样的相对误差会增大。集成电路当中,为了提高元件耐压性,通常采用横向的 PN 结工艺,这种结构下的 \(\beta\) 并不会很大,从而引发较大的镜像误差,虽然偏置电流 5% 的误差并不会对电路性能造成较大影响,但是对于一些精度要求较高的电路(例如:模数转换电路),这样的偏置电流误差就会显得很大。

这个误差实际是由于下图红圈标识结点所引出的电流导致的,减小这条支路的输出电流就可以提高参考电流 \(I_R\) 与输出电流 \(I_O\) 的镜像精度。

可以看到,蓝圈标识结点的电流为 \(2 I_B\),这里需要让红圈标识结点引出的电流小于 \(2 I_B\),如果加入一个具有放大能力的晶体管元件(即与 \(T_1\)\(T_2\) 管完全相同的 \(T_3\)),就可以实现这种小输入大输出的过程:

此时,利用 \(T_3\) 管的放大作用,就可以使得 \(I_{B3} = \frac{2 I_B}{1 + \beta}\),从而大大减小了相对误差:

\[ \frac{I_{C2} - I_R}{I_{C2}} = \frac{2}{\beta(1+\beta)} \]

经过上面的改进之后,参考电流 \(I_R\) 与输出电流 \(I_O\) 的镜像精度得到了极大提升,具有这样结构的电路称为精密镜像电流源

接下来,开始着手分析这个精密镜像电流源的静态和动态性能,首先要找到这个电流源电路的参考电流,即找到一个确定电流的通路:

\(V_{CC}\) 出发,分别经过 \(T_3\)\(T_1\) 管的发射结到地,经过两个 \(U_{BE}\) 以后就可以确定参考电流 \(I_R\) 的大小:

\[ I_R = \frac{V_{CC} - 2U_{BE}}{R} \]

有了参考电流,接下来就要分析输出电流 \(I_O\) 与参考电流 \(I_R\) 的镜像关系,观察上图红圈标识点的基尔霍夫电流关系,可以得到如下等式:

\[ I_R = I_{C1} + \frac{I_{E3}}{1 + \beta_3} = I_{C1} + \frac{2I_{B2}}{1 + \beta_3} \]

这里的 \(I_{C1} = I_{C2} = I_O\),经过变换就可以得到这个精密镜像电流源 \(I_O\)\(I_R\) 的镜像关系:

\[ I_O = \frac{I_R}{1 + \frac{2}{\beta(1+\beta)}} \]

从上面的式子当中可以看到,原来分母部分的 \(\frac{2}{\beta}\)\(\frac{2}{\beta(1+\beta)}\) 取代,因而大大提高了 \(I_O\)\(I_R\) 的镜像精度。

接着分析该电路的输出电阻,由于从端口看进去,仍然看到的是 \(T_2\) 管的输出电阻,因此该精密镜像电流源的输出电阻 \(R_O = r_{ce2}\)。由此可以看到这个精密镜像电流源在保证输出电阻不变的前提下,其输出精度提高了 \(1 + \beta\) 倍。

除此之外,为了保证三个晶体管都工作于放大区,因此 \(I_{E3}\) 不能过大,否则会导致 \(T_1\)\(T_2\) 管的基极电流过大进入饱和区。同时 \(I_{E3}\) 也不能太小,过小的 \(I_{E3}\) 会引发 \(\beta\) 值的下降。因此,为了使得 \(I_{E3}\) 拥有合适的取值,一般会在 \(T_3\) 管的发射极上添加一个电阻 \(R_e\),从而便于设置 \(I_{E3}\) 的电流:

\[ I_{E3} \approx \frac{U_{BE}}{R_E} \]

通过适当的提高 \(I_{E3}\),就可以确保晶体管 \(T_1\)\(T_2\)\(T_3\) 全部都具有恰当的工作状态。

比例电流源

精度不够高的问题解决之后,接下来着手解决输出电阻不够大的问题。对于电流源电路而言,输出电阻越大,输出电流受负载和输出电压的影响越小,恒流特性越好。要想在不影响镜像关系的前提下,增大电流源的输出电阻,可以在 \(T_1\)\(T_2\) 管的射极添加两个电阻 \(R_{e1}\)\(R_{e2}\),从而得到一个新的电流源电路:

这里首先来分析上面电路的输出电阻,下图是它的微变等效电路:

其中,由于这里的 \(T_1\) 管构成了一个二极管形式,因此这里采用 \(r_D\) 来替代其动态电阻。从输出端口看进去,经过计算以后的输出电阻应为:

\[ R_O = r_{ce} + R_{e2} + \frac{R_{e2}}{r_{be} + R_B + R_{e2}}(\beta r_{ce} - r_{e2}) \approx r_{ce}(1 + \frac{\beta R_{e2}}{r_{be} + R_B + R_{e2}}) \]

观察上面的等式可以发现,相比于镜像电流源,该电路的输出电阻要大得多,说明该电路具有更加良好的恒流特性,温度稳定性也会得到极大的改善。接下来,继续分析该电路的功能特点,首先仍然要找到这个电路的参考电流:

依然通过上面的红色支路求解得到参考电流 \(I_R\)

\[ I_R \approx \frac{V_{CC}-U_{BE}}{R + R_{e1}} \]

由于电路中 \(T_1\)\(T_2\) 管的基极相互连接在一起,因此两者的对地电位相同,由此可以得到如下的关系式:

\[ U_{BE1} + I_{E1}R_{e1} = U_{BE2} + I_{E2} R_{e2} \]

引入 PN 结电压和电流的关系,经过变换以后就可以得到如下表达式:

\[ U_{BE1} - U_{BE2} = U_T \ln \frac{I_{E1}}{I_S} - U_T \ln \frac{I_{E2}}{I_S} = U_T \ln \frac{I_{E1}}{I_{E2}} \implies I_{E2} R_{e2} - I_{E1} R_{e1} = U_T \ln \frac{I_{E1}}{I_{E2}} \approx 0 \]

在上面的表达式中,结果的对数非常小,计算表明参数对称的两个三极管,在 \(I_C\) 相差 10 倍以内的时候,这样的值小于 60mV,因此可以认为约等于零,而当 \(\beta\) 值足够大的时候可以认为:

\[ \begin{cases} I_{E1} \approx I_{C1} \approx I_R \\ I_{E2} \approx I_{C2} = I_O \\ \end{cases} \]

将这个方程组代入以上公式,就可以到 \(I_O\)\(I_R\) 的关系表达式:

\[ \frac{I_O}{I_R} \approx \frac{I_{E2}}{I_{E1}} \approx \frac{R_{e1}}{R_{e2}} \]

上面的等式意味着,只要能够合理的选择 \(R_{e1}\)\(R_{e2}\) 两个射极电阻,就可以确定输出电流 \(I_O\) 与参考电流 \(I_R\) 之间的比例关系,这种新型的电流源电路,称为比例电流源。这种比例电流源一方面可以灵活的通过电阻的比值来确定参考电流与输出电流的比例关系,另一方面又非常显著的增大了整个电路的输出电阻,提高了输出电流的稳定性。

微电流源

实际应用中通常使用到几十微安数量级的小电流,为了获取这个小电流就需要添加一个较大的电阻,例如下面的镜像电流源当中,如果想要针对 12V\(V_{CC}\) 获取 60mA 数量级的输入电流 \(I_O\),就需要添加一个 500KΩ 的电阻,显然这样的大电阻很难整合到集成电路当中。

想要通过较小的电阻获取较小电流,可以在 \(T_2\) 管的射极引入一个电阻 \(R_e\),通过电路的结构可以发现流经 \(R_e\) 的电流应当为:

\[ I_O = I_{C2} \approx I_{E2} = \frac{U_{BE1} - U_{BE2}}{R_e} \]

当晶体管工作在放大区的时候,其 \(U_{BE1}\)\(U_{BE2}\) 相差很小,通常只有几十毫伏,这样就可以通过一个较小的 \(R_e\) 得到一个较小的输出电流,这样的电流源电路就称为微电流源。接下来,着手分析这个微电流源的镜像关系,首先仍然需要找到参考电流:

\[ \begin{cases} 参考电流 \implies I_R = \frac{V_{CC} - U_{BE}}{R} \approx \frac{V_{CC}}{R} \\ 输出电阻 \implies R_O \approx (1+\beta)r_{ce2} \end{cases} \]

最后再来分析该电路的镜像关系,由于此时电路不再对称,因此 \(I_O\) 不再等于 \(I_R\),根据电路可以得出:

\[ \begin{cases} I_{E2} = \frac{U_{BE1} - U_{BE2}}{R_e} = (1+\beta_2)I_{B2} = (1+\frac{1}{\beta_2})I_{C2} \\ U_{BE1} - U_{BE2} \approx U_T \ln \frac{I_{E1}}{I_{E2}} \end{cases} \implies I_O = \frac{U_T}{R_e} \ln \frac{I_R}{I_O} \]

由于最后得到的是一个超越方程,需要借助计算机辅助求解。但是实际电路设计时处理起来较为简单,即首先确定输出电流 \(I_O\) 与参考电流 \(I_R\) 的数值,然后通过上面的表达式就可以获得 \(R\)\(R_e\) 的阻值。

▶【例题】如下电流源电路,电源电压 \(V_{CC} = 9V\),要求 \(I_O = 20 \mu A\),如果 \(\frac{I_R}{I_O} = 100\)\(I_R = 2mA\) 的时候,试计算 \(R\)\(R_e\) 的阻值?

▶【解答】基于前面得到的参考电流 \(I_R\) 的表达式:

\[ I_R = \frac{V_{CC} - U_{BE}}{R} \implies R = \frac{V_{CC} - U_{BE}}{I_R} = \frac{9V - 0.7V}{2mA} = 4.15kΩ \]

将这里得到的 \(R\) 阻值代入超越方程,就可以求解得到:

\[ I_O = \frac{U_T}{R_e} \ln \frac{I_{R}}{I_O} \implies R_e = \frac{U_T}{I_O} \ln \frac{I_R}{I_O} = \frac{26mV}{0.02mA} \ln 100 = 5.98kΩ \]

这个微电流源通过引入电阻 \(R_e\),在保持原有较大输出电阻的基础之上,实现了用小电阻获得小电流的过程,这里对微电流源电路的特点进行总结:

  1. 当电源电压 \(V_{CC}\) 发生变化的时候,由于 \(\Delta U_{BE2} << U_{BE1}\),所以 \(I_{C2}\) 的变化远远小于 \(I_R\) 的变化,因而电源电压波动对于输出电流 \(I_O\) 影响非常小;
  2. \(T_1\) 管对 \(T_2\) 管有温度补偿作用,温度稳定性较好。
  3. 输出电阻与比例电流源相当,远远大于镜像电流源的输出电阻 \(r_{ce}\),整个电路的恒流特性较为理想;

总而言之,微电流源电路输出电流小而稳的特点,满足了集成电路当中偏置电路部分的需要。

其它改进型电流源

基于上面的电路,可以进一步得到其它改进类型的电流源,这些电流源在不同场合都得到了广泛的应用:

以上电流源都只有一个输出电流,而在实际应用当中,可能需要用一个基准电流来获得多个不同的输出电流,以适应各级的需求,这就是多路电流源

对于基于比例电流源的多路电流源,首先要确定 \(I_R\) 的数值,进而通过选择不同阻值的射极电阻,利用比例关系就可以得到不同大小的输出电流,从而为各级电路提供相应的偏置:

而对于多集电极管构成的多路电流源,则是通过改变集电极的面积来获取各种数值的输出电流:

电流源符号

具体电路当中,除了使用电路结构来描述一个电流源电路之外,还可以用符号表示电流源。任何电流源电路都可以采用电流源符号进行表示,其电流与内阻分别等于电流源电路当中的输出电流输出电阻

电流源应用

上一节从镜像电流源出发,逐步改进得到了其它类型的电流源电路,例如精密镜像电流源比例电流源微电流源

虽然这些电流源的电路结构有所不同,但是都具备如下静态与动态方面的共性:

  • 静态方面:静态电阻较小,可以提供稳定的静态电流输出;
  • 动态方面:输出电阻较大,恒流特性非常好;

正是由于电流源这种静态与动态截然不同的特性,使得它们在电路当中应用非常广泛。首先,利用其静态特性,可以为电路提供偏置电流,稳定电路的静态工作点;例如在下面这个典型的集成运放电路当中,就由不同类型的电流源电路共同构成了偏置电路。

其次,利用电流源电路动态电阻较大的特点,还可以将其作为电路的有源负载来提高增益,例如对于下面这个共射放大电路:

通过前面的动态分析 \(\dot{A_u} = \frac{\dot{U_o}}{\dot{U_i}} = -\beta \frac{R'_L}{r_{be}}\),其放大倍数与 \(R'_L\) 有关,而 \(R'_L = R_C // R_L\) 意味着如果能够增大 \(R_C\) 就可以有效提高电路的电压放大倍数,但是集成电路当中难以整合较大的电阻,此外增大 \(R_C\) 必然会导致静态工作点下降,从而影响电路电压的动态输出范围。所以,使用大电阻替换 \(R_C\) 必然是得不偿失的,而应当采用这里介绍的电流源电路。

上面就利用电流源电路取代了电阻 \(R_C\),得到了一个有源负载共射放大电路。其中,输入信号从 \(T_1\) 管的基极输入集电极输出,\(T_1\) 管作为放大管形成了一个共射放大电路,而 \(T_2\) 管和 \(T_3\) 管则共同构成了大家所熟悉的镜像电流源,取代了电路当中的 \(R_C\) 电阻。

接下来,针对这个有源负载的共射放大电路进行静态分析。由于\(V_{CC}\) 并没有连接到 \(T_1\) 管的基极回路,因此该电路的静态工作点是由 \(T_2\) 管和 \(T_3\) 管构成的镜像电流源所确定,根据镜像电流源的参考关系,该电流源的基准参考电流 \(I_R\) 等于:

\[ I_R = \frac{V_{CC} - U_{BE3}}{R} \]

由上面电路图圈红结点的电流关系可以知道:\(T_1\) 管空载时的静态集电极电流 \(I_{CQ1}\) 约等于参考电流 \(I_R\)

\[ I_{CQ1} = I_{C2} = \frac{1}{1 + \frac{2}{\beta}} \cdot I_R \approx I_R \]

通过选择合适的 \(V_{CC}\) 和电阻 \(R\) 配合,就可以设置出合适的静态工作点。接下来,对该电路进行动态分析,首先绘制出其对应的微变等效模型:

上图中间是大家比较熟悉的微变等效电路,而 \(T_2\)\(T_3\) 管构成的镜像电流源在动态下可以等效为一个动态电阻 \(r_{ce2}\)。由于晶体管所携带的负载是一个与输出电阻数量级相当的 \(r_{ce2}\),为了确保运算的精度,需要将原先忽略不计的 \(r_{ce1}\) 也绘制出来。针对这个微变等效电路,就可以轻松求解出有源负载共射放大电路的电压放大倍数:

\[ \dot{A_u} = - \frac{\beta_1(r_{ce1} // r_{ce2} // R_L)}{R_b + r_{be1}} \]

相比于传统共射放大电路的电压放大倍数,由于存在电流源作为有源负载,使得原来 \(r_{c}\) 的位置由并联的 \(r_{ce1}\)\(r_{ce2}\) 取代,因此用电流源做为有源负载,可以有效的提高电路增益。同样的,还可以使用电流源来取代射极电阻 \(R_e\),例如在下面电路当中:

\(T_1\) 管构成一个共集放大电路,而 \(T_2\)\(T_3\) 管则共同构成了一个比例电流源,取代了原来的射极电阻 \(R_e\),因此这是一个有源负载的共集放大电路。除此之外,还可以用如下的符号形式来描述这个电路:

该电路当中,静态工作点同样由一个位于 \(R_e\) 位置的电流源所提供,由于电流源电路可以等效为一个大电阻,所以根据共集放大电路输入电阻的计算关系,电流源的加入会进一步增大共集放大电路的输入电阻,有效改善放大电路的性能。除此之外,电流源电路还可以作为差分放大电路的射极电阻,从而提高共模抑制比。

差分放大电路

集成运放本质上是一个直接耦合放大电路,而直接耦合放大电路不得不面对零点飘移问题,零点飘移直接影响着信号传输的质量,因此抑制零点漂移是制作高质量集成运放的一个重要环节。因为集成运放第一级对于零点漂移的影响最大,所以对于放大电路的总漂移起着决定性的作用。

结构与工作原理

本小节将会从共射放大电路出发,讨论如何设置输入极使其抑制零点飘移。

当温度出现变化的时候,元件特性会伴随温度发生变化,输出电压也会随之出现变化,上面的电路并不能抑制零点飘移,当输入 \(u_i\) 为零的时候,输出 \(u_o\) 由于温度等因素的变化可能不为零。这里采用一个巧妙的方式以己之矛克己之盾,使用一个与 \(T_1\) 晶体管所在单元电路完全相同的电路与之搭配,就得到了如下这个新型的电路结构:

该电路最大的特点在于结构上具有对称性,这种对称不旦体现在电路结构上,也体现在相同的元件特性上。该电路具有两个输入端和两个输出端,并且两个晶体管的静态工作点完全相同。

静态定性分析

静态下输入信号为零 \(u_{i1} = u_{i2} = 0\),由于认为电路是完全理想对称的(静态工作点相同),此时输出电压 \(u_O = u_{O1} - u_{O2} = V_{C1} - V_{C2} = U_{CEQ1} - U_{CEQ1} = 0\),即零输入零输出

当温度 \(T\) 升高的时候,两管的集电极电流 \(I_C\) 都将会增大,而集电极电位 \(V_C\) 将会随之下降,由于两个晶体管的特性完全一致,所以两个晶体管受温度影响的变化量也是相同的,这就意味着当温度变化的时候,两个管子会产生同向的漂移,从而仍然能够保证输出电压 \(u_o\) 为零:

\[ u_O = (V_{C1} + \Delta V_{C1}) - (V_{C2} + \Delta V_{C2}) = 0 \]

这意味着这种对称的结构,对于两个晶体管产生的同向漂移具有非常好的抑制作用,这正是所期待获得的零点漂移抑制能力。

动态定性分析

对于这样的双端输入系统而言,其输入信号可以分为:

共模信号(Common Mode):指大小相等,极性相同的信号;例如下图当中 \(u_{i1} = u_{i2}\) 是一对共模信号,在输出端会得到两个对 \(u_{i1}\)\(u_{i2}\) 反向放大之后的信号,这两个信号同样是大小相等极性相同的共模信号 \(u_{o1}\)\(u_{o2}\),这对共模信号经过做差以后,双端输出之后 \(u_o = u_{o1} - u_{o2} = 0\) 等于零,说明该电路对于共模信号没有放大能力,换而言之就是抑制了共模信号。

注意:由于共模信号通常是零点漂移信号或者干扰信号,因此该电路抑制共模信号能力的大小,反映了其对零点漂移的抑制水平。

差模信号(Differential Mode):指大小相等,极性相反的信号;例如下图当中 \(u_{i1} = -u_{i2}\) 是一对差模信号,在输出端会得到两个对 \(u_{i1}\)\(u_{i2}\) 反向放大之后的信号,这对信号同样是大小相等极性相反的差模信号 \(u_{o1}\)\(u_{o2}\),这两个差模信号经过做差以后,双端输出 \(u_o = u_{o1} - u_{o2} = 2u_{o1}\) 就等于 2 倍的 \(u_{o1}\),说明该电路对于差模信号具有放大能力

注意:放大电路所要放大的往往是这类携带了丰富信息,具有差异的有用信号

电路当中实际输入的信号并非这两类典型的共模或者差模信号,而是一对任意的比较输入信号 \(u_{i1}\)\(u_{i2}\),经过简单的数学变换,就可以将其转换为差模输入分量(大小相等,极性相反)与共模输入分量(大小相等,极性相同)之的形式:

\[ \begin{cases} u_{i1} = \frac{u_{id}}{2} + u_{ic} \\ u_{i2} = -\frac{u_{id}}{2} + u_{ic} \end{cases} \]

上面方程当中的 \(u_{id} = u_{i1} - u_{i2}\) 称为差模输入,而 \(u_{ic} = \frac{u_{i1} + u_{i2}}{2}\) 称为共模输入。例如:对于 \(u_{i1} = 10mV\)\(u_{i2} = 6mV\) 两个信号,经过变换以后可以分解成为如下两种形式:

\[ \begin{cases} u_{i1} = \frac{10 - 6}{2} + \frac{10 + 6}{2} = 2mV + 8mV \\ u_{i2} = -\frac{10 - 6}{2} + \frac{10 + 6}{2} = -2mV + 8mV \end{cases} \]

任意信号都可以被分解为差模信号共模信号的叠加,即两者在电路当中是共存的,当这两个共存的信号进入放大电路之后,在输出端就可以分别得到共模与差模的放大输出:

\[ \begin{cases} u_{i1} = \frac{u_{id}}{2} + u_{ic} \\ u_{i2} = -\frac{u_{id}}{2} + u_{ic} \end{cases} \implies \begin{cases} u_{o1} = u_{oc} + \frac{u_{od}}{2} \\ u_{o2} = u_{oc} - \frac{u_{od}}{2} \end{cases} \implies u_o = u_{o1} - u_{o2} = u_{od} \]

最后经过做差,就可以得到整个电路的输出 \(u_o\),由于共模的输出做差以后会相互抵消,因此保留下来的只有差模信号的放大输出,由此可以得出一个非常重要的结论:该电路只会放大差模信号,并且会抑制共模信号,因此被称为差分放大电路。经过上述对差分放大电路输入信号的讨论,可以得到输入信号的如下等效示意图:

为了便于描述共模信号与差模信号在放大电路当中得到的增益,这里分别定义了两个非常重要的参数:

  • 差模电压增益 \(A_{ud}\):即差模输入电压 \(u_{id}\) 与差模输出电压 \(u_{od}\) 的比值 \(A_{ud} = \frac{u_{od}}{u_{id}}\)
  • 共模电压增益 \(A_{uc}\):即共模输入电压 \(u_{ic}\) 与共模输出电压 \(u_{oc}\) 的比值 \(A_{uc} = \frac{u_{oc}}{u_{ic}}\)
  • 总输出电压 \(u_o\):等于经过放大以后的共模分量与差模分量的叠加 \(u_o = u_{od} + u_{oc} = A_{ud} u_{id} + A_{uc} u_{ic}\)

上述定性分析是建立在该电路处于理想对称的前提下,即电路结构与元件特性完全相同,但是实际工程应用当中不存在参数完全相同的两个元件,这意味着输出信号当中一定会存在共模信号被放大之后的分量,显然该分量越小越好。

共模抑制比\(K_{CMR}\),Common Mode Rejection Ratio)用于衡量差分大电路放大差模信号,抑制共模信号的能力,其定义为差模电压放大倍数 \(A_{ud}\)共模电压放大倍数 \(A_{uc}\) 的比值:

\[ K_{CMR} = \frac{|A_{ud}|}{|A_{uc}|} \implies K_{CMR}(dB) = 20 \lg \frac{|A_{ud}|}{|A_{uc}|} \]

这类比值参数通常会采用分贝 dB 作为单位,差分放大电路的共模抑制比 \(K_{CMR}\) 越大,说明该差分放大电路抑制共模信号和放大差模信号的能力越强,这个参数也将会是后续集成运放章节非常重要的一个参数。

典型电路及分析

前一节以抑制零点飘移为目标,得到如下具有对称结构的差分放大电路:

射极电阻 \(R_e\)

通过定性的动态与静态分析,当双端输出的时候,可以利用左右两侧电路的对称性相互抵消,从而抑制零点飘移和共模信号。但是在放大差模信号的时候,这个电路还需要面对两个问题:

  1. 采用单端输出的时候,无法利用两侧对称性的相互抵消来遏制零点漂移,导致整个电路零点漂移的问题较为突出;
  2. 如果每一侧的漂移量都比较大,由于电路无法做到完全理想对称,所以两侧也就难以在大信号范围内完全抑制零点漂移;

由此可以看出,想要适应各种情况,仅仅只依靠对称性还是远远不够的,需要引入负反馈。类似于分压偏置放大电路,可以在上面图中两个晶体管的射极引入电阻 \(R_e\) 得到如下电路:

当温度升高的时候,集电极电流 \(I_{C1}\)\(I_{C2}\) 都会有增大的趋势,必然导致射极电流 \(I_{E1}\)\(I_{E2}\) 的增大,这两个电流汇集到射极电阻 \(R_e\) 致使其电压降 \(U_{RE}\) 急剧抬升,进而降低了 \(T_1\)\(T_2\) 管的 \(U_{BE1}\)\(U_{BE2}\),最后必然导致基极电流 \(I_{B1}\)\(I_{B2}\) 的下降,从而将本应增高的 \(I_{C1}\)\(I_{C2}\) 拉下来,保证了晶体管的静态工作点的稳定。换而言之,新加入的射极电阻 \(R_e\) 利用了负反馈抑制每个晶体管的零点漂移。

负电源 \(-V_{EE}\)

原则上 \(R_e\) 越大负反馈越强,抑制共模信号和零点漂移的效果就越好,但是 \(R_e\) 过大会拉低静态工作点,降低放大电路的动态范围,为了弥补这样的不足,就需要在 \(R_e\) 后面连接一个负电源 \(-V_{EE}\),保证信号的动态工作范围,确保整个放大器能够正常工作:

上面的原理图在实际电路当中,通常会采用如下的电路形式:

此时 \(V_{CC}\) 并没有直接作用于 \(T_1\)\(T_2\) 晶体管的基极,因此如果没有这样一个负电源,当 \(u_{i1}\)\(u_{i2}\) 处于正半周的时候,两个晶体管可以正常工作;当 \(u_{i1}\)\(u_{i2}\) 处于负半周的时候,两个晶体管无法正常导通;因此,这里的 \(-V_{EE}\) 除了稳定电路的动态工作范围之外,还保证了差分电路当中晶体管的导通,使其可以正确输出正负两个方向的信号。

结合上述过程还可以知道,此时的基极电流 \(I_{B1}\)\(I_{B2}\)\(V_{CC}\) 没有关系,而是通过负电源提供的回路(红色箭头)进行确定,因此整个电路中的静态工作点 \(I_{B1}\)\(I_{B2}\) 都与负电源 \(-V_{EE}\) 和射极电阻 \(R_e\) 构成的这部分电路有着密切联系。由于这两个元件构成的电路像一条长长的尾巴,所以被称为长尾差分放大电路,电阻 \(R_e\) 也被称作长尾电阻

共模信号输入响应

接下来,对于这个典型的长尾差分放大电路进行定性分析,如果此时电路输入一对共模信号 \(u_{i1} = u_{i2}\),当电路当中的元件完全对称的时候,\(T_1\)\(T_2\) 管的射极电流显然也是一对共模信号 \(i_{e1} = i_{e2}\),考察下图当中圈红点的电流关系可以知道,这对共模信号汇集以后将会变成 \(i_{RC} = 2 i_e\),这意味着 \(R_e\) 对于共模信号有着强烈的负反馈作用,会降低共模放大倍数,并且抑制共模信号。

差模信号输入响应

如果此时输入的是一对差模信号 \(u_{i1} = -u_{i2}\),此时 \(T_1\)\(T_2\) 的射极电流 \(i_{e1}\)\(i_{e2}\) 也是一对大小相等极性相反的差模信号,当这两个信号汇入下图圈红的结点以后,发生正负抵消,使得射极电阻 \(R_e\) 上的电流为零,这意味着 \(R_e\) 对于差模信号而言没有反馈作用,也不会影响差模电压放大倍数。

综上所述,射极电阻 \(R_e\) 一方面保证了对共模信号强大的负反馈和抑制能力,另一方面又保证了差模信号的顺利传输与放大。接下来对这个长尾差分放大电路进行定量的静态和动态分析。

静态分析

首先来看静态分析,静态下 \(u_{i1}\)\(u_{i2}\) 都为零,对于该电路而言,如何获得其静态工作点?

通过上图两个长尾(红色箭头所示)构成的回路可以率先求得 \(I_{b1}\)\(I_{b2}\),也就是基极电流 \(I_{BQ}\),然后得到 \(I_{CQ}\)\(U_{CEQ}\)

\[ \begin{cases} I_{BQ} = \frac{V_{EE} - U_{BEQ}}{R_a + 2(1 + \beta)R_E} \\ I_{CQ} = \beta I_{BQ} \\ U_{CEQ} = V_{CC} + V_{EE} - I_{CQ}(R_C + 2 R_E) \end{cases} \]

这里重点分析长尾提供的射极电流 \(I_{EQ} \approx \frac{V_{FE}}{2R_E}\),对于该差分放大电路而言,只要选择合适的负电源 \(V_{EE}\) 和射极电阻 \(R_E\) 就可以确定一个合适的静态工作点 Q,这一点与之前讲解的单管放大电路并不相同。

动态分析

有了以上静态分析的基础,接下来进行动态分析,由于任何比较输入信号都可以分解为共模输入差模输入,因此动态分析时需要分别进行讨论。

差模输入响应

对于差模输入 \(u_{i1} = -u_{i2}\),这里将输入信号分别从两个端子输入,而输出则采用一个负载挂在 \(u_{o1}\)\(u_{o2}\) 两端,这种方式称为双端输入双端输出

进行动态分析,首先需要得到上图这个电路的交流通路,由于该交流通路当中没有电容,所以一些位置需要对地进行短路。

显而易见,两个直流电源需要对地进行短路。除此之外,如果电路当中某些点在信号的作用下,电压不随着交流信号的变化而变化,那么它在交流通路当中应该视为短路,这个电路当中输入的是一对大小相等极性相反的差模信号,在电路理想对称的情况下,两个晶体管各点的电流电压也应该是一对差模信号,所以上图 \(T_1\)\(T_2\) 管的射极电流是一对差模信号,两者汇集至上图圈红的点时总和为零,这就意味着 \(R_E\) 上的电压降不随输入信号的变化而变化,圈红点的电位也不会随着输入信号的变化而变化,因此需要对地进行短路。由于输出信号 \(u_{o1}\)\(u_{o2}\) 同样是一对大小相等极性相反的差模信号,如果负载 \(R_L\) 是一个线性理想电阻,电阻两端的电势一定是从高到低逐渐减小,因此电阻中间位置点的电势为零,需要对地进行短路。将上图当中的 4 个对地短路点准确找出以后,就可以得到双入双出模式下的差模输入交流通路

由于上图电路中间位置的 3 个点都是接地的,所以将该电路一分为二,变成两个非常简单的单管共射放大电路(负载变为 \(\frac{R_L}{2}\)):

基于这个过程,就可以快速的求解得到该差分放大电路的各种动态性能指标:

\[ \begin{cases} 差模输出\ u_{od} = u_{o1} - u_{o2} \xrightarrow{由于两者互为差模信号} 2u_{o1} \\ 差模输入\ u_{id} = u_{i1} - u_{i2} \xrightarrow{由于两者互为差模信号} 2u_{i1} \end{cases} \implies 差模增益 A_{ud} = \frac{u_{od}}{u_{id}} = \frac{u_{o1}}{u_{i1}} = -\beta \frac{R_C // \frac{R_L}{2}}{R_b + r_{be}} \]

接下来分析输入输出电阻,从两个输入端看进去,可以看到两个输入回路串联,此时输入电阻 \(R_i\) 等于 2 倍的 \(R_B + r_{be}\),相对于单管放大电路而言有了较大提高。同样的,从两个输出端口看进去,将会看到两个 \(R_c\),所以输出电阻等于两倍的 \(R_c\)

\[ \begin{cases} 输入电阻\ R_i = 2(R_B + r_{be}) \\ 输入电阻\ R_o = 2 R_c \end{cases} \]

当然,这样的分析过程也可以通过整个差分放大电路的微变等效电路来获得:

通过这样的求解过程可以发现,当差分放大电路选择双入双出模式的时候,其差模电压放大倍数约等于半边单管放大电路的电压放大倍数,而其输入与输出电阻则是半边单管放大电路的 2 倍。

共模输入响应

如果此时输出一对大小相等,极性相同的共模信号 \(u_{i1} = u_{i2}\),此时电路可以绘制为如下形式:

共模输入信号 \(u_{ic}\) 从两个输入端分别注入,而负载 \(R_L\) 依然挂在 \(u_{o1}\)\(u_{o2}\) 上面,共模信号输入情况下的交流通路 \(V_{CC}\)\(-V_{EE}\) 依然保持接地,但是由于 \(T_1\)\(T_2\) 管的电流也是一对共模信号,汇入 \(R_E\) 的时候并不会相互抵消,反而会变成 2 倍的关系,因此不能接地短路处理。而负载由于 \(u_{o1}\)\(u_{o2}\) 是一对理想的共模信号,所以不会有电流流过,可以视为开路。由此,就可以得到共模输入条件下的交流通路

将上面这个电路一分为二,同样变成两个单管共射放大电路,分割后每一侧 \(R_E\) 上流过的电流等于 2 倍的 \(R_E\)

通过以上电路,就可以方便的求解得到每个半边电路的共模电压放大倍数 \(A_{uc1}\)

\[ A_{uc1} = \frac{u_{oc1}}{u_{ic}} = - \frac{\beta R_C}{R_B + r_{be} + (1+\beta)2R_E} \approx - \frac{R_C}{2R_E} \]

此时,整个放大电路的共模输出电压 \(u_{oc}\) 等于 2 个半边电路的共模输出电压之差:

\[ u_{oc} = A_{uc1} u_{ic1} - A_{uc2} u_{ic2} \]

如果上面的电路是完全理想对称的,那么电路各项参数以及共模电压放大倍数也完全相同,此时共模输出电压 \(u_{oc} = 0\),导致整个差分放大电路的共模电压放大倍数 \(A_{uc} = \frac{u_{oc}}{u_{ic}} = 0\)

\[ \begin{cases} 共模输出电压\ &u_{oc} = 0 \\ 共模电压放大倍数\ &A_{uc} = \frac{u_{oc}}{u_{ic}} = 0 \end{cases} \]

如果电路不是完全理想对称的,这就意味着 \(A_{uc1}\) 并不完全等于 \(A_{uc2}\),使得共模输出电压 \(u_{oc} \neq 0\)。由于通常认为 \(2R_E >> R_C\),使得整个电路的共模电压放大倍数仍然非常小,约等于零。由此可以看到,在双端输入双端输出的模式下,无论电路是否完全理想对称,都可以获得非常大的共模抑制比 \(K_{CMR} \Rightarrow \infty\)

这种模式下,这个典型的差分放大电路利用对称性和长尾电阻引入的负反馈共同抑制了共模信号零点飘移,同时可以有效的放大差模信号,拥有非常良好的共模抑制性能。正是因为差分放大电路拥有如此多的优点,使其成为集成运放输入极常用的电路形式。

四种连接方式

差分放大电路拥有两个输入端和两个输出端,上一节已经讲解了双端输入双端输出模式,输入与输出信号两端都不接地,处于悬浮状态。但是对于需要接地的输入信号源以及输出负载而言,往往还是要采用单端输入单端输出的模式。经过组合以后,差分放大电路拥有四种组合方式:

  1. 双端输入双端输出(双入双出);
  2. 双端输入单端输出(双入单出);
  3. 单端输入双端输出(单入双出);
  4. 单端输入单端输出(单入单出);

接下来基于上一节双入双出的分析思路,举一反三,分析其它三种工作方式的静态与动态性能:

双入单出

下面的连接方式当中,信号依然从 \(u_{i1}\)\(u_{i2}\) 两端输入,而负载则通过 \(T_1\)\(T_2\) 晶体管的集电极对地输出,这种方式就称为双端输入单输出方式,简称双入单出

静态分析

由于 \(T_1\)\(T_2\) 晶体管的输入回路依然是对称的,因此 \(I_{BQ1}\)\(I_{BQ2}\) 仍然相等:

\[ I_{BQ1} = I_{BQ2} = \frac{V_{EE} - U_{BEQ}}{R_B + 2(1+\beta)R_E} \]

因此可以通过上图橙色箭头标出的回路进行求取,而 \(I_{CQ1}\)\(I_{CQ2}\) 也是相等的:

\[ I_{CQ1} = I_{CQ2} - \beta I_{BQ1} \]

由于在集电极上挂载了负载,所以两者的 \(U_{CEQ}\) 是不同的,基于上图标红点的电流分配关系,就可得到:

\[ I_{R_C} = I_{CQ1} + I_{RL} \]

对上图蓝色箭头所标识的支路列写电压方程,就可以得到如下的表达式:

\[ \frac{V_{CC} - U_{CQ1}}{R_C} = I_{CQ1} + \frac{U_{CQ1}}{R_L} \]

对于上面这个表达式进行求解之后,可以得到 \(U_{CQ1}\)

\[ U_{CQ1} = \frac{V_{CC} - I_{CQ1} \cdot R_C}{R_C + R_L} \cdot R_L \]

同样,通过上图绿色的回路,就可以求解得到 \(U_{CQ2}\)

\[ U_{CQ2} = V_{CC} - I_{CQ2} R_C \]

到这里就完成了静态分析,当电路结构变得不对称的时候,会对静态与动态都产生影响。

动态分析(差模输入)

当一对大小相等极性相反的差模信号,进入了下面这个双入单出的系统,由于输入回路仍然理想对称,所以 \(T_1\)\(T_2\) 晶体管的射极电流依然是一对差模信号,所以电阻 \(R_E\) 对差模信号没有负反馈作用,可以视为短路处理。

结合差模增益的定义,此时的差模电压放大倍数等于输出电压 \(u_o\) 比上差模输入,即整个差分放大电路的差模增益,等于半边电路放大倍数的一半,结合半边放大电路的交流通路:

从而可以写出整个差分放大电路在双入单出模式下的差模电压放大倍数,即半边放大电路增益的一半:

\[ A_{ud} = \frac{u_o}{u_{i1} - u_{i2}} = \frac{1}{2} \frac{u_o}{u_{i1}} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{\beta(R_C // R_L)}{R_B + r_{be}} \]

输入电阻 \(R_{id}\) 仍然是从两个输入端子看进去的两个输入回路的叠加:

\[ R_{id} = 2(R_B + r_{be}) \]

输出电阻 \(R_{od}\) 从单端输出看进去,只会看到一个 \(R_c\),所以输出电阻等于 \(R_c\)

\[ R_{od} = R_c \]

经过这样的分析可以看到,单端输出特性相对于双端输出发生了变化。即然上面可以从 \(T_1\) 管的集电极输出,那么也就可以从 \(T_2\) 管的集电极输出,此时差模输入得到的放大关系可以采用与上面相同的思路,除了将差模增益变换为 \(u_{o}\) 比上 \(u_{i2}\) 的形式,经过计算以后可以发现与上面的差模电压放大倍数方式唯一的区别在于有无负号:

\[ A_{ud} = \frac{u_o}{u_{i1} - u_{i2}} = -\frac{1}{2} \frac{u_o}{u_{i2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\beta(R_c // R_L)}{R_B + r_{be}} \]

这意味着单端输出非常灵活,可以选择从不同的差分晶体管进行输出,使得输出电压与输入电压呈现同相或者反相的关系

动态分析(共模输入)

对于下面这个输入共模信号的双入单出电路而言:

共模输入信号的作用,仍然会使其在半边电路上产生输出信号,整个放大电路的共模电压放大倍数,其实就是这半边电路的电压放大倍数。

\[ A_{uc} = -\frac{\beta(R_C // R_L)}{R_B + r_{be} + (1+\beta)2R_E} \approx \frac{R_L'}{2R_E} \]

由于电路不再具有对称性,那么负载上的输出电压,不能再依靠电路的对称性来减小共模放大倍数,这里只能依靠 \(R_E\) 引入的强烈负反馈来减小共模电压放大倍数。

对于输入电阻 \(R_{ic}\),从上面电路的输入端看进去,将会面对两个发射结和一个两倍 \(R_E\) 组成的并联电路,所以输入电阻方程应为:

\[ R_{ic} = \frac{1}{2} [R_{B} + r{be}] \]

输出电阻 \(R_{oc}\) 仍然是 \(R_c\)

\[ R_{oc} = R_c \]

对于这样的双入单出电路而言,其共模抑制比为:

\[ K_{CMR} = \bigg | \frac{A_{ud}}{A_{uc}} \bigg | \approx \frac{\beta R_E}{r_{be}} \]

这意味着单端输出的共模抑制比,要比双端输出的共模抑制比小一些,此时只能依靠 \(R_e\) 的负反馈来抑制共模信号。当 \(R_E\) 足够大的时候,就可以较好的抑制共模信号,使得差分放大电路工作在差分状态。

单入双出

除了双端输入之外,还可以采用下面的单端输入模式:

上面的电路结构当中,输入信号 \(u_i\)\(T_1\) 管的基极注入,而 \(T_2\) 管的基极接地,这种模式称为单端输入双端输出,适用于需要接地的信号源。这种情况下,一个输入端为 \(u_i\),另一个输入端为 0,本质上就是一个比较输入,根据前面比较输入的变换过程,可以将其转换为一个共模信号差模信号的叠加。这样单入双出的工作状态,就可以等效为双入双出的情况,

因此其差模/共模电压放大倍数、输入/输出电阻与前面得出的结论一致:

\[ \begin{cases} 差模电压放大倍数 & \implies A_{ud} = - \frac{\beta(R_c // \frac{R_L}{2})}{R_B + r_{be}} \\ 共模电压放大倍数 & \implies A_{uc} \approx - \frac{R_c}{2R_E} \\ 输入电阻 & \implies R_{id} = 2(R_B + r_{be}) \\ 输出电阻 & \implies R_{od} = 2R_c \end{cases} \]

注意:这里需要强调的是,当采用单端输入的时候,必然会伴随着共模信号的输入,这将会对整个电路的对称性以及长尾电阻的设计带来更高的要求。

单入单出

同理单端输入单端输出(单入单出)也可以等效为上面分析过的双端输入单端输出(双入单出)的情况。

总结对比

下面的表格对四种差分放大电路接法的共模/差模电压放大倍数输入/输出电阻进行了罗列与比较:

差模电压放大倍数:上表的 4 个表达式当中,2 个双端输出和 2 个单端输出分别保持一致,这样就可以得到如下重要结论:

  • 差模电压放大倍数只与输出方式有关,而与输入方式无关;
  • 当采用双端输出的时候,差模电压放大倍数 \(A_d\) 与单管电压放大倍数 \(A_u\) 基本一致;
  • 当采用单端输出的时候,差模电压放大倍数 \(A_d\) 约为双端输出时候的一半;
  • 虽然单端输出增益有所下降,但是灵活度较高,可以选择从不同三极管的集电极输出,使得输入/输出电压呈现同相或者反相;

输入/输出电阻

  • 输入电阻方面,差模的输入电阻都是相同的,相较于单管放大电路而言,输入电阻都有所增大;
  • 输出电阻方面,双端输出时候的输出电阻是单端输出时的 2 倍,而与输入方式无关;

共模抑制比

  • 双端输出时的共模抑制比,比单端输出的时候要大,理想情况下可以等效为无穷大 \(K_{CMR} \rightarrow \infty\);这是由于双端输出可以利用电路的对称性和长尾引入的负反馈,共同提高共模抑制比;
  • 单端输出模式下,只能依靠长尾电阻 \(R_e\) 引入的负反馈来确保共模抑制比,因此增大 \(R_E\) 就可以有效提高单端输出的共模抑制比;
  • 单端输出的时候,通过引入较强的共模负反馈,就可以确保两个管子仍然工作在差分状态;

改进差分放大电路

上一节从定性到定量,分析了长尾差分放大电路通过对称性以及长尾引入的负反馈,对零点漂移以及共模信号的抑制能力。但是由于实际应用中无法做到元件的理想对称,所以当输入信号为零的时候,双端的输出信号并不为零,这种输入信号为零输出信号不为零的现象称为差分放大电路的失调

电路非理想对称

工程中解决失调的问题,通常会在这个差分放大电路当中引入一个调零电位器,该电位器可以位于两个晶体管共同的发射极或者集电极:

上面电路当中调零电位器越小越好,首先在晶体管的的选择方面,已经基本能够保证电路的对称性,不需要使用较大的调零电位器处理失调;同时,由于调零电位器分别处于两个晶体管的发射极上,当差模信号输入的时候,调零电位器会对差模信号产生响应,根据前面射极电阻对于放大倍数的影响可以知道,调零电位器的存在一定会降低差模电压放大倍数,这显然是我们所不希望出现的,所以调零电位器在实际电路当中的取值都非常小,通常在几十到几百欧姆数量级。

长尾电阻的选择

长尾电阻引入的负反馈抑制了共模信号,对于单端输出而言,是唯一可以依靠的法宝。

根据前面对于单端输出共模抑制比的描述可以知道,长尾电阻 \(R_E\) 越大越好,如果 \(R_E\) 越大,共模抑制比就越大,对于共模信号的抑制能力也就越强:

\[ K_{CMR} \approx \frac{\beta R_E}{r_{be}} \implies R_e 越大越好 \]

但是 \(R_E\) 增大会影响到整个电路的静态工作点,如果希望电路保持原来的静态工作点,必须相应的提高负电源 \(V_{EE}\),这显然是不切实际的,同时过大的电阻 \(R_E\) 很难整合到集成电路当中:

\[ I_{EQ} \approx \frac{V_{EE}}{2R_E} \implies R_e 不宜过大 \]

这样就出现了一个矛盾,即希望更大的长尾电阻 \(R_e\) 提高共模抑制比,同时又不希望过大的 \(R_e\) 影响静态工作点。此处电流源电路正好符合这种动态电阻大,静态电阻小的要求,即采用电流源取代射极电阻 \(R_e\),从而得到一个带有电流源的差分放大电路

这样的电路当中,\(T_3\)\(T_4\) 管所构成的比例电流源取代了原有的长尾电阻 \(R_e\),该电流源电路的静态电阻较小,可以提供恒定的电流输出,因此无需过大的电源即可获取所需的静态工作点。除此之外,由于电流源电路可以被等效为一个大电阻,从而有效地减小共模放大倍数,同时不影响差模放大倍数,因而能够非常有效的增强差分放大电路的共模抑制比。

双端变单端转换电路

下面的电路,也是一个由恒流源构成的差分放大电路,该电路由一个 \(u_i\) 信号从两端差分输入,而输出信号则取自于 \(T_2\) 管的集电极,因此是一个双入单出的电路,称为双端变单端的转换电路

该电路拥有两个电流源,一个以符号的形式取代了射极电阻上的电流源,另一个则是由 \(T_3\)\(T_4\) 管构成的镜像电流源,在这样两个电流源的作用之下,接下来分别对该电路进行静态和动态两方面的分析。

静态方面,可以看出此时 \(V_{CC}\) 并没有直接作用于基级电路,因此根据前面的分析思路,仍然是通过长尾来确定静态工作点,此时长尾上的电流源所提供的静态电流 \(I\) 一分为二,变成了两个电路的 \(i_e\) 从而确定 \(T_1\)\(T_2\) 管的静态工作点。

静态下(即输入信号为零的时候),由于电路理想对称,所以可以得到下面的推导过程:

\[ \begin{cases} I_{C1} = I_{C2} \\ I_{C3} = I_{C4} \\ I_{C3} \approx I_{C1} \end{cases} \implies I_{C2} \approx I_{C4} \implies I_O = I_{C4} - I_{C2} \approx 0 \]

由于静态下的输出电流 \(I_O\) 恰恰就等于 \(I_{C4}\) 减去 \(I_{C2}\) 约等于零,这意味着该电路的静态电流并不会流向下一级,言下之意,即该电路的静态工作点是独立的,该电路产生的漂移和静态工作点变化,并不会影响下一级电路。

动态方面,在差模信号 \(u_i\) 的作用下,显然 \(T_1\) 管和 \(T_2\) 管的集电极电流 \(I_{C1}\)\(I_{C2}\) 也应是一对大小相等极性相反的差模交流信号:

\[ \Delta i_{C1} = -\Delta i_{C2} \]

而电流源的 \(i_{C3}\)\(i_{C4}\) 则仍然是一对共模信号:

\[ \Delta i_{C4} = \Delta i_{C3} \approx \Delta i_{C1} \]

经过这样的变换之后可以看到,此时在交流信号的作用下,输入信号 \(i_O\) 的变化量 2 倍于 \(i_{C1}\) 的变化量:

\[ \Delta i_O = \Delta i_{C4} - \Delta i_{C2} \approx 2 \Delta i_{C1} \]

这意味着双端变单端转换电路的差模电压放大倍数是双端输入单端输出差模电压放大倍数的 2 倍,对于差模信号有着较好的放大能力。这样的电路形式,在两个电流源的作用之下,虽然电路变得更加复杂,但是获得了更加优越的共模抑制性能以及差模电压放大能力,集成度也得到了大大的提高,因此该电路也就成为了集成运放输入极的雏形。

为了进一步提高输入电阻,可以进一步采用场效应管来构成差分放大电路,下图就是一个利用 MOS 管构成的场效应管差分放大电路,其分析思路与过程和前面的晶体管差分放大电路非常相似:

双端输出情况下,整个差分放大电路的差模电压放大倍数 \(A_d\) 仍然约等于半边电路的电压放大倍数:

\[ A_d = - g_m R_d \]

输入电阻 \(R_i\) 基于场效应管优越的输入电阻性能,趋近于无穷大:

\[ R_i = \infty \]

输出电阻 \(R_o\) 仍然等于 2 倍的漏极电阻 \(R_d\)

\[ R_o = 2 R_d \]

共模抑制比 \(K_{CMR}\),通过下面的公式可以发现,当电路基本对称的时候,其共模抑制比可以非常大:

\[ K_{CMR} = \frac{2 g_m R_d}{(R_{d1} - R_{d2}) i_s} \]

正是由于场效应管差分放大电路的差模输入电阻很高、偏置电流很小、功耗低、工作频率高,使其在集成运放等集成电路当中,得到了非常广泛的应用。

传输特性

前面讨论了差分放大电路在小信号线性工作状态下的放大作用,除了使用公式进行相关的描述之外,还可以采用图形的方式来描述差分放大电路输出的电流电压与差模输入电压 \(u_{id}\) 之间的函数关系,也就是传输特性。特别是在信号较大的时候,通常会采用传输特性曲线来描述差分放大电路输入输出之间的关系。

一个差分放大电路的传输特性,可以基于晶体管发射结的电流电压关系来求得:

\[ \begin{cases} i_{e1} \approx I_{es} e^{u_{be1}/U_T} \\ i_{e2} \approx I_{es} e^{u_{be2}/U_T} \end{cases} \]

结合上面的电压电流关系,可以得到如下推导过程:

\[ \begin{cases} u_{id} = u_{be1} - u_{be2} \\ I = i_{e1} + i_{e2} \end{cases} \implies \begin{cases} i_{C1} \approx i_{e1} = \frac{I}{1 + e^{-u_{id}/U_T}} \\ i_{C2} \approx i_{e2} = \frac{I}{1 + e^{u_{id}/U_T}} \end{cases} \]

基于上面最后得到的等式关系,就可以绘制出差模输入电压 \(u_i\) 与输出电流 \(i_{c1}\)\(i_{c2}\) 之间的关系曲线,称为电流传输特性曲线

通过上面等式可以得到如下一系列结论:

  1. \(u_{id} = 0\) 的时候 \(I_{C1} = I_{C2} = \frac{I}{2}\)
  2. \(u_{id} \le U_T\) 的时候,差分管工作于放大区,整个差分放大电路处于线性区,此时输出电流与输入电压呈现线性关系;
  3. \(u_{id} \ge 4 \times U_T\),一个管子趋于饱和,另外一个管子趋于截止,此时整个电路的电流都基本流向了趋于饱和的管子,此时电路工作于非线性区,或者称为饱和区
  4. 通过加入射极电阻 \(R_e\) 引入负反馈,可以有效扩大整个电路的线性区(引入负反馈以后,虽然线性区域得到了扩大,但是特性曲线的斜率却急剧下降,这就意味着放大电路的差模增益也出现了损失);

由于输出电压与电流之间呈现线性关系,根据前面的曲线可以得到差分放大电路的电压传输特性

\[ \begin{cases} u_{o1} = V_{CC} + V_{EE} - i_{c1}R_c \\ u_{o2} = V_{CC} + V_{EE} - i_{c2}R_c \\ \end{cases} \]

上面方程组反映了输入的差模电压 \(u_{id}\) 与输出电压 \(u_{o1}\)\(u_{o2}\) 之间的关系,其趋势与前面讲解的电流传输特性一致,可以采用折线化的方式进行近似:

在上面的曲线当中,当输入限定在规定范围之内的时候,即输入差模信号较小的时候,此时放大器处于线性区,输出电压与输入电压呈现线性关系。而当输入的差模电压信号超过一定范围时,就会发生正向饱和(输出趋于 \(+V_{CC}\))或者反向饱和(输出趋于 \(-V_{EE}\)),由此可以看出差分放大电路输出的电流电压与输入的差模电压之间的关系。同时,由于差分放大电路是集成运放的输入极,其传输特性极大程度的决定了整个集成运放的传输特性。

功率放大电路分析

现在已经从需求出发,从输入级、中间级、偏置电路分别讨论了它们的内部结构,其中采用差分放大电路构成输入级来抑制零点漂移,而由各种电流源构成偏置电路为各级提供稳定的静态工作点,为了进一步提高整个电路的驱动能力,还需要设置合理的输出级。

特点与要求

根据前面的分析,我们希望输出级具备较强的带负载能力,这就要求输出级的输出电阻较小,同时可以输出较大的功率用于驱动负载,能够同时满足这些需求的就是本小节将要讨论的功率放大电路,功率放大电路不仅是集成运放输出级的主要形式,也是一种非常重要和常见的独立电路形式。

上图是一个扩音器的内部电路,其第 1 级是一个共基放大电路,第 2 级则是一个共射放大电路,前两级的作用都是较大程度的放大电压,而在最后一级驱动扬声器的就是一个功率放大电路。

电子系统中,模拟信号被放大以后,往往要去驱动一个实际的负载(例如扬声器、机械系统等),而驱动一个实际负载需要较大的功率(这正是前级电压放大电路所不能实现的),能输出这样较大功率的放大电路称为功率放大器

功率与电压放大电路的区别

各类放大电路本质上都是利用各类有源器件,实现能量的控制和转换。且均在输入信号的作用下,将直流电源提供的直流功率转换为输出的交流信号功率。广义上而言,无论哪种放大电路,在负载上都存在着电压、电流、功率的放大,从能量控制的角度来看,放大电路实质上都是能量转换电路

  • 电压放大电路:不失真的放大输入信号的幅度,用以驱动后面的各级电路,晶体管通常工作在小信号状态;
  • 功率放大电路:在信号不失真或者轻度失真的前提下,最大程度的获得输出功率,晶体管通常工作在大信号状态;

功率放大电路的要求

  • 能够输出较大的功率:为了能够让负载获得尽可能大的功率,功率放大电路中的电流、电压都比较大,这意味着晶体管通常工作于极限状态,为了确保放大电路正常工作,要求晶体管工作的电流、电压不能超过极限值 \(I_{CM}\)\(U_{CEM}\)\(P_{CM}\)
  • 具有较高的功率转换效率:当信号输出功率较大时,此时直流电源也会输出较大的功率,根据能量守恒定律可以知道: \[ \begin{aligned} 电源提供的直流功率\ P_D = 电路自身消耗的能量(管耗)\ P_C + 负载得到的交流信号功率\ P_{o\ max} \\ \Downarrow \\ 功率转换效率\ \eta = \frac{最大输出交流信号功率\ P_{o\ max}}{直流电源提供的功率\ P_D} = \frac{P_{o\ max}}{P_C + P_{o\ max}} \end{aligned} \]
  • 具有较小非线性失真:功率放大电路当中,晶体管工作在大信号状态下,从而不可避免的进入饱和区、截止区这样的非线性区域,从而引发非线性失真。输出功率越大,相应的动态电压和电流就越大,出现非线性失真的可能性也就越高;
  • 要考虑到功率管的散热:功率放大电路中的器件工作在大信号极限状态,因此选择器件时要注意不能超过其极限参数,并且留有余量,同时还要考虑过压与过流保护措施,保护器件能够安全正常的工作;

注意:转换效率是功率放大电路的重要指标之一。

功率放大电路的研究重点

通过以上对电压放大电路和功率放大电路的对比分析,以及对功率放大电路要求的讨论,可以看出对于功率放大电路而言,重点研究的问题主要集中在如下三个方面:

  1. 结构问题:解决效率与失真之间的矛盾;
  2. 性能问题:功率和效率;
  3. 安全问题:晶体管的选用;

指标与分类

功率放大电路关注的指标与前面讲解的电压放大电路也会有所不同,其主要关注如下几个指标:

  • 最大输出功率:最大输出电压与最大输出电流的有效值的乘积; \[ P_{o\ max} = \frac{u_{o\ max}}{\sqrt{2}} \times \frac{i_{o\ max}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} i_{o\ max} = \frac{u^2_{o\ max}}{2R_L} = \frac{1}{2} i^2_{o\ max} R_L \]
  • 电源输出功率:对于恒压源而言,其对外输出的总功率是其在整个周期之内的积分,其中 \(V_{DD}\) 是一个常量,而电流则在周期内进行变化; \[ P_D = \frac{1}{T} \int^{T}_{0} V_{DD} I_c (t) dt = \frac{1}{T} V_{DD} \int^{T}_{0} I_c (t) dt \]
  • 管耗:整个周期之内,直流电源输出功率与负载所获得的最大输出功率的差; \[ P_C = P_D - P_{0\ max} \]
  • 效率:最大输出功率与直流电源提供功率的比值,观察下面的公式可以发现,如果想要提高效率,减小管耗是最有效的途径之一; \[ \eta = \frac{P_{o\ max}}{P_D} = \frac{P_{o\ max}}{P_C + P_{o\ max}} \]

这里,假设集电极的电流和电压分别是 \(i_c(t)\)\(u_{ce}(t)\),管耗 \(P_C\) 的定义可以采用如下的积分进行描述,即整个信号周期内,电流与电压变化乘积的一个积分:

\[ P_C = \frac{1}{T} \int^{T}_{O} i_c (t) \cdot u_{ce} (t) dt \]

通过上面的等式可以看到,管耗的大小与器件在整个信号周期之内的导通时间有着密切关系,因此根据晶体管在信号周期内导通时间的不同,可以将功率放大电路分为甲类、乙类、甲乙类、丙类等。

甲类(A 类)功放

如果静态工作点位置较高,处于交流负载线的中间位置,这种状态下,晶体管在整个信号周期内都是导通的,这类功率放大电路称为甲类功放

观察上图静态工作点的位置以及信号的特点,可以知道这类功放的静态工作点比较高,晶体管在整个信号周期内都是导通的(导通角 \(\theta = 2\pi\)),由于静态工作点的位置较高,所以能够获得最大的不失真输出,即失真程度非常小。由于静态工作点位置比较高,这也就意味着没有交流信号输入时,负载上获得不了交流的输出功率,但是由于静态工作点仍然在消耗着静态值 \(I_{CQ}\)\(U_{CEQ}\) 的功率,所以静态管耗较大,导致效率也较低。这类功放的典型代表,就是前面分析过的各类电压放大电路,例如下图中的共集放大电路(即射极输出器),

通过选择合适的电阻,就可以获得下图位于交流负载线中间的静态工作点,通过图解法也可以得到其输出信号的波形:

虽然射极输出器没有电压放大能力,但是依然具有电流放大能力,因此也具备一定的功率放大作用。而且由于静态工作点的位置比较高,在整个信号周期之内都能够不失真的进行信号传输,如果这里忽略晶体管的饱和压降和截止区,这样输出信号的最大峰值电压 \(U_{o\ max}\) 与电流 \(I_{o\ max}\) 分别为:

\[ \begin{cases} 峰值电压\ \implies U_{o\ max} = \frac{V_{CC}}{2} \\ 峰值电流\ \implies I_{o\ max} = I C_Q = \frac{V_{CC}}{R_E} \end{cases} \]

将上述等式代入直流电源输出功率输出最大功率的方程,就可以得到这个射极输出器的效率 \(\eta\)

\[ \begin{cases} 直流电源输出功率\ &\implies P_D = \frac{1}{T} V_{CC} \int^{T}_{0} I_c (t) dt = \frac{V_{CC}^2}{2R_E} \\ 直流电源最大输出功率\ &\implies P_{o\ max} = \frac{u_{o\ max}}{\sqrt{2}} \times \frac{i_{o\ max}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{8} \frac{V_{CC}^2}{R_E} \end{cases} \implies \eta_{max} = \frac{P_{o\ max}}{P_D} = 25\% \]

上面等式属于不加负载的情况,当接入负载电阻之后,静态工作点 Q 的位置不变,但是交流负载线变得更加陡峭,这意味着此时电源的输出功率不变。但是输出电压下降,必然导致输出功率下降,从而意味着效率变得更低。实际工程当中,这样一类电路获得的最大效率在 \(10\% \sim 20\%\) 范围,由此可见甲类功放虽然失真很小,但是效率很低,不满足我们对于功率放大电路的要求,实际电路当中较少采用其作为功放的首选。

甲乙类(AB 类)功放

通过上面对甲类功放的分析,不难发现引起甲类功放效率低下的一个重要因素,就是因为静态工作点过高,导致未输出交流功率的情况下,电路自身仍然消耗着能量。因此,提高效率的一个主要手段,就是降低静态工作点。

如果将静态工作点降低,使其靠近截止区,此时信号出现了失真。但是由于静态工作点较低,使得这类电路的效率明显增加,我们将处于这样一种静态工作点位置的功率放大电路称为甲乙类功放

观察上面的波形,可以看到由于静态工作点较低,使得整个电路的静态功耗急剧下降,放大管的导通角位于 \(\pi < \theta < 2\pi\) 之间,而能量的转换效率也进一步提高,输出的失真也会变得比较大。

乙类(B 类)功放

如果在上面甲乙类功放的基础之上,进一步降低静态工作点,使其位于横轴上为零的位置,此时只有半个周期的波形输出,这类功率放大电路称为乙类功放

显然乙类功放的晶体管只在半个周期内导通,导通角为 \(\theta = \pi\),此时静态功耗约为零,能量的转换效率更高,但是也可以发现失真更加明显。

丙类(C 类)功放

如果在乙类功放的基础上再降低静态工作点,使得其中的晶体管出现反向偏置,这样就可以成为丙类功放

此时晶体管的导通角 \(\theta < \pi\),其能量转换效率也就更高,但是相应的失真也就更加严重。这样的功率放大电路并不能用于低频信号的放大,只能用于高频的调谐电路之中,属于一种高频的功率放大器。

丁类(D 类)功放

上述几类功率放大电路都是对模拟量进行放大,而丁类功放则是对调制后的脉冲信号进行功率放大,它利用晶体管的高速开关特性,以及较低的饱和电压降,可以获得非常高的效率,理论上甚至可以达到 100%,实际工程应用中也可以达到 90% 以上。

由于这种功放的效率高,同时集成度也非常好,成为了目前功率放大电路研究领域的热点。但是本文依然会将重点放置在比较经典与实用的放大电路上,通过前面对几类功率放大电路的讨论,可以发现各类功率放大电路的区分与其静态工作点的位置密切相关。

通过上面表格可以看到,甲类功放虽然具有不失真的特点,但是由于其效率较低,实际电路当中已经很少使用。目前相对常用的功率放大电路类型主要是乙类甲乙类两种,这两类功放虽然有着效率更高的优势,但是不可回避的问题是其失真都比较大,如何解决效率失真之间的矛盾,将会成为接下来分析的重点。

乙类推挽功率放大电路工作原理

当晶体管的静态工作点为零的时候,功率放大电路属于乙类功放,在这种类型的功率放大电路当中,由于静态工作点为零,使得只有在有信号的时候,电源才提供电流。因此,这样的乙类功率放大电路,能够将电源提供的能量大部分用于负载之上,效率能够得到极大的提高。但是,通过波形可以发现,乙类功率放大电路输出信号的失真非常明显,仅仅存在半个周期的波形输出。此时,如果再利用另外半个波形对其进行拼接,就可以在负载上合成一个完整的正弦信号。基于这样的思想,就可以利用两个晶体管在信号周期之内轮流导通,进一步构成推挽电路(Push-Pull)。

实现上述思想的电路有很多,这里主要讲解变压器耦合乙类推挽功放乙类互补对称式功放

变压器耦合乙类推挽功放

下图就是一个变压器耦合乙类推挽功放,输入和输出端分别由 \(T_{r1}\)\(T_{r2}\) 作为输入和输出耦合变压器,而 \(T_1\)\(T_2\) 是两个类型相同的功率管,整个电路采用单电源供电。

静态下,当输入信号为零的时候,由于 \(T_1\)\(T_2\) 管的射极接地,如果忽略管压降,显然此时两管的基极和射极电位都为零,这意味着两管的静态工作点都为零,所以该电路当中的两个晶体管都处于乙类工作状态。

当向该电路输入一个正弦信号,在正半周的时候,经过输入变压器的耦合,分别在 \(T_1\)\(T_2\) 管的基极获得一个信号(如上图所示),此时 \(T_1\) 管导通 \(T_2\) 管截止,在 \(i_{c1}\) 上就可以获得一个波形(如上图所示),该波形经过输出变压器耦合之后,根据 \(i_L\) 的参考方向,就可以在输出端的变压器上获得电流(如上图所示),在负载上就产生了一个正半周的电压输出波形(如上图所示)。

当输入信号处于负半周的时候,此时 \(T_1\) 管截止 \(T_2\) 管导通(基极电位高于射极电位),在 \(i_{c2}\) 参考方向上可以获得一个信号波形,该信号经过输出变压器耦合之后,就可以在 \(i_L\) 上面产生负半周的电流信号,同样也就在负载上产生了一个负半周的信号。

由此可以看到,在上面的电路当中,当输入信号变化的时候,整个周期之内 \(T_1\)\(T_2\) 管是轮流导通和截止的,这意味着在整个信号周期之内,\(T_1\)\(T_2\) 管的电流此消彼长,类似于两个人在互相推挽拉锯一样,所以被形象的称为推挽电路

通过这样的过程也可以看到,在乙类工作条件下,对于单管而言信号是失真的。但是经过拼接以后,可以在负载上得到一个完整的正弦信号,解决了效率和失真之间的矛盾。该电路的优点在于输入为零的时候,静态功耗等于零,因而效率较高,而变压器的存在,可以方便的实现阻抗匹配,当设计好合适的匝数比时,就将会获得最大的输出功率。但是也正是由于变压器的出现,导致该电路体积较大,成本较高,而低频和高频性能都较差,同时容易产生自激振荡,难以集成化。正因为如此,这类功率放大电路实际应用较少。

乙类互补对称式推挽功放

乙类互补对称式推挽功放更为常用,该电路采用 NPN 和 PNP 两支晶体管(类型互异,性能一致),如果旋转它们的特性曲线,会发现两者完全重合,因而这样的电路被称为互补对称。根据电路结构的不同,互补对称功率放大电路可以分为输出无电容(OCL)、输出无变压器(OTL)两大类。

输出无电容 OCL

输出无电容电路(OCL,Output Capacitor-less)拥有 NPN 型的 \(T_1\) 和 PNP 型的 \(T_2\) 两个晶体管,虽然类型不同,但是理想上认为其特性完全一致,这样的形态就称为互补对称

该电路由 \(+V_{CC}\)\(-V_{CC}\) 两个电源来供电,当电路处于输入信号为零的静态情况下,由于两个晶体管理想对称,所以上图圈绿点的电位等于零,由于两个晶体管的静态工作点都等于零,所以它们都工作于乙类状态。

给上面电路中的 \(v_i(t)\) 一个交流信号,如果忽略管压降,当 \(v_i(t)\) 工作于正半周的时候,意味着 \(T_1\)\(T_2\) 管的基极电位大于零,显然此时 \(T_1\) 管导通 \(T_2\) 管截止,在 \(T_1\) 管的 \(i_{c1}\) 上将会产生半周的波形,最后也会在负载上产生半个周期的电压输出。

\(v_i(t)\) 工作于负半周,此时 \(T_1\)\(T_2\) 管的基极电位小于零,此时 \(T_1\) 管截止 \(T_2\) 管导通,在 \(T_2\) 管集电极上产生电流 \(i_{c2}\),该电流按照输出电流电压的参考方向,可以在输出端产生一个负半周的波形,从而在负载上拼接出一个完整的正弦信号。

虽然在这个过程当中,两个晶体管轮流导通,分别产生半个周期的波形,但是在负载上则可以通过拼接得到一个完整的正弦信号。同时应该注意到,在这样一个电路当中,无论是 \(T_1\) 管还是 \(T_2\) 管导通,对于负载而言都是射极输出的形式,根据前面的相关知识可以知道该电路不具有电压放大能力,但是具有较强的电流放大能力,同时输出电阻也比较小。

通过以上对于 OCL 电路的分析,也可以发现其具有输出功率大效率高,通过拼接也可以获得较小的失真,解决了失真与效率之间的矛盾,相比于之前的变压器耦合功率放大电路,其集成度也较高。但是其缺点在于电路中同时使用了两组电源,生产成本较高。

输出无变压器 OTL

为了解决 OCL 采用两组电源供电的问题,输出无变压器电路(OTL,Output Transformer-less)采用了单电源供电:

上图当中 \(T_1\)\(T_2\) 管虽然类型不同,但是特性理想对称,静态下电路当中 O 点的电位为 \(\frac{V_{CC}}{2}\),这意味着如果想让 \(T_1\)\(T_2\) 管工作于乙类状态,静态下应该让输入信号为两个晶体管基极提供静态偏置 \(\frac{V_{CC}}{2}\),这也是对前级电路的要求。在这样的电路当中,输入信号的直流偏置 \(V_I = \frac{V_{CC}}{2}\),仍然可以保证两个晶体管工作于乙类状态,因而这依旧是一个乙类的功率放大电路。

除了采用单电源供电之外,还有一点值得注意的是,需要在输出端接入一个大容量的隔直电容 \(C_L\)。当 \(v_i(t)\) 在静态偏置的基础上输入一个正弦信号的时候,信号正半周 \(T_1\) 导通 \(T_2\) 截止,这意味着 \(V_{CC}\) 在经过 \(T_1\) 管为电容 \(C_L\) 充电的同时,也会在负载上产生一个正半周的波形,如果 \(C_L\) 电容足够大的话,就可以使得 \(C_L\) 的电位冲至 \(\frac{V_{CC}}{2}\) 数量级。

\(V_i(t)\) 进入到负半周的时候,\(T_1\) 管截止而 \(T_2\) 管导通。当 \(T_1\) 管截止时,此时由于 \(V_{CC}\) 不能直接为 \(T_2\) 管供电,大电容 \(C_L\) 沿着蓝色回路向外放电,同样可以在负载上产生负半周的波形,经过拼接之后,负载就可以得到一个完整的正弦信号。由此可见,电容 \(C_L\) 在电路里实际扮演着一个负电源的角色。

OTL 电路的优点在于采用了成本更低的单电源供电,但是由于大电容 \(C_L\) 的存在,使得该电路的低频特性较差。

注意:通过上述的工作原理分析,不难发现 OTL 电路从原理上可以等效为通过 \(+\frac{V_cc}{2}\)\(-\frac{V_cc}{2}\) 供电的 OCL 电路,后续将针对 OCL 展开进一步分析,而相应的 OTL 电路结论则可以直接通过替换得到。

经过对于前面三种乙类功率放大电路的分析,通过下面表格可以发现它们各有优缺点:

变压器耦合采用单电源供电,但是低频特性较差,体积和效率都不占优势。相对更具有优势的是后面由两个互补对称的晶体管构成的 OTLOCL 电路,两者分别采用单双电源供电,两个晶体管轮流导通,从而在负载上拼接出完整的波形,其效率相对较高,体积相对较小。

OCL 功率放大电路性能分析

前一节已经讨论了 OCL 功率放大电路的工作原理,本小节着手对其进行定量的性能分析。首先,仍然遵循先静态后动态的原则,对该电路进行静态分析:

静态即 \(v_i\) 输入为零时,如果 \(T_1\)\(T_2\) 晶体管理想对称,上面电路圈红结点的电位就等于零。这意味着如果忽略 \(T_1\)\(T_2\) 的管压降,两管集电极的静态电流应该都为零。此时 \(U_{CEQ1}\)\(U_{CEQ2}\) 则分别为 \(+V_{CC}\)\(-V_{CC}\),因此根据前面对于功率放大电路的分类,此时该功率放大电路的晶体管工作于乙类状态,这样静态分析就完成了。接下来着手进行动态分析,对于大信号电路只能采用图解法进行分析:

上图当中,可以看到 \(T_1\)\(T_2\) 两个完全理想对称的 NPN 与 PNP 晶体管的特性曲线,前面已经通过静态分析知道两者的静态工作点都为零,这意味着对于 \(T_1\) 管而言,静态工作点位于 \(Q_1\) 位置,而 \(T_2\) 管则位于 \(Q_2\) 位置。

  • \(V_i\) 处于正半周的时候,此时 \(T_1\) 管导通,负载线是一条通过 \(Q_1\) 点的斜线,斜率根据前面对于交流负载线的学习,可以知道等于 \(-\frac{1}{R_{L}}\),此时在输出上将会获得一个负半周的输出波形;
  • \(V_i\) 处于负半周的时候,此时 \(T_1\) 管截止,\(T_2\) 管导通,\(T_2\) 管的负载线是一条通过 \(Q_2\) 点,斜率仍然为 \(-\frac{1}{R_{L}}\) 的斜线,经过在这条负载线上作图分析,就可以获得一个正半周的输出电压波形;

因此,在整个周期之内,虽然集电极电流分别为半个正弦波,但是通过合成集电极上的交流电压,可以得到一个完整的正弦波。通过上面的动态分析,就可以了解信号的整体传输过程,接下来可以着手对该电路进行性能分析。

电流

通过前面的图解法分析可以知道,让两个晶体管在半个周期内轮流导通,可以在负载上拼接出一个完整的正弦波交流信号:

\[ 当\ 0 \le \omega t \le \pi\ 时 \begin{cases} i_{c2} = 0 \\ i_{c1} = I_{cm} \sin \omega\ t \end{cases} \; + \; 当\ \pi \le \omega t \le 2\pi\ 时 \begin{cases} i_{c1} = 0 \\ i_{c2} = I_{cm} \sin \omega\ t \end{cases} \; \implies \; 通过\ R_L\ 的电流\ i_L = i_{e1} - i_{e2} \approx i_{c1} - i_{c2} = I_{cm} \sin \omega t \]

电压

电压方面,在整个周期之内,经过两个晶体管的轮流导通,负载上也可以获得一个完整的电压信号输出:

\[ 集射极间电压 \implies \begin{cases} U_{CE1} = V_{CC} - U_{cem} \sin \omega\ t \\ U_{CE2} = - V_{CC} + U_{cem} \sin \omega\ t \\ \end{cases} \]

考虑此时静态工作点的位置是 \(V_{CC}\),为了避免信号进入饱和区而出现失真,最大可以获得的输出电压幅值等于 \(V_{CC}\) 减去 \(U_{CES}\)

\[ 最大不失真输出电压幅值 \implies U_{OM} = V_{CC} - U_{CES} \]

功率

负载上可以获得的输出功率,等于输出电压和输出电流有效值的乘积:

\[ R_L\ 上的输出功率 \implies P_O = \frac{1}{2} \times \frac{U_O^2}{R_L} \]

对于在整个周期之内获得的最大输出功率,则可以用下面的式子进行描述:

\[ 最大输出功率 \implies P_{OM} = \frac{(V_{CC} - U_{CES})^2}{2R_L} \]

根据定义,整个周期之内直流电源提供的功率可以通过下面的积分运算求得:

\[ P_D = P_{D1} + P_{D2} = 2 P_{D1} = \frac{2}{2\pi} \int^{2\pi}_0 V_{CC} I_{cm} \sin\ (\omega t)\ d(\omega t) = \frac{2V_{CC}I_{cm}}{\pi} = \frac{2V_{CC} (V_{CC} - U_{CES})}{\pi R_L} \]

注意:由于两个电源理想对称,所以上面等式第 2 步等于两倍单电源的输出功率。

效率

效率这个性能参数可以划分为理想实际两种状态来分别进行讨论。

理想情况

理想情况也就是充分激励的情况,表征输入信号足够强大,使得晶体管可以达到最大输出电压,基于这种情况进一步理想化,令 \(U_{CES} = 0\)\(I_{CEO} = 0\),此时能够达到的最大输出电压幅值 \(U_{cem} = V_{CC}\),输出电流最大值 \(I_{cm} = \frac{V_{CC}}{R_L}\),在这样一种理想的情况下,相应的输出功率 \(P_O\) 和电源输出功率 \(P_D\) 都能够达到最大值,将这些等式代入前面输出功率电源输出功率的表达式可以得到:

\[ \begin{cases} 输出功率\ P_{O\ max} &= \frac{V_{CC}^2}{2R_L} \\ 电源输出功率\ P_{D\ max} &= \frac{2V_{CC}^2}{\pi R_L} = \frac{4}{\pi}(\frac{V_{CC}^2}{2R_L}) = \frac{4}{\pi} P_{o\ max} \end{cases} \implies OCL 功率放大电路的效率\ \eta = \frac{P_{O\ max}}{P_{D\ max}} = \frac{\pi}{4} = 78.5\% \]

观察上述结论可以发现,相比之前讨论过的甲类功率放大电路,OCL 功率放大电路的效率要高得多,但是这样的理想状态在实际当中并不存在。

实际情况

实际情况当中,对于功率管而言 \(U_{ces}\) 通常比较大,不能轻易忽略,要获得充分的激励较为困难。当激励不充分的时候,\(U_{cem}\) 达不到所需的 \(V_{CC}\) 数量级,为了表征这种情况专门引入了电压利用系数 \(\xi\) 来表示 \(U_{cem}\) 的减小程度:

\[ \xi = \frac{U_{cem}}{V_{CC}} \]

将上面的比值代入之前公式,就可以获得实际情况下 OCL 功率放大电路的输出功率直流电源输出功率效率等性能参数:

\[ \begin{cases} 输出功率 &\implies P_O = \frac{1}{2} \cdot \frac{U_{cem}^2}{R_L} = \frac{1}{2} \xi^2 \frac{V_{CC}^2}{R_L} = \xi^2 P_{O\ max} \\ 直流电源输出功率 &\implies P_D = 2 \frac{V_{CC}I_{cm}}{\pi} = \frac{2}{\pi} \xi \frac{V_{CC}^2}{R_L} = \frac{4}{\pi} \xi P_{O\ max} \\ 效率 &\implies \eta_c = \frac{P_O}{P_D} = \frac{\pi}{4} \xi = \eta_{max} \xi \end{cases} \]

实际电路当中,乙类功率放大电路的效率往往会略低于 78.5%。上述图解法分析过程,展现了以 OCL 为代表的乙类功率放大电路的各项性能指标,可以看出它比甲类功率放大电路的效率更高。但是,根据上面最后得到的分析结果,如果希望让乙类功率放大电路发挥最大效率,还是应当尽量采用充分的激励。

OCL 电路中晶体管选择

在前一节分析的乙类功率放大电路当中,除了真正想要获得的输出功率之外,还有一部分能量消耗在了管路上,这里统称为管耗,其值等于输出功率与电源输出功率的差值:

\[ \begin{cases} 输出功率 &\implies P_O = \xi^2 P_{O\ max} \\ 直流电源输出功率 &\implies P_D = \frac{4}{\pi} \xi P_{O\ max} \end{cases} \implies 管耗\ P_C = P_D - P_O \]

将上面方程组里的两个式子代入管耗公式以后,可以发现 OCL 当中两管的集电极管耗是一个以 \(\xi\) 作为参数的方程:

\[ P_{C1} = P_{C2} = \frac{(P_D - P_O)}{2} = (\frac{2}{\pi} \xi - \frac{1}{2} \xi^2) P_{O\ max} \]

当输入激励由大减小,即 \(\xi\) 减小的时候,输出功率 \(P_O\)、电源输出功率 \(P_D\)、效率 \(\xi\) 均是单调减小,而管耗 \(P_{C1}\)\(P_{C2}\) 并非单调变化的关系。根据数学推导,当 \(\xi = frac{2}{\pi} = 0.636\) 的时候,管耗将会达到最大值:

\[ P_{C1\ max} = P_{C2\ max} = \frac{V_{CC}^2}{\pi^2 R_L} = \frac{2}{\pi^2} P_{O\ max} = 0.2P_{O\ max} \]

上面等式中的 \(P_{O\ max}\) 是理想情况下的最大输出功率,也就是前面讲解过的 \(\frac{V_{CC}^2}{2R_L}\),这个过程通过下面的图象可以观察到:

上图坐标的横轴是 \(\xi\)红色线表征直流电源功率、绿色线表征效率、蓝色线表征最大输出功率,三者与 \(\xi\) 都是单调变化的关系,而紫色线表示的管耗则是非单调变化的,并且在 \(\xi = 0.636\) 的时候会达到最大值,这意味着对于下图的功率放大电路而言:

根据输出功率表达式 \(P_O = \frac{V_{CC}^2}{2R_L} \xi^2\),如果增大 \(V_{CC}\) 减小负载 \(R_L\),并且给予充分激励,就可以提高输出功率,获得最大的效率,但是最后将会受到下列安全工作条件的限制。这就意味着在整个信号周期之内,需要分析流经晶体管的最大电流最大电压以及功耗

  • 上面电路当中,当一个晶体管导通,另一个晶体管截止的时候,如果忽略 \(U_{CES}\),导通晶体管所承受的最大电流为 \(i_{C\ max} = I_{cm} \approx \frac{V_{CC}}{R_L} < I_{CM}\),这意味着选择晶体管时,应该让晶体管的最大整流电流 \(I_{cm}\) 大于该最大电流;
  • 反向峰值电压方面,对于上面的电路而言,当一个晶体管导通,另一个晶体管截止时,截止的那个晶体管所承受的最大反向电压峰值可以达到 \(u_{ce\ max} \approx 2V_{CC} < U_{(BR)*CEO*}\),因此晶体管的反向击穿电压峰值应该大于 2 倍 \(V_{CC}\),才能够保证晶体管不会被反向击穿;
  • 确保晶体管长期安全工作的最重要前提,是晶体管的管耗一定不能超过其额定功率 \(P_{C1} = P_{C2} \approx 0.2 P_{0\ max} < P_{CM}\),即选择晶体管时,其额定功率要大于上面得到的 \(0.2 P_{P_{O\ max}}\)

基于以上参数的约束来进行晶体管的选型,并且保持一定余量,就能够保证电路的安全稳定工作。而通过前面对于 OCL 与 OTL 电路关系的讨论,两者之间可以通过 \(\frac{V_{CC}}{2}\) 进行替换,即下图左侧的 OTL 电路可以等效为右侧由 $+$ 与 \(-\frac{V_{CC}}{2}\) 供电的 OCL 电路。即只需要将 OCL 电路当中各项性能参数里的 \(V_{CC}\) 替换为 \(\frac{V_{CC}}{2}\),就可以得到对应 OTL 电路的性能参数,下面的表格列出了 OCL 与 OTL 两种功率放大电路的各项性能指标:

而接下来的表格则反映了 OCL 与 OTL 两类电路当中,功率放大晶体管选择的各个极限要求:

到这里就完成了对于乙类互补对称功率放大电路各项性能指标的定量讨论,这些参数不需要死记硬背,而应当结合前面图解法的分析过程来理解并且进行使用。

功率放大电路实际问题

由于功率放大电路通常工作于大信号极限状态,这类电路在实际应用当中需要考虑到诸多问题,本小节将会选择其中比较重要的问题进行讨论。

交越失真

前面的 OCL 电路是在理想情况下进行的讨论,当该电路输入一个完整的正弦信号时,输出也应该的是完整的正弦信号:

但是,在实际情况下,输入一个正弦信号之后,往往只会得到下面这样的失真波形:

这种失真往往只出现在正负半周波形衔接的位置,称为交越失真。交越失真出现在原因,是由于在输入信号作用之下,OCL 电路的 \(T_1\)\(T_2\) 管都存在着导通压降,这意味着当 \(u_i\) 信号幅度较低的时候,处于 \(T_1\)\(T_2\) 管导通压降范围之内的两管都是截止状态,这就使得靠近横轴 \(u_i\) 位置的输出没有信号,进而产生交越失真。

解决该问题的思路,是在静态下为两个晶体管添加合适的正向偏置电压,这样一旦有交流信号输入,两个晶体管马上就会一个导通另一个截止,从而消除交越失真。由于静态下已经给两个晶体管添加了较小的偏置,此时晶体管的工作状态就发生了变化,即从乙类状态过渡到了甲乙类状态。

该解决思路有许多实现方法,例如在两个晶体管的基极分别添加 \(\pm V_{BB}\) 电源,只要电源的 \(V_{BB}\) 的取值合适,就可以使得上下两路传输特性在起始段的弯曲部分得到补偿,最后合成为一个趋于直线的传输特性,从而解决了交越失真问题。

二极管偏置电路

实际电路当中,使用两个电源来解决这个问题的成本较高,性价比更优的方案是利用二极管来消除交越失真。二极管的静态偏置与晶体管发射结偏置基本相同,因此可以使用它来进行直流偏置。下面电路使用 \(D_1\)\(D_2\) 两个二极管,使得 \(T_1\)\(T_2\) 晶体管基极的静态电位差保持在 1.4V 左右。此时,如果电路理想对称,那么一旦输入交流信号 \(V_i\),必然导致一个晶体管导通而另一个截止,从而有效消除交越失真。而动态下,由于二极管的交流电阻非常小,因此在交流信号的作用下,可以认为 \(T_1\)\(T_2\) 的基极存在着一个可以忽略不计的极小电阻,因而两个二极管在克服交越失真的同时,并不会影响交流信号的传输。这样,在消除交越失真的同时,并不会影响电路的动态性能。

实际电路当中,为了追求器件的一致性,通常会将两个晶体管连接为二极管形式,从而替代上图中的 \(D_1\)\(D_2\) 二极管。

通过二极管偏置的方式,控制晶体管的基极电位,使得 \(T_1\)\(T_2\) 管处于微导通状态,实现起来的难度较大,接下来需要进一步改进这个电路。

\(V_{BE}\) 倍增电路

下图是一个正负电源供电的 OCL 电路,在 \(T_1\)\(T_2\) 晶体管的基极增加了由 \(R_1\)\(R_2\)\(T_3\) 构成的电路模块。直流情况下,该模块由电流源 \(I_R\) 激励,从而为互补功率晶体管 \(T_1\)\(T_2\) 提供偏置电压 \(V_{BB}\)。而在交流情况下,由 \(T_3\)\(R_1\) 引入的电压负反馈,意味着该局部电路的交流电阻非常小,几乎不会影响到输入信号的传输。

上面这个局部电路非常类似于前面学习过的分压偏置电路,其基本工作过程也相似。当 \(T_3\) 管的 \(\beta\) 足够大,并且 \(R_1\)\(R_2\) 取值恰当,此时基极电流 \(I_{BE}\) 可以忽略不计,而 \(U_{BE3}\) 就形成了对 \(V_{BB}\) 的串联分压。

\[ V_{BE3} = V_{BB} \cdot \frac{R_2}{R_1 + R_2} \iff V_{BB} = V_{BE3}(1 + \frac{R_1}{R_2}) \]

上面等式中的 \(V_{BE3}\) 显然是 \(T_3\) 管发射结的导通压降(硅管为 0.7V),只要选择合适的 \(R_1\)\(R_2\) 比值,就可以使得所期望获得的基极电位差 \(V_{BB}\)\(V_{BE3}\) 呈现出与该阻值的倍数关系,该倍数关系的大小显然由 \(R_1\)\(R_2\) 的阻值来控制,这样的过程就被称为倍增过程,该电路也就被称为 \(V_{BE}\)倍增电路

实际电路中,通过选择恰当阻值的 \(R_1\)\(R_2\),就可以获得所需要的 \(V_{BB}\),这种电路在实际工作当中更加常用。

热补偿功能

无论是二极管偏置电路还是 \(V_{BE}\) 倍压电路,它们都具有热补偿能力。当这些电路温度升高的时候,\(V_{BE3}\) 会随着温度的升高而下降,这样也就会导致 \(V_{BB}\) 下降,进而使得 \(T_1\)\(T_2\) 管的输出电流下降,让电路具有比较好的热稳定性,有着一举两得的功效。

通过对上面甲乙类功放的讨论,可以发现这类功放一方面能够解决交越失真的问题,使其获得与甲类功放相媲美的输出波形;另一方面,又由于这部分电路不会影响交流信号的传输,因而可以获得与乙类功放相同的输出功率与效率,因此这类功率放大电路的实际应用极为广泛。

改进功率放大电路

前面内容讨论了乙类和甲乙类功率放大电路,这些电路走向实际的应用还有很多问题需要讨论。

复合管替代互补管

首先,前面的讨论一直基于 \(T_1\)\(T_2\) 理想互补对称的假设进行,而实际电路当中,两只功率管要实现理想对称非常困难。解决该问题的方法是利用前面学过的复合管取代互补管,从而构成准互补推挽电路

上面电路是一个采用正负电源供电,由互补对称的功率管构成的 OCL 电路。其中,\(T_1\) 管是电压推动级,用于驱动功率放大电路;而 \(T_2\)\(R_1\)\(R_2\) 则构成了上一节讲到的 \(U_{BE}\) 倍增电路,用于消除交越失真。观察可以发现,之前的两个互补对称功率管被两个复合管所取代(复合管 \(T_3\)\(T_4\) 等效为 NPN 型管,复合管 \(T_5\)\(T_6\) 等效为 PNP 型管),此外还可以看到 \(T_4\)\(T_6\) 是类型相同的大功率管,而 \(T_3\)\(T_5\) 是类型相反互补对称的小功率管,这样的搭配一方面能够确保大功率的输出,另一方面采用相同类型的大功率管配对起来更加容易。复合管的放大能力非常强,使得后一级电路的功率放大性能得到了进一步改善,因此这种电路结构在实际场景下更为常用。

过流/压/热保护

功率放大电路在实际应用当中,往往会发生各种各样的异常情况,例如负载突然短路导致通过功率管的电流急剧增大,一旦超过极限参数,就会造成管子损坏。因此功率放大电路在实际设计过程当中,考虑过流、过压、过热并增加相应保护是非常必要的,以下面的过流保护电路为例:

该电路依然是一个 OCL 电路,其中 \(\pm V_{CC}\) 是供电电源,\(T_3\)\(T_4\) 是互补功率管,而 \(T_1\)\(T_2\) 是过流保护管,\(R_1\)\(R_2\) 则是过流取样电阻。这里以 \(T_1\) 管为例来分析其是如何保护 \(T_3\) 管的。正常工作时(负载未出来异常),流经 \(T_3\) 管射极的电流在 \(R_1\) 上产生的电压降,经过 \(R_3\)\(R_5\) 的串联分压之后,在 \(T_1\) 管的基极产生了一个电压降,而这个电压降不足以使得 \(T_1\) 管导通,即 \(T_1\) 管保持截止,此时流入 \(T_3\) 管的基极电流可以畅通无阻的驱动功率放大电路进行正常输出。

一旦负载出现异常(负载出现短路),必然导致 \(T_3\) 管射极的电流极巨增大,此时 \(R_1\) 上的电压降也会增大,导致 \(T_1\) 管射极与基极之间的电压降超过其导通压降,\(T_1\) 管导通开始工作,此时 \(T_1\) 管集电极产生电流,该电流会在 \(T_3\) 管的基极进行分流,从而减小了流入 \(T_3\) 管基极的电流,进而起到了对 \(T_3\) 管的限流保护作用。同理,\(T_2\) 管和相应的电阻也会对 \(T_4\) 管起到同样的过流保护作用。由此可见,这类保护电路在实际生产应用中是非常必要的。

自举电路

最后一个问题针对 OTL 电路进行讨论,下图是一个由单电源供电的 OTL 电路:

为了在 OTL 电路的负载上拼接出一个完整的正弦波形,就应该让 \(T_1\) 管的最大基极电压达到 \(V_{CC}\) 级别,才能够进行完整的波形拼接。但是由于电阻 \(R\) 的存在,使得经过分压之后的 \(T_1\) 管基极电压不能达到 \(V_{CC}\),导致 \(T_1\) 管得不到充分的激励,负载上也得不到足够幅度的输出,推挽管 \(T_1\)\(T_2\) 的激励不平衡,极大限制了 OTL 功率放大电路性能发挥。

由于该问题归根结底是由于上图标红结点的电位恒定为 \(V_{CC}\),因此必然会由于 \(R\) 的分压而导致 \(T_1\) 管基极电位的降低。那么,如果能够在 \(T_1\) 管射极电压抬高的时候(即 \(T_1\) 管开始工作的时候),也能够将标红结点的电位抬高,充分激励 \(T_1\) 管从而解决问题,基于这个思路可以设计得到如下电路:

上面电路采用了 \(R_1\)\(R_2\) 以及一个大电容 \(C_2\) 来取代原来的电阻 \(R\),这部分电路被称为自举电路。静态下 \(V_{CC}\) 通过自举电路为 \(C_2\) 充电,使得两端电压上升至 \(U_{C2}\),由于 \(C_2\) 的容值比较大,其两端的电压在整个电路工作期间可以基本保持不变。根据基尔霍夫电压定律,上图黄圈结点的电位 \(U_C\) 等于蓝圈结点的电位 \(U_O\) 与电容两端电势差 \(U_{C2}\) 的和:

\[ U_C = U_O + U_{C2} \]

这样当 \(T_1\) 管导通工作的时候,射极电位 \(U_O\) 将会逐步抬升,从而引发 \(U_C\) 电位的上升,进而使得 \(T_1\) 管的输入电压达到所需的 \(V_{CC}\),从而解决了上面的激励不充分问题。由于该电路当中,结点电位 \(U_C\) 的抬升是通过电容 \(C_2\) 的充放电完成的,所以该电路被称为自举电路

典型集成运放简介

本文之前的内容,对集成运算放大器内部的电路进行了庖丁解牛式的讨论。其中,为了抑制零点飘移,在输入级引入了差分放大电路;而为了提高集成运放的输出功率与效率,在输出级引入了互补对称式输出结构,而电流源构成的偏置电路则为各级提供稳定的静态偏置。

除了上述电路之外,为了进一步提升集成运放的性能,还增加了 温度控制补偿电路内部补偿电路过流过热保护电路限流稳压电路 等诸多单元电路,通过这些电路的取长补短与强强联合,最终得到了性能更加优越的集成运算放大器

集成运放芯片 F007

集成运算放大器作为发展最快应用最广的模拟元器件,其品种与型号繁多,这里以国产 F007 集成运放芯片(仿制自仙童公司推出的世界上第 1 块集成运算放大器 μA741)为例,一目睹其内部构成的风采:

打开这个芯片的封装,可以得到如下由 19 个晶体管构成的原理图:

分析上面这个较为复杂的电路原理图,需要经过下面的三个步骤来进行:

  1. 化整为零:将复杂电路分解为单元电路;
  2. 分析原理:跟随信号的流程和线索逐一分析各级的流程与原理;
  3. 通观全局:从定性到定量研究讨论其性能;
输入级

输入级用于提高共模抑制比,是集成运放最重要环节,为了抑制零点漂移,在输入极引入了差分放大电路。集成运放的许多性能指标就取决于这个差分输入极,而输入极电路的不断演进,也成为了各代集成运放的重要标志与区别。

上图中的 23 号引脚是输入端子,其中 \(Q_1\)\(Q_2\) 从基极输入发射极输出,构成共集组态;而 \(Q_3\)\(Q_4\) 从射极输入集电极输出,构成共基组态;最终 \(Q_1\)\(Q_2\)\(Q_3\)\(Q_4\) 组成了一个共集共基的差分放大电路;之所以在输入极采用这样一种差分放大电路形式,是由于共集放大电路的输入电阻较大,而共基放大电路则有比较高的增益,利用两种组态电路的结合,就可以使得差分放大电路具有较大的输入电阻和更大的差模增益。同时,电路当中 \(Q_1\)\(Q_2\)\(Q_3\)\(Q_4\) 所主要采用的横向 PNP 晶体管耐压性较好,可以使其差模最大输出电压达到 \(\pm 30V\)。接下来由 \(Q_5\)\(Q_6\)\(Q_7\) 构成的电流源,将会作为该差分放大电路的有源负载,进一步提高 共模抑制比输入电阻差模电压放大倍数 的参数性能。最后,晶体管 \(Q_4\) 的集电极会将一个单端信号输出至中间级。

通过对于输入级的分析,就不难理解为何集成运放具有输入电阻大差模放大倍数大共模放大倍数小输入端耐压性高的优点,并且能够完成电平转换(即对输出)的原因。

中间级

中间级的主要任务是放大信号,所采取的一切措施都是为了提高放大倍数。

通过上图可以看到 \(Q_{16}\)\(Q_{17}\) 组成了一个复合管,它所构成的共射放大电路与有源负载配合,由于等效的集电极电阻趋于无穷大,故使该级电路具备较强的放大能力。

输出级

下面电路当中,\(Q_{18}\)\(Q_{19}\) 构成了一个 PNP 型的复合管,然后与 \(Q_{14}\) 共同构成了一个前面分析过的准互补对称电路;除此之外,电路当中的 \(D_1\)\(D_2\) 构成了保护电路,当负载出现短路之类的故障时,二极管将会导通,保护输出级的功率管不会被烧毁;而 \(Q_{15}\)\(R_9\)\(R_{10}\) 则构成了一个之前分析过的电压倍增电路,用于消除交越失真。

偏置电路

对于偏置电路而言,最重要的是找到它的基准电流,从 \(V_{CC}\) 出发,经过一个 PN 结和 \(R_{11}\) 之后,再经过一个 PN 结即可到达 \(-V_{EE}\),这条支路上的电流就是基准电流,即下图红色箭头所指示的支路:

那么根据欧姆定律,就可以列写出如下的基准电流方程:

\[ I_{REF} = \frac{V_{CC} + V_{EE} - U_{BE12} - U_{BE11}}{R_{11}} \]

观察上面公式可以发现,通过调整 \(R_{11}\) 就能获得所需的基准电流,该基准电流经过分配以后,就送入各级电路为其提供所需的偏置电流。

总结

经过上述对于输入级、中间级、输出级、偏置电路的分析,就能更好的理解集成运放具有输入电阻大差模增益大输出电阻小共模抑制能力强允许的共模输入电压高输入端耐压高功耗低电源电压适应范围宽等优点的原因。

CMOS 程控四运放 14573

随着现代芯片集成度以及对续航能力要求的不断提高,以 MOS 管为内部主要器件的 CMOS 运放日渐成为主流,例如下面的 14573 程控四运放:

该芯片内部集成了 4 个运算放大器,如下是该集成运放内部的基本原理图:

可以看到,该电路的输入级仍然是由 \(P_1\)\(P_2\) 以及 \(N_1\)\(N_2\) 四个 MOS 管构成的带恒流源的差分放大电路;而输出级则是两个互补的 MOS 管构成的互补推挽输出电路;最后,偏置电路同样是由 MOS 管构成的电流源。

这个由 MOS 管构成的集成运算放大器,也继承了 MOS 管器件的如下优势特点:

  • 输入电阻大;
  • 差模输入电压范围大,一般为 \(0.5 \sim V_{DD}+0.5V\)
  • 电源电压范围大,即可以单电源供电(\(3.0 \sim 15V\)),也可以双电源供电(\(\pm 1.5V \sim \pm 7.5V\));
  • 电源配置灵活,正负电源可以不对称;
  • 具有良好的匹配和温度跟随特性;

集成运放主要参数

集成运放的参数非常众多,其中重点关注的参数主要分为直流参数交流参数两大类:

直流参数

直流参数表征的是元器件本身的固有特性。

  • 输入失调电压 \(U_{IO}\):理想情况下的集成运放应该零输入零输出,但是在实际情况下,集成运放内部的电路,特别是输出级的差分放大电路,不可能做到理想对称,因而不可能实现零输入零输出;为了使集成运放在零输入时达到零输出,需在其输入端添加一个直流补偿电压,该电压称为失调电压
  • 输入失调电流 \(I_{IO}\):静态下两个输入极的偏置电流之差 \(I_{IO} = \Vert I_{B1} - I_{B2} \Vert\);失调电流和电压两个参数,非常直接的反映了集成运放内部电路的对称性,参数值越小说明该电路的对称性越好。
  • 输入偏置电流 \(I_{IB}\):基极输入偏置电流的平均值 \(I_{IB} = \frac{1}{2}(I_{B1} + I_{B2})\),该值越小说明信号源对于运放静态工作点的影响就越小;
  • \(U_{IO}\) 温漂 \(\frac{dU_{IO}}{dT}\) \(I_{IO}\) 温漂 \(\frac{dI_{IO}}{dT}\):集成运放是由晶体管构成的,晶体管又是温度敏感器件,所以集成运放也会受到温度的影响,温漂参数反应了确定范围内,失调参数跟随温度变化的平均值,该参数越小说明器件的温度稳定性越好;

交流参数

相比于直流参数,更加值得关注的是交流参数,交流参数反映了集成运放对于交流信号的传输性能。

差模性能参数

差模性能参数反映了集成运放传输差模信号的能力,其中最重要的参数是开环差模电压增益

  • 开环差模电压增益 \(A_{od}\):所谓开环指的是集成运放没有引入反馈的状态,其定义为输出电压与差模输入电压之比 \(A_{od} = \frac{\Delta u_o}{\Delta(u_+ - u_-)}\) ,该参数非常之大,通常在 1 万以上,是一个极为重要的参数;
  • 差模输入电阻 \(r_{id}\):两个输入端看进去的动态电阻,用于表征信号的拾取能力;
  • 差模输出电阻 \(r_{od}\):输出级的输出电阻,用于表征信号的带负载能力;
  • \(-3dB\) 带宽 \(f_H\):当 \(A_{od}\) 下降 \(0.707\) 倍时所对应的频率,由于集成运放内部的晶体管数量众多,因此结电容较大;加之晶体管集成度较高,分布电容也较大;这些电容效应都会对高频信号的传输造成影响,因此集成运放的开环带宽比较小;
  • 最大差模输入电压 \(U_{Idmax}\):反映了两个输入端之间所允许的最大差模电压,如果输入信号超过该极限值,就有可能损坏输入级的差分对管;
共模性能参数

共模性能参数反映了集成运放对于共模信号或者干扰的抑制能力,其中最重要的参数是共模抑制比

  • 共模抑制比 \(K_{CMR}\):集成运放对差模信号以及对共模信号的电压放大倍数之比 \(K_{CMR} = \frac{A_{ud}}{A_{uc}}\),该参数越大共模抑制能力越强,集成运放的该参数通常在 \(80dB\) 以上;
  • 最大共模输入电压 \(U_{Icmax}\):反映的是两个输入端之间所允许的最大共模电压,如果超过该极限值,就会导致集成运放的共模抑制性能严重恶化;

其他参数

  • 转换速率 \(S_R\):也称为电压摆率或者上升速率,是指在额定负载之下输入一个阶跃大信号时,输出电压的最大变化率,该参数反映了集成运放对于信号变化的响应速率;
  • 输出电压最大摆幅:输出不失真信号的最大输出电压峰值,该参数与电源电压密切相关;

F007 参数分析

下图是集成运算放大器 F007 的主要参数:

  • 粉色部分表示的直流参数:失调电压和电流分别都在毫伏和纳安数量级;而温度飘移系数也非常小,处于微伏和纳安数量级;
  • 紫色部分表示的交流参数:开环增益达到了可观的 106dB(十万倍)以上,带宽仅有 10Hz,适合用于处理低频信号;

集成运放符号

电路分析当中,通常会采用下面的符号来表征集成运放,符号中三角形的方向表示的就是信号的传输方向:

集成运放是一个双输入(反相输入端同相输入端)单输出(输出端)的器件,当输入信号从反向输入端输入的时候,由其产生的输出响应将会与输入信号的极性相反;同理,如果输入信号从同相输入端注入,由其产生的输出信号则会与输入信号的相位相同,这对于后续集成运放电路的分析至关重要。除了常规的输入与输出之外,集成运放还拥有一些其它功能端子,例如 正电源负电源相位补偿端调零端

输入端输出端电源端在电路符号上面标示的位置比较固定,而调零端相位补偿端的位置不固定,可以在符号两个斜边的任意位置进行标注;绘制原理图时,只需要标出两个输入端和一个输出端,而将电源端调零端相位补偿端省略,这也是本文所主要采用的标识方法。

传输特曲线

下图是一个集成运放的实际传输特性曲线,可以看出它与差分放大电路的传输特性非常相似。

观察这个图像,可以发现当差模输入较小的时候,输入与输出基本呈现线性关系;而当差模输入较大的时候,输出呈现饱和状态;对该传输特性曲线进行折线化处理之后,可以得到:

  • 线性区:当差模输入较小的时候,输入与输出之间呈现如下方程所描述的线性关系,该线性区的斜率为开环增益 \(A_{uo}\)\[ u_o = A_{uo}(u_+ - u_-) \]
  • 饱和区:当差模输入较大的时候,输出呈现高低电平两种状态,处于非线性区(即饱和区): \[ \begin{cases} 当\ u_+ - u_- > e\ 时 &\implies u_o = +U_{O(sat)} \\ 当\ u_+ - u_- < -e\ 时 &\implies u_o = -U_{O(sat)} \end{cases} \]

上面这个集成运放折线化模型当中,线性区的斜率等于开环增益 \(A_{uo}\),由于集成运放的开环增益较大,动辄就在十万以上数量级,因而其线性区非常狭窄,这就意味着如果差模输入稍大,就会导致集成运放进入饱和状态。因此,实际使用集成运放时,要使其稳定工作于狭窄的线性区,需要引入接下来将会重点进行讨论的反馈

反馈的基本概念

文章至此已经讨论了 4 种半导体器件及其构成的电路,但是这些器件与电路在实际应用当中,还可能会面临诸多问题。例如下面这个共射放大电路,会由于各种因素的影响,使其在温度变化、元件老化、电源电压波动等外部因素影响下,静态工作点发生变动,从而引起放大电路增益的改变。

下面元件是前一节讨论过的集成运放,虽然它具有很多优良的特性,但是也存在着一些问题。例如通过其特性曲线可以发现,由于集成运放的开环增益较大,导致其线性区非常狭窄(线性范围小)。

除了放大倍数不稳定,线性工作区小这样的问题之外,还可能会面临电路频带窄,输入电阻不够高,带负载能力不强等问题,无法满足我们对于电路的需求。引入反馈是改进放大电路性能最有效的手段之一,几乎所有的实用放大电路都会引入反馈,因而这部分内容非常的实用与重要。

事实上,前面已经多次领略了反馈的风采,例如下面这个之前介绍过的分压偏置共射放大电路

在该电路的讨论过程当中,已经可以看到电阻 \(R_E\) 所引入的负反馈,正是由于该电阻的存在,才使得该电路具备了稳定静态工作点的能力。而在下面的长尾差分放大电路当中,电阻 \(R_E\) 同样起到了反馈作用,使该差分放大电路具备了放大差模信号抑制共模信号的能力。

对于反馈部分内容的学习,可以从如下 4 个问题入手:

  1. 反馈是什么?
  2. 该反馈属于哪种类型反馈?
  3. 这种反馈如何影响放大电路的性能?
  4. 怎样根据需求引入反馈?

根据上述这 4 个问题,可以按照以下的主线进行学习:

  • 能够判定放大电路是否具有反馈,并且该反馈属于哪种类型;
  • 根据反馈类型,定性和定量的分析反馈对于放大电路性能的影响;
  • 能够估算深度负反馈条件下,放大电路的性能;
  • 能够根据需求灵活巧妙的引入反馈;

基本概念

反馈在字面意义上泛指事物发出的内容返回到发出的起始点,并且能够产生影响;电子技术当中,将电路的输出量(电压、电流)通过一定方式返回到放大电路的输入端,并对输入量(电压、电流)产生影响的过程就称为反馈(Feedback),即一定要对输入量(电压或电流)产生影响才算存在反馈,这是后续判断有无反馈的出发点。基于这个概念,在下面框图当中,一个输入信号 \(X_i'\) 经过基本放大器(半导体元件、集成运放)得到一个输出信号 \(X_o'\),这样不存在反馈的状态称为开环状态

在上面这个开环状态的基础之上,通过一个网络从输出端采样,从而将一个信号 \(\dot{X_f}\) 叠加到输入端的输入信号 \(X_i\),这样就引入了反馈,称为闭环状态

将反馈归纳为上面的方框图,是基于信号单向化传输的假设:即电路当中电阻、电容的信号传输都是双向的,而放大器内部也固有着内反馈,这些反向传输的信号,相比于正向传输而言都非常微弱,因此可以进行合理的假设;认为信号从输入到输出的正向传输过程,只会经过基本放大器,而忽略由反馈网络而正向传输的信号;同理,也认为从输出到输入的反向传输过程,只会经过反馈网络,而忽略由基本放大器所传输过来的反向信号,这个假设将会一直用于后续对于放大电路的判断与分析。

反馈的信号单向化传输假设隐含了如下两层含义:

  1. 这样一个单向化传输过程,在反馈框图当中,围出了一个由正向与反向传输构成的闭合回路;
  2. 该闭合回路当中,反馈网络取样的是输出量(电压、电流),而输入回路则会影响到输入量(电压、电流);

经过这样的单向化假设之后,就可以在上面的反馈框图当中,提取到三个非常重要的环节:

  1. 基本放大环节:上图中的基本放大器真正放大的是净输入信号 \(\dot{x_i'}\),然后由此得到输出信号 \(\dot{X_o}\);这样一个信号的正向传输过程称为基本放大环节,此时输出信号与净输入信号的比值就是前面讨论过的开环增益 \(\dot{A} = \frac{\dot{X_o}}{\dot{X_i}}\)
  2. 反馈环节:反馈网络从输出信号采样,经过反馈传输以后得到反馈信号 \(X_f\),这个过程就被称为反馈环节;表征反馈环节能力的就是由反馈信号和输入信号的比值所描述的反馈系数 \(\dot{F} = \frac{\dot{X_f}}{\dot{X_o}}\)
  3. 叠加环节:即反馈信号与输入信号的叠加,反映的是净输入信号等于输入信号与反馈信号的叠加 \(\dot{X_i} = \dot{X_i} - \dot{X_f}\)

上述三大环节缺一不可,为了进一步表征三个环节之间的关系,接下来定量的讨论反馈的基本表达式,通过前面的讨论已经引入了 \(\dot{A}\)\(\dot{F}\)\(\dot{X_i}\) 三个重要的关系表达式,但是对于电路设计者而言,真正需要关心的是由输出信号 \(X_o\) 与输入信号 \(X_i\) 比值计算得到的闭环增益;经过上述三个关系表达式的合理变换与推导,就可以得出闭环增益的表达式:

\[ \begin{cases} \dot{A} = \frac{\dot{X_o}}{\dot{X_i}} \\ \dot{F} = \frac{\dot{X_f}}{\dot{X_o}} \\ \dot{X_i} = \dot{X_i} - \dot{X_f} \end{cases} \implies \dot{A_{f}} = \frac{\dot{X_o}}{\dot{X_i}} = \frac{\dot{A}}{1 + \dot{A}\dot{F}} \]

这个等式非常直观的表述了引入负反馈前后,放大电路增益的变化,接下来进一步讨论上面这个等式。

  • 环路增益反映的是输入端的净输入信号经过正向传输 \(\dot{A}\) 和反馈环节 \(\dot{F}\) 形成闭环回路之后,再作为基本放大器输入信号的传输的过程: \[ 环路增益\ \dot{T} = \frac{\dot{X_f}}{\dot{X_i}'} = \dot{A} \dot{F} \]
  • 反馈深度是直观衡量反馈强弱的一项重要指标,直接影响着反馈放大电路的性能,其取值为上述闭环增益表达式的分母部分 \(1 + \dot{A}\dot{F}\)\[ 反馈深度\ |1 + \dot{A}\dot{F}| = |1 + \dot{T}| \]

接下来讨论反馈深度处于两种特殊情况下的电路特性:

  1. 深度负反馈:指反馈深度非常大(\(|1 + \dot{A}\dot{F}| >> 1\))的反馈,当 \(|1 + \dot{A}\dot{F}|\) 远远大于 1 的时候,对于闭环增益进行讨论可以发现 \(\dot{A_f} = \frac{\dot{A}}{1 + \dot{A} \dot{F}} = \frac{\dot{A}}{\dot{A} \dot{F}} \approx \frac{1}{\dot{F}}\),这里的 \(\dot{F}\) 就是上面定义的反馈系数,由此说明闭环增益主要取决于反馈系数,而与开环增益几乎无关;因为反馈网络多由电阻、电容等线性器件构成,其参数值较为稳定,几乎不会受到环境、温度等因素的影响;所以引入深度负反馈的放大电路,可以大大改善放大器增益的稳定性;
  2. 自激振荡状态:指反馈放大器输入信号为零,而输出信号不为零的状态;即 \(|1 + \dot{A}\dot{F}| = 0\) 时,闭环增益 \(\dot{A_{f}}\) 表达式的分母为零,闭环增益将会趋于无穷大;又由于 \(\dot{A_{f}} = \frac{\dot{X_o}}{\dot{X_i}}\),当输入信号 \(X_i\) 为零且输出信号 \(X_o\) 不为零的时候,结果才会是无穷大,这种无中生有的状态会造成放大电路的输出不可控,对于放大电路而言是一种灾难(但是后续的信号发生器部分内容,会利用到自激振荡产生指定信号);

反馈的分类

上一节基于反馈的概念,提出了非常重要的反馈方框图,基于方框图又引出了反馈的基本放大环节反馈环节叠加环节,在这三大环节当中,还存在着诸多遗留问题,例如采样环节取样的是输入信号的电压还是电流?它会影响输入信号的电压还是电流?产生的影响是增大还是减小了净输入信号?基于这些问题,可以将反馈分为多种类型。

正反馈 $ 负反馈

观察下面反馈方框图中叠加环节净输入信号反馈信号输入信号的关系可以发现,净输入信号 \(\dot{X_i'}\) 等于反馈信号 \(\dot{X_f}\)输入信号 \(\dot{X_i}\) 的叠加 \(\dot{X_i'}=\dot{X_i} - \dot{X_f}\)

如果经过判断以后发现,由于反馈信号的引入,使得净输入信号减小,即反馈信号 \(\dot{X_f}\) 削弱了净输入信号 \(\dot{X_i'}\),这种类型的反馈称为负反馈。反之,反馈信号 \(\dot{X_f}\) 增强了净输入信号 \(\dot{X_i'}\),这种反馈称为正反馈

从另外的角度,基于上一节介绍的闭环增益表达式 \(\dot{A_F} = \frac{\dot{A}}{1 + \dot{A} \dot{F}}\) 来进行正负反馈的讨论。

  • 如果 \(1 + \dot{A} \dot{F} > 1\),闭环增益 \(|\dot{A_F}|\) 将会小于开环增益 \(|\dot{A}|\),即引入反馈以后增益下降,此时的反馈就称为负反馈
  • 如果 \(1 + \dot{A} \dot{F} < 1\),闭环增益 \(|\dot{A_F}|\) 将会大于开环增益 \(|\dot{A}|\),即引入反馈以后增益变大,此时的反馈就称为正反馈

之所以对反馈的极性进行分类,是由于正负反馈对于放大电路的影响不尽相同,其中负反馈将会从多方面改善放大电路的性能,后续将会重点展开讨论;如果放大电路当中引入了正反馈,增益将会变大,输出信号的变化会更加激烈,甚至导致整个电路发生自激振荡不能正常工作,所以放大电路当中通常应当避免正反馈的出现;在某些电路当中,也会人为的引入合理正反馈,例如信号发生电路就利用了自激振荡产生所需信号。

另外需要强调的是,正负反馈之间仅仅只有一线之隔,例如对于中频放大电路,当信号频率工作于高频或者低频段时,输出信号将会产生附加相移,在一定的条件下,就有可能使得多个信号的附加相移在叠加之后,如果满足了自激震荡的条件,就有可能转换为正反馈,甚至产生自激震荡。

直流反馈和交流反馈

其次,从反馈网络传输的信号类型来看,也可以将反馈分为直流反馈交流反馈

  • 直流反馈直流通路里的反馈,闭合回路只能传递直流信号,最重要的功能是稳定静态工作点;
  • 交流反馈交流通路里的反馈,闭环回路只能传递交流信号,可以从多方面改善放大电路的性能;
  • 交直流反馈:闭合回路既能够传递交流信号,也能够传递直流信号;

电流反馈和电压反馈

根据反馈网络对输出量的取样对象不同,还可以分为电压反馈电流反馈

  1. 如果反馈信号取自于输出电压,即反馈信号 \(\dot{X_f}\) 与 输出电压 \(U_o\) 成正比,那么这种反馈就称为电压反馈
  2. 相对应的,如果反馈信号取自于输出电流,即反馈信号 \(\dot{X_f}\) 与 输出电流 \(I_o\) 成正比,那么这种反馈就称为电流反馈

之所以区分电流与电压这两种反馈类型,是因为这两种类型的反馈对于电路输出性能的影响不相同:

  • 电压反馈影响:在电压负反馈电路当中,负载 \(R_L\) 下降会引起输出电压 \(u_o\) 的下降,由于反馈信号是对输出电压的取样,与输出电压呈正比,因此反馈信号 \(x_f\) 也会随之下降;由于引入的是负反馈,所以叠加环节反馈量的下降,会使得净输入信号 \(\dot{x_i'}\) 被抬升上去,进而导致本应下降的 \(u_o\) 上升,从输出角度来看电压负反馈可以稳定输出电压
  • 电流反馈影响:在电流负反馈电路当中,负载 \(R_L\) 上升会引起输出电流 \(i_o\) 的下降,由于反馈信号是对输出电流的取样,因而反馈信号 \(x_f\) 也会随之下降;又由于反馈量的下降,会使得净输入信号 \(\dot{x_i'}\) 被抬升,从而导致本应下降的 \(i_o\) 上升,从输出角度而言电流负反馈可以稳定输出电流

串联反馈和并联反馈

根据反馈信号在输入端与输入信号叠加形式的不同,可以分为串联反馈并联反馈

  1. 如果反馈信号与输入信号以电压形式进行叠加,称为串联反馈
  2. 如果反馈信号与输入信号以电流形式进行叠加,则称其为并联反馈

观察可以发现,上面框图与基本电路当中电压串联电流并联的结论不谋而合,串联反馈当中使用的是一个带内阻的电压源,而并联反馈当中则采用的是带内阻的电流源,接下来讨论两种类型反馈对于信号源的不同需求:

  • 串联反馈:输入信号 \(u_i\) 与反馈信号 \(u_f\) 以电压形式进行叠加,信号源最好是一个恒压源,即信号源内阻 \(R_s\) 越小越好;如果反之此时采用的是恒流源,那么输入电流 \(i_i\) 恒定,此时净输入电压应该恒等于 \(i_i\) 与基本放大环节输入电阻的乘积,其结果也是一个常量,这意味着反馈将不会改变净输入电压,失去了应有的作用;
  • 并联反馈:输入信号 \(i_i\) 与反馈信号 \(i_f\) 以电压形式进行叠加,信号源最好是一个恒流源,即信号源内阻 \(R_s\) 越大越好;如果反之此时采用的是恒压源,那么输入电压 \(u_i\) 恒定,此时净输入电流应该恒等于 \(u_i\) 与基本放大环节输入电阻比值所形成的常量,显然也不受反馈的影响,因而也失去了意义;

注意:不同类型的负反馈适用于不同的信号源。

总结

根据前面的逐层划分,就可以得到下面这个关于反馈的分类图表:

反馈从极性上可以划分为正反馈负反馈,其中正反馈是放大电路大部分情况下需要避免的,因此本文主要讨论负反馈;负反馈可以分为直流反馈交流反馈,其中直流反馈在之前的许多电路当中已经看到,其主要作用是稳定静态工作点,本节内容将重点讨论交流负反馈;根据前面定义的串并联和电压电流两种类型,经过组合之后可以得到交流负反馈电压串联电压并联电流串联电流并联四种组态。

交流负反馈四种组态

电压串联负反馈

下面框图当中,输出从电压进行取样,然后以电压的方式进行叠加,因此这是一个电压串联负反馈

该组态的负反馈当中,基本放大环节放大的是净输入电压 \(\dot{U_i'}\),而产生的是输出电压 \(\dot{U_o'}\),因此开环增益是一个电压放大倍数 \(\dot{A_{uu}}\)

\[ 开环电压增益\ \dot{A_{uu}} = \frac{输出电压\ \dot{U_o'}}{输入电压\ \dot{U_i'}} \]

反馈环节从 \(\dot{U_o}\) 取样,然后得到反馈电压信号 \(\dot{U_f}\),那么该组态对应的反馈系数为一个电压反馈系数 \(\dot{F_{uu}}\)

\[ 电压反馈系数\ \dot{F_{uu}} = \frac{反馈电压信号\ \dot{U_f}}{输出电压信号\ \dot{U_o}} \]

将上面两个等式代入闭环增益表达式,可以知道电压串联负反馈产生的闭环增益是一种无量纲的电压增益形式:

\[ \dot{A_{uf}} = \frac{\dot{A_{uu}}}{1 + \dot{A_{uu}} \dot{F_{uu}}} \]

电压并联负反馈

下面框图的负反馈取的是电压信号,然后以电流的方式进行叠加,因而这是一个电压并联负反馈

基本放大环节放大的是净输入电流,然后得到输出信号 \(\dot{U_o}\),因此开环增益是一个开环互阻放大倍数 \(\dot{A_{ui}}\)

\[ 开环互阻放大倍数\ \dot{A_{ui}} = \frac{输出电压\ \dot{U_o'}}{净输入电流\ \dot{I_i'}} \]

反馈网络产生的是电流,取的则是电压,因此是一个互导反馈系数 \(\dot{F_{iu}}\)

\[ 互导反馈系数\ \dot{F_{iu}} = \frac{反馈电流信号\ \dot{I_f}}{输出电压信号\ \dot{U_o}} \]

将上面两个等式代入闭环增益表达式,得到的闭环增益是一个以欧姆为量纲的闭环互阻增益 \(\dot{A_{rf}}\)

\[ \dot{A_{rf}} = \frac{\dot{A_{ui}}}{1 + \dot{A_{ui}} \dot{F_{iu}}} \]

电流串联负反馈

下面框图的负反馈取的是电流信号,然后以电压的方式进行叠加,因而这是一个电流串联负反馈

在该负反馈当中可以得到开环互阻增益互导反馈系数,将它们代入闭环增益表达式,可以得到以电导作为量纲的闭环互导增益 \(\dot{A_{gf}}\)

\[ \begin{cases} 开环互导增益\ \dot{A_{iu}} = \frac{输出电流\ \dot{I_o'}}{净输入电压\ \dot{U_i'}} \\ 互阻反馈系数\ \dot{F_{ui}} = \frac{反馈电压信号\ \dot{U_f}}{输出电流信号\ \dot{I_o}} \\ \end{cases} \implies 闭环互导增益\ \dot{A_{gf}} = \frac{\dot{A_{iu}}}{1 + \dot{A_{iu} \dot{F_{ui}}}} \]

电流并联负反馈

下面框图当中的负反馈取的是电流信号,然后叠加的也是电流信号,因而这是一个电流并联负反馈

在该负反馈当中可以得到开环电流增益电流反馈系数,将它们代入闭环增益表达式,可以得到闭环电流增益 \(\dot{A_{if}}\)

\[ \begin{cases} 开环电流增益\ \dot{A_{ii}} = \frac{输出电流\ \dot{I_o'}}{输入电流\ \dot{I_i'}} \\ 电流反馈系数\ \dot{F_{ii}} = \frac{反馈电流信号\ \dot{I_f}}{输出电流信号\ \dot{I_o}} \\ \end{cases} \implies 闭环电流增益\ \dot{A_{if}} = \frac{\dot{A_{iu}}}{1 + \dot{A_{iu} \dot{F_{ui}}}} \]

总结

下面表格比较了四种负反馈组态的输出信号反馈信号开环增益反馈系数闭环增益等参数:

观察上面表格可以发现,每种组态的开环增益与闭环增益的量纲是相同的,这也就意味着反馈深度 \(|1 + \dot{A}\dot{F}|\) 无论对于哪种组态而言,都是一个无量纲的值,进而可以看出四种不同组态的闭环增益分别有着不同的物理含义,每种组态的负反馈功能也各有所不同。

  • 电压串联负反馈:闭环增益为电压放大倍数,这意味变化的电压输入控制着一个稳定的电压输出,因此称为压控电压源
  • 电压并联负反馈:闭环增益为互阻放大倍数,这意味变化的电流输入控制着一个稳定的电压输出,因此称为流控电压源
  • 电流串联负反馈:闭环增益为互导放大倍数,这意味变化的电压输入控制着一个稳定的电流输出,因此称为压控电流源
  • 电流并联负反馈:闭环增益为电流放大倍数,这意味变化的电流输入控制着一个稳定的电流输出,因此称为流控电流源

由此可见,四种不同类型负反馈对外表征的功能各不相同,对于信号源和负载的影响也各不相同,使用时需要根据需求酌情选择组态。

反馈类型判别

前一节已经对反馈进行了详细的分类,并且对各种类型的反馈进行了定义。而对电路当中的反馈类型进行准确的判定,对于电路分析与设计而言十分重要。

判断有无反馈

判断当前电路是否存在反馈,主要是观察某些元件或者网络,是否将输出信号引回至输入信号,并且对输入量形成影响,反馈在放大电路当中的存在形式主要有两种。

一种情况是,一条非常明确的支路将反馈信号引回至输入回路,这种情况比较容易识别,例如下面由集成运放构成的电路当中,电阻 \(R_f\) 所在支路将输出信号引回至输入,从而与输入信号 \(u_i\) 进行叠加,根据上面的判断条件可以知道该电路存在着反馈。

而下面电路看似也存在一条支路将输出信号引回至输入端,但是引回的信号面对着两条支路,一条支路连接到地,另一条则进入了集成运放的输入端。由于集成运放的输入电阻较大,此时信号并不会进入集成运放内部,而只会流入到接地的零电位。由此可见返回的信号并没有作用于输入端,该电路当中不存在反馈,电路当中出现的 \(R\) 只是一个普通负载;

另外一种反馈存在的形式并不直观,如果一个元件或者网络同时存在于输入和输出回路,那么它们必然会将输出回路的信号变化引回至输入回路,这种情况实际上也会存在着反馈。例如下面电路当中的电阻 \(R_E\) 即存在于输入回路,也存在于输出回路,这样它就会将输出回路的变化引回至输入回路,因而 \(R_E\) 在这里扮演着反馈的角色。

下面的电路是一个基本共射放大电路,由于当前讨论的是交流反馈,因而一定要到交流通路当中去考量反馈是否存在。

在该电路的交流通路当中,显然 \(V_{CC}\) 对地短路,一旦转换为交流通路,就会发现 \(R_B\) 是存在于输入回路当中的基极电阻,而 \(R_C\) 则是单独存在于输出回路的集电极电阻,两者并非同时存在于一个回路当中,因而并非反馈元件,该电路也并不存在反馈电路。

判断交直流反馈

根据反馈是存在于直流通路还是存在于交流通路来进行判断,例如下面电路当中,由于电容的存在,使得返回的交流信号会对地短路,因此将不能作用于输入回路,因而该电路当中的反馈是一个直流反馈

接下来的电路依然是大家比较熟悉的分压偏置共射放大电路

该电路当中的 \(R_{E1}\)\(R_{E2}\) 共存于输入和输出回路,因而都属于反馈元件,其中 \(R_{E1}\) 即能够传递交流信号,也能够传递直流信号,同时存在于直流和交流通路,因而引入的是交直流反馈。而 \(R_{E2}\) 只存在于直流通路,在交流通路当中将会被电容 \(C_E\) 旁路,因此引入的是直流反馈

判断反馈极性

根据前面对于反馈极性的定义,正负反馈对于放大电路净输入影响是截然相反的,因此反馈极性的判断就非常重要。

由于放大电路传输的是交流信号,为了更好的判断反馈极性,所以就引入了瞬时极性法

  1. 首先,假设输入信号在某一个瞬时的极性为+);
  2. 然后,沿着放大电路、取样环节、反馈网络的信号传输过程,逐级标出电路当中各点的瞬时极性,直至判断出反馈信号的瞬时极性;
  3. 最后,反馈信号在叠加环节与输入信号叠加之后,如果反馈信号的瞬时极性让净输入减小,则属于负反馈,反之则属于正反馈

接下来对之前讨论过的几种典型器件的信号传输极性关系温故而知新,下面是一个大家非常熟悉的双极性晶体管,如果输入信号从基极输入,而输出取自于集电极,根据前面对于共射放大电路的讨论可以知道,此时集电极的瞬时极性为

如果从基极输入发射极输出,即共集放大电路的组态,此时输入输出只经过了一个 PN 结,它们极性全部为

如果从发射极输入集电极输出,即共基放大电路的组态,根据共基放大电路的增益,输入输出的极性也全部为

集成运放的极性关系,相对于晶体管放大电路而言,判断起来相对更加容易。如果输入信号是从集成运放的同相端输入,则输入与输出信号的极性应该是瞬时相同的:

而如果输入信号是从反相输入端输入,那么输入与输出的极性就是相反的:

有了上面的基础之后,在具体电路当中就可以更好的利用瞬时极性法。接下来仍然以分压偏置共射放大电路为例,来探讨瞬时极性法的具体应用:

经过前面的分析,已经知道了上面电路当中的 \(R_E\) 引入的是一个交直流反馈,由于该电路当中基本放大器件是晶体管,而晶体管的输入电压就是放大器的净输入信号。当没有反馈的时候(即 \(R_E\) 不存在时),此时的净输入信号 \(u_{be}\) 就等于输入信号 \(u_i\),即 \(u_{be} = u_i\)

\(R_E\) 存在的时候,假设 \(u_i\) 处于正半周(即瞬时极性为正),此时放大电路的输入信号也瞬时为正。根据瞬时极性法,应该让输入信号最终到达输出并且产生反馈信号,从而判断出晶体管发射极上反馈信号的瞬时极性。由于基极的极性与发射极的瞬时极性保持一致,此时发射极的瞬时极性也为正,这意味着引入反馈之后,\(R_E\) 在正电位的作用之下将会产生电压降,这样的电压降就会使得净输入信号发生变化。由于瞬时极性为正,可以发现引入反馈之后,净输入信号变为了 \(u_{be} = u_i - u_f\),这里 \(u_f\) 就是 \(R_E\) 上的电压降 \(u_{re}\)。由此可见,引入反馈之后使得净输入信号被削弱,因而属于一个负反馈

上面展示了通过瞬时极性法判断极性的过程,该方法在电路变得较为复杂的时候,不太容易判断受影响的是净输入电压还是净输入电流,接下来讨论一种更为实用的反馈极性判断方法,即首先通过观察电路,判断反馈信号与输入信号是添加在基本放大器的相同输入端还是不同输入端

如果反馈信号与输入信号添加在放大器的相同输入端

  • 反馈信号与原输入信号瞬时极性相反,为负反馈
  • 反馈信号与原输入信号瞬时极性相同,为正反馈

如果反馈信号与输入信号添加在放大器的不同输入端

  • 反馈信号与原输入信号瞬时极性相反,为正反馈
  • 反馈信号与原输入信号瞬时极性相同,为负反馈

下图是一个由两级集成运放构成的放大电路,由于该电路当中存在一条支路将输出信号引回至输入,因而存在反馈。这里采用上面讨论的方法来判断该反馈的极性:

上面电路当中,反馈信号与输入信号添加在了集成运放的相同输入端,这里假设输入信号的瞬时极性为,根据集成运放输入输出的极性关系可以知道 \(u_{o1}\) 瞬时极性也为。接着该信号又作为输入,进入到下一级集成运放的反相输入端,此时输出信号 \(u_o\) 的瞬时极性为,该信号经过反馈网络以后,得到的反馈信号极性仍然为。这样,输入信号与反馈信号都添加在相同的输入端,并且瞬时极性相反,因而属于负反馈

对于分立元件构成的电路,仍然可以延用这种方法,例如下面这个由晶体管构成的两级放大电路:

如果左侧 \(u_i\) 的瞬时极性为正,那么信号首先从输入流至输出,然后再回流到反馈信号,此时第一个晶体管的集电极瞬时极性与输入信号的瞬时极性相反为,然后该瞬时极性为负的信号输入至第二个晶体管的基极,该信号经过反馈网络方向的发射极之后极性依然为。最终这个信号通过反馈网络引回至输入极,从而在第一个晶体管的发射极产生一个为的反馈信号。可以看到,输入信号与反馈信号加在不同的输入端,并且两者的瞬时极性相反,这显然是一个正反馈

判断串并联类型

当反馈信号与输入信号连接到放大器的相同输入端,此时采用电流形式的叠加,属于并联反馈。如果反馈信号与输入信号连接至放大器的不同输入端,此时采用电压形式进行叠加,属于串联反馈

下图电路依然属于分压偏置共射放大电路,前面已经知道 \(R_E\) 引入的是一个负反馈,该反馈添加在晶体管的发射极,而输入信号是从基极输入,显然是添加在了不同的输入端,根据上面的判断技巧可以知道这是一个串联反馈

而下面这个由集成运放构成的电路,输入信号从集成运放的同相端输入,而反馈信号也添加在集成运放的同相端。由于输入信号和反馈信号都添加在了相同的输入端,因此这是一个并联反馈

判断电压电流类型

通常采用输出短路法判断电压电流类型,如果将负载短路(未连接负载时输出端对地短路),如果反馈量为零,就可以认为引入的是电压反馈。而如果将负载短路(未连接负载时输出端对地短路)以后,反馈量仍然存在,则认为当前引入的是电流反馈

仍然讨论下面这个分压偏置共射放大电路,由于此时 \(R_E\) 已经被之前的分析锁定为一个串联负反馈。如果此时将输出端对地短路,由于晶体管是一个电流控制元件,只要基极有输入,晶体管上就会有电流出现,此时仍然会在发射极上激励出电流,因而 \(R_E\) 上的反馈仍然存在,根据上面的判定规则,可以进一步知道 \(R_e\) 引入的是一个电流串联负反馈

接下来讨论下面这个共集放大电路,根据前面的判断已经知道 \(R_E\) 是一个同时存在于输入与输出回路之间的反馈元件。

如果当前瞬时极性为正,就将会在晶体管的发射极(也就是反馈)上产生一个的反馈信号,此时由于添加在两个不同输入端的瞬时极性相同,因而是一个负反馈。如果此时将负载短路,显然射极电流将会使得 \(R_E\) 上面不会再产生电压降,反馈量消失,表明这是一个电压反馈。由于输入信号与反馈信号添加在不同的输入端,表明这是一个串联反馈。总而言之,这是一个由 \(R_E\) 引入的电压串联负反馈

复杂电路综合应用

下图是一个由差分放大电路和单管放大电路共同构成的两极放大器,该电路当中 \(T_3\) 发射极输出的信号传递至差分放大电路 \(T_2\) 的基极,此时输出极与输入极之间存在着反馈,这种跨极之间的反馈称为极间反馈

如果输入信号 \(v_i\) 瞬时极性为,那么作为输出端的 \(T_2\) 集电极将会把信号传递至下一级,根据之前讨论过的差分放大电路各极的信号极性关系,这里 \(T_2\) 集电极的瞬时极性与 \(T_1\) 管基极的瞬时极性都为,这样一个瞬时极性为正的信号,进入 \(T_3\) 的基极以后,就会在 \(T_3\) 的发射极产生一个瞬时极性也为的信号,该信号最终回到 \(T_2\) 的基极产生一个瞬时极性为的反馈信号。显然,输入信号与反馈信号添加在了两个不同的输入极,而瞬时极性又是相同的,因而这是一个负反馈

接下来运用输出短路法,将输出端 \(V_o\)\(V_{EE}\) 短路,此时由于 \(T_3\) 管仍然有电流输出,因而会在 \(T_2\) 的基极产生一个反馈信号,此处反馈仍然存在,表明这是一个电流反馈。由于输入信号与反馈信号添加在两个不同的输入端,因而这是一个串联反馈。归纳起来,上面电路就是一个电流串联负反馈

事实上,上面的分析思路,同样适用于多种器件混合的电路,比如下图是一个由集成运放和单晶体管组成的两级放大器。上面电路通过一条支路将输出信号引回至集成运放的反相输入端,因而存在着反馈

接下来分析该电路的反馈类型,如果输入信号 \(u_i\) 的瞬时极性为,根据集成运放的传输关系,反向输入端进入的信号也会在输出端产生一个极性相反的输出(),而该信号又会作为晶体管的输入进入其基极,晶体管发射极同样为,这个为负的信号经过反馈传输之后,在集成运放的反向输入端就会得到一个极性为的瞬时信号。此时,输入信号与反馈信号添加在相同的输入端,瞬时极性相反,因而是一个并联负反馈

接下来使用输出短路法,一旦 \(u_o\) 对地短路之后,反馈信号将不会再回流到集成运放的输入端,因而反馈量消失,意味着这里引入的是一个电压负反馈。综上所述,该电路当中的反馈属于电压并联负反馈

反馈放大电路分析

前一节讨论了反馈,并且对各种类型的反馈进行了判别,之所以在放大电路里引入负反馈,是由于负反馈可以从各个方面影响放大电路的性能,本节将会讨论不同类型负反馈对于放大电路的各种影响。

负反馈对于放大性能的影响

提高放大倍数稳定性

这里仍然基于前一小节所引入的反馈方框图,以及闭环增益的表达式:

闭环增益表达式当中,开环增益通常由基本放大环节的电气参数所决定,这些参数会受到温度、元件老化等因素的干扰。这里假设放大电路当中,中频段的放大倍数、反馈系数等均为实数,然后对闭环增益表达式两端的增益进行求导,就可以得出如下关系:

\[ \frac{dA_f}{A_f} = \frac{1}{1 + AF} \times \frac{dA}{A} \]

上面等式当中,当由外界因素导致开环增益出现变化的时候,闭环增益也会发生变化,且闭环增益的变化量是开环增益变化量的 \(\frac{1}{1 + AF}\),这意味着引入负反馈之后,放大倍数的稳定性提高了 \(1 + AF\) 倍。因此,引入负反馈是提高放大电路稳定性的重要手段。

但是获得这样的优势并非毫无代价,引入负反馈之后,负反馈放大电路的放大倍数会下降为基本放大电路的 \(\frac{1}{1+AF}\),即引入负反馈之后,虽然提高了放大倍数的稳定性,但是增益却下降了。这种增益下降和稳定性的提高,都是以反馈深度作为数量级,反馈深度 \(1 + AF\) 越大,负反馈越强,增益 \(A_f\) 也就越小。

例如前面讨论过的分压偏置共射放大电路,讨论其增益的时候,分别对两种情况进行了计算。一种是带有旁路电容 \(C_E\) 条件下的放大倍数,而另外一种则是去掉旁路电容之后,放大电路放大倍数的变化:

通过对比可以看到,去掉旁路电容 \(C_E\) 之后,上面电路中的 \(R_E\) 就不仅仅是直流负反馈,而是同时引入了交直流的负反馈,一旦对交流信号产生反馈作用之后,必然会导致其增益有所下降。

而下面的电路则是之前讨论过的共集放大电路(射极输出器),这里的 \(R_E\) 也引入了一个电压负反馈,它将输出的电压几乎全部返回至输入回路,属于非常强的负反馈。而这也正是导致这种电路的电压放大倍数接近于 1 的重要原因,

对输入电阻的影响

当反馈引回至输入回路之后,它将会以电压或者电流的形式与输入信号叠加,从而对输入电阻造成影响。这意味着,对于输入电阻的影响仅仅取决于反馈网络和基本放大电路在输入端的接法,即决定于当前属于串联反馈还是并联反馈

如果当前引入的是一个串联负反馈,输入信号和反馈信号是以电压的形式叠加:

根据前面对于输入电阻的定义,开环情况下基本放大电路的输入电阻 \(R_i\)净输入电压 \(U_i'\)输入电流 \(I_i\) 之比:

\[ 基本放大电路输入电阻\ R_i = \frac{净输入电压\ U_i'}{输入电流\ I_i} \]

而引入串联负反馈以后,同样根据输入电阻的定义可以看到,闭环的输入电阻将会发生形式上的变化:

\[ 反馈电路输入电阻\ R_{if} = \frac{U_i}{I_i} = \frac{U_i' + U_f}{I_i} = \frac{U' + FX_o}{I_i} = \frac{U' + FAU'}{I_i} \]

基于上面的等式就可得出结论:闭环输入电阻在引入串联负反馈的条件下,将会等于原来输入电阻的 \(1 + AF\) 倍,即引入串联负反馈之后,输入电阻将会增大至没有反馈时的 \(1+AF\) 倍。

\[ R_{if} = (1 + AF)R_i \]

同理,当引入如下并联负反馈的时候,输入信号与反馈信号在输入回路,将会以电流的形式进行叠加。

根据输入电阻的定义,同样可以得出基本放大电路的输入电阻,以及引入反馈之后的输入电阻。对比以后,可以发现引入并联负反馈之后,输入电阻将会减小为没有负反馈时候的 \(\frac{1}{1 + AF}\)

\[ \begin{cases} 基本放大电路输入电阻 &\implies R_i = \frac{U_i}{I_i'} \\ 反馈电路输入电阻 &\implies R_{if} = \frac{U_i}{I_i} = \frac{U_i}{I_i' + I_f} = \frac{U_i}{I_i' + FX_o} = \frac{U_i}{I_i' + FAI_o'} \end{cases} \implies R_{if} = \frac{R_i}{1 + AF} \]

概而言之,串并联负反馈对于输入电阻的影响,可以归纳为:串联负反馈增大输入电阻,并联负反馈减小输入电阻

对输出电阻的影响

当反馈网络从输出信号进行取样的时候,必然会连带影响到输出端。对于输出电阻的影响只取决于反馈网络在基本放大电路输出端属于电压反馈还是电流反馈

当引入电压负反馈的时候,根据前面输出电阻的定义,可以将基本放大电路环节等效为一个受控电压源与输出电阻的串联:

然后,根据整个放大电路的输出电阻定义,将信号源置零 \(x_i = 0\),此时净输入信号等于 \(x_i' = -x_f = - Fu_o\),是对输出电压信号进行采样;然后结合输出电压与电流的关系方程,就能够得到如下的推导结论:

\[ \begin{cases} 净输入信号\ &\implies x_i' = -x_f = -Fu_o\ (令\ x_i = 0 ) \\ 输出电压\ &\implies u_o = i_o R_o + Ax_i' = i_o R_o - AFu_o \end{cases} \implies R_{of} = \frac{U_o}{I_o} = \frac{R_o}{1 + AF} \]

当引入一个电压负反馈的时候,整个闭环放大电路的输出电阻,将会减小到没有反馈时的 \(\frac{1}{1+AF}\)。对于电压放大电路而言,输出电阻减小意味着当负载发生变化时,输出电压基本保持不变。这也就意味着电压负反馈将会稳定输出电压,而如果反馈深度较大,此时前端电路相对于负载而言可以等效为一个恒压源

如果当前引入的是电流负反馈,根据输出电阻的定义,在电流负反馈条件下,可以将基本放大电路等效为一个电流源与电阻的并联:

通过上图可以看到,这个并联的电阻就是开环输出电阻。引入电流负反馈以后,求取整个放大电路的闭环输出电阻,仍然需要先将信号源置零 \(x_i = 0\),此时 \(x_i' = -x_f = -Fi_o\),是对输出电流进行取样,然后根据 \(i_o\)\(u_o\) 的表达式,可以得出引入电流负反馈之后,闭环输出电阻 \(R_{of}\) 的表达式:

\[ \begin{cases} 净输入信号\ &\implies x_i' = -x_f = -Fi_o\ (令\ x_i = 0 ) \\ 输出电压\ &\implies i_o = \frac{u_o}{R_o} + Ax_i' = \frac{u_o}{R_o} - AFi_o \end{cases} \implies 闭环输出电阻\ R_{of} = \frac{U_o}{I_o} = R_o (1 + AF) \]

引入电流负反馈以后,输出电阻将增大至没有反馈时的 \(1 + AF\) 倍。这意味着当负载发生变化的时候,引入了电流负反馈的电路,输出电流将会基本保持不变。如果负反馈是一个深度电流负反馈,那么前端电路对于负载而言,就可以等效为一个恒流源

展宽频带

由于负反馈可以提高放大倍数稳定性,对于频率不同导致的放大倍数下降自然也可以得到改善。假设反馈网络是一个纯电阻网络,而放大电路在高低频段仅有一个拐点,根据之前对于单拐点放大电路的高低频分析,可以引入如下高低频增益的表达式:

\[ \begin{cases} 高频增益 \implies \dot{A_H} = \frac{\dot{A_m}}{1 + j \frac{f}{f_H}} \\ 低频增益 \implies \dot{A_L} = \frac{\dot{A_m}}{1 - j \frac{f_L}{f}} \end{cases} \]

引入反馈系数为 \(F\) 的负反馈之后,闭环的高频增益可以通过将 \(A_H\) 代入之前的闭环增益表达式,经过整理以后可以得到:

\[ \dot{A_{Hf}} = \frac{\dot{A_H}}{1 + \dot{A_H}F} = \frac{\frac{\dot{A_m}}{1 + j \frac{f}{f_H}}}{1 + \frac{\dot{A_m}}{1 + j \frac{f}{f_H}}F} = \frac{\dot{A_m}}{1 + j \frac{f}{f_H} + \dot{A_m}F} = \frac{\frac{\dot{A_m}}{1 + \dot{A_m}F}}{1 + j \frac{f}{(1 + \dot{A_m}F)f_H}} \]

观察上面等式的推导结果可以发现,其分子就是引入了负反馈之后的闭环中频增益,而分母的最右下角部分则是闭环上限频率

\[ \begin{cases} 闭环中频增益 \implies \dot{A_{mf}} = \frac{\dot{A_m}}{1 + A_m F}\\ 闭环上限频率 \implies f_{Hf} = (1 + \dot{A_m F}) f_H \end{cases} \]

采用同样的方法,也可以得到引入负反馈之后,闭环放大电路的下限频率:

\[ 闭环下限频率 \implies f_{Lf} = \frac{f_L}{1 + \dot{A_m}F} \]

可以看到,引入负反馈之后,闭环的下限频率将会减小到原来下限频率 \(f_{Lf}\)\(\frac{1}{1 + \dot{A_m}F }\),放大电路的带宽相应也会发生变化,由于带宽 \(BW\) 等于 \(f_H - f_L \approx f_H\),而上限频率通常远远大于下限频率,因而整个带宽就可以约等于上限频率:

\[ \begin{cases} 放大器带宽 &\implies BW = f_H - f_L \approx f_H \\ 加入反馈以后放大器的带宽 &\implies BW_f = f_{Hf} - f_{Lf} \approx f_{Hf} = (1 + A_m F) \times BW \end{cases} \]

经过前面对于闭环增益,以及开环情况下两个上限频率的比较,显然引入负反馈之后,放大电路的带宽将会增大到没有反馈时的 \(1 + AF\) 倍。该结论即使不去进行增益表达式的推导也可以得到,因为之前有讨论过一个非常重要的概念增益带宽积,即使引入了负反馈,增益带宽积依然不会改变。由于引入负反馈之后增益会下降,带宽就会变大,而增益带宽积保持不变,这个结论可以通过引入反馈前后的波特图发现:

上面波特图当中,蓝色曲线是引入反馈之前的开环幅频特性,而红色曲线则是引入负反馈之后的幅频特性。可以看出引入负反馈之后,带宽显著增大,下限频率变得更小,而上限频率变得更大,但是同时增益也大大下降。

减小非线性失真

除了对上述显著的动态性能产生影响之外,负反馈还可以减小非线性失真。例如对于下面这个简单的电路而言,由于电路自身的非线性因素,导致输入信号与输出信号存在一个非线性的放大过程,结果使得正半周的信号得到了较大增益,而负半周的信号增益较小。

在上面这个存在非线性失真的开环电路基础上,引入一个负反馈。此时输入信号经过一个基本放大环节之后,就会得到一个上大下小的失真信号,该失真信号被反馈网络进行采样,得到一个同样存在上大下小失真的反馈信号。

对于负反馈而言,净输入信号 \(x_i'\) 等于 \(x_i\) 减去 \(x_f\),经过相减之后会反过来变为上小下大的失真信号,该失真信号是预先设定好的,称为预失真。这个预失真信号进入本来就存在失真因素的基本放大环节以后,由于该基本放大环节会将正半周放得略大,而负半周放得略小,在这样的预失真信号作用之下,恰好就可以在输出端得到一个接近正弦波的输出,从而有效消除了非线性失真。

注意:这种消除非线性失真的方法,只能应用于环内的信号失真,如果失真信号来源于输入信号,这样的失真就无法利用负反馈的方式进行消除。

噪声性能不变

负反馈除了可以降低非线性失真之外,还可以减小噪声,但是在减小噪声的同时,有用的信号会以同样的倍数减小,并没有改善整个放大电路的信噪比。

总结

综上所述,引入负反馈可以从多方面改善放大电路的性能,虽然这样会降低增益,但是也能够提高增益的稳定性(或是减小增益的灵敏度);同时,还可以通过各种类型反馈组态的选择,有效的改变放大电路的输入输出电阻(其中串并联负反馈会影响输入电阻,而电压电流负反馈则影响输出电阻):

除此之外,负反馈还可以减小频率失真,或者是扩展通频带宽,以及减小非线性失真。通过上述一系列负反馈对于放大电路性能影响的分析,就为接下来面对负反馈放大电路时,对于电路性能的定性判断,以及根据需求选择有效的负反馈,从而改善放大电路性能,打下了坚实的基础。

按需引入反馈

上一节讨论了各种类型负反馈对于放大电路性能的影响,这就为后续跟据需求合理的引入反馈打下了坚实基础。根据上一节的结论,可以得出以下引入负反馈的基本原则:

根据所需要影响的信号对象选择交流或者直流反馈

  • 如果是为了稳定静态工作点,那么应该引入直流负反馈
  • 如果是为了改善电路的动态性能,那么应该引入交流负反馈
  • 如果希望两者都同时得到改善,那么就需要引入交直流负反馈

根据信号源的性质选择串联或者并联负反馈

  • 如果信号源是一个恒压源,或者是内阻很小的电压源时,应该引入串联负反馈
  • 如果信号源是一个恒流源,或者是内阻很大的电流源时,应当引入并联负反馈

根据负载对放大电路的要求选择电压或者电流负反馈

  • 若需要稳定的是电压输出或者输出电阻 \(R_o\) 较小,则应该引入电压负反馈
  • 若需要稳定的是电流输出或者输出电阻 \(R_o\) 较大,则应该引入电流负反馈

根据电路对信号源拾取电流的大小来选择串联或者并联负反馈

  • 如果输入电阻 \(R_i\) 越大,对于信号源索取的电流就越小,应当引入串联负反馈
  • 如果输入电阻 \(R_i\) 越小,对于信号源索取的电流就越大,应当引入并联负反馈

根据前面四种组态负反馈闭环增益的物理含义,实际应用时可以选择合适的组态完成信号的变换。

▶【例题 1】如果想从信号源获得更大的电流,并增强带负载能力,应当在放大电路当中引入何种组态负反馈?

▶【解答】想要从信号源获得更大电流,就意味着输入电阻 \(R_i\) 应该减小,可以引入并联负反馈;如果想增强带负载能力,则意味着输出电阻 \(R_o\) 也需要减小,这里就需要引入电压负反馈;因此,为了满足题设的要求,需要引入并联电压负反馈。

▶【例题 2】为了使电流信号转换为与之呈现稳定关系的电压信号,此时需要引入什么负反馈?

▶【解答】根据题设可以知道当前需要的闭环增益,应该是一个输出电压与输入电流的比值,这显然就是一个闭环的互阻增益 \(A_{rf} = \frac{u_o}{u_i}\),由于这里取的是电压比上电流,因而应该引入一个电压并联负反馈

▶【例题 3】为了使电压信号转换成与之呈稳定关系的电流信号,此时应当引入什么样的负反馈?

▶【解答】这里需要得到的是互导闭环增益 \(A_{gf} = \frac{i_o}{u_i}\),即取电流信号与电压信号进行叠加,显然当前需要引入的是一个电流串联负反馈

▶【例题 4】下面电路当中,如果想要达到一个稳定的输出电压和较高的输入电阻,应当接入何种负反馈?\(R_f\) 应该如何接入?请标注出下图当中各点以及集成运放输入端的极性?

▶【解答】为了获得一个稳定的输出电压,自然需要取得电压负反馈;而想要获得较高的输入电阻,则需要引入串联负反馈;因而,当前需要引入的是一个电压串联负反馈

在上面这个由差分放大电路和集成运放所组成的两级放大电路中,为了获得一个电压负反馈,显然应该直接从输出电压进行取样,因而反馈元件应当直接与 \(u_o\) 连接在一起。而为了获得串联负反馈,根据前面对于串联负反馈的判定原则,可以知道输入信号应该加在不同的输入端子上面。对于差分放大电路而言,\(u_i\) 是通过 \(T_1\) 管的基极输入,那么反馈信号就应该连接在第 2 个输入端子上面,也就是 \(T_2\) 的基极。这样连接以后,就可以得到一个串联电压负反馈。

由于输入的瞬时信号极性为正,为了让串联电压负反馈成立,需要保证 \(T_2\) 管基极的极性也为正,集成运放输出端的瞬时极性应该同样为正。此时,集成运放的输出信号极性是由正向传输过程确定的,由于输入信号的瞬时极性为正,因此 \(T_1\) 管集电极的瞬时极性为负,而 \(T_2\) 管集电极的瞬时极性应该为正,由此可以知道这里连接的是集成运放的同向输入端。而与瞬时极性为负的信号相连接的端子,则是反向输入端

由此可以看到,在 \(u_i\) 瞬时极性为正的情况下,此时的信号传输正好能够保证产生一个电压串联负反馈

估算深度负反馈放大电路性能

当环路增益或者反馈深度远远大于 1 的时候,即 \(T >> 1\) 或者 \(1 + AF >> 1\),这样的负反馈称为深度负反馈。之所以定义这样一个概念,首先是由于目前大部分的开环增益都比较大,当在放大电路当中引入反馈的时候,通常就已经属于深度负反馈。其次引入深度负反馈,也可以最大限度的影响放大电路的性能,本小节主要就是研究深度负反馈条件下,放大电路性能的估算。

深度负反馈放大电路特点

首先对深度负反馈条件下放大电路的特点进行讨论,根据前面对于闭环增益和反馈深度的讨论,可以得出如下非常重要的关系,即当电路满足深度负反馈条件的时候,闭环增益 \(A_f = \frac{A}{1 + AF} \approx \frac{1}{F}\),这就意味着当引入深度负反馈之后,整个放大电路的闭环增益几乎与开环增益无关,而只与反馈系数有关,这就是接下来分析放大电路闭环增益的出发点。

根据前面对于闭环增益以及反馈系数的定义,如果 \(\dot{A_f} = \frac{\dot{X_o}}{\dot{X_i}}\) 并且 \(\dot{F} = \frac{\dot{X_f}}{\dot{X_o}}\),可以得到 \(\frac{\dot{X_o}}{\dot{X_i}} \approx \frac{\dot{X_o}}{\dot{X_f}}\),即反馈信号约等于输入信号 \(\dot{X_f} \approx \dot{X_i}\),整个净输入信号 \(\dot{X_i'} = \dot{X_i} - \dot{X_f} \approx 0\),从而可以得出一个重要的结论:在深度负反馈条件下,净输入信号约等于0

上述结论在不同类型的反馈组态具有不同含义,如果当前引入的是一个串联负反馈,净输入电压 \(u_i' \approx 0\),即约等于反馈电压 \(u_i' \approx u_f\)。如果当前引入的是一个并联负反馈,显然净输入电流为零,输入的电流信号约等于反馈的电流信号。

\[ \begin{cases} 串联负反馈 \implies u_i' \approx 0,即\ u_i \approx u_f \\ 并联负反馈 \implies i_i' \approx 0,即\ i_i \approx i_f \end{cases} \]

上述结论,将会是后续对于深度负反馈条件下闭环增益讨论的分析依据。

深度负反馈电路输入输出电阻估算

根据前面对于串并联两种类型反馈对于输入电阻的影响,可以发现串联负反馈增大输入电阻,而并联负反馈减小输入电阻,当引入的是一个深度负反馈的时候,这种影响将会显得更大:

如果当前引入的是一个串联深度负反馈,放大电路的输入电阻将会趋近于无穷大,而如果引入的是并联深度负反馈,则输入电阻将会趋近于零。

\[ \begin{cases} 串联深度负反馈电路输入电阻 \implies R_{if} = R_i(1 + AF) \rightarrow \infty \\ 并联深度负反馈电路输入电阻 \implies R_{if} = \frac{R_i}{(1 + AF)} \rightarrow 0 \\ \end{cases} \]

而对于输出电阻的影响,如果当前引入的是一个电压深度负反馈,输出电阻约为零,而电流深度负反馈的输出电阻趋近于无穷大。

\[ \begin{cases} 电压深度负反馈电路输出电阻 \implies R_{of} = \frac{R_o}{(1 + AF)} \rightarrow 0 \\ 电流深度负反馈电路输出电阻 \implies R_{of} = R_o(1 + AF) \rightarrow \infty \end{cases} \]

需要强调的是,上述结论只适用于反馈环路内的输入与输出电阻,当计算整个放大电路的输入输出电阻时,某些电阻可能并不处于反馈环路之内,反馈不会对它产生影响,因而在计算时需要将其考虑在内。

▶【例题】下图是之前一直在讨论的分压偏置共射放大电路,如果其中的 \(R_E\) 引入的是一个深度电流串联负反馈的话,其输入与输出电阻如何进行估算?

▶【解答】根据上面电路的交流通路以及电流串联负反馈类型判别的结论,放大电路的闭环输出将会受到反馈深度的影响,此时由于引入的是一个串联负反馈,因而输入电阻 \(R_{if}\) 将会趋于无穷大;而又由于引入的是一个电流负反馈,输出电阻 \(R_{of}\) 也会趋近于无穷大;这些因素只会影响到环内的输入与输出电阻。而整个放大电路的输入输入电阻,还需要进一步考虑到环外的电阻。

整个放大电路的输入电阻 \(R_i\) 等于 \(R_{if}\)\(R_{B1}\) 以及 \(R_{B2}\) 的并联,而由于 \(R_{if}\) 趋近于无穷大,所以整个放大电路的输入电阻 \(R_i\) 约等于 \(R_{B1}\)\(R_{B2}\) 的并联。

\[ 输入电阻\ R_i = R_{if} // R_{B1} // R_{B2} \approx R_{B1} // R_{B2} \]

同理,整个放大电路的输出电阻,应该等于 \(R_c\)\(R_{of}\) 的并联,由于 \(R_{of}\) 趋近于无穷大,因此整个放大电路的输出电阻约等于 \(R_{c}\)

\[ R_{o} = R_{of} // R_c = R_c \]

深度负反馈电路闭环增益估算

根据前面已经引入的结论,当引入深度负反馈以后,闭环增益就约等于 \(\frac{1}{F}\)。基于这样的出发点,如果能够求解该电路当中的 \(F\),就可以马上估算出该条件下的闭环增益。信号在反馈回路当中是不停流动的,想要求出反馈系数,需要将反馈网络从整个环路当中剥离出来(反馈网络的剥离需要遵循反馈信号只取决于输出信号的原则)。

\[ A_f = \frac{A}{1 + AF} \Rightarrow 求解F \Rightarrow 剥离反馈网络 \Rightarrow 串联开路,并联短路 \]

深度负反馈条件下净输入信号约等于零这个结论对于不同类型的负反馈有着不同的含义,如果是串联负反馈,此时净输入电压 \(u_i' \approx 0\),这就意味着 \(u_f \approx u_i\),如果将下图绿色小叉部分断开,就可以利用 \(u_i\)\(\dot{x_o}\) 的关系,求解出该电路的反馈系数。

同理,如果是并联负反馈,由于净输入的电流 \(i_i' \approx 0\),说明此时 \(i_i \approx i_f\),同样只要将下图绿色小叉部分断开并且对地短路,该支路的电流就可以认为是 \(i_i\),这样就可以将 \(i_i\)\(x_o\) 的关系求解出来。

根据这样的分析,可以引出上面步骤当中,分离反馈网络的方法:串联开路,并联短路。基于这样的分析依据,可以得出深度负反馈条件下,闭环增益估算的分析步骤:

  1. 准确判断反馈类型;
  2. 根据反馈类型,找出反馈网络(找出电路中的所有反馈元件);
  3. 根据上面引入的串联开路,并联短路方法(如果是串联反馈,就将反馈接入的输入端交流开路;如果是并联反馈,则将反馈接入的输入端交流短路),将反馈网络从电路当中剥离出来,从而计算出 \(\dot{X_f}\)\(\dot{X_o}\) 的比值,即反馈系数 \(\dot{F} = \frac{\dot{X_f}}{\dot{X_o}}\)
  4. 由于前一步得到的反馈系数具有不同物理含义,经过 \(A_f = \frac{1}{\dot{F}}\) 之后计算出的闭环增益也会具有不同的物理含义;如果需要求解的闭环增益与此处得到的增益形式不同,则需要进一步确定 \(\dot{A_f} = \frac{\dot{X_o}}{\dot{X_s}}\) 的含义,将 \(\dot{A_f}\) 转换为 \(\dot{A_{usf}} = \frac{\dot{U_o}}{\dot{U_s}}\) 最终满足求解需求;

▶【例题】下面是一个由差分放大电路、集成运放、单管放大电路所构成的三级放大电路,请在深度负反馈条件下,估算其闭环增益?

▶【解答】首先找出反馈,然后确定反馈类型。对于多级放大电路而言,极间反馈最能够影响反馈电路的性能,该电路的反馈是从 \(T_4\) 管的发射极引出信号以后,通过反馈网络回到了差分放大电路 \(T_2\) 的基极,这个极间反馈过程就是整个放大电路的反馈。

接下来判断反馈的类型,假设瞬时极性为(上图绿色符号),信号从 \(T_1\)\(T_2\) 管的集电极流入集成运放,此时 \(T_1\) 管的瞬时极性为,而 \(T_2\) 管的瞬时极性为,该信号进入了集成运放的反相输入端与同相输入端,此时 \(T_4\) 管基极的瞬时极性也为,这个正极性的信号进入反馈网络以后,导致 \(T_4\) 管发射极的瞬时极性也为,这个极性为正的信号,在 \(T_2\) 管的基极,出现了一个瞬时极性也为正的反馈信号。输入信号与反馈信号加在不同的输入端,而瞬时极性相同,显然这是一个负反馈

接下来运用输出短路法判断当前反馈类型为电压还是电流,将输出端短路以后(上图蓝色连线),不难发现 \(T_4\) 管仍然有电流出现,反馈信号仍然存在,因而这是一个电流负反馈

接下来再来讨论反馈类型属于串联还是并联,由于当前输入信号与反馈信号添加在不同输入端,因而这是一个串联反馈。经过上述一系列分析之后,可以知道当前引入反馈类型为电流串联负反馈

接下来讨论负反馈是由哪些元件产生的,根据电流串联负反馈类型,可以知道反馈网络取的是输出电流 \(I_O\),而叠加的则是电压信号。输出电流 \(I_O\) 通过 \(T_4\) 管的发射极,然后在 \(R_f\)\(R_6\) 两条支路上并联分流之后,最后在 \(R_1\) 上产生电压降 \(u_f\) ,即与输入信号进行叠加的反馈信号。由此可见,反馈网络是由 \(R_1\)\(R_f\)\(R_6\) 共同组成。

经过上述一系列分析,接下来就可以应用刚才讲解的串联开路并联短路的方法,由于当前引入的是一个串联负反馈,如果要将反馈网络剥离出来,当然要在输入端将反馈信号断开,使其不再回流至基本放大环节,这里可以看出反馈信号 \(U_f\) 与取样的 \(I_O\) 是一个单向信号传输过程,非常有利于求解。根据欧姆定律,可以写出此时的反馈系数 \(\dot{F_{ui}}\) 等于 \(\dot{U_f}\) 比上 \(\dot{I_O}\),根据刚才剥离出的反馈网络拓扑结构,可以得到下面表达式:

\[ \dot{F_{ui}} = \frac{\dot{U_f}}{\dot{I_o}} = \frac{R_1 R_6}{R_1 + R_6 + R_f} \]

这样,待求解的闭环增益 \(\dot{A_{gf}}\) 等于 \(\dot{F_{ui}}\) 分之一:

\[ \dot{A_{gf}} = \frac{\dot{I_o}}{\dot{U_f}} = \frac{R_1 + R_6 + R_f}{R_1 R_6} \]

由于当前引入的属于电流串联负反馈,因此反馈系数为一个互阻反馈系数,而当前得到的闭环增益是一个互导的闭环增益,而待求解的是一个电压增益,所以需要将结果转换为闭环电压增益形式。电压增益等于 \(U_o\) 比上 \(U_i\),此处需要将上面互导增益中的 \(I_o\) 转换为 \(U_o\) 形式。根据电路结构,在这个电路的交流通路当中,\(U_o = - \dot{I_o} R_c\),经过变换以后就可以得出该电路在深度负反馈条件下的闭环电压增益表达式:

\[ \dot{A_{uf}} = \frac{\dot{U_o}}{\dot{U_i}} = \frac{-\dot{I_o} R_c}{\dot{U_i}} = -\frac{R_1 + R_6 + R_f}{R_1 + R_6} R_c \]

从本题的求解过程可以看出,一旦引入了深度负反馈,求解放大电路增益的过程与思路与之前讨论过的微变等效电路法完全不同,因而面对不同电路时,需要酌情选择不同的方法与切入点进行分析。

负反馈放大电路的稳定性

负反馈可以从多个方面改善放大电路性能,负反馈为放大电路带来的影响与反馈深度密切相关,反馈深度越大越好。但是对于多级放大电路而言,反馈深度过大可能会导致放大电路出现自激振荡,即在没有输入信号作用时,放大电路仍然会产生一定频率的信号输出。

自激振荡的原因

自激振荡会导致放大电路无法正常工作,失去了放大电路的稳定性。接下来基如下反馈基本框图,分析放大电路引入负反馈之后出现自激振荡的原因:

前面内容对这个基本框图的假设,是基于中频时候,电路当中的电抗元件不会影响信号的传输。实际电路当中,由于电路当中电抗元件的客观存在,当信号频率过高或者过低的时候,必然会带来附加相移。正常情况下,信号会净输入减小,属于负反馈。而当信号频率过高或者过低时,在基本放大环节与反馈网络组成的闭环当中,有可能会出现 180° 的附加相移,当这些附加相移累积到一定程度时,净输入信号由于 \(\dot{X_i'} = X_i - X_f\) 而逐渐变大,从而导致负反馈转变为正反馈。当反馈信号满足一定的幅值条件时,即使移除输入信号,依然可以保证放大电路存在输出,即发生了自激振荡。

自激振荡的条件

当反馈深度(即闭环增益 \(\dot{A_F} = \frac{\dot{A}}{1 + \dot{A}\dot{F}}\) 中的分母)等于零的时候,此时 \(X_i\) 等于零,而 \(X_o\) 不等于零,这就是产生自激震荡的平衡条件,将这个平衡条件分解为模值与相角(其中的 \(\dot{A}\dot{F}\) 为环路增益):

\[ 1 + \dot{A}\dot{F} = 0 \implies \dot{A}\dot{F} = -1 \implies \dot{A}\dot{F} = |\dot{A}(\omega_k) \cdot \dot{F}(\omega_k)| (\angle \phi_a(\omega) + \phi_f(\omega)) \]

根据上面等式就可以推导出自激振荡平衡的幅值条件与相位条件,即环路增益的模值等于 1,而附加相移之和等于 \(180°\) 的基数倍:

\[ \begin{cases} 幅值条件 \implies |\dot{A}(\omega_k) \cdot \dot{F}(\omega_k)| = 1 \\ 相位条件 \implies \varphi_a(\omega_k) + \varphi_f(\omega_k) = (2n+1) \times 180° \end{cases} \]

只有同时满足上述两个条件,电路才会产生自激震荡。此外,如果 \(A_f\) 模值大于 1,自激振荡产生的 \(X_o\) 将会从无到有逐渐增大。这些条件即可以用于判断放大电路当中是否存在自激振荡,也可以通过破坏其中一个条件来避免放大电路产生自激振荡。

负反馈放大电路稳定性分析

对于下面的负反馈放大电路而言,假设反馈网络为纯电阻网络(意味着附加相移不会出现于反馈网络,而只会由放大电路决定),放大电路为直接耦合形式(根据频率响应相关的内容,说明振荡只可能产生在高频段)。

对于单级放大电路而言,其最大附加相移为 -90°,意味着在整个放大电路的频率响应过程当中,不可能出现满足基数倍 \(180°\) 的相位条件,故引入负反馈后不可能发生振荡。

\[ f \rightarrow \infty\ 时,\varphi_A' \rightarrow -90°,|\dot{A}| \rightarrow 0 \]

对于两级放大电路而言,最大附加相移可能会达到 -180°,但是此时增益已经趋近于零,意味着整个放大电路上不可能找到即满足幅值条件又满足相位条件的频率点,因而也不可能产生自激振荡。

\[ f \rightarrow \infty\ 时,\varphi_A' \rightarrow -180°,|\dot{A}| \rightarrow 0 \]

对于三级放大电路而言,最大附加相移可能达到 -270°,导致在 -270° 以内的 -180° 频率点上增益并不趋近于零,即可能满足幅值条件也可能满足相位条件,达到了自激震荡的条件。

\[ f \rightarrow \infty\ 时,\varphi_A' \rightarrow -270°,|\dot{A}| \rightarrow 0 \]

依此类推,放大电路的级数越多,耦合电容和旁路电容越多,引入的负反馈越深,产生自激振荡的可能性就会越大。

负反馈放大电路稳定性判断

稳定裕量用于定量的描述负反馈放大电路的稳定性,指在环路增益的模值为 \(|\dot{T}(\omega_g)| = 1\) 的时候,在波特图上可以找到一个增益交界角频率 \(\omega_g\),增益交界角频率对应的附加相移与 \(180°\) 的差,就称为相位裕量

\[ 相位裕量\ \gamma_\varphi = 180° - |\varphi_T(\varphi_g) | > 45° \]

同理,当附加相移等于 \(\varphi_T (\varphi_g)\pm \pi\) 的时候,可以找到其所对应的环路增益幅值,称为增益裕量

\[ 增益裕量\ \gamma_g (dB) = -20 \lg |\dot{T}(\omega_\varphi)| > 10dB \]

由此可见,相位裕量大于 45°,增益裕量大于 10dB的放大电路是比较稳定的。

相位裕量图解分析法

有了稳定裕量的概念,就可以利用相位裕量图解分析法定量的判断一个放大电路是否稳定。这里假设为放大电路添加一个纯电阻反馈网络,这就意味着反馈系数 \(F\) 是一个实数,根据上面对于相位裕量的定义可以知道:

第 1 步

当环路增益模值为 1 的时候,可以得出一个表达式 \(\frac{1}{F}\),找到 \(\frac{1}{F}\) 与增益的交点,就可以获得增益交界角频率 \(\omega_g\)

\[ |\dot{T}(\omega_g)| = |\dot{A}(\omega_g)| \cdot F = 1 \implies 20 \lg |\dot{A}(\omega_g)| = 20 \lg (\frac{1}{F}) \]

此处假设存在下面下关于增益 \(\dot{A}(\omega)\) 的幅频波特图,作 \(\frac{1}{F}(dB)\) 的水平直线(增益线),这条直线与开环增益曲线的交点所对应的就是增益交界角频率 \(\omega_g\)

如果此时拥有的是环路增益 \(\dot{T}(\omega)\) 的幅频波特图,则环路增益曲线与横轴 \(T{\omega} = 0dB\) 的交点,就是增益交界角频率 \(\omega_g\)

第 2 步

根据前一步得到的增益交界角频率 \(\omega_g\),根据其在相频特性曲线上作图,并且找出其对应的附加相移 \(\varphi_T(\omega_g)\),该附加相移与 \(180°\) 的差就是该电路的相位裕量 \(\gamma_\varphi\)

第 3 步

接下来对前一步得到的相位裕量 \(\gamma_\varphi\) 进行判断:

  • 如果相位裕量 \(\gamma_\varphi = 180° - |\varphi_T(\omega_g)| > 45°\),那么放大电路就可以稳定工作;
  • 如果相位裕量 \(\gamma_\varphi = 180° - |\varphi_T(\omega_g)| < 45°\),则放大电路不稳定;

根据相位裕量图解分析法,基于波特图就可以判断电路是否产生 \(自激振荡\)。根据上面增益的幅频特性与相频特性波特图,如果能够作出 \(\frac{1}{F}(dB)\) 增益线,那么根据前面的方法已经可以找到 \(\omega_g\),而 \(\omega_g\) 在相频特性上对应的附加相移也就可以得到,由于 \(\gamma_\varphi\) 减去附加相移 \(\varphi_T(\omega_g)\) 之后的裕量大于 45°,所以该电路可以稳定工作,不会产生自激振荡。

而如下电路已经给出了环路增益 \(T(\omega)\) 的波特图,它与横轴的交点就是 \(\omega_g\),通过 \(\omega_g\) 在相频特性中找到对应的附加相移 \(\varphi_T(\omega_g)\),这个附加相移显然大于 180°,此时由于相位裕量小于零,所以电路可能会出现自激振荡,不能够稳定的工作。

负反馈放大电路自激振荡的消除

根据前面所引入自激振荡的幅值条件和相位条件,想使电路不产生自激振荡,就必须打破对应的幅值条件与相位条件,其中,最简单的方法是减小反馈系数或者反馈深度,使得在满足相位条件时不满足幅度条件,基于这个思路可以得到多种消除自激振荡的方法,其中最为常用的是一种称为相位补偿技术

相位补偿技术的基本思想是:对一个纯电阻反馈网络而言,反馈系数的最大值为 1,这就意味着当 \(F\) 等于最大值 1 的时候,增益线将会位于横轴上面,如果能够确保 \(F = 1\) 的时候,放大电路的相位裕度仍然能够大于 45°,那么放大电路就不会产生自激振荡,这就意味着在这样的电路补偿过程当中,在中频增益 \(A\) 基本保持不变的前提下,设法增大 \(\omega_{P_1}\)\(\omega_{P_2}\) 之间的间距,也就是加长斜率为 \(\frac{-20dB}{十倍频}\) 线段的长度,就可以使得在 \(F\) 增大的时候,仍然能够获得足够的相位裕量。

在上述相位补偿技术的基本思想指导下,可以采用滞后补偿超前补偿两种补偿方式。

简单滞后补偿

在电路的合适位置添加一个补偿电容(例如在两级放大电路的中间),该电容在中低频信号的时候对于电路没有影响,而当信号频率过高时,电容的容抗将会下降,必然会减小前一级放大电路的放大倍数,从而消除产生自激振荡的可能性。

例如下面的栅极放大电路可能会产生自激振荡,通过加入合适的电容进行滞后补偿:

就可以让波特图横轴以上的部分都变为每 10 倍频 -20dB 的线段,此时在环路增益的 \(f_{H2}\) 频率下的最大附加相移为 -135°,这样就获得了 45° 的相位裕度,满足了电路稳定所需的相位裕度。

但是这种简单滞后补偿在满足电路稳定需求的同时,也极大的损失了带宽,导致带宽变窄。

RC 滞后补偿

这种补偿方式,是在最低上限频率所在的回路上添加一个 RC 相位补偿网络,如下面电路所示:

如果为这个电路设置合适的 RC 时间常数,就可能使得拐点移动至 \(f_{H3}\) 位置,而在整个多级放大电路的波特图当中只存在两个拐点,因而放大电路也不会产生自激振荡。

通过对比以后可以发现,\(f_{H2}\) 所对应的波特图是之前简单滞后补偿的波特图,而 \(f_{H3}\) 对应的波特图则是 RC 滞后补偿的波特图,这种补偿方式一方面可以消除自激振荡,同时也可以改善带宽衰减的问题。

密勒效应补偿

将电容跨接在放大电路某个级的输入与输出之间,利用密勒效应来消除自激振荡。与前两种滞后补偿相比,密勒效应补偿的最大优点在于其所需的电容通常比较小,因而这种方式在集成电路当中应用较为广泛。例如下图是之前讨论过的运算放大器 F007 的原理图,其中 30pF 电容的主要作用就是以密勒效应补偿方式消除可能产生的自激振荡:

具体电路设计当中,需要预先考虑可能出现的自激振荡问题,由此在选择器件参数的时候需要留有一定的裕度,从尽量在根源上避免自激振荡的产生。

集成运放应用-信号运算

集成运放本质上是一个高性能的多级直接耦合放大电路,通过内部多种电路的强强联手,具备增益高、输入电阻大、输出电阻小、温漂抑制能力强等优越性能。

特性建模与分析依据

用好集成运放首先要从其特性出发,之前已经讨论过集成运放的实际传输特性(如下图),当差模输入比较小的时候,输入与输出呈现线性关系 \(u_o = A_{uo}(u_+ - u_\_)\),称为线性区;而当差模输入比较大的时候,输出则会呈现出正负饱和的状态,即当 \(u_+ - u_\_ > e\)\(u_o = +U_{o(sat)}\),而当 \(u_+ - u_\_ < -e\)\(u_o = -U_{o(sat)}\),称为饱和区或者非线性区

集成运放的建模

集成运放的模型种类非常繁多,按精度可以分为理想模型非理想模型运放宏模型,也可以按照功能划分为直流模型交流小信号模型大信号模型噪声模型,本文主要对应用最为广泛的理想模型进行介绍。

上面的集成运放理想化模型,是从实际模型出发建立的。其中,输入端口可以等效为一个输入电阻 \(R_i\),而输出端口则可以等效为一个由差模输入电压 \(u_{id} = u_{i+} - u_{i-}\) 所控制的受控电压源与输出电阻 \(R_o\) 的串联,由于集成运放的输入电阻非常大,开环电压增益 \(A_{uo}\) 也就非常大,将这些优越的性能进一步理想化,就可以得到集成运放的理想化参数:

  1. 开环电压增益 \(A_{ud} = \infty\)
  2. 差模输入电阻 \(R_{id} = \infty\)
  3. 开环输出电阻 \(R_o = 0\)

上述三个集成运放的性能参数都非常优越,对于大部分集成运放应用而言,将它们理想化所带来的误差并不会影响到精度,因而成为了集成运放参数理想化的主要条件

  1. 开环频带宽度 \(BW = \infty\)
  2. 共模抑制比 \(K_{CMR} = \infty\)
  3. 转换速率 \(SR = \infty\)
  4. 输入失调电压电流温漂为零;
  5. 内部噪声为零;

上述参数也可以进行理想化,但是这些条件通常难以满足,而且会影响到某些应用场景的精度,需要采用性能更加优越的专用芯片来近似满足。经过这样的理想化之后,就可以将实际模型(下图左)转化为理想模型(下图右):

可以看到,由于输入电阻无穷大,运算放大器的同相端与反相端之间呈现开路状态。而由于输出电阻 \(R_o\) 为零,所以输出电压 \(u_o = A_{ud}(u_+ - u_-)\) 仅与受控电压源有关,而与负载无关。对于上面的理想模型,还需要注意如下两点:

  • 由于实际集成运放的性能参数与理想运放十分接近,分析计算时采用理想模型替代实际模型,引发的误差并不会影响到结果的可信度,并能够大为简化分析与计算过程,后续将主要采用理想模型进行电路分析;
  • 对于集成运放参数理想化所带来的误差,某些情况下并不能视而不见,需要相应考虑到集成运放的具体参数;

理想运放的传输特性

集成运放模型的理想化,还会对其传输特性产生影响:

上图左侧是集成运放的实际特性,可以看到其线性区的斜率为开环增益。理想化模型下,由于开环增益趋于无穷大,右侧集成运放理想特性当中,线性区会与坐标系纵轴重合,该传输特性将会是后续电路分析的主要出发点。

理想运放在线性区的特点

从上面的传输特性可以清楚的看到,集成运放的线性区与非线性区具有着不同的特点,这里首先看看集成运放在线性区的特点:

显然,当集成运放工作于线性区的时候,其输出与输入会满足 \(u_o = A_{uo}(u_+ - u_-)\) 这样的线性关系。而理想化条件下开环增益趋于无穷大 \(A_{uo} \approx \infty\),基于这样的条件可以得出一个重要的结论:当集成运放工作在线性区的时候,同相端与反相端的电位差约为零 \(u_+ - u_- = \frac{u_o}{A_{uo}} \approx 0 \implies u_+ = u_-\),当电路中两点电位相同的时候,意味着这两点是短路的。而集成运放的在电路当中,同相端与反相端不可能连接在一起,因此将 \(u_+ = u_-\) 这种虚拟的短路称为虚短,这是由集成运放开环增益无穷大特点所带来的一个特性。

除此之外,输入的电流等于输入的电压与输入电阻之比 \(i_+ = i_- = \frac{u_i}{R_i}\),而理想化条件下输入电阻趋于无穷大 \(R_{id} = R_{ic} = \infty\),由此又可以得出一个重要的结论:当集成运放工作于线性区的时候,两个输入端子的电流约等于零 \(i_+ = i_- \approx 0\)。当电路中某一条支路的电流为零的时候,意味着该支路属于断路。而集成运放电路当中,不可能将集成运放的两个输入端子断开,因而属于一个虚拟的断路,称为虚断,即由输入电阻无穷大所带来的一个特性。

除了上述的虚短虚断两个特性之外,还存在着一个特例:如果将集成运放线性电路的同相端接地,根据虚断可以知道 \(u_+ = 0\),根据虚短 \(u_+ = u_-\) 可以知道其反相端电位 \(u_- = 0\)。此时虽然反相端并未接地,但是其电位也为零(就如同接地了一样),因而称其为虚地。显然,虚地是虚短的一个特例,也是反相输入式放大器的一个重要特点。

根据上述概念性的介绍,可以发现虚短虚断是集成运放线性应用的两个重要分析依据,也是后续对于集成运放进行线性分析的出发点。虽然虚短意味着没有差模输入电压,而虚断意味着没有输入电流,但是这些并不意味集成运放没有输入,实际情况仅仅是差模输入电压与输入电流非常微小。正是这样微小的输入电压与电流,使得集成运放可以工作于线性区,从而实现各种线性应用。

接下来分析集成运放工作在线性区的一些特点,由于集成运放的线性工作区非常之狭窄,例如运算放大器 F007 线性区内的输入电压范围位于 \(\pm 70\mu V\) 范围以内,同时由于晶体管受温度因素的影响比较大,集成运放的开环增益并不稳定,带宽也非常狭窄。因而需要引入负反馈,才能使得集成运放得以工作在狭窄的线性区,达到扩展带宽、稳定增益的目的。

当集成运放引入负反馈之后,就会将反馈信号引回至反相输入端,使得反馈信号抵消掉一部分输入信号,保证在输入信号比较大的时候,差模输入电压 \(u_{id}\) 仍然比较小,位于传输特性的线性范围以内,进而使得集成运放得以工作在狭窄的线性区。同时利用负反馈,还可以扩展带宽,灵活的改变输入与输出电阻。因此是否引入负反馈,就成为了判断集成运放所构成电路是否为线性应用的主要标志。

理想运放在非线性区的特点

当集成运放工作在疆域辽阔的饱和区时,就不会存在由开环增益所决定的线性关系,其输出并不会受到开环增益的影响,而是受到同相端与反相端电位高低的影响:

  • 当同相端电位高于反相端电位时 \(u_+ > u_-\),输出高电平 \(u_o = + U_{o(sat)}\)
  • 当同相端电位低于反相端电位时 \(u_+ < u_-\),输出低电平 \(u_o = - U_{o(sat)}\)

显然此时虚短不再成立,而由于虚断是输入电阻无穷大带来的特性,因而在非线性区虚断的条件依然是成立的,输入电流 \(i_+ = i_- \approx 0\)。集成运放要想工作于线性区,就需要引入负反馈。同理,如果集成运放想要工作于非线性区,则需要让其处于开环状态或者引入正反馈。

结论与应用

经过前面对于集成运放特性与模型、线性区与非线性区的讨论,可以得出如下三个非常重要的结论:

  • 由于集成运放在线性区与非线性区的工作特点截然不同,因而分析含有集成运放的应用电路时,首先需要判断该集成运放工作在哪个区域,即判断当前是否存在反馈以及反馈的极性。如果集成运放只引入了负反馈,那么它将工作于线性区;如果集成运放处于开环状态或者引入了正反馈,则是工作于非线性区;
  • 如果集成运放工作于线性区,虚断虚短就成为分析这类电路的重要法宝;即线性应用有虚断有虚短,非线性应用有虚断无虚短
  • 由于集成运放的输出电阻约为零,所以其输出电压与负载基本无关,这就为分析集成运放所构成的多级电路奠定了基础,从而能够将多级电路划分为单元电路进行分析;

利用上述基本结论,就可以分析后续各种集成运放的传输特性(即输入与输出信号的关系特性)。由于集成运放可以分别工作在线性区和非线性区,因而其应用也可以相应的划分为线性应用非线性应用两大类:

比例运算电路

当集成运放引入负反馈之后,将会工作于线性区。由于集成运放的开环增益非常大,因此引入负反馈的集成运放通常属于深度负反馈,由深度负反馈就会引出一个重要的公式 \(A_f = \frac{1}{F}\)。这就意味着当集成运放引入深度负反馈时,其输入电压与输出电压的关系取决于反馈网络的结构与参数,而与集成运放本身的参数关系不大。只要灵活的改变输入电路反馈电路的结构形式,就可以实现各种不同的线性应用。

其中一类线性应用是通过采用各种反馈网络实现模拟信号的数学运算,称为信号运算电路,例如:比例运算电路加减法运算电路微积分运算电路对数指数运算电路乘法运算电路。这类电路主要采用理想运算放大器模型,结合之前提到的虚短虚断方法,对输入与输出的函数关系 \(u_O = f(u_I)\) 进行分析。

反相比例运算电路

下面的电路采用了电压并联负反馈,接下来运用虚短虚断分析该电路的输出与输入关系:

基于虚断可以知道运算放大器同相端的电位为零 \(u_+ = 0\),同样根据虚短也可以知道反相端的电位也为零 \(u_- = 0\),这意味着反相端虽然没有接地,但是其电位依然为零(就如同接地了一样),即虚地

由虚断和虚地可以知道 \(i_1 = i_f\) 的关系,两者的表达式分别为:

\[ \begin{cases} i_1 = \frac{u_i - u_-}{R_1} = \frac{u_i}{R_1} \\ i_f = \frac{u_- - u_o}{R_f} = - \frac{u_o}{R_f} \end{cases} \implies A_{uf} = \frac{u_o}{u_i} = -\frac{R_f}{R_1} \]

根据上述推导过程可以看到,该电路实现了输入与输出的反相比例运算,因而属于一个反相比例运算电路

由于上面电路的反相端虚地,输入电阻 \(R_{if} = R_1\);又由于该电路引入的是一个深度电压负反馈,所以输出电阻 \(R_{of} \rightarrow 0\)。此外,由于集成运放的内部电路具有对称性,而这种对称性也会体现在外电路,即静态下同相端与反相端看出去的对地电阻应当相同,所以上图当中的电阻 \(R_P\) 起到的是一个电路平衡的作用,称为平衡电阻。正是由于静态下对地电阻相等,已知反相端的对地电阻等于 \(R_1\)\(R_f\) 的并联,而同相端的对地电阻为 \(R_P\),所以平衡电阻的取值 \(R_P = R_1 // R_f\)

基于这样一个反相比例运算电路,还可以知道 \(u_o\)\(u_i\) 的极性相反,这是由于 \(u_i\) 是从反相端输入,必然导致输入与输出信号的极性相反。同时观察这个电路可以发现,这里的闭环增益 \(A_{uf}\) 只与 \(R_1\)\(R_f\) 有关,而与运放本身的参数无关,这与之前得出的深度负反馈结论一致。

这个由集成运放构成的反相放大电路,作用类似于由共射放大电路构成的反相放大器,但是与共射放大电路相比,该反相比例运算电路具有如下特点:

  • 由集成运放所构成的反相放大器电路结构比共射放大电路简单,同时由于该电路引入了深度负反馈,其电路稳定性更好;
  • 通过调整集成运放所连接 \(R_f\)\(R_1\) 两个电阻的阻值,可以非常方便的调整比例系数,使得闭环增益 \(A_{uf}\) 可以大于、等于、小于 1,因此从信号处理角度而言,由集成运放构成的反相放大器更具有优势;
  • 由于集成运放构成的反相放大器电路引入的是电压并联负反馈,其输入电阻较小,信号拾取能力不强,对于信号源的负载能力有一定要求;但是其输出电阻也较小,带负载能力比较强;
  • 因为集成运放构成的反相放大器具有虚地现象,所以当输入信号为 \(u_i\) 的时候,由于虚地的存在,使得 \(u_+ = u_- = 0\)。这意味着即使 \(u_i\) 比较大,集成运放的共模输入也约等于零,因此即使集成运放的共模抑制性能不佳,但是由于共模输入非常小,仍然可以保证输出信号中的的共模成分非常小。这也就意味着由于虚地的存在,该电路的运算精度对于元件的共模抑制比 \(K_{CMR}\) 要求比较低;

事实上,这个由集成运放构成的反相放大器电路也并非完美无缺。如果想要增大输入电阻(即增大 \(R_1\)),为了保证该电路的电压放大倍数不变,\(R_f\) 也需要相应的增大,这样就可能导致 \(R_f\) 的取值非常巨大,这样的大电阻一方面会增加电路的功耗,另一方面会引入过多的噪声影响信号质量。该问题归根结底是由于 \(R_1\) 要等于 \(R_f\),而 \(u_o\)\(R_f\) 之间的关系为 \(i_f\),所以必须打破这个耦合关系才能解决问题。根据并联分流的原理,利用一个 T 型网络取代之前的反馈电阻,就可以得到如下的电路:

对于上面的电路,同样可以利用虚短、虚断、虚地来建立如下的方程:

\[ \begin{cases} i_{R4} = \frac{u_o}{R_4 + R_2 // R_3} \\ i_{R2} = \frac{R_3}{R_2 + R_3} i_{R_4} = i_1 = -\frac{u_s}{R_1} \end{cases} \implies u_o = - \frac{R_2 R_3 + R_2 R_4 + R_3 R_4}{R_3 R_1} u_s \]

该电路的输入与输出也呈现出反相的比例关系,上面方程当中的 T 型网络可以等效为一个反馈电阻 \(R_F\)

\[ R_F = \frac{R_2 R_3 + R_2 R_4 + R_3 R_4}{R_3} \]

经过这样的变换之后,当 \(R_1\) 增大的时候,上面 \(R_F\) 等式当中的所有电阻都不会变得非常大,从而有效解决了电阻过大的矛盾,非常适用于电压增益和输入电阻要求较大,而使用电阻不宜过大的场景。

同相比例运算电路

既然输入信号 \(u_i\) 从反向端输入可以实现反向比例运算,那么当输入信号从同相端输入的时候,则可以实现同相比例运算

上图中的 \(u_i\) 从同相端输入,并且引入一个电压串联负反馈。根据虚短的原理,反相端 \(u_-\) 与同相端 \(u_+\) 的电位都等于 \(u_i\);而根据虚断的原理,则可以建立 \(i_1 = i_f\) 关系,由此可以得到下面的推导过程:

\[ \begin{cases} 虚短 \implies u_- = u_+ = u_i \\ 虚断 \implies i_l = i_f \end{cases} \implies \frac{0 - u_i}{R_1} = \frac{u_i - u_o}{R_f} \]

观察上述方程可以发现,输入与输出之间呈现出一种同相的比例关系,因而是一个同相比例运算电路

\[ A_{uf} = \frac{u_o}{u_i} = 1 + \frac{R_F}{R_1} \]

该电路当中仍然拥有一个平衡电阻 \(R_p\),同样由于静态下同相端与反相端的对地电阻需要相等,从而可以得到 \(R_p = R_1 // R_f\)

由于之前的反相比例运算电路存在虚地,使得集成运放的运算精度与共模抑制比关系不大。对于同相比例运算电路而言,由于电路当中不存在虚地,当输入信号为 \(u_i\) 的时候,因为 \(u_+ = u_- = u_i\),所以必然会伴随着非常大的共模输入,因而如果集成运放的共模抑制性能不好,输出信号当中将会存在共模输出,影响到运算精度。

由于当前电路引入的是一个深度串联电压负反馈,根据前面讨论过的反馈知识,就可以知道其输入电阻趋于无穷大 \(R_i = \infty\),而输出电阻几乎为零 \(R_o = 0\),正是因为这样的优良特性,使得该电路大有用武之地。如果将上面电路当中的 \(R = \infty\),这就意味着反相端输入呈现开路状态:

根据虚短和虚断可以知道,该电路的输入与输出相等 \(u_o = u_- = u_i\)。对这个电路进一步改造,令 \(R_f = 0\) 以后就可以得到如下更为简洁的电路形式:

此时上述各种特性依然成立,即闭环增益 \(A_{uf} = 1\),输入电阻 \(R_i \rightarrow \infty\),输出电阻 \(R_o \rightarrow 0\),之前章节将这种输入与输出同相,并且幅值几乎不变的特性称为跟随特性,这样的电路称为电压跟随器

相比于之前讨论过的,由共集放大电路构成的电压跟随器,集成运放构成的电压跟随器具有如下优点:

  • 电路较为简单,而且由于引入了深度负反馈,性能非常稳定;
  • 由集成运放构成的电压跟随器输入电阻更高、输出电阻更低,跟随特性比共集放大电路更好;

由于集成运放构成的电压跟随器拥有非常良好的跟随性能,其应用也十分广泛。例如下面电路当中,信号源内阻为 100kΩ,它携带着一个 1kΩ 的负载:

跟据串联分压,负载两端的输出电压 \(u_L = \frac{R_L}{R_1 + R_L} u_s = 0.01 u_s\),这就意味着负载上几乎没有获得多少能量,大部分能量都被信号源自身所消耗,整个电路的效率非常低下。要解决该问题,可以在信号源与负载之间增加一个电压跟随器:

上面电路当中,信号源的负载不再是 \(u_L\),而是无穷大的电压跟随器输入电阻 \(R_i \rightarrow \infty\),因此马上可以得到 \(u_i = u_s\),又由于电压跟随器的 \(u_o = u_i\),因而可以最终得到 \(u_o = u_s\)

对于负载而言,左侧的电路可以等效为一个电压源与输出电阻的串联,而由于电压跟随器的输出电阻为零 \(R_o \rightarrow 0\),所以对于负载而言它们可以被等效为一个恒压源,因此 \(u_o = u_L \implies u_L = u_s\),从而顺利的将信号源提供的能量传输到了负载之上。由此可见,电压跟随器的输出电压等于输入电压的幅度,并对前级电路呈现高阻状态,对后级电路呈现低阻状态,对于前后两级电路起到了很好的隔离作用,广泛应用于一些需要阻抗匹配的场景。

注意:由于这个电压跟随器的反馈深度非常之深,对于某些运算放大器而言,如果相位补偿不当,可能会导致自激振荡的出现;而且这样的电压跟随器共模输入比较大,使用时容易超过集成运放的最大共模输入电压,造成其无法正常工作。

总结

经过前面一系列的分析与讨论,得到了反相输入比例同相输入比例这两种最基本的运算电路,它们都引入了深度负反馈,并通过输入端子的不同,使其输入与输出呈现出同相与反相的关系。它们的闭环增益都只与反馈网络的参数有关,而与集成运放本身的参数特性无关,通过调整反馈网络当中电阻的阻值,就可以非常方便的调整它们的比例系数。

由于反相输入比例运算引入的是一个电压并联负反馈,因此其输入电阻不够高,但是由于其存在虚地现象,使其运算精度受到器件参数的影响较小。而同相输入比例运算引入的是一个电压串联负反馈,因此其输入电阻非常高,输出电阻非常低,广泛应用于电压跟随器之类的应用。

这两个电路属于集成运放最为基本的线性应用,它们的用途十分广泛,例如下面这个电流-电压转换电路

该电路显然是反相比例运算电路的变形,基于之前讨论过的虚短虚断分析方法,可以得到如下的输入与输出关系:

\[ U_o = - I_s R_f \]

这个电路实现了由电流到电压的转换,由于引入了电压并联负反馈,因而输入电阻非常小,这对于上图当中的电流源非常有利。而从输出端看进去,输出电阻约为零,因而对于后端电路而言,前端电路可以等效为一个恒压源

同理,还可以实现出如下的电压-电流转换电路,一个 \(U_s\) 从同相端输入,而输出则是取的电流 \(I_o\)

该电路经过分析以后,同样可以得到下面的关系表达式:

\[ I_o = \frac{U_s}{R_1} \]

由此可见该电路实现的是从电压到电流的转换,由于这里引入的是一个电流负反馈,因而输出电阻非常大,对于后端电路与负载而言,可以将前端电路等效为一个恒流源

加减运算电路

加法运算电路

反相加法

下面的电路拥有 \(u_{i1}\)\(u_{i2}\) 两个反相输入端,根据上一节对于同相和反相比例运算电路的分析结果,这两个输入在集成运放输出产生的激励,都属于反相比例关系,所以该电路实现的是一个反相加法运算

对于这样较为复杂的电路结构,以及多输入的情况,一方面可以考虑采用结点电流法列写方程求解输入与输出的关系,另一方面也可以利用线性电路当中非常好用的叠加原理来进行求解。例如令上面电路当中的 \(u_{i2} = 0\),而 \(u_{i1}\) 单独作用,就可以知道该电路是一个以 \(u_{i1}\) 作为输入的反相比例运算:

\[ u_{o1} = - \frac{R_f}{R_1} u_{i1} \]

同理,也就可以写出 \(u_{i1} = 0\)\(u_{i2}\) 单独作用时的输出:

\[ u_{o2} = - \frac{R_f}{R_2} u_{i2} \]

两者叠加就得到了 \(u_o\)\(u_{i1}\)\(u_{i2}\) 的关系,可以发现它实现的是一个反相加法运算:

\[ u_o = u_{o1} - u_{o2} = -(\frac{R_f}{R_1}u_{i1} + \frac{R_f}{R_2}u_{i2}) \]

当电路当中的 \(R_1 = R_2 = R\) 的时候,上面的表达式可以转换为下面这个更为简洁的形式:

\[ u_o = - \frac{R_f}{R} \]

此处的主要问题在于平衡电阻的取值,根据之前对于平衡电阻的定义,可以知道此时平衡电阻 \(R_P\) 等于 \(R_1\)\(R_2\) 以及 \(R_F\) 三个电阻的并联:

\[ R_P = R_1 // R_2 // R_F \]

对于这样存在多个输入的反向加法电路,由于上图蓝色圈出点的电位虚地等于零,所以从不同输入端看进去的输入电阻不同。同样是由于虚地的存在,类似于反相比例运算电路,该反相加法电路的运算精度受器件性能的影响也比较小。该电路的最大优势可以通过下面的等式进行反映:

\[ u_o = -(\frac{R_f}{R_1}u_{i1} + \frac{R_f}{R_2}u_{i2}) \]

可以看到,由于每个输入信号之前的权值只与当前支路的电阻有关,因此只要改变某个电路的输入电阻,就可以方便的调节该输入信号前端的比例系数,而不会影响其它支路的比例关系。利用这个电路作为基础,还可以通过新增支路的方法,扩展到多个输入电压的相加。

同相加法

上面有反相加法运算,那么同样就会有同相加法运算,接着讨论下面这个电路:

该电路当中的两个信号 \(u_{i1}\)\(u_{i2}\) 都从同相端输入,从而实现了一个同相加法运算。由于上图红叉位置虚断,由此根据叠加原理,就可以列出 \(u_+\) 的方程:

\[ u_+ = \frac{R_2}{R_1 + R_2} u_{i1} + \frac{R_1}{R_1 + R_2} u_{i2} \]

如果以 \(u_+\) 作为输入信号,那么剩下的部分电路就是一个同相比例运算,因此结合同相比例运算的公式可以得到 \(u_o\)\(u_{i1}\) 以及 \(u_{i2}\) 的关系,从而实现了一个同相的加法运算:

\[ u_o = (1 + \frac{R_f}{R_3}) u_+ = (1 + \frac{R_f}{R_3})(\frac{R_2}{R_1 + R_2}u_{i1} + \frac{R_1}{R_1 + R_2}u_{i2}) \]

这里的电路如果满足 \(R_1 // R_2 = R_3 // R_f\) 关系,就可以将上面的等式转换为更加简洁的形式:

\[ u_o = R_f(\frac{u_{i1}}{R_1} + \frac{u_{i2}}{R_2}) \]

通过上面的式子可以发现,每一个输入信号前面的系数都是相互耦合的,这就意味着如果想要调节每一个输入信号前面的加权系数,必然就会影响到其它输入信号前面的系数,因此其调节不如反相求和电路容易,而且由于没有虚地存在,其共模输入信号比较大,各方面的性能都不如反相加法电路,因而应用不是很广泛。

减法运算电路

差分放大器减法运算电路

下面的电路当中,\(u_{i1}\) 从反相端输入,\(u_{i2}\) 从同相端输入,从而实现了 \(u_{i2} - u_{i1}\) 的减法运算:

首先,令 \(u_{i2}=0\),而 \(u_{i1}\) 单独作用,此时电路呈现反相比例关系,从而得到如下输出关系表达式:

\[ u_{o1} = - \frac{R_f}{R_1} \]

接下来,令 \(u_{i1}=0\),而 \(u_{i2}\) 单独作用,此时电路呈现同相比例关系,进而得到下面输出关系表达式:

\[ u_{o2} = (1 + \frac{R_f}{R_1}) \frac{R_3}{R_2 + R_3} \cdot u_{i2} \]

将上面两个关系表达式叠加,就可以看到 \(u_o\)\(u_{i1}\)\(u_{i2}\) 呈现出减法运算关系:

\[ u_o = u_{o1} + u_{o2} = (1+\frac{R_f}{R_1}) \frac{R_3}{R_2 + R_3} \cdot u_{i2} - \frac{R_f}{R_1}u_{i1} \]

如果这里满足 \(R_3 // R_2 = R_f // R_1\) 的电路平衡条件,并且 \(\frac{R_3}{R_2} = \frac{R_f}{R_1}\),就可以得到如下更为简洁的形式:

\[ u_o = -\frac{R_f}{R_1}(u_{i1} - u_{i2}) \]

从而实现了 \(u_{i1} - u_{i2}\) 这样的差模信号反向放大,因而该电路也被称为差分放大器。如果该电路满足 \(R_1 = R_2\)\(R_f = R_3\) 这样的电阻条件,由于 \(u_+ = u_-\) 满足虚短条件,就可以得到差模输入电阻 \(R_{id}\)

\[ R_{id} = 2 R_1 \]

从这个差分放大器,可以联想到由一对晶体管所构成的差分放大电路,虽然这里差分放大器减法运算电路的元件少成本低,但是也存在着如下的缺点:

  • 由于没有虚地,所以电路当中存在着共模输入,这就意味着整个电路的运算精度,对于集成运放的共模抑制比 \(K_{CMR}\) 有着较高的要求;
  • 仅当电路中的电阻存在严格的对称关系时,这样的差分放大才会成立,因而电阻的阻值计算与调整极为不便;
  • 每个信号源的输入电阻都比较小;

为了解决上述问题,并且进一步提升差分放大电路的性能,需要考虑进一步的采取其它方案。

双运放减法运算电路

下面是由两个运算放大器构成的两级放大电路,根据前面对于集成运放参数理想化的条件,可以知道理想运放的输出电阻为零,因此可以分别计算这两级放大电路,然后组合得到最终的结果。

上面电路当中,运算放大器 \(A_1\) 构成的是一个反相比例运算电路,根据前面的分析结果可以得到 \(u_{o1}\)\(u_{i1}\) 的关系:

\[ u_{o1} = - \frac{R_{f1}}{R_1} u_{i1} \]

而运算放大器 \(A_2\) 构成的则是一个反相加法电路,根据前面对于这类电路的分析结果,可以得到如下 \(u_o\)\(u_{o1}\) 以及 \(u_{i2}\) 的关系,并且进一步得到 \(u_{o}\)\(u_{i1}\) 以及 \(u_{i2}\) 的关系:

\[ u_{o1} = - (\frac{R_{f2}}{R_3} u_{o1} + \frac{R_{f2}}{R_2} u_{i2}) \]

可以看到,上面这个两级放大电路同样实现了信号的减法运算。此时,如果满足 \(R_1 = R_n\),并且 \(R_2 = R_3 = R\),上述减法运算形式也可以简化为如下的差分放大形式:

\[ u_o = \frac{R_{f2}}{R} (u_{i1} - u_{i2}) \]

由此可见,该电路是一个由两个运放构成的双运放减法运算电路,与之前的单运放减法电路相比,由于这个电路当中的反相比例、反相加法电路都存在着虚地现象,因而运算精度较高。这种差分放大电路的应用十分广泛,例如通过传感器将非电信号转换为夹杂着大量干扰信号的微弱电信号,然后对这个电信号进行放大处理。

  • 针对这种信噪比低,存在较大对地共模信号的场景,所选用的放大器需要具备较高的共模抑制比;
  • 由于这种电信号非常微弱,需要放大器拥有比较高的增益;
  • 因为该信号的信号源内阻较大,所以放大器需要很强的信号拾取能力,要求的输入电阻也较大;

差分放大电路可以提供较大的共模抑制比,而增益高、输入电阻大则是同相放大器的重要特征,将两种运放结合起来就可以构成性能更为优越的仪表放大器,或者称为精密放大器

接下来分析这个电路输入与输出之间的关系,根据虚短可以知道,A 点的电位 \(u_A = u_{i1}\)B 点的电位 \(u_B = u_{i2}\),进而就可以写出 \(R_1\) 上电流的表达式:

\[ \frac{u_A - u_B}{R_1} = \frac{i_1 - i_2}{R_1} \]

根据上面电路表示的虚短(红色小叉),可以知道这两点之间属于开路,而基于 \(u_{o1}\)\(u_{o2}\) 的回路(红色箭头),就可以得到下面的电流关系:

\[ \frac{u_A - u_B}{R_1} = \frac{i_1 - i_2}{R_1} = \frac{u_{o1} - u_{o2}}{R_1 + 2R_2} \]

基于这个电流关系,可以推导出 \(u_{o1} - u_{o2}\)\(u_{i1} - u_{i2}\) 的关系:

\[ u_{o1} - u_{o2} = \frac{R_1 + 2R_2}{R_1}(u_{i1} - u_{i2}) \]

而这里的 \(u_{o1} - u_{o2}\) 恰恰就是 \(A_3\) 所构成差分放大器的差模输入,根据 \(A_3\) 所构成差分放大器的电阻平衡条件,就可以罗列出如下 \(u_o\)\(u_{i1} - u_{i2}\) 的差模输入关系:

\[ u_o = - \frac{R_4}{R_3} (u_{o1} - u_{o2}) = - \frac{R_4}{R_3} (1+\frac{2R_2}{R_1})(u_{i1} - u_{i2}) \]

显然,该电路实现了差模放大,与前面由单个集成运放构成的差分放大电路相比,这种精密放大器的电路结构更加复杂,但是整个电路的性能得到了巨大的提升:

  • 电路当中的 \(u_{i1}\)\(u_{i2}\) 分别从 \(A_1\)\(A_2\) 两个不同的元件输入,因而两者可以不共地输入,经过放大器之后,\(u_o\) 变为了对地输出,从而实现了电平的转换;
  • 当仪表放大器出现共模输入的时候,AB 两点的电位相等,\(R_1\) 上的电流为零可以等效为开路,此时 \(A_1\)\(A_2\) 构成的是一个电压跟随器电路,这样的仪表放大器,对于共模信号只有跟随作用,而没有放大作用。这种跟随作用进入到后级的差分放大电路时,实现了零输入零输出,因此相对于单管差分放大电路,仪表放大器具有更高的共模抑制比,能够更为有效的抑制共模信号;
  • 由于同相比例电路引入了非常深的串联负反馈,整个放大器的输入电阻非常大;
  • 为了保证测量的精度,要求仪表放大器内部元件具有良好的对称性,\(R_2\)\(R_3\)\(R_4\) 都应该严格配对;
  • 需要通过一个可变电阻 \(R_1\) 来灵活调整电路输入与输出的增益;

总而言之,仪表放大器具有共模抑制比高、增益设置灵活、输入电阻大、低噪声等优势,因而应用极为广泛,下图就是一个型号为 INA102 的集成仪表用放大器:

可以看到其内部结构依然是以 3 个集成运放为主体的结构,通过输入端的各个引脚连接不同的电阻,通过这些电阻就可以灵活的设置增益。除此之外,其输入电阻极高(达到 10000mΩ 以上),输出电阻则在 0.1Ω 左右,共模抑制比甚至可以达到 100dB 以上,性能非常优越,在数据采集、高速信号调节、医疗仪器、高档音响设备上有着非常广泛的应用,例如下面就是一个由仪表放大器构成的温度测量电路:

上面电路当中的电桥采用热敏电阻来捕获温度的变化,当温度处于规定范围内时,此时处于桥路平衡 \(R_T = R\),输出电压 \(v_o = 0\);而当温度超出规定范围时,桥路平衡被打破 \(R_T \neq R\),仪表放大器就可以获得一个非常微弱的输入信号,进而完成对于信号的放大。

微积分运算电路

积分运算电路广泛应用于电子测量、控制系统、波形发生、信号变换等电路。电容元件的电压与电流之间是一种积分或者微分的关系,如果将电容用于反馈网络,就可以构建出积分或微分电路。

反相积分运算电路

上面电路当中的电容引入了一个负反馈,因此依然可以运用虚短虚断方法求解其输入与输出的关系。由虚短与虚断分析方法可以得到 \(i_i = i_c\),由于反相端虚地,则可以建立 \(i_i = \frac{u_i}{R}\);而根据电容、电流、电压的关系,还可以得到流经电容 \(C\) 的电流 \(i_c\) 与电压 \(u_c\) 的表达式:

\[ \begin{cases} i_c = C \frac{du_c}{dt} \\ u_c = \frac{1}{C} \int i_c dt \end{cases} \]

观察上述方程组不难发现,由于反相端虚地,因此 \(u_o\) 和电容两端的电压 \(u_c\) 的关系为 \(u_o = -u_c\),与上面的方程组联立以后就可以得到该电路的输入输出关系:

\[ u_o = - \frac{1}{RC} \int u_i dt \]

由此就可以发现输入与输出之间呈现的是反相积分关系,属于一个反相积分运算电路。当电容 \(C\) 的初始电压为 \(u_c(t_0)\),这个运算还可以实现出定积分

\[ u_o = -[\frac{1}{RC}\int_{t_0}^{t} u_i dt + u_c(t_0)] = - \frac{1}{RC} \int_{t_0}^{t} u_i dt + u_o(t_o) \]

同样是积分运算,由集成运放构成的积分电路称为有源积分电路,与之前由电容、电容这类无源器件构成的无源积分电路相比,由于虚短虚地的存在,反相积分运算电路的电容上流过的电流 \(i_c \approx i_i = \frac{u_i}{R}\),这就意味着如果输入信号 \(u_i\) 是一个常量,那么充电的电流基本就是恒定的,此时的输入输出将会呈一次的线性关系。而电容、电容构成的无源积分电路当中,输出电压随着电容元件的充放电而呈指数规律变化,由此可见,由集成运放构成的有源积分电路,其积分曲线的线性度更加良好

正是因为这样的特点和优势,使得这种积分电路的应用非常广泛。如果输入为一阶的阶跃信号,即 \(u_i = U_i\) 或者 \(u_i = -U_i\) 的时候:

将这个输入代入至表达式,此时输入与输出将会呈现出一个以 \(-\frac{U_i}{RC}\) 为斜率的直线线性关系:

\[ u_o = - \frac{1}{RC} \int U_i dt = - \frac{U_i}{RC} t \]

此时,输出与输入将会呈现出随着时间线性增长的关系,但由于输出会受到集成运放最大不失真输出电压的限制,所以这样的趋势与过程并不会一直持续下去:

\(u_o\) 达到 \(\pm U_{OM}\) 极限参数的时候,积分就会停止,其中线性积分过程所占用的时间称为线性积分时间。将 \(\pm U_{OM}\) 代入至上面表达式,就可以得到线性积分时间的取值范围:

\[ 0 \le t \le \bigg| \frac{\pm U_{OM}}{U_i} \bigg| RC \]

这样的积分时间与集成运放的参数、输入的阶跃信号、以及电路的时间常数 RC 有关。如果在这样的积分运算电路后端连接一个电子器件,当输入上述阶越信号的时候,\(U_o\) 将会呈线性增长,直至输出电压达到电子器件门限电平时,后续电子器件的开关状态才会得以翻转,导致输入与后续电子器件的状态之间存在延迟,所以积分电路还可以具有延时的作用。

举一反三,如果输入信号为一个方波或者如下的矩形波信号,如果该输入信号的周期满足线性积分时间,输出就会呈现出三角波或者锯齿波的情况,从而实现波形的变换。利用这样的波形变换能力,积分运算电路也可以应用于电子显示屏的扫描电路,来从复合的同步信号当中,分离出同步脉冲信号。

如果积分电路输入的是一个正弦信号,将输入表达式 \(u_i = U_m \sin \omega t\) 代入 \(u_o\)\(u_i\) 的关系:

\[ u_o = - \frac{1}{RC} \int U_m \sin \omega tdt = \frac{U_m}{\omega RC} \cos \omega t = \frac{U_m}{\omega RC} \sin(\omega t + 90°) \]

经过整理以后就可以发现,此时输出的将是一个余弦波,即输出相对于输入存在 90° 的超前,从而起到了移相的作用

通过上面的讨论,当积分电路在不同输入信号的激励下,输出信号也会各不相同,特别是建立电压量时间量之间关系的特点,让积分电路在模数转换、信号发生与调制、数学模拟运算方面有着非常广泛的应用。

虽然以上内容明确了积分电路的工作原理,但是实际应用当中还是存在着诸多问题。众所周知,电容是对频率敏感的器件,如果输入信号的频率非常低,那么电容上的容抗将会变得非常大,从而使得该电路的增益变得非常大,容易造成集成运放出现饱和的情况。同时,由于积分电路只引入了一个交流负反馈,致使该电路并不能很好的抑制集成运放本身特性所造成的误差,实际电路需要有针对性的进行改进。

比如通常会在电容两端并联一个电阻 \(R_f\),为电路带来交直流负反馈,成为一个反相积分电路,即 \(u_i = - RC \frac{du_o}{dt} - \frac{R}{R_f}u_o\),从而较好的抑制失调参数温度飘移参数对于运算精度的影响。除此之外,\(R_f\) 与电容的并联也可以较好的解决增益过大所导致的运放容易饱和的问题:

接下来实现一个同相积分电路,即输入电压 \(u_i\) 从同相端输入,当同相端与反相端的电阻电容平衡的时候,该电路就成为了同相积分电路,即 \(u_o = \frac{1}{RC} \int u_i dt\)

有了上面的同相与反相积分电路,结合之前讨论过的同相与反相比例运算,以及差分放大的过程,还可以实现出一个差动积分电路,下面电路当中的 \(u_{i1}\) 从同相端输入,\(u_{i2}\) 从反相端输入,当电路的电阻与电容平衡的时候,就可以实现对差模信号 \(u_{i1} - u_{i2}\) 的积分,即 \(u_o = \frac{1}{RC} \int (u_{i1} - u_{i2}) dt\)

反相微分运算电路

微分是积分的逆运算,电路结构上两者也具有对偶性,只要互换积分电路当中电阻电容的位置,就可以得到一个 反相微分运算电路

同样利用虚短、虚断得到其方程 \(C\frac{du_c}{dt} = -\frac{u_o}{R},其中 u_c = u_i\),最终求解得到其输入输出关系,即一个反相的微分运算:

\[ u_o = - RC \frac{du_i}{dt} \]

与积分电路一样,上面这个微分电路也可以用于波形变换等用途,例如当输入一个正弦信号时,输出将会产生 90° 的滞后,从而起到一个移相的作用:

如果输入是一个方波或者矩形波信号,微分在数学上对于数据的变化率敏感,而微分电路同样对于信号的变化率敏感,当信号幅值不变时,输出将会为零。因此对于下图上方的输入,下半部分的输出信号将会是一个尖顶波

利用上图这样的波形变换特性,微分电路也可以广泛应用于脉冲电路和测量仪器当中。

实用微分电路

反相微分电路在实际应用当中对于信号的变化率极为敏感,当输入存在高频信号干扰时,集成运放的输入电流将会突然增大,造成该集成运放内部的晶体管饱和或者截止,即使撤除 \(u_i\) 也不能恢复到之前状态,这种情况称为阻塞现象。一旦阻塞现象出现,反相微分电路就不再正常工作,因此微分电路的抗干扰能力较差

此外,由于微分电路存在相位滞后作用,如果叠加集成运放内部的相位滞后,就容易满足自激振荡的条件,导致电路不能稳定工作,因而上面的微分电路在实际应用中较少直接使用。

  1. 首先,集成运放出现阻塞现象的根本原因在于输入电流过大,解决这个问题需要在输入端子串联一个电阻 \(R_1\),从而限制集成运放的输入电流。
  2. 然后,基于前面讨论过的相位补偿方法,在反馈网络上面并联一个电容 \(C_1\),并且选择合适的电阻与电容,使它们满足 \(R_1 c = R C_1\) 关系。当信号频率较低的时候,\(R_1\)\(C_1\) 对于信号传输的影响较小,电路仍然能够正常完成微分运算。但是当信号频率较高的时候,\(R_1\)\(C_1\) 可以使得集成运放的增益下降,极大的抑制干扰信号,保证系统能够比较稳定的工作。同时,这里的 \(R\)\(C_1\) 构成了一个超前的相位补偿,可以较好的解决自激振荡问题。
  3. 其次,为了进一步稳定电路,还可以在电容两端并联一个双向稳压二极管 \(VD_Z\),限制其输出电压,使其远离饱和区,稳定的工作在线性区。
  4. 最后,还可以在平衡电阻 \(R_P\) 两端并联上一个电容,进一步实施相位补偿。

经过上述的改进,就可以得到一个更为实用的微分电路。实际应用当中,通常会将几种电路结合起来,从而获得更好的效果。例如下面电路就是自动控制系统中常用的 PID 调节器

经过对于上述电路的分析,就可以得到这个电路输入与输出之间的关系:

\[ u_o = -[(\frac{R_2}{R_1} + \frac{C_1}{C_2})u_i + C_1R_2 \frac{du_i}{dt} + \frac{1}{R_1C_2} \int u_i dt] \]

上述表达式当中同时包含着比例运算微分运算积分运算(这正是 PID 调节器得名的由来),积分可以反映数据在一个时间段的积累,微分则主要反映数据的变化率,而比例运算则可以将数据放大,把这三种运算结合起来,就可以同时发挥它们各自的优势:既具有比例作用的及时迅速,也具有积分作用的余差消除能力,同时又利用微分对于数据变化率敏感的特性,使其具备超前控制的能力。

其它信号运算电路

通过前面的讨论,可以知道只要巧妙的选择和设计反馈网络元件,就可以实现出不同的运算电路。例如利用电容、电压、电流的微积分关系,就可以实现出一个微积分运算电路。

对数运算电路

由于二极管的电压、电流呈现出一种指数关系,将二极管用作反馈元件就可以构建出对数或者指数运算电路,

实际电路当中,为了保证元器件的一致性,通常会使用晶体管元件替代上面的二极管,例如下面电路就采用了一个 NPN 型晶体管,其基极电位为零,由于虚地的存在,使得反相端电位也为零,这样相当于在反相端接地端之间,也存在着一个 PN 结,即该晶体管可以等效为一个二极管:

上面电路中的晶体管发射结正偏,集电结零偏,处于微导通状态。该电路引入负反馈以后,虚短虚断成立,可以列出方程求解得到 \(U_o\)\(U_i\) 的关系。由于虚短、虚断、虚地的存在,当虚断(红叉)出现以后,上图(圈红)点的电位为零,从而可以得到:

\[ i_C = i_R = \frac{u_I}{R} \]

由于 \(i_c\) 是 PN 结上的电流,根据 PN 结的方程则可以得到 \(i_c\)\(U_{BE}\) 的关系:

\[ i_C \approx I_S e^{\frac{U_{BE}}{U_T}} \]

观察上面的电路结构,可以发现 \(u_O = - u_{BE}\),与上面的方程联立之后就可以得出该电路的输入输出关系,即实现了一个对数运算:

\[ u_o = - U_T \ln \frac{u_I}{I_s R} \]

通过上述的分析过程,可以发现这个电路具有如下一些缺点:

  1. 为了让晶体管处于导通状态,必须要求 \(u_i > 0\)
  2. 通过电路结构可以发现 \(u_O = - u_{BE}\),由于 \(u_O\) 的最大输出电压通常小于 u_{BE} = 0.7v,动态范围比较小;
  3. 运算过程当中,可以认为 \(u_o = - u_{BE}\),而 \(u_{BE}\)\(i_E\) 呈现指数关系,但这种关系只在一定动态范围内成立;当信号较小的时候,\(e^{\frac{U_{BE}}{U_T}}\) 部分与 1 相差不大,对其结果近似时会带来较大的误差;
  4. 如果电流比较大,元器件实际特性与 PN 结电流方程差别非常大,导致引入较大的运算误差;
  5. 上面电路的运算结果当中,同时出现了 \(U_T\)\(I_S\),因为这两个参数对于温度敏感,所以导致运算精度会受到温度影响;

改进对数运算电路

由于采用类似于差分放大电路的对称结构,可以有效的消除温度飘移,因而可以着手对上面的对数运算电路进行改进:

其中,\(T_1\)\(T_2\) 管是特性完全理想相同的晶体管,这里的 \(i_{C1}\)\(i_{C2}\) 分别是 \(T_1\)\(T_2\) 管的射极电流,根据 PN 结的电流方程就可以写出 \(u_{BE1}\)\(i_{C1}\) 以及 \(u_{BE2}\)\(i_{C2}\) 的关系:

\[ \begin{cases} u_{BE1} = U_T \ln \frac{i_{c1}}{I_S} \\ u_{BE2} = U_T \ln \frac{i_{c2}}{I_S} \end{cases} \]

其中 \(i_{C1}\) 由于虚地的存在,等于流经 \(R_1\) 上的电流 \(i_{C1} = \frac{u_s}{R_1}\);而 \(i_{C2}\)\(T_2\) 管的射极电流,约等于流经电阻 \(R_2\) 上的电流 \(i_{C2} \approx \frac{(V_{cc} - u_{B2})}{R_2}\),可以联立为如下形式:

\[ \begin{cases} i_{C1} = \frac{u_s}{R_1} \\ i_{C2} \approx \frac{(V_{cc} - u_{B2})}{R_2} \end{cases} \]

由于 \(T_1\) 管红圈标出的位置接地,根据电路当中红色箭头所指示的回路,就可以得到 \(T_2\) 管基极电压 \(u_{B2}\) 的表达式,即 \(T_2\) 晶体管的 \(u_{BE2}\)\(T_1\) 晶体管的 \(u_{BE1}\) 之间的差:

\[ u_{B2} = u_{BE2} - u_{BE1} = - U_T \ln \frac{i_{C1}}{i_{C2}} = -U_T \ln (\frac{R_2}{R_1 V_{CC}}u_s) \]

由于晶体管 \(T_1\)\(T_2\) 的特性相同,所以 \(u_{B2}\) 的值会非常小;并且 \(u_{B2}\) 可以视为 \(A_2\) 同相比例运算的输入,结合前面的分析结果就可以写出 \(u_o\)\(u_{B2}\) 以及 \(u_s\) 的关系表达式:

\[ u_o = (1 + \frac{R_3}{R_4}) u_{B2} = -(1+\frac{R_3}{R_4})U_T \ln (\frac{R_2}{R_1 V_{CC}}u_s) \]

观察上面的表达式可以发现,这个改进后的运算电路同样实现了一个反相的对数运算;虽然电路结构更为复杂,但是电路性能改善明显。因为上面等式中没有 \(i_s\) 存在,该电路正是利用对称结构抵消了 \(i_s\) 对于运算精度的影响;并且上面等式中的 \(R_4\) 采用的是具有正温度系数的热敏电阻,当温度升高的时候,其阻值增大以后可补偿 \(U_T\) 的温度特性。此外,由于等式里的 \(u_{B2}\) 非常小,使得当 \(u_s\) 大幅度变化的时候,输出电压 \(u_o\) 的变化仍然非常小,更能够满足对数运算的特点,因此该电路在通信与测量领域的应用极为广泛。

指数运算电路

指数运算是对数运算的逆运算,这两种电路之间也具有对偶性,只要将电阻和晶体管互换位置,就可以得到下面的指数运算电路

该电路仍然可以利用虚短虚断列出方程,然后整理得到其输入 \(u_i\) 与输出 \(u_o\) 的关系,即实现了一个指数运算:

\[ \begin{cases} i_f = i_i = I_s e^{\frac{u_i}{U_T}} \\ u_o = -i_f R_f \end{cases} \implies u_o = - I_s R_f e^{\frac{u_i}{U_T}} \]

与基本对数运算电路一样,通过上面的表达式,也可以观察到指数运算电路的一些弊端。例如上面电路中的 \(u_i\) 必须大于零,才能确保晶体管导通。由于上图红色圈出的点虚地,所以 \(u_i\) 的取值是 PN 结数量级,动态范围极小。此外,通过上述分析结果还可以发现,由于 \(I_s\)\(U_T\) 的出现,导致电路受到温度的影响较大,所以实际电路当中,仍然需要采用相应的温度补偿措施,进而得到更为实用的指数运算电路。

模拟乘法器

乘法除法可以通过指数与对数运算转换为加减法,例如 \(u_x\)\(u_y\) 两个信号的乘法,可以通过指数与对数运算转换为两个量的加法:

\[ u_x u_y = e^{\ln u_x u_y} = e^{\ln u_x + \ln u_y} \]

相反的,对数和指数运算通过如下步骤,也可以转换为相应的乘法运算

将上面流程当中的加法电路替换为减法电路,就可以实现一个除法运算

\[ u_x \div u_y = e^{\ln(\frac{u_x}{u_y})} = e^{(\ln u_x - \ln u_y)} \]

下图利用指数和对数运算电路,实现了一个乘法电路。这里的 \(A_1\)\(A_2\) 是两个对数运算,而 \(A_3\) 则是一个反向加法电路,\(A_4\) 则实现了一个指数运算:

上述电路经过分析之后,可以发现 \(u_o\) 实现了 \(u_x\)\(u_y\) 的乘法:

\[ \begin{cases} u_{o1} \approx -U_T \ln \frac{u_x}{I_s R} \\ u_{o2} \approx -U_T \ln \frac{u_y}{I_s R} \end{cases} \implies u_{o3} = -(u_{o1} + u_{o2}) \approx U_T \ln \frac{u_x u_y}{(I_s R)^2} \implies u_o \approx -I_s R e^{\frac{u_{o3}}{U_T}} = - \frac{u_x u_y}{I_s R} \]

这个表达式也反映出了该电路的一些局限性,例如 \(A_1\)\(A_2\) 构成的对数运算电路如果要正常工作,就要求 \(u_x\)\(u_y\) 必须大于零,因而实现的是一象限的乘法器;同时从运算结果中也可以发现其精度受温度的影响较大。

事实上,乘法运算的实现通常就会采用模拟乘法器,该器件能够实现两个模拟信号的相乘,是继集成运放之后,最为通用的模拟器件之一,广泛应用于乘除法、乘方、开方等模拟运算,同时也广泛应用于信号调制、解调、混频、倍频、鉴相等场合。

模拟集成乘法器是在带电流源的差分放大电路的基础上发展起来的,例如下面电路当中的电流源就采用了受 \(u_i\) 控制的压控电流源

这样 \(u_i\) 就能够控制电流 \(i_{c3}\) 的大小,根据差分放大电路的增益关系,就可以写出 \(u_o\)\(u_x\) 的表达式:

\[ u_o = \frac{\beta R_c}{r_{be}} u_x \]

上面等式当中的 \(r_{be}\) 可以约等于 \(1+\beta\) 倍的 \(U_T\) 比上 \(i_{E1}\)

\[ r_{be} = r_{bb'} + (1+\beta)\frac{U_T}{I_{EQ}} \approx (1+\beta)\frac{U_T}{i_{E1}} \]

根据之前在频率响应中引入的跨导参数,\(U_T\) 比上 \(i_{E1}\) 可以等于跨导分之一 \(\frac{1}{g_m}\),最终就可以将 \(r_{be}\) 写为如下形式:

\[ r_{be} = (1+\beta)\frac{1}{g_m} \]

接下来,重点讨论上面表达式当中的跨导 \(g_m\),当 \(u_i >> u_{BE3}\) 的时候(即上图红圈标识的回路能够忽略掉 \(u_{BE3}\) 带来的影响),可以得到 \(i_{c3} = \frac{u_y}{R_E}\);在理想差分平衡条件下,\(i_{E1} = \frac{i_{C3}}{2}\),将其代入至 \(g_m\) 的表达式就可以得到:

\[ g_m = \frac{i_{E1}}{U_T} = \frac{i_{C3}}{2 U_T} \approx \frac{u_y}{2 R_E U_T} \]

最后,把上面得到的 \(g_m\) 代入至 \(r_{be}\) 的表达式,然后再将 \(r_{be}\) 代入至 \(u_o\),就可以得到模拟集成乘法器电路的输入输出关系,即输出信号 \(u_o\) 与两个输入信号 \(u_x\) \(u_y\) 的乘积成正比,其中 \(K\) 与电路的参数以及电压当量有关:

\[ u_o = K u_x u_y,其中 K = \frac{R_C}{2 R_E U_T} \]

由于该电路当中 \(u_i\) 控制了跨导 \(g_m\) 的变化,这种乘法器也称为变跨导乘法器。此外,让电路当中的 \(V_3\) 管导通,必须要求 \(u_y\) 大于零,因而实现的是一个二象限的乘法器

同时,观察上面的计算结果,不难发现表达式当中出现了 \(U_T\) 的身影,说明该电路的运算精度受温度影响较大。为了解决这个问题,进一步改进电路性能,就出现了下面这个双平衡 4 象限乘法器,利用其对称的结构,获得良好的温度稳定性,成为目前模拟集成乘法器的基本结构:

后续的内容当中,将会通过如下两个符号来表征模拟乘法器:

理想情况下,模拟乘法器就可以实现输入与输出的一个乘法运算关系,其中系数 \(K\) 是一个与温度电压无关的常量:

\[ u_o = K u_x u_y \]

模拟乘法器的应用非常广泛,在信号运算和通信电路等领域都可以发现它的身影,这里以信号运算为例来介绍乘法器的应用。

乘方运算

除了实现最为基本的乘法运算关系之外,模拟乘法器经过组合或者与集成运放配合使用,就可以实现出多种数学运算。

例如将一个 \(u_i\) 信号同时从模拟乘法器的两个输入端子输入,就可以实现一个乘方运算

\[ u_o = K u_i^2 \]

如果输入的信号 \(u_i\) 是一个正弦信号,将其代入上述表达式,经过运算和整理以后就可以得到如下的输出 \(u_o\)

\[ u_o = K(U_m \sin \omega t)^2 = \frac{1}{2} K U_m^2 (1 - \cos 2 \omega t) \]

上面表达式中的 \(\frac{1}{2} K U_m^2\) 是一个直流分量,只要在 \(u_o\) 位置添加一个隔直通交的电容,就可以得到交流分量的输出 \(u_o\)

\[ u_o = \frac{1}{2} K U_m^2 \cos 2 \omega t \]

注意:这里的输出 \(u_o\) 与输入 \(u_i\) 的最大变化在于频率出现了两倍关系,因而该电路当中乘方运算也扮演了倍频的作用。

除法运算

下面这个电路将乘法器与集成运放结合起来,组成了一个反相的除法运算电路

上面电路当中的集成运放处于负反馈状态,根据虚短和虚断可以得到上图标红点的电位为零,即处于虚地的状态,经过如下一系列推导就可以得到该电路的输入输出关系:

\[ \begin{cases} i_1 = i_2 \\ i_1 = \frac{u_{i1}}{R_1} \\ i_2 = - \frac{u_o'}{R_2} \\ u_o' = K u_{i2} u_o \end{cases} \implies u_o = - \frac{R_2}{K R_1} \frac{u_{i1}}{u_{i2}} \]

显然,该表达式最终实现了 \(u_1\)\(u_2\) 的除法运算。但是,该电路使用过程当中存在一些限制,为了让该电路当中的集成运放处于负反馈状态,根据前面讨论过的反馈判别方法,可以知道该电路当中的 \(u_{i1}\)\(u_o'\) 的瞬时极性相反,又由于 \(u_{i1}\) 从反向端输入,因而 \(u_o\)\(u_{i1}\) 的瞬时极性也相反。这就意味着为保证集成运放处于负反馈状态\(u_o\)\(u_o'\) 的极性必须相同,为此要求满足如下条件:

  • \(k < 0\) 的时候,\(u_2\) 必须小于零;
  • \(k > 0\) 的时候,\(u_2\) 必须大于零;

综上所述,只有满足上述两个条件,才能够保证当前电路工作在线性状态。

平方根运算

结合前一节的除法电路,把 \(u_{i2}\) 也连接到 \(u_o\) 端子,就可以得到一个平方根运算电路

跟反相除法运算电路的分析过程相似,这里也可以得到该电路的 \(u_o\)\(u_i\) 关系:

\[ \begin{cases} i_1 = i_2 \\ i_1 = \frac{u_{i1}}{R_1} \\ i_2 = - \frac{u_o'}{R_2} \\ u_o' = K u_o^2 \end{cases} \implies u_o = \sqrt{- \frac{R_2}{K} \frac{u_i}{R_1}} \]

与反相除法运算电路对于反馈的要求一样,为确保集成运放处于负反馈状态,必须要求此处的 \(u_i < 0\),而 \(K > 0\)

注意:采用多个乘法器和集成运放相配合,还可以实现立方根的运算。

参数对于精度的影响

前述的各种运算电路分析,都是以集成运放的理想模型作为前提,此时集成运放的各种参数如下面列表所示:

  1. 开环电压增益 \(A_{ud} = \infty\)
  2. 差模输入电阻 \(R_{id} = \infty\)
  3. 开环输出电阻 \(R_o = 0\)
  4. 共模抑制比 \(K_{CMR} = \infty\)
  5. 输入失调电压、电流、温漂为零,即忽略这些参数对集成运放性能带来的影响;

但是,这些参数实际上是不可能达到理想状态的,实际运放的运算结果与理想运放的分析结果会有所不同。运算放大器在不同的应用场合,各项性能参数对于运算结果精度的影响也会有所不同,那么在工程实践中针对不同的场合,必须有选择性的进行运算误差分析。

\(A_{od}\)\(R_{id}\)\(R_{od}\) 为有限值的影响

通过前面分析可以看到,对于反相运算电路而言,由于虚地的存在,共模输入几乎为零,所以这类应用受到集成运放共模抑制比、失调参数等因素的影响较小,这里重点介绍开环增益 \(A_{od}\)输入电阻 \(R_{id}\)输出电阻 \(R_{od}\) 的影响,以如下这个反相比例运算电路为例:

这里需要考虑实际的运放模型,从而可以得到上图反相比例运算电路的等效电路:

基于上面这个电路可以列出以下方程组,并且联立以后得出在实际模型下的闭环增益 \(A_{uf}'\)

\[ \begin{cases} 红圈结点基尔霍夫电流关系 &\implies \frac{v_s - v_-}{R_1} = \frac{v_-}{R_{id}} + \frac{v_- - v_o}{R_f} \\ 蓝圈结点基尔霍夫电流关系 &\implies \frac{v_- - v_o}{R_f} = \frac{v_o - A_{od} v_{id}}{R_{od}} + \frac{v_o}{R_L} \\ 红圈结点与 u_{id} 的电压关系 &\implies v_- = - v_{id} \end{cases} \implies A_{uf}' = \frac{v_o}{v_s} = -\frac{R_f}{R_1} \frac{1}{1 + \frac{R_{od}R_f}{R'R_L'A_{od}}} \]

观察上面的推导结果,可以发现其中的 \(-\frac{R_f}{R_1}\) 就是之前采用理想模型求得的反相比例运算的闭环增益,因此该方程可以写为如下形式:

\[ A_{uf}' \approx A_{uf}(1 - \frac{R_{od}R_f}{R_1' R_L' A_{od}}),其中 \begin{cases} A_{uf} = - R_f / R_1 \\ R_1' = R_1 // R_f // R_{id} \\ R_L' = R_L // R_f // R_{od} \end{cases} \]

根据上述的分析结果,可以得到下面这 3 个重要的结论:

  1. \(A_{od}\)\(R_{id}\)\(R_{od}\) 为有限值时,会影响到集成运放的运算精度,其中开环增益 \(A_{od}\) 的值越大,\(A_{uf}'\) 就会越接近于 \(A_{uf}\),表明误差也就越小;
  2. \(A_{od}\) 越大,引入的负反馈就越接近于深度负反馈,闭环增益受元件参数的影响也就越小,使得 \(A_{uf}'\) 更加接近于 \(A_{uf}\)
  3. 由于 \(R_{id}\) 也出现在上述表达式的分母当中,其值越大误差也就越小;

\(K_{CMR}\)\(R_{ic}\) 为有限值的影响

对于同相放大电路而言,由于没有虚地,此时集成运放具有比较大的共模输入,因此这类应用当中,器件的共模抑制比 \(K_{CMR}\)共模输入电阻 \(R_{ic}\),就会对运算结果的精度有着比较大的影响,这里同样采用同相比例运算来考察 \(K_{CMR}\)\(R_{ic}\) 两个参数对于运算精度的影响:

将实际模型引入上面这个集成运放电路当中,就可以得到其等效电路:

上面的实际模型体现了共模输入电阻 \(R_{ic}\)共模抑制比 \(K_{CMR}\) 对于电路输入输出所带来的影响,此时输出就具备了共模分量,联立方程即可得出实际模型下闭环增益的表达式:

\[ \begin{cases} A_{uf}' = \frac{v_o}{v_s} \approx \frac{A_{uf}}{1 + \frac{A_{uf}}{A_{od}}}(1 + \frac{1}{K_{CMR}}) \\ A_{uf} = 1 + \frac{R_f}{R_1} \end{cases} \]

分析上述方程组,同样可以得出下面的重要结论:

  • 首先,当 \(A_{od}\) 为有限值的时候,同相放大器实际增益与理想值之间的偏差,主要取决于等式中的 \(\frac{A_{uf}}{A_{od}}\) 部分,\(A_{od}\) 越大误差越小
  • 其次,重点考察共模抑制比 \(K_{CMR}\) 对于运算精度的影响,由 \(K_{CMR}\) 产生的误差电压可以写做如下形式: \[ \Delta v_o = \frac{A_{uf}}{1 + \frac{A_{uf}}{A_{od}}} \] 而相对误差则等于 \(K_{CMR}\) 分之一: \[ \frac{\Delta v_o}{v_o} \approx \frac{1}{K_{CMR}} \] 显然,共模抑制比 \(K_{CMR}\) 越大,同相放大器的运算精度就越高。

\(V_{IO}\)\(I_{IO}\)\(I_{IB}\) 带来的误差

接下来探讨失调电压 \(V_{IO}\)失调电流 \(I_{IO}\)偏置电流 \(I_{IB}\) 对于运算精度造成的误差,由于这些失调参数都属于静态参数,因此可以在静态下,采用实际模型来构成考虑了失调参数的运放等效电路:

对上面电路的同相端反相端进行戴维南等效之后,就可以得到如下的电路形式:

接下来,对该电路的同相端反相端列出方程,从而可以得到 \(V_P\)\(V_N\) 的表达式:

\[ \begin{cases} V_P = -(I_{IB} - \frac{I_{IO}}{2}) R_2 \\ V_N = V_O \frac{R_1}{R_1 + R_f} - (I_{IB} + \frac{I_{IO}}{2})(R_1 // R_f) - V_{IO} \\ V_P \approx V_N \end{cases} \]

联立上述方程组之后求解,就可以得到此时的输出电压 \(V_O\)

\[ V_O = (1 + \frac{R_f}{R_1})[V_{IO} + I_B(R_1 // R_f - R_2) + \frac{1}{2} I_{IO} (R_1 // R_f + R_2)] \]

由于此时电路处于静态,没有输入电压,因此上面的 \(V_O\) 输出就是由失调参数所产生的误差电压,观察表达式还可以发现如下 4 点:

  1. 该误差电压与 \(V_{IO}\)\(I_{IO}\)\(I_{IB}\) 均有关系;
  2. \(R_2 = R_1 // R_f \implies R_1 // R_f - R_2 = 0\) 的时候,就可以消除偏置电流 \(I_{IB}\) 引起的误差,此时输出的误差电压 \(V_O = (1 + \frac{R_f}{R_1})(V_{IO} + I_{IO}R_2)\)
  3. 想要进一步减小此时的误差电压,除了选取失调电压、失调电流较小的集成运放之外,也应该尽可能让 \(1 + R_f/R_1\)\(R_2\) 更小;
  4. 上述参数同时也会影响到电路的闭环增益,电路设计时需要综合进行考虑。

实际运放电路当中,为了减小失调参数引入的误差,可以利用运放自带的调零电路进行补偿:

或者还可以在电路的输入端,额外添加一个补偿电路来消除误差:

除了以上影响运算精度的因素之外,元器件的带宽与精度、电源电压的稳定性都有可能导致出现运算误差。因而具体电路设计当中,除了根据需求选择高质量的运算放大器之外,还应当综合考虑多方面的因素,才能够最大化确保运算结果的精度。

集成运放应用-有源滤波器

滤波器基本概念

滤波器用于有选择性的对信号频率进行传输,既可以选择性的通过有用的信号,也能够抑制或者衰减无用的信号。由于实际电路当中,干扰信号的普遍存在,滤波器在通信、电子工程、仪器仪表等领域有着非常广泛的应用。

由于滤波器研究的同样是频率特性,所以也可以采用频率响应当中所引入的幅频特性相频特性进行讨论,例如下图就是一个滤波器的幅频特性,反应的仍然是频率与电压放大倍数的关系:

此处,同样将增益下降至通带增益70.7% 所对应的频率称为截止频率,处于截止频率下面部分的信号可以通过滤波器,称为通带;如果一个信号的增益衰减为通带增益的 10% 左右,就可以认为该信号被衰减到足够小的程度,这个频率之外的区域称为阻带;通带与阻带之间的过渡区域称为过渡带。对于滤波器电路而言,过渡带越窄频率特性越陡峭,电路的选择性与滤波特性也就越好,也就是说过渡带越窄越好。根据选通信号频率范围的不同,可以将滤波器划分为如下五类:

中文名称 英文名称 示例
低通滤波器 LPF(Low Pass Filter)
高通滤波器 HPF(High Pass Filter)
带通滤波器 BPF(Band Pass Filter)
带阻滤波器 BEF(Band Embarrass Filter)
全通滤波器 APF(All Pass Filter)

上面表格当中,低通滤波器高通滤波器已经在频率响应部分内容中讨论过;带通滤波器可以允许一定频段内的信号通过,而抑制其它频率的信号;带阻滤波器 则可以抑制一定频段内的信号,而允许该频段之外的信号通过;而全通滤波器的输入输出电压幅值之比为常量,两者仅在相位上有所不同。

无源滤波电路

在前面的频率响应分析当中,已经看到了这种由电阻电容电感等无源元件构成的滤波器,称为无源滤波器,下面电路就是一个低通无源滤波器

基于前面频率响应的分析,已经求解得到了空载状态下,该滤波器的通带增益频率响应截止频率

\[ \begin{cases} 通带增益 \implies \dot{A_{up}} = 1 \\ 频率响应 \implies \dot{A_u} = \frac{1}{1 + j \frac{f}{f_p}} \\ 截止频率 \implies f_p = \frac{1}{2 \pi RC} \end{cases} \]

根据这些参数,就可以绘制出其幅频特性的波特图:

如果给上面这个电路添加一个 \(R_L\) 电阻负载:

此时再分析该电路,就可以得到带负载情况下的通带增益频率响应截止频率

\[ \begin{cases} 通带增益 \implies \dot{A_{up}} = \frac{R_L}{R + R_L} \\ 频率响应 \implies \dot{A_u} = \frac{\dot{A_{up}}}{1 + j \frac{f}{f_p}} \\ 截止频率 \implies f_p = \frac{1}{2 \pi (R // R_L)C} \end{cases} \]

通过对比可以发现,添加负载之后通带增益截止频率都出现了变化,其波特图自然也会发生变化:

所以,该滤波电路携带负载以后,频率特性也发生了变化,说明该电路带负载能力较差。而且该滤波器电路的通带增益等于或小于 1,不具备放大能力。此外,特性曲线经过截止频率之后,将会以每 10 倍频 -20dB 的速度衰减,衰减速率即不够快,边沿也不够陡峭,整体特性不够理想。

有源滤波电路

如果能够在负载和前端滤波环节之间,添加一个起到信号隔离作用的电路模块(电压跟随器),就可以解决上面电路带负载能力差的问题:

这种由有源器件(三极管、场效应管、集成运放)构成的滤波器称为有源滤波器,这里仍然可以采用虚短虚断以及频率响应分析方法,对其频率特性进行讨论:

\[ \dot{U_o} = \dot{U_p} = \frac{\frac{1}{j \omega C} \dot{U_i}}{R + \frac{1}{j \omega C}} = \frac{\dot{U_i}}{1 + j \omega RC} \]

基于电压跟随关系 \(\dot{U_o} = \dot{U_p}\),再结合前端滤波环节的关系,就可以得出该电路的电压放大倍数 \(\dot{A_u}\)

\[ \dot{A_u} = \frac{\dot{A_{up}}}{1 + j \frac{f}{f_p}} = \frac{1}{1 + j \omega RC} \]

可以看到这个表达式与前面无源低通滤波器的表达式完全相同,由于电压跟随器具有良好的信号隔离作用,无论带负载还是不带负载,都不会影响到整个电路的频率特性,较好的解决了带负载能力差的问题。

这里总结一下有源滤波电路的优点

  • 有源滤波器的输入输出之间拥有良好的隔离,因而滤波参数不会随着负载的变化而变化
  • 由于电路中的集成运放,引入了一个深度串联电压负反馈,使得电路的输入电阻 \(r_i\) 较高,输出电阻 \(r_o\) 较低;
  • 采用同相比例运算电路替换电压跟随器,可以使该电路除了具有滤波作用以外,还具备放大的作用,而且放大倍数非常容易调节;

同样的,这里也总结一下有源滤波电路的缺点

  • 有源滤波电路是信号处理电路,其输出电压、输出电流的大小必然受有源元件(集成运放)参数与供电电源的限制,不适用于大电压大电流的场合,仅适用于信号处理电路;
  • 无源滤波电路的限制较小,可以应用于大电压大电流场景,例如直流稳压电源当中采用的滤波环节就采用了无源滤波器;
  • 由于集成运放的带宽较小,所以有源滤波器也不适用于高频信号的处理;

滤波电路的分析与参数

通常,会在频域范围内讨论滤波电路的输入输出关系,可以将滤波器描述为下面的框图形式,其中输入为 \(u_i(t)\),输出为 \(u_o(t)\)

经过拉普拉斯变换,电路当中的电压 \(U(s)\)电流 \(I(s)\) 可以表示为相函数形式,进而电路里的电阻可以表示为 \(R(s)\)电容容抗可以表示为 \(Z_C(s) = \frac{1}{sC}\)电感感抗也可以表示为 \(Z_L(s) = sL\);利用这种相函数表示的电压、电流、电阻、电容、电感,就可以基于电路结构,得到输入与输出相对于 s 的关系,称为滤波器的传递函数

\[ A_u(s) = \frac{U_o(s)}{U_i(s)} \]

这样的传递函数,虽然在形式上与前面的电压放大倍数有所不同,但是两者本质上并没有区别。这里如果将 \(A_u(j \omega)\) 替换为 s 的话,就可以实现两种形式的互换,得到大家非常熟悉的电压放大倍数形式:

\[ A_u(j \omega) = |A(j \omega)| e^{j \varphi (\omega)} = |\dot{A}(j \omega)| \angle \varphi(\omega) \]

传递函数当中 \(A_u(s)\) 分母里 s 的最高次方,称为滤波器的阶数。显然,滤波器的阶数越高,通带与阻带的分界线就会更加陡峭,过渡带也就越窄。由于当前主要研究的是滤波器的频率特性,许多之前在频率响应当中定义的参数,也可以用于表征滤波器的的性能:

  • 通带增益 \(A_{up}\):滤波器通带内的电压放大倍数;
  • 特征频率 \(f_0\):即 \(f_0 = \frac{1}{2 \pi RC}\),该参数与滤波电路的电阻、电容元件参数密切相关;
  • 截止频率 \(f_P\):增益下降到通带增益的 70.7% 所对应的频率(滤波器的特征频率与截止频率可能并不相同);
  • 通带带宽 \(BW\):指滤波器两个截止频率的差 \(BW= f_H - f_L\)
  • 等效品质因数 \(Q\):频率在特征频率处 \(f = f_0\),电压增益的模值与通带增益之比 \(Q = \bigg| \frac{\dot{A_u} |_{f=f_0}}{A_{up}} \bigg|\)

结合上述滤波器性能的各项表征参数,滤波电路的分析主要遵循以下步骤:

  1. 首先,滤波器的传递函数是反映其性能的关键,分析时需要根据电路图,利用拉普拉斯变换,基于相函数表示的各种器件响应列出电路方程,然后求得滤波器的传递函数;
  2. 然后,基于前面各项参数的定义,求解出通带增益 \(A_{up}\)特征频率 \(f_0\)截止频率 \(f_P\)通带带宽 \(BW\) 等主要参数;
  3. 最后,绘制出幅频特性与相频特性的波特图,进而直观的分析滤波器的功能与特性;

有源低通滤波器

一阶低通滤波电路

前一节通过滤波电路与集成运放配合,构成了有源滤波器。对于下面的电路,蓝色圈出部分是大家比较熟悉的低通 RC 滤波环节,如果以 \(\dot{u_p}\) 作为输入,其它部分电路就是之前讨论过的同相比较运算电路,因此该电路也具有较好的信号隔离作用:

上一节已经定义了滤波器的传递函数\(A_u(s) = \frac{U_o(s)}{U_i(s)}\),基于上面电路可以发现 \(U_o(s)\) 比上 \(U_i(s)\) 可以分解为 \(u_o\) 比上 \(u_p\) 再乘以 \(u_p\)\(u_i\),而 \(u_o\) 比上 \(u_p\) 是一个同相比例运算的比例系数,因而可以写做 \(1 + \frac{R_f}{R_1}\);而 \(u_p\)\(u_i\) 则是一阶无源低通滤波器的传递函数 \(\frac{1}{1 + sRC}\),具体推导过程如下:

\[ A_u(s) = \frac{U_o(s)}{U_i(s)} = (1 + \frac{R_f}{R_1}) \frac{\frac{1}{sC}}{R + \frac{1}{sC}} = (1 + \frac{R_f}{R_1}) \cdot \frac{1}{1 + sCR} \]

可以看到,最后的结果当中 s 的最高次方为一次方,因而该电路为一阶低通滤波电路。而该电路的通带增益就是同相比例运算的系数 \(1 + \frac{R_f}{R_1}\),将此处的 \(s\) 替换为 \(\omega\) 就可以得到非常熟悉的电压放大倍数形式:

\[ \dot{A_u}(f) = (1 + \frac{R_f}{R_1}) \frac{1}{1 + j \frac{f}{f_H}} \]

之前已经将特征频率定义为 \(f_0 = \frac{1}{2 \pi RC}\),通过观察电压放大倍数就会发现,该电路的截止频率就等于其特征频率(即上限频率)\(f_p = f_H = \frac{1}{2 \pi RC}\),基于这样的分析结果就可以绘制出该一阶低通滤波电路的幅频特性波特图:

可以看到在截止频率 \(f_p\) 之外,特性曲线将会以每 10 倍频 -20dB 的速率衰减,因此可以认为该电路虽然通过加入隔离电路,使得负载变化不再影响滤波特性,但是仍然面临着特性曲线不够陡峭,过渡带比较大的问题。

简单二阶低通滤波电路

为了使过渡带变窄,需要采用多阶滤波器(即增加 RC 滤波环节)。基于这样的思路,在上述电路的滤波环节再增加一个 RC 环节,就可以得到了如下电路:

对于上面这个电路,仍然可以利用虚短虚断以及电路结构来获得其传递函数:

\[ A_u(s) = \frac{U_o(s)}{U_i(s)} = (1 + \frac{R_F}{R_1})\frac{U_p(s)}{U_i(s)} = (1 + \frac{R_F}{R_1}) \frac{U_p(S)}{U_M(S)} \cdot \frac{U_M(s)}{U_i(s)} \]

上面函数当中的 \(U_o\) 比上 \(U_i\) 可以分解为 \(U_o\)\(U_p\) 乘以 \(U_p\) 比上 \(U_M\) 再乘以 \(U_M\) 比上 \(U_i\),其中 \(U_o\)\(U_p\) 就是同相比例运算电路的系数 \(1 + \frac{R_F}{R_1}\),而 \(U_p\)\(U_M\) 则是 \(U_M\) 在上图蓝色箭头回路上的串联分压,而 \(U_M\)\(U_i\) 则是上图红色箭头回路上的串联分压,从而可以得到该电路传递函数的最终形式:

\[ A_u(S) = (1 + \frac{R_f}{R_1}) \frac{1}{1 + 3sRC + (sRC)^2} \]

上面表达式当中,s 的最高次方为二次方,因此是一个简单的二阶低通滤波电路。该电路在电容不起作用的时候,可以获得最大的通带增益 \(A_{up} = 1 + \frac{R_f}{R_1}\),而特征频率依然定义为 \(f_0 = \frac{1}{2 \pi RC}\);将上面表达式当中的 s 替换为 \(\omega\),同样可以将这个传递函数转换为电压放大倍数的形式:

\[ \dot{A_u} = \frac{\dot{U_o}}{\dot{U_i}} = \frac{\dot{A_{up}}}{1 - (\frac{f}{f_0})^2 + j \frac{3f}{f_0}} \]

根据截止频率的定义,需要找到使增益下降为通带增益 70.7% 的频率点,这就意味着在该电压放大倍数当中,需要让该分母的模值等于 \(\sqrt{2}\);根据这个推导过程,就可以得到该电路的截止频率 \(f_p\) 为:

\[ f_p = \sqrt{\frac{\sqrt{53} - 7}{2}} f_0 = 0.37 f_0 = \frac{0.37}{2 \pi RC} \]

根据上述结果,就可以绘制出简单二阶低通滤波器的幅频特性波特图:

相对前面的一阶低通滤波器而言,经过 \(f_0\) 之后特性曲线将以每 10 倍频 -40dB 的速率衰减,变得更为陡峭。但该电路依然存在着诸多不足,例如由于 \(f_p\) 等于 0.37 倍的 \(f_0\),就使得在 \(f_0 = f_p\) 附近,特性曲线的衰减速度非常慢,造成过渡带较长。同时,相比于之前的一阶低通滤波器而言,简单二阶低通滤波器的通带也变得更为狭窄。

压控电压源二阶低通滤波器

如果能够在 \(f_0\) 这个频率点上使电路增益变大,然后再以每 10 倍频 -40dB 的速率衰减,就有可能让 \(f_p\) 更加接近于 \(f_0\),使得过渡带变窄,衰减速度变得更快,同时带宽也可以得到保障。根据前面对于反馈的学习,可以知道负反馈能够让增益变小,正反馈则可以使增益变大。基于这样的思路,在简单二阶低通滤波器的基础之上,将电容 \(C\) 的接地点引回至输出端 \(u_o\),就可以得到如下电路形式:

这个电路当中,除了前面引入的 \(R_f\)\(R_1\) 引入的负反馈之外,又额外引入了一个正反馈。正反馈可能引起自激震荡,所以接下来对这个电路进行定性的分析:

  • 如果信号的频率非常,趋近于零 \(f \rightarrow 0\),电路当中电容的容抗将会变得很大,可以等效为开路;此时 \(u_o\) 信号并不会返回输入回路,不会对输入信号造成影响;当信号顺利经过两个电阻以后,就进入集成运放进行放大,最后得到一个最大增益,即通带增益
  • 如果信号的频率非常,趋近于无穷大 \(f \rightarrow \infty\),此时电路中电容的容抗会变得很小,可以近似等效为短路,此时 \(u_o\) 信号会返回至输入回路,由于此刻 \(C_2\) 也会近似于短路,所以信号经过 \(C_2\) 之后会对地短路,并不会进入集成运放进行放大,正反馈并不会起作用,也就不会产生自激振荡;此时,由于输出信号与输入信号都对地短路,集成运放的净输入信号为零,输出电压随之为零,放大倍数也就趋近于零;

通过上述分析可以发现,只要选择合适的参数,就可以在保证电路稳定的前提下,即不产生自激振荡,又可以在 \(f = f_0\) 位置,在正反馈作用下放大倍数等于或大于原来的通带放大倍数,而在 \(f > f_0\)\(f < f_0\) 频率范围内,对于电压放大倍数的影响不大,从而有效改善 \(f_0\) 位置的频率特性;由于电路当中集成运放的输入受到输入电压的控制,该二阶低通滤波器又称为压控电压源二阶低通滤波器。接下来对其进行性能分析,通带增益是指当电容不起作用时候,同相比例运放所决定的 \(1 + \frac{R_f}{R_1}\)

\[ \dot{A_{UP}} = \frac{U_o(s)}{U_P(s)} = 1 + \frac{R_f}{R_1} \]

通过虚断可以知道,此时 P 点电位基于 M 点在 \(R \rightarrow C_2\) 回路当中的串联分压:

\[ U_P{s} = \frac{\frac{1}{sC}}{R + \frac{1}{sC}} \cdot U_M(s) \]

M 点基于基尔霍夫电流定律,可以知道流入电流等于流出电流之和:

\[ \frac{U_i(s) - U_M(s)}{R} = \frac{U_M(s) - U_o(s)}{\frac{1}{sC}} + \frac{U_M(s) - U_P(s)}{R} \]

联立上述三个方程,就可以求解得到压控电压源二阶低通滤波器的传递函数:

\[ \begin{cases} 通带增益 &\implies \dot{A_{UP}} = \frac{U_o(s)}{U_P(s)} = 1 + \frac{R_f}{R_1} \\ 相对 P 点 &\implies \frac{U_i(s) - U_M(s)}{R} = \frac{U_M(s) - U_o(s)}{\frac{1}{sC}} + \frac{U_M(s) - U_P(s)}{R} \\ 相对 M 点 &\implies \end{cases} \implies A_u(s) = \frac{U_o(s)}{U_i(s)} = \frac{\dot{A_{up}}}{1 + (3-A_{up}) sCR + (sCR)^2} \]

与之前的简单二阶低通滤波器相比,由于引入了正反馈,使得 s 前面的系数变为 \(3 - A_{up}\),意味着只有这里的 \((3 - A_{up}) > 0\) 大于零,才能够保证最后表达式当中的分母不会为零,从而避免自激振荡的产生。同样,将此处的 \(s\) 替换为 \(\omega\),就只可以得到该电路的电压放大倍数:

\[ \dot{A_u} = \frac{\dot{A_{up}}}{1 - (\frac{f}{f_0})^2 + j(3-\dot{A_{up}}) \frac{f}{f_0}},此时 f_0 = \frac{1}{2 \pi RC} \]

该电路之所以引入正反馈,是为了改善特征频率在 \(f_0\) 处的频率特性。现在将 \(f = f_0\) 代入上面表达式,就可以得到此时增益的表达式:

\[ \dot{A_u} |_{f=f_0} = \frac{\dot{A_{up}}}{j(3 - A_{up})} \]

根据之前定义的等效品质因数 \(Q\) 等于 \(f\)\(f_0\) 处的增益与通带增益的比值:

\[ Q = \frac{|\dot{A_u |_{f=f_0}}|}{\dot{A_{up}}} \]

就可以得到该电路的品质因素 \(Q = \frac{1}{3 - A_{up}}\),这就意味着在 \(f = f_0\) 位置,增益等于 \(Q\) 倍的通带增益:

\[ | \dot{A_u} |_{f=f_0} = \bigg | \frac{\dot{A_{up}}}{3 - \dot{A_{up}}} \bigg | = Q |\dot{A_{up}}| \]

根据上面这个结果可以得到结论:首先,\(Q\) 值的大小只取决于 \(A_{up}\) 的大小;其次,\(Q\) 值不同,\(\dot{A_u}\) 的值也就不同,\(Q\) 值越大,\(f_0\) 处的增益 \(\dot{A_u}\) 也就越大。

\[ \dot{A_u} = \frac{A_{up}}{1 - (\frac{f}{f_0})^2 + j \frac{1}{Q} \frac{f}{f_0}},其中 Q = \bigg | \frac{1}{(3 - A_{up})} \bigg | \]

根据 Q 值的不同,就可以得到一组幅频特性,根据这组幅频特性可以得到如下结论:

  • Q 值的不同,将使得幅频特性在 \(f_0\) 附近范围变化较大;
  • \(Q=1\) 时,在 \(f = f_0\) 的位置,增益就等于通带增益 \(A_{up}\),在特征频率点仍然可以维持通带内的电压增益,此时滤波效果较好 \(A_{up} = 2\)
  • \(A_{up} = 3\) 时,品质因数 Q 将会趋于无穷大 \(Q \rightarrow \infty\),这就意味着在 \(f_0\) 处的增益等于 Q 倍的通带增益,也会趋于无穷大 \(Q \rightarrow \infty\),电路必将产生自激振荡;所以,该电路如果要稳定工作,必须要满足 \(A_{up} < 3\) 这个条件;

通过上述分析可以看到,Q 值的不同决定了 \(f_0\) 附近的频率特性;而根据 \(f_0\) 附近频率特性的不同,可以将滤波器划分为不同的类型。下图从左至右分别是巴特沃斯(Butterworth)低通滤波器、切比雪夫(Tschebyscheff)低通滤波器、贝塞尔(Bessel)低通滤波器特性曲线:

其中巴特沃斯滤波器\(f_0\) 处的曲线变化是单调的,因此带内最为平坦;而切比雪夫滤波器的曲线斜率最为陡峭,所以过渡带最窄;贝塞尔滤波器具有最佳的降频特性,其线性相位范围最大;实际应用当中,根据信号的特点与需求,可以选择不同的滤波器。

其它滤波器

上一节讨论了低通滤波器的结构与特点,接下来举一反三来看看其它类型的有源滤波器。

高通滤波电路

高通滤波电路与低通滤波电路具有对偶关系,这种对偶关系主要体现在传输函数电路结构方面。

传输函数对偶性

通过波特图可以看到,如果两种滤波器 \(f_p\) 相同(即以 \(f_p\) 对称),此时在 \(f_p\) 位置上两者的增益随频率的变化是相反的:

因此,只要在传输函数当中,将 \(s\) 替换为 \(\frac{1}{s}\)\(R\) 替换为 \(\frac{1}{C}\)\(C\) 替换为 \(\frac{1}{R}\),即将 \(sRC\) 替换为 \(\frac{1}{sRC}\) 就可以实现两类滤波器的传递函数互换,例如下面是一个简单一阶低通滤波器的传递函数:

\[ A_u (s) = \frac{U_o(s)}{U_i(s)} = \frac{1}{1 + sRC} \]

这里只需要将上面等式当中的 \(sRC\) 替换为 \(\frac{1}{sRC}\) 就可以得到高通滤波器的传递函数:

\[ A_u (s) = \frac{U_o(s)}{U_i(s)} = \frac{1}{1 + \frac{1}{sRC}} = \frac{sRC}{1 + sRC} \]

电路结构对偶性

高通与低通滤波器,只要在电路结构上将电阻与电容交换位置,就可以相互进行转换。

下图左侧是一个一阶低通滤波器,只需要将滤波环节当中的 \(R\)\(C\) 互换位置,就可以得到相应的一阶高通滤波器

利用这种对偶性,就可以将上一节讨论的各种低通滤波器,转换为对应的高通滤波器,例如下图是之前分析过的压控电压源二阶低通滤波电路

这个压控电压源二阶低通滤波电路的传递函数如下所示:

\[ A_u(s) = \frac{A_{up}}{1 + [3 - A_{up}(s)] sRC + (sRC)^2} \]

电路上只需要将滤波环节当中的电阻电容互换位置,就可以得到如下的压控电压源二阶高通滤波器电路

将压控电压源二阶低通滤波电路传递函数当中的 \(sRC\) 替换为 \(\frac{1}{sRC}\),就可以得到其对应二阶高通滤波器的传递函数:

\[ A_u(s) = \frac{A_{up}}{1 + [3 - A_{up}(s)] \frac{1}{sRC} + (\frac{1}{sRC})^2} \]

带通滤波器 BPF

带通滤波器只允许某一频率范围的信号通过,其拥有上限 \(f_H\) 和下限 \(f_L\) 两个截止频率,在两个截止频率之间形成一个通带 \(BW\)。只需要将一个信号,先通过一个低通滤波器,再经过一个高通滤波器,就可以得到带通滤波器

为了获得这样的通带,必须要求低通滤波器上限频率应当大于高通滤波器下限频率,基于这个思路就可以得到压控电压源二阶带通滤波器

上图蓝色圈出部分是低通滤波通道,而黄色圈出部分则是高通滤波通道,通过对于该电路的分析,可以得到其幅频特性

通过上图可以看到,当 \(Q\) 值不同的时候,其在 \(f_0\) 处的增益也会不同,其中当 \(Q\) 值比较小的时候,通带比较宽,电路的选频能力比较弱,允许比较宽的频带范围信号通过,称为宽带滤波。如果此时 \(Q\) 值比较大,则通带变窄,电路选频能力比变强,此时只允许较窄范围的频带信号通过,称为窄带滤波。这种类型的电路在通信领域有着非常广泛的应用,例如需要特定频率信号的时候,可以运用该电路进行选频

带阻滤波器 BEF

带阻滤波器只会阻止所规定频段的信号,而低于或者高于该频段的信号可以正常通过。

首先让信号分别进入低通和高通滤波器,然后经过求和就可以得到带阻滤波效果。为了得到带阻滤波器的阻带,也需要低通滤波器上限频率小于高通滤波器下限频率,基于这样的思路就可以得到一个压控电压源二阶带阻滤波器

上图电路当中的蓝色线框标识的是低通滤波通道,而粉色线框则标识的是高通滤波通道,接下来对这个电路进行定性分析:当信号频率比较高,大于特征频率 \(f_0\) 的时候,此时上图当中两个串联电容 C 的容抗较低,信号可以正常通过进入集成运放进行放大,从而获得较大的增益。如果信号的频率远远小于 \(f_0\),此时所有电容的容抗较大,可以视为开路,信号通过两个电阻的支路进入集成运放,仍然可以得到比较好的增益。

只有当 \(f = f_0\) 的时候,分别从高通滤波通道低通滤波通道传输到同相输入端的电压大小正好相等、相位相反,相互抵消使得输出电压为零,直接导致了阻带的出现。经过分析之后,同样可以得到该电路的幅频特性:

值得注意的是,对于该电路而言,\(Q\) 值不宜选择过大,通常需要小于 10,否则容易产生自激振荡。

全通滤波器 APF

全通滤波器的输入输出电压增益为常数,但是可以改变正弦信号的相位,下图为一阶全通滤波器

观察其波特图,可以发现其在整个频段范围内的增益为常量,而其输入与输出相位在特征频率 \(f_0\) 位置存在 90° 滞后;而当频率趋于无穷大的时候,则又会产生 180° 的滞后,因而该电路也被称为移相滤波器

集成运放应用-电压比较器

可以采用一个标准电平去度量模拟信号,如果信号幅值低于标准电平就输出一个低电平,反之则输出一个高电平。从而将连续变化的模拟信号,转换为后续电路所需的数字信号。

电压比较器简介

当集成运放工作在开环状态或者引入正反馈之后,就将会工作在辽阔的非线性区

由于集成运放在非线性区的输出只存在高、低电平两种情况,观察上面坐标的横轴可以发现,输出的高低电平状态取决于运算放大器同相端反相端电位的比较结果:

  • 当同相端电位高于反相端电位 \(u_+ > u_-\),就输出电平 \(u_o = U_{OH}\)
  • 当同相端电位低于反相端电位 \(u_+ < u_-\),则输出电平 \(u_o = U_{OL}\)

当集成运放工作于开环状态或者引入正反馈以后,就可以对两个输入电压的大小进行比较,并根据比较结果输出高、低两种电平。反之,也可以根据输出电平的高低,来判断输入信号的大小与极性。这种集成运放的非线性应用,被称为电压比较器

对比分析

电压比较器作为一种集成运放的非线性应用,与之前讨论的各种信号运算电路、滤波器电路的区别如下:

  • 分析依据方面,运放的线性应用当中,通常采用虚短虚断进行分析;而电压比较器作为非线性应用,只存在虚断,不存在虚短
  • 描述方法方面,运放线性应用当中主要采用函数形式 \(u_o = f(u_i)\) 描述输入输出关系,而电压比较器的输出仅有高、低两种电平,所以通常采用图形化的电压特性曲线进行描述;
  • 分析方法方面,线性应用主要采用电流方程、叠加原理求解输入输出关系,而电压比较器则通常会采用 3W 法
  • 电路特征方面,线性电路无一例外引入了负反馈,而电压比较器作为非线性应用,要求集成运放工作在开环状态或者引入正反馈,例如下面的电路形式:

电压传输特性曲线

电压传输特性曲线是指比较器的输出电压输入电压在平面直角坐标系上的关系,例如下图是一个典型的电压传输特性曲线:

该曲线反映了高、低电平输出的跃变过程,在这个过程当中,蓝色圈出的点称为门限电平 \(U_T\),也称为阈值电压,指的是输出发生跃变时的电压。根据电压传输特性的不同,可以将电压比较器分为下面几种类型:

单限比较器:传输特性曲线在单调变化的方向上只会有 1 次跃变机会,即只存在着 1 个门限电平;

滞回比较器:也称为迟滞比较器,拥有 2 个门限电平,而且在输入信号不同的单调变化方向上,门限的电平并不相同;但在输入电压单调变化的时候,输出电压仅有 1 次跃变机会;

窗口比较器:拥有 2 个门限电平,但是在输入电压单调变化的时候,输出电压则将会拥有 2 次跃变机会;

单限比较器

电压传输特性曲线可以非常直观的反映电压比较器的功能与特点,是分析与设计电压比较器的切入点。想要从具体电路当中获取电压传输特性曲线,则需要重点把握其三要素

  1. Where跳到哪里去?即输出的高电平 \(U_{OH}\) 和低电平 \(U_{OL}\) 在哪里;
  2. When什么时候跳?即门限电平 \(U_T\) 为多少;
  3. How如何跳?即输入电压经过门限电平时,输出电压的跃变方向;

运用 3W 方法求解得到如上所述的三要素,就能够准确的获得电压传输特性曲线,具体的分析过程如下所示:

3W 问题 解决 示意图
Where 如何找到输出的高低电平? 通过观察运放的输出限幅电路求取输出的高低电平;
When 如何求取门限电平? 根据门限电平的定义,当理想集成运放的同相端电位等于反相端电位 \(u_+ = u_-\) 时,输出才会产生跃变;因此,只要列出同相端与反相端的表达式,并且令两者相等,此时的输出电压 \(u_i\) 就是门限电平 \(U_T\)
How 如何实现跳变? 一方面需要观察 \(u_i\) 的输入端子,另一方面还要观察 \(u_i > U_T\) 或者 \(u_i < U_T\) 门限电平时的输出极性,从而最终确定跃变方向;

▶【例题】运用 3W 法分析如下由集成运放所构成电路的传输特性曲线?

▶【解答】由于该电路没有引入反馈处于开环状态,由此可以确定该电路是一个由集成运放构成的电压比较器。首先,分析 Where 跳到哪里去的问题,由于此时该电路的输出部分没有限幅电路,集成运放将会以最大不失真电压作为高、低电平:

\[ \begin{cases} 高电平 \implies U_{OH} = + U_{OM} \\ 低电平 \implies U_{OL} = - U_{OM} \end{cases} \]

然后,讨论 When 门限电平,写出同相端和反相端的表达式,并且令两者相等,从而求解出此时的 \(u_i\);该电路当中,由于虚断所以 \(u_- = u_i\)\(u_+ = 0\),两者相等马上就可以得到门限电平 \(U_T = 0\)

最后,解决 How 怎么跳的问题,由于 \(u_i\) 从反相端输入,而门限电平在同相端,因此当 \(u_i\) 大于零的时候,集成运放输出低电平,反之输出高电平:

  • \(u_i < 0\) 时,\(u_o = U_{OH}\)
  • \(u_i > 0\) 时,\(u_o = U_{OL}\)

根据上述分析,最终就可以得到这个电压比较器的传输特性曲线,由于它以作为门限电平,因此这种电压比较器也称为过零比较器

过零比较器虽然结构简单,但是在使用的时候如果输入 \(u_i\) 过大,可能会使得集成运放的差模输入电压超过极限值,影响到电路的正常工作,因而需要引入起到钳位与限幅作用的二极管限制输入的差模电压:

利用这样的电路,就可以起到输入的限幅保护作用,当输入 \(u_i\) 的幅值小于 0.7v 的时候,两个二极管都截止,信号可以正常进入集成运放进行电压比较。而如果 \(u_i\) 的幅值过大,必然导致两个二极管中的一个导通,此时由于钳位的作用,使得集成运放的差模输入被钳位在 0.7v 左右,不会超过其最大差模输入电压,从而保护了集成运放的正常工作,并且不会影响到其传输特性。

上图当中电阻 \(R\) 的存在是必要的,由于虚断的存在,使得当信号比较大的时候,所有的电流都会通过导通的二极管流向零电位,此时二极管承受着比较大的电流,因而这个电阻是一个必不可少的限流电阻

如果输出端不希望获取由集成运放所确定的最大不失真输出电压(下图蓝色线段),而希望输出电压是特定的两个值(例如 \(\pm U_Z\))(下图红色线段),则需要利用到稳压二极管对输出进行限幅:

▶【例题】电路及输入信号 \(u_i\) 波形如下图所示,其中集成运放的最大输出电压 \(U_{OM} = 12V\),双向稳压二极管的稳定电压为 7V,参考电压 \(U_{ref} = 5V\),试画出输出信号 \(u_o\) 的波形?

▶【解答】上面电路的结构虽然改变,但是依然可以沿用 3W 方法进行分析。由于该电路没有引入反馈,处于开环状态,可以确定其依然为一个电压比较器。

首先 Where,由于电路在输入端存在一个由稳压二极管构成的限幅电路,因此输出的高、低电平将由双向稳压二极管 \(VD_z\) 确定:

\[ \begin{cases} 高电平 \implies U_{OH} = 7V \\ 低电平 \implies U_{OL} = -7V \end{cases} \]

其次 When,列出同相端与反相端的表达式,然后令两者相等,就可以得到门限电平 \(U_T\)

\[ \begin{cases} 同相端 \implies u_+ = u_i \\ 反相端 \implies u_- = U_{ref} \end{cases} \implies 令\ u_+ = u_- \implies U_T = U_{ref} = 5V \]

最后 How,由于 \(u_i\) 从同相端输入,而门限电平 \(U_T = U_{ref}\) 位于反相端,因而可以得出如下结论:

  • \(u_i > (U_T = 5V)\) 的时候,输出高电平 \(u_o = U_{OH}\)
  • \(u_i < (U_T = 5V)\) 的时候,输出低电平 \(u_o = U_{OL}\)

基于此就可以获得到该电压比较器的传输特性曲线:

通过上面图表可以看到,该电压比较器在信号变化过程当中只有一次跃变机会,具有这种传输特性的电压比较器称为单限比较器。得到特性曲线之后,就可以通过下图上半部分的 \(u_i\) 获得 \(u_o\) 的波形:

显然此时 \(u_o = \pm 7V\),即当 \(u_i < 5V\) 时,\(u_o\) 输出低电平,而 \(u_i > 5V\) 时,则 \(u_o\) 输出高电平,从而就可以绘制出上图下半部分 \(u_o\) 的波形。

通过上述分析过程,可以发现单限比较器具有结构简单、灵敏度高等优点,但是单限比较器之所以能够具备下面这样的理想传输特性曲线,是基于理想集成运放的假设:

但是实际上,集成运放的开环增益不可能无穷大,这意味着当从低电平跃变至高电平时,必然会经过线性区,导致高低电平之间存在着传输延迟,信号波形出现了不够陡峭的现象。而另一个问题在于,模拟信号当中往往夹杂着一些干扰信号,这些干扰信号可能会导致输出发生错误的翻转:

可以看到干扰出现的位置,还出现了多个窄脉冲,这种现象正是因为单限比较器灵敏度过高所引起的:只要输入越过门限电平,输出就会发生翻转,而干扰信号会多次穿越门限,在输出产生多次的翻转,从而导致多个窄脉冲的出现。显然这些窄脉冲是由干扰信号带来的错误翻转,但是这种错误翻转在很多场合下是不能容忍的,需要引入下一节将要介绍的,具备滞回传输特性的滞回比较器

滞回与窗口比较器

滞回比较器

前一节介绍了单限比较器,并获得了其电压传输特性曲线,而且了解到其具有输出电压波形不够陡峭、抗干扰能力较差等缺点。

如果在 \(u_o\) 与同相端之间引入一个正反馈(采用瞬时极性法分析,当输入信号 \(u_i\) 为正,则输出信号 \(u_o\) 为负,反馈回来的瞬时极性也为负,并且添加在两个不同的输入端子,瞬时极性相反,所以引入的是一个正反馈),就可以使该电路焕发新的生命力。

虽然电路发生了改变,但是这里仍然可以采用前一节介绍的 3W 方法进行分析:

Where 输出的高低电平在哪里?由于输出连接的限幅电路,使得输出信号 \(u_o\) 将会被限制在双向稳压二极管所确定的 \(\pm U_z\) 电平上:

\[ \begin{cases} 高电平 \implies U_{OH} = +U_z \\ 低电平 \implies U_{OL} = -U_z \end{cases} \]

Where 门限电平在哪里?这里仍然分别写出同相端与反相端的表达式,其中反相端的表达式为 \(u_- = u_i\),而同相端的表达式由于引入了反馈,会同时受到 \(U_{REF}\)\(u_o\) 的影响,根据叠加原理可以写出其表达式:

\[ u_+ = \frac{R_2}{R_2 + R_F} u_o + \frac{R_F}{R_2 + R_F}U_{REF} \xrightarrow{u_o = \pm U_z} \begin{cases} 上门限\ U_{TH} = \frac{R_2}{R_2 + R_F} U_{OH} + \frac{R_F}{R_2 + R_F}U_{REF} \\ 下门限\ U_{TL} = \frac{R_2}{R_2 + R_F} U_{OL} + \frac{R_F}{R_2 + R_F}U_{REF} \end{cases} \]

注意\(U_O\) 为高电平时所确定的门限,称为上门限。相对应的 \(U_O\) 为低电平时所确定的门限,称为下门限

How 跃变方向如何?假设 \(u_i\)初始值非常小,使得反相端电位低于同相端电位,此时 \(u_o\) 输出为高电平 \(+U_z\),这就意味着此时电路的门限为上门限,即当 \(u_i\) 从小逐渐增大时,经过下门限时并不会发生跃变,只有经过上门限时才会跃变至低电平 \(-U_z\),此时电路的门限为下门限,即使 \(u_i\) 进一步增大,也不会再次发生翻转,此时门限已经被它甩在身后。

如果假设 \(u_i\)初始值非常大,使得反相端电位高于同相端电位,此时 \(u_o\) 呈现低电平 \(-U_z\),这意味着此时电路的门限为下门限,即当 \(u_i\) 从大逐渐减小时,经过上门限时并不会发生跃变。只有当 \(u_i\) 经过下门限时才会翻转至高电平 \(+U_z\),此时电路门限为上门限,即使 \(u_i\) 进一步减小,也不会再次发生跃变,因为门限同样已经被它甩在了身后。

因为该电路具有两个门限,导致在 \(u_i\) 单调变化的不同方向都有着不同的门限。观察上面的传输特性曲线,相比于单限比较器的跃变时刻,这种比较器无论处于哪个单调变化方向,都会存在一定滞后,因此也将这样的电压比较器称为滞回比较器

由于该电路存在正反馈,因而输出高、低电平的翻转速度非常快。假设 \(u_o\) 输出高电平,\(u_i\) 从小逐渐增大,并在上门限处发生翻转;当达到上门限时,\(u_o\) 将会有减小的趋势,从而引起同相端电位的降低,使得集成运放的反向差模输入 \(u_{id} = u_i - u_+\) 增大,意味着此时的反向电压变得更大,进一步促使 \(u_o\) 更加快速的走向负饱和并且切换至 \(-U_z\)。因此,转换速度变得更快,边缘也随之变得更加陡峭。

同时,通过这样的传输特性可以发现,如果干扰信号位于这样的上下门限之间(不触碰上下门限),输出的高低电平就不会发生翻转,这就为抗干扰提供了可行性,因此将这样 2 个阈值的差称为回差电压,也称为门限宽度

\[ 回差电压\ \Delta U = 上门限\ U_{TH} - 下门限\ U_{TL} \]

结合刚才的电路分析结果,对于上面的滞回比较器而言,其回差电压表达式(与参考电压无关)如下所示:

\[ \Delta U = \frac{R_2}{R_2 + R_F}(U_{OH} - U_{OL}) \]

如前所述,当信号进入到单限比较器时,将会产生错误的翻转。接下来讨论同样的干扰信号进入到滞回比较器之后发生的情况,假设该滞回比较器的传输特性曲线如下所示:

其中,上下门限分别位于下图红色虚线划定的区域,信号单调变化的不同方向面对的门限电平也就不同,假设零点时输出 \(u_o\) 为高电平 \(+U_z\),这一段的信号单调增大,需要观察传输特性曲线以上门限为翻转的时刻,即此时输出将会翻转至低电平。经过这样的峰值之后,输入 \(u_i\) 将会单调减小,接下来需要观察传输特性曲线以下门限为翻转的时刻,此时输出 \(u_i\) 降低到上门限时,并不会发生翻转,而只有进入下门限之后,才会翻转至高电平。

输入 \(u_i\) 经过最低点的波谷之后开始逐步增大,又会转变为以上门限作为翻转时刻,而就在此时出现了干扰,由于干扰信号在回差电压内部变化,并未触碰到上下门限,输出将不会产生翻转动作。只有当干扰信号接近结束时,信号由小增大经过上门限时,才会翻转至低电平,最后经过下门限的时候,再翻转为高电平,这样就完成了输出信号的波形分析,可以绘制出上图红色部分的曲线。

最后,对比滞回比较器单限比较器的输出波形,显然滞回比较器不会产生错误翻转,抗干扰能力更强。但是当没有干扰信号的时候,滞回比较器会由于回差电压的存在,使得翻转时刻相对于原来的单限比较器更为滞后,从而造成灵敏度变差。正是由于滞回比较器的抗干扰能力和灵敏度与回差电压密切相关,所以通过调整回差电压就可以改变电路的某些性能。

  • 如果上面波形的回差电压变小,干扰信号将会多次穿越门限电平,导致输出依然会产生错误的翻转,所以回差电压过小,可能会导致滞回功能失效,起不到任何抗干扰的效果
  • 如果该波形的回差电压过大,经过波形分析可以得到下面的图像;由于回差电压较大,所以干扰信号仍然碰触不到门限电平,输出仍然不会出现错误的翻转,保持了较好的抗干扰能力。但是由于回差电压变大,下图红圈处产生的延迟进一步变大,所以回差电压过大,抗干扰能力较强,但是延迟较大,灵敏度降低

综上所述,实际应用当中,需要根据信号的特点,合理的设定回差电压,才能有效的抑制干扰,同时提高电压比较器的灵敏度。

窗口比较器

前面看到的单限比较器和滞回比较器,都是在信号单调变化的时候,只有一次跃变机会。而有时需要比较的是某一特定范围的电压,这就要引出另外一种类型的电压比较器

上面电路由 \(A_1\)\(A_2\) 两个集成运放构成,由于没有引入反馈,所以都处于开环状态。仔细观察可以发现,电路当中的 \(A_1\)\(A_2\) 都是以 \(u_i\) 作为输入的单限比较器,而绿色区域部分则是由二极管构成的或门电路。由于这仍然是一个开环的集成运放应用,所以也属于一个电压比较器。这里假设上门限 \(U_{RH}\) 大于 下门限 \(U_{RL}\),由此可以分析电压传输特性曲线,由于电路中的 \(u_i\) 对于上下两个单限比较器而言,要分别与 \(U_{RL}\)\(U_{RH}\) 进行比较,整个比较过程会存在如下 3 种情况:

  1. \(u_i > U_{RH}\):此时对于 \(A_1\) 而言,同相端电压 \(u_i\) 高于反相端电压 \(U_{RH}\),所以 \(u_{o1}\) 输出高电平 \(+U_{OM}\);而对于 \(A_2\) 而言,反相端电压 \(u_i\) 大于同相端电压 \(U_{RL}\),所以 \(u_{o2}\) 输出低电平 \(-U_{OM}\);因为 \(u_{o1}\) 为高电平 \(u_{o2}\) 为低电平,所以二极管 \(D_1\)\(D_2\) 分别处于导通截止状态;此时 \(u_{o1}\) 的高电平沿着 \(D_1\) 在输出回路,导致稳压二极管反相击穿,\(u_o\) 端稳压输出 \(U_Z\)
  2. \(u_i < U_{RL}\):此时 \(A_1\) 反相端电压高于同相端电压,\(u_{o1}\) 输出低电平 \(-U_{OM}\);而 \(A_2\) 同相端电压高于反相端电压,\(u_{o2}\) 输出高电平 \(+U_{OM}\);此时二极管 \(D_1\)\(D_2\) 分别处于截止导通状态;这种情况下 \(u_{o2}\) 将沿着 \(D_2\) 在输出回路使稳压二极管反相击穿,\(u_o\) 端稳压输出 \(U_Z\)
  3. \(U_{RL} < u_i < U_{RH}\):此时 \(A_1\) 的同相端低于反相端,\(u_{o1}\) 出现低电平 \(-U_{OM}\);而 \(A_2\) 的反相端大于同相端,\(u_{o2}\) 同样产生低电平 \(-U_{OM}\);由于 \(u_{o1}\)\(u_{o2}\) 都产生低电平,所以二极管 \(D_1\)\(D_2\) 都处于截止状态,这意味着此时输出回路没有电流,\(u_o\) 端输出为零;

基于上面的分析过程,就可以绘制出这个电路的电压传输特性曲线:

与之前讨论过的单限比较器和滞回比较器不同,该比较器具有上下 2 个门限,而且在 \(u_i\) 单调变化的时候,存在着 2 次跃变机会,这种类型的电压比较器就称为窗口比较器,或者称为双限比较器

非正弦信号发生器

经过前面对于各种类型电压比较器的讨论可以发现,它们都能够将连续变化的模拟信号,转换为只有高低电平的数字信号,在模拟与数字信号之间搭建了一座桥梁,因此在模数转换、波形发生等场合应用较为广泛。例如:非正弦波信号发生器可以在电源电压的作用下,产生矩形波、锯齿波、三角波等非正弦波形。

矩形波发生电路

矩形波是其它非正弦波形的基础,矩形波电路的波形输出并没有稳态,而是在高、低电平两个暂态之间不停的切换。这里将输出的高电平定义为第一暂态,而输出的低电平定义为第二暂态

  • 由于矩形波仅有高、低 2 个电平,即只存在 2 个暂态,因此电路搭建过程当中,需要采用一个能够产生高、低电平的开关电路,前一节讨论的滞回比较器就可以胜任这项工作;
  • 由于该电路没有输入信号,为了让两个暂态不停切换,就需要引入一个正反馈,使得输出能够在某个状态下孕育翻转成为另一种状态的条件;
  • 为了让高、低电平 2 个暂态能够持续一定的时间,并且激励翻转,这里还需要引入一个 RC 定时电路;

基于上述的基本组成结构,就可以搭建出下面这样的矩形波发生电路:

其中,粉色圈出的部分就是一个引入了正反馈的滞回比较器,而蓝色圈出的电阻 \(R_3\) 与电容 \(C\) 则构成了一个 RC 定时电路。根据前面对于滞回比较器的分析方法,可以得到如下的传输特性曲线(下图左)以及对应的门限电平(下图右):

对于上面的滞回比较器而言,\(u_C\) 既是滞回比较器的输入,也是电容 \(C\) 两端的电压。由于 \(u_o\) 只存在 \(\pm U_z\) 两种情况,由于虚断的出现,使得 \(u_o = \pm U_z\) 的时候,电路会沿着 RC 回路对电容进行充放电,从而引起 \(U_z\) 的变化。基于这个结论,接下来就可以对该电路的工作过程进行分析:

初始状态:观察电容两端的电压 \(u_z\) 与滞回比较器输出电压 \(u_o\) 之间的关系,由于 \(u_o\) 只有 \(\pm U_z\) 两种可能,这里假设电容的初始电压为 0,则滞回比较器输出高电平 \(+U_z\) ,电路处于第一暂态;此时由于 \(u_o = + U_z\),而 \(u_c = 0\),显然 \(u_o > U_z\)

充电状态:由于虚断的成立,电容 \(C\) 将会进行正向充电,\(u_c\) 呈指数上升,当这个上升的 \(u_c\) 达到上门限 \(U_{T+}\) 的时候,滞回比较器产生翻转,\(u_o\)\(+U_z\) 跃变为 \(-U_z\),进入第二暂态

放电状态:此时由于 \(u_c > u_o\),电容 \(C\) 又会开始反向放电,致使 \(u_c\) 呈指数下降趋势,直到下降至下门限的时候,滞回比较器又达到了翻转的条件跃变为 \(+U_z\)返回到第一暂态,周而复始在不停的充放电过程中,使得输出 \(u_o\) 产生了高、低电平的矩形波输出;

经过这样的分析不难发现,输出矩形波的整个周期与 RC 回路的充放电密切相关,此时低电平的持续时间与放电时间有关,而高电平持续时间则与充电过程密切相关。

通常将信号高电平在整个周期内所占据的时间比率,称为占空比。对于上面电路而言,充放电所面对的支路相同,时间常数也就相同,所以其输出信号的占空比为 50%,因而该电路实际上是一个方波发生器。其周期等于 \(T = T_1 + T_2 = 2T_2\),即电容充电时间的 2 倍。因此,求解得到充放电时间,就可以求解得到周期。根据之前讨论过的一阶 RC 电路的三要素法(即初值终值时间常数)可以列出如下方程组:

\[ \begin{cases} T2 阶段电容电压 u_c(t) 过渡方程 &\implies u_c(t) = U_c(\infty) + [U_c(0^+) - U_c(\infty)] e^{-\frac{t}{\tau}} \\ 时间常数 &\implies \tau = R_3 C \\ 电容充电最大值 &\implies U_c(\infty) = U_z \\ U_c 的初始值 &\implies U_c(0^+) = U_{T-} \\ 下门限 &\implies U_{T-} = \frac{R_1}{R_1 + R_2}(-U_z) \end{cases} \]

联立之后可以求解出该电路的 \(T_2\),进而可以求解得到整个信号的周期:

\[ T = 2T_2 = 2R_3 C \ln(1 + \frac{2R_1}{R_2}),其中频率 f = \frac{1}{T} \]

注意:正是由于信号的周期与充放电时间常数密切相关,所以实际电路通过调整 \(R_3 C\) 就可以方便的改变整个电路的周期。

如果想要获得一个占空比可调的矩形波,就需要改变充放电回路的时间常数,这就意味着充电与放电的时候,所经过的通路应该拥有不同的时间常数。利用二极管与电位器配合,就可以得到一个占空比可调的矩形波发生器

当电容充电的时候,所经过的是 \(R_w \rightarrow D_1 \rightarrow R_3\) 这条支路,所以该电路的充电(高电平)时间常数:

\[ T_1 = (R_3 + R_{w1})C \ln(1 + \frac{2R_1}{R_2}) \]

当电容放电的时候,所经过的是 \(R_3 \rightarrow D_1 \rightarrow R_w\) 这条支路,所以该电路的放电(低电平)时间常数:

\[ T_2 = (R_3 + R_{w2})C \ln(1 + \frac{2R_1}{R_2}) \]

根据这两个充放电的时间常数,就可以分别得到该电路的周期占空比

\[ \begin{cases} 周期 &\implies T = T_1 + T_2 = (2R_3 + R_w)C \ln(1 + \frac{2R_1}{R_2}) \\ 占空比 &\implies d = \frac{T_1}{T} = \frac{R_3 + R_{w1}}{2R_3 + R_w} \end{cases} \]

改变电位器 \(R_w\) 的滑动端,就可以调整充放电回路的时间常数,从而调节占空比,而且不会改变整个信号的周期。有了矩形波的基础,就可以得到其它类型的非正弦波。

三角波发生电路

将方波电压信号作为积分运算电路的输入,就可以得到一个三角波:

由于上面的积分电路波形发生器电路都分别拥有 \(RC\) 定时环节,将两者合二为一就可以利用积分电路来代替定时电路,从而得到一个更为实用的三角波发生电路:

从上图可以看到,\(u_{o1}\) 是滞回比较器的输出,所以 \(u_o = \pm U_z\);而 \(u_{o2}\) 则是对 \(u_{o1}\) 的反向积分,根据积分电路的运算规则可以得出如下 \(u_{o1}\)\(u_{o2}\) 的关系:

\[ u_{o2} = - \frac{1}{R_4 C} \int^t_0 u_{o1} dt + u_{o2}(0^+) \]

由于滞回比较器反相端电位为零,而同相端电位经过叠加原理可以得到:

\[ u_+ = \frac{R_1}{R_1 + R_2} u_{o1} + \frac{R_2}{R_1 + R_2} u_{o2} \]

\(u_+ = 0\) 的时候,\(u_{o1}\) 就会发生翻转:

\[ U_{T\pm} = \pm \frac{R_1}{R_2} U_z \]

经过上面的初步分析,接下来再来讨论该电路波形上的变化过程。假设电路通电的一刹那 \(u_{o1} = +U_z\),当 \(u_{o1}\) 进入反向积分,必然导致 \(u_{o2}\) 呈线性下降,当 \(u_{o2}\) 达到下门限的时候,滞回比较器翻转到低电平 \(-U_z\),而一旦 \(u_{o1} = -U_z\),那么积分产生的 \(u_{o2}\) 将会线性增长,当 \(u_{o2}\) 达到上门限 \(U_{T+}\) 的时候,\(u_{o1}\) 又会翻转到高电平,周而复始就会在积分运算电路的 \(u_{o2}\) 输出端获得一个三角波信号

假设这里电容的初始电压为零,而 \(u_{o2}\) 初始电压也为零,那么整个周期就是反向积分时间的 4 倍,已知积分电路的输入 \(u_{o1} = +U_z\),而 \(u_{o2}\)\(u_{o1}\) 的关系通过积分运算可以得到:

\[ u_o = u_{o2} = - \frac{1}{R_4C} \int_0^{T'} U_z dt = - \frac{1}{R_4 C} U_z T' \]

而当 \(u_o\) 等于下门限 \(U_{T-}\) 的时候积分结束:

\[ U_{T-} = - \frac{R_1}{R_2} U_z \]

联立上面的方程之后,就可以求解得到 \(T'\)

\[ - \frac{R_1}{R_2} U_z = - \frac{1}{R_4C} U_z T' \implies T' = \frac{R_1 R_4 C}{R_2} \]

由于整个三角波的周期就等于 4 倍的 \(T'\),所以最终得到如下结论:

\[ T = \frac{4 R_1 R_4 C}{R_2} \]

由此可见,通过调整电容电阻就可以改变三角波的振荡周期。

锯齿波发生器

根据前面可调占空比矩形波发生器的分析过程,举一反三利用二极管单向导电性与电位器配合,调整积分电路的充电与放电的时间常数,就可以得到锯齿波

集成电压比较器

特点与分类

电压比较器是集成运放一种非常重要的非线性应用,很多场合会采用高增益的运放来构成电压比较器。但是在某些场合,对于电压比较器的性能有着较高要求,因此性能更为优越的集成电压比较器就应运而生,其具有着如下优点:

  • 两种输出状态转换速度非常快,即响应速度很快,传输延迟时间较短;
  • 内部采用了更多噪声抑制技术,可以有效遏制由于参考电压设置而导致的自激振荡;
  • 驱动能力比较强,可以直接驱动各种各样的负载;
  • 内部加入了电平移动和数字驱动模块,可以直接驱动各种集成数字电路;

集成电压比较具虽然具有上述优点,但并不能完全取代集成运放。集成运放和集成电压比较器虽然在结构与特性上存在诸多相似之处,但是两种芯片的设计目标不同:

  • 集成运放主要工作于负反馈条件下,设计重点是保证闭环下工作的稳定性,相关参数都是在提高运算精度与稳定性两者之间进行折中;
  • 电压比较器则主要工作于开环状态,以响应速度与延迟时间为优化目标,其它参数都可以被折中牺牲,总体增益相对较低,共模抑制性能相对较差;

综上所述,采用集成运放取代集成电压比较器,在某些场景下可能无法获得所需的响应速度与延迟时间,导致系统无法正常工作。而采用集成电压比较器取代集成运放,则更会致使运算精度和增益得不到保障,甚至可能导致系统工作不稳定。因此,大部分情况下,集成电压比较器与集成运放不能互换使用

集成电压比较器可以从很多维度进行分类,可以按内部集成电压比较器的个数划分为 单电压比较器双电压比较器四电压比较器;或者是从输出方式角度划分为普通输出集电极开路互补输出;除此之外,还可以按信号响应速度划分为高中低速,以及按制造工艺划分为双极型CMOS 型,以及按性能指标划分为高精密高灵敏度低功耗低失调等类型。

下图是一款型号为 J631单电压集成电压比较器(左图),以及型号为 CB75339四电压集成电压比较器(右图,内部集成有 4 个电压比较器)的引脚功能示意图:

结合集成电压比较器的内部结构,通过不同的外部电路接法,就可以得到不同类似的电压比较器,例如下图为一款型号为 AD890 的集成电压比较器内部等效电路:

其中的集成运放 \(A\) 是一个理想集成运放,而晶体管 \(T\) 工作于开环状态,假设理想情况下导通压降为零,如下 AD890 采用下面的连接方式:

可以看到 AD890 的同相端接地,输入信号 \(u_i\) 从反向端输入,而 6 号引脚(即晶体管 \(T\) 的发射极)接地,而 7 号引脚(即晶体管 \(T\) 的集电极)通过上拉电阻连接至 \(V_{cc}'\)

  • 当输入信号 \(u_i > 0\) 的时候,集成运放 \(A\) 输出低电平,导致晶体管 \(T\) 截止,7 号引脚在上拉电阻与电源的作用下,输出高电平 \(V_{cc}'\)
  • 当输入信号 \(u_i < 0\) 的时候,集成运放 \(A\) 输出高电平,导致晶体管 \(T\) 饱和导通,7 号引脚输出低电平 \(0\)

由此就可以得到对应的电压传输特性曲线,可以看出该连接方式电路属于过零比较器。由于该电路采用集电极开路的输出形式,因此可以通过选择合适的上拉电阻与电源配合,灵活的得到所需的高电平输出,进而直接驱动后续电路模块。

如果 AD890 改换为如下连接方式,从 7 号引脚输出的 \(u_o\) 经过一条支路返回输入端,从而引入正反馈,因此属于滞回比较器

由于输出 \(u_o\) 通过上拉电阻连接到 +5V,而 6 号引脚连接至 -5V;所以,当晶体管饱和、截止的时候,将会分别输出 \(\pm 5V\) 的两个高、低电平,由于此时 \(u_o\) 连接到了反相输入端,因此其门限电平也为 \(\pm 5V\),从而得到该滞回比较器的传输特性曲线:

总而言之,利用集成电压比较器构成各类电压比较器,可以更好的满足各种应用场景的需求。

使用问题

文章前面所讨论的各种电路,主要侧重于原理分析,而实际电路应用当中,为了获取更好的电路性能,还需要注意如下问题:

合理选择集成运放:根据需求合理选择集成运放,例如对于一个测量放大电路,需要放大的是非常微弱的信号,通常会选择高输入电阻、高共模抑制比、高增益、低失调电压电流、低温漂的高性能集成运放;此外还有跟随性能良好的高速型低功耗运放,以及可以提高输出功率的大功率运放等,可以满足不同的性能要求;

调零:为了提高电路的运算精度,要求对失调电压与电流造成的误差进行补偿,包含内部调零(利用集成运放的调零端外接电阻进行调零)和外部调零(通过外部电阻网络进行调零补偿)两种方式:

消振:由于集成运放本质上属于高放大倍数的多级放大电路,当引入深度负反馈的时候,很容易产生自激振荡,因此为了使放大器能够稳定的工作,需要外加一定的频率补偿电路,用于消除自激振荡;例如下面电路当中 100pF 的相位补偿电容,此外还会在正负电源的输入端加入两个接地电容,用于防止电源内阻所引入的高、低频振荡:

保护电路:集成运放在使用过程当中,由于输入电压、电流过大、输出短路、电源极性接反等因素,会造成集成运放元件损坏,因而必须采取一系列保护措施,通常体现在输入保护输出保护电源接反保护三个方面:

保护类型 功能描述 电路示意图
输入保护 由于集成运放输入极存在差模、共模信号的最大值限制,利用二极管的限幅作用限制输入信号幅值,避免输入信号过大损坏元件;
输出保护 为防止负载短路等导致的输出极击穿,利用稳压二极管将输出电压限制在一定范围以内,从而对输出极形成保护;
电源反接保护 为了防止操作不当,造成电源反接损坏元件,可以利用二极管的单向导电性构成一个电源反接保护电路;

概而言之,结合前述各种集成运放电路的巧妙设计,叠加本节讨论的实际使用过程中需要注意的问题,集成运放这个元器件一定可以在实际的电路设计工作当中大显身手。

正弦波振荡电路

正弦波振荡电路用于将直流能量转换为交流信号,与放大电路不同,它不需要额外施加激励信号,只要满足振荡的平衡条件即可产生一定频率和幅度的正弦交流信号,即放大电路当中极力避免的自激震荡,正弦波振荡电路基于选频网络可以进行如下分类:

本节内容将分别对 RC 振荡器LC 振荡器石英晶体振荡器 三种类型的振荡器进行深入讨论。

振荡的原理和条件

下图左侧是负反馈放大器,右侧为一个正反馈放大器,其中 \(x_i\) 为输入信号,\(x_o\) 为输出信号,\(x_f\) 为反馈信号:

环路增益 \(\dot{A} \dot{F}\) 等于反馈电压 \(\dot{X_f}\) 除以放大器的输入电压 \(\dot{X_i}\)

\[ \begin{cases} 放大倍数\ \dot{A} = \frac{\dot{X_o}}{\dot{X_i'}} \\ 反馈系数\ \dot{F} = \frac{\dot{X_f}}{\dot{X_o}} \end{cases} \implies 环路增益\ \dot{A} \dot{F} = \frac{\dot{X_f}}{\dot{X_i'}} \]

振荡器放大器的不同之处在于振荡器直接将反馈电压作为输入信号输入到电路,并且无需单独的输入信号。

此时,输入信号完全等于反馈信号 \(\dot{X_i}' = \dot{X_f}'\),而放大器的放大倍数 \(\dot{A} = \frac{\dot{X_o}}{\dot{X_i'}}\)反馈系数 \(\dot{F} = \frac{\dot{X_f}}{\dot{X_o}}\) 等式仍然成立,联立以后可以得到如下推导:

\[ \begin{cases} \dot{X_i}' = \dot{X_f}' \\ \dot{A} = \frac{\dot{X_o}}{\dot{X_i'}} \\ \dot{F} = \frac{\dot{X_f}}{\dot{X_o}} \end{cases} \implies \dot{A} \dot{F} = 1 \]

上述方程组的推导结果 \(\dot{A} \dot{F} = 1\),就是正弦波振荡电路达到平衡的条件。注意这里的 \(A\)\(F\) 都是向量形式,所以同时包含有幅度平衡条件与相位平衡条件。

起振条件

振荡电路接通电源,微小的噪声或者扰动就会成为初始的激励信号,经过 \(放大 \rightarrow 正反馈 \rightarrow 再放大 \rightarrow 再正反馈\) 的循环过程,就可以逐步由小到大建立起输出电压信号。因此,一开始要想获得起振,反馈信号必须不断大于上一次的输入信号 \(\dot{X_f} > \dot{X_i}'\),即 \(\dot{A} \dot{F} > 1\)

\[ \dot{A} \dot{F} > 1 \implies \begin{cases} 振幅起振条件\ | \dot{A} \dot{F} | > 1\\ 相位起振条件\ \varphi_A + \varphi_F = 2n \pi,其中 n = 0,1,2... \\ \end{cases} \]

平衡条件

振荡器起振之后将会逐步达到平衡,由于有源器件具有非线性特征,或者由于外接了非线性网络,使得电路能够自动调节放大电路的增益,将振荡信号的幅值稳定在某个水平,从而达到平衡状态,此时反馈信号正好等于维持输出所需的输入信号,即 \(\dot{X_f} = \dot{X_i}' \implies \dot{A} \dot{F} = 1\)

\[ \dot{A} \dot{F} = 1 \implies \begin{cases} 振幅起振条件\ | \dot{A} \dot{F} | = 1\\ 相位起振条件\ \varphi_A + \varphi_F = 2n \pi,其中 n = 0,1,2... \\ \end{cases} \]

振荡的建立与稳定

本小节将着手分析振荡器起振平衡所经历的一系列过程:

起振是指 \(| \dot{A} \dot{F} | > 1\) 的时候,在电源接通的一瞬间,会在电路当中激起一个微小的扰动信号,导致电路产生一个瞬变电流,这种电流包含的频带比较宽,且含有许多不同正弦分量的频率成分。为了确保正弦波振荡器只产生某个单一频率的 \(f_0\) 正弦信号,需要通过选频网络从所有频率当中,将所需的 \(f_0\) 成分信号挑选出来:

稳幅\(| \dot{A} \dot{F} | = 1\) 的时候,由于放大器元件的非线性特征,以及供电电源的限制,最终将会达到一定的动态平衡,从而将输出信号稳定在一定幅值:

注意:稳幅可以分为内稳幅(利用放大器自身的非线性特性)与外稳幅(添加二极管等非线性元件)。

振荡电路基本组成

振荡电路通常由放大电路反馈网络选频网络稳幅环节 四大部分组成:

  1. 放大电路:用于能量转换,放大信号电压,提供振荡器所需的能量;
  2. 反馈网络:形成正反馈,维持电路的正常振荡,满足振荡的相位条件;
  3. 选频网络:在各种频率信号当中,挑选出所需频率的信号进行放大与反馈,从而产生单一频率的正弦波;
  4. 稳幅环节:稳定振幅,改善波形,利用内稳幅或者外稳幅来稳定振荡信号的幅值;

振荡电路的上述 4 个组成部分可以拥有多种实现方式:

  • 放大电路:三极管、场效应管、集成运放等;
  • 反馈网络:变压器分压电路、电感或者电容分压电路;
  • 选频网络RC 网络、LC 谐振回路、石英晶体振荡器;
  • 稳幅环节:有源器件的非线性特征可以起到稳幅作用,即内稳幅;在反馈环路中接入额外的非线性元件,或者采用自动增益控制电路,以成为独立的稳幅环节,即外稳幅

实际电路当中,选频网络与反馈网络之间并不存在明显的界线,即选频网络既可以单独存在,也可以与放大电路、反馈网络整合在一起。正弦振荡电路必须拥有选频网络,根据选频网络的不同,可以将正弦波振荡电路划分为 RC 振荡电路LC 振荡电路石英晶体振荡电路 3 种类型:

  • RC 振荡电路工作频率较低,可以产生几赫兹几百千赫兹的正弦信号;
  • LC 振荡电路工作频率较高,可以产生几百千赫兹以上的正弦信号;
  • 石英晶体振荡电路用于产生几十千赫兹以上的正弦信号;

振荡电路分析方法

反馈式正弦振荡电路实质是具有正反馈的非线性电路,要对其进行全面的描述与分析,必须求解非线性微分方程。因为正弦振荡电路中的放大器件通常工作在线性区(RC 振荡电路)或者是接近于线性区(LC 振荡电路),所以可以近似的按照线性电路来进行处理,工程实践上通常会采用定性定量两种分析方法:

定性分析
  1. 首先,检查电路的组成结构,查看是否包含放大电路反馈网络选频网络等基本环节;
  2. 接着,检查直流通路是否确定了合适的静态工作点 Q,即是否拥有合适的直流偏置;
  3. 然后,检查电路是否满足自激振荡条件,幅度平衡条件 \(| \dot{A} \dot{F} | = 1\) 通常较易满足,而相位平衡条件 \(\varphi_A + \varphi_F\) 是否等于 \(2n \pi\) 需要重点进行判断;
  4. 最后,可以采用负反馈当中讨论过的瞬时极性法,判断相位是否满足平衡条件;不同之处在于振荡电路上需要判断 \(\dot{x}_i\)\(\dot{x}_f\) 在某一频率上的瞬时极性是否相同,只有当瞬时极性相同时才认为满足相位平衡条件;
定量分析

在定性分析的基础之上,可以按照如下步骤对振荡频率振幅条件进行定量的分析:

  1. 首先,绘制出振荡电路的微变等效电路
  2. 然后,推导出放大倍数 \(\dot{A}\)反馈系数 \(\dot{F}\) 的表达式;
  3. 最后,将 \(\dot{A}\)\(\dot{F}\) 代入公式 \(\dot{A} \dot{F} = 1\),化简整理为 \(a + jb = 0\) 的复数式;此时令虚部 \(b = 0\), 求解得到振荡频率 \(f_0\),令实部 \(a = 0\) 并且将 \(f_0\) 代入,即可求解得到相应的振幅条件;

RC 正弦波振荡电路

RC 正弦波振荡电路通常用于产生频率低于 1MHz 的正弦波,具体可以划分为 RC 串并联网络振荡电路移相式振荡电路双 T 型选频网络振荡电路 三种类型,其中 RC 串并联式振荡电路的振荡波形较好,并且振幅稳定,频率调节方便,应用极为广泛,是本小节主要讨论的内容。

RC 串并联振荡电路

电路结构

下图当中的 RC 串并联网络振荡器主要由集成运放构成,也称为文氏电桥振荡电路

而下图的 RC 串并联网络振荡器则是由 2 个三极管构成的共射极放大电路连接而成:

上述两个电路的相同之处在于,RC 串并联电路都处于电路的正反馈环节,而 \(R_F\) 等电阻则处于负反馈网络当中,这里重点分析由运算放大器构成的 RC 串并联振荡电路

  • 该电路是一个由集成运放构成同相比例运算放大电路
  • 采用 RC 元件构成的串并联网络作为选频网络
  • \(R_f\)\(R'\) 组成负反馈网络
  • RC 串并联网络属于正反馈网络
选频特性

接下来,着手分析 RC 串并联网络的选频特性。令 \(R_1 = R_2 = R\) 并且 \(C_1 = C_2 = C\),则可以求解得到反馈系数 \(\dot{F}\)

\[ \dot{F} = \frac{\dot{U_f}}{\dot{U}} = \frac{R // \frac{1}{j \omega C}}{R + \frac{1}{j \omega C} + (R // \frac{1}{j \omega C})} = \frac{1}{3 + j(\omega RC - \frac{1}{\omega RC})} \]

接下来,令选频网络的选频特性 \(\omega_0 = \frac{1}{RC}\),则上面的反馈系数 \(\dot{F}\) 可以化简为:

\[ \dot{F} = \frac{1}{3 + j \big(\frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega}\big)} \]

\(\omega\) 达到谐振频率 \(\omega_0\) 的时候,则 \(|\dot{F}| = \frac{1}{3}\),相位 \(\varphi_F = 0\)。由此可知当 \(f = f_0 = \frac{1}{2 \pi RC}\) 时,\(\dot{U_f}\) 的幅值达到 \(\dot{U}\) 幅值的 \(\frac{1}{3}\),由于两者的相位差为零,所以属于同相。

振荡频率

由于 RC 串并联网络振荡电路的相位平衡条件\(\varphi_A + \varphi_F = \pm 2n \pi\),其中当 \(f = f_0 = \frac{1}{2 \pi RC}\) 的时候,选频网络的相移为 \(0°\),所以如果 \(\varphi_A = \pm 2n \pi\) 就可以满足相位平衡条件。此时,运放构成了同相放大电路,它的中频相移可以近似为 0。通过这个分析过程可以看到,振荡频率 \(f_0 = \frac{1}{2 \pi RC}\) 由电阻 R 和电容 C 两部分所决定:

  1. 改变双联波段开关 S 的位置可以调整选频网络的电阻,从而实现振荡频率的粗调;
  2. 改变双联可调电容 C 的大小则可以实现振荡频率的细调;
起振条件

通过判断 \(\dot{A} \dot{F}\) 是否大于 1,可以了解一个正弦波振荡器是否达了到起振条件,这里先将放大倍数 \(\dot{A}\) 求解出来:

\[ \dot{A} = \frac{\dot{U_o}}{\dot{U_f}} = 1 + \frac{R_f}{R'} \]

前面已经求解得到了反馈系数 \(\dot{F}\) 的表达式:

\[ \dot{F} = \frac{1}{3 + j \big(\frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega}\big)} \]

\(\dot{A}\)\(\dot{F}\) 相乘,就可以得到如下等式:

\[ |\dot{A} \dot{F}| = (1 + \frac{R_f}{R'}) \cdot \frac{1}{3 + j \big(\frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega}\big)} \]

由于 RC 串并联网络振荡电路的起振条件必须满足 \(\dot{A} \dot{F} > 1\),因为反馈系数 \(\dot{F}\)\(\omega = \omega_0\) 时等于 \(\frac{1}{3}\),由此可以得出结论:当放大倍数满足 \(|\dot{A}| = 1 + \frac{R_f}{R'} >3\) 的时候,即 \(R_f > 2R'\) 的时候,就可以满足 RC 串并联网络振荡电路的起振条件。

稳幅

内稳幅是指利用放大电路当中,有源器件的非线性特性进行稳幅。由于 RC 网络的选频特性较差,为了保证振荡波形不失真,基本放大电路需要处于线性工作状态,所以 RC 正弦波振荡电路不能采用内稳幅。

解决该问题的方法是在负反馈支路中加入由热敏元件二极管场效应管等非线性元件组成的外稳幅电路,通过自动调整负反馈的深度来稳定振荡信号的幅度,并且进一步改善振荡信号的波形。

热敏电阻外稳幅电路

下面电路将热敏电阻 \(R_T\) 添加进入负反馈电路当中,这里的热敏电阻 \(R_T\) 具有负温度系数(温度越高,电阻越小):

首先,输出电压 \(\dot{U_o}\) 不断增加,从而造成 \(\dot{I_o}\) 也不断增加,热敏电阻 \(R_T\) 的功耗与温度不断增加而阻值减小,导致负反馈增强,运放的放大倍数 \(\dot{A}\) 减小,直到 \(\dot{A} = 3\) 的时候达到平衡,从而达到 \(|\dot{A}\dot{F}| = 1\) 起到了稳幅的作用。

二极管外稳幅电路

利用二极管的正向伏安特性的非线性特征,同样可以实现自动稳幅的目标。下图在负反馈电路接入了 2 个反向连接的二极管,这样无论任何时候都会有一个二极管处于导通状态:

  • 开始起振的时候信号幅值较小,此时二极管的电阻较大,运放的放大倍数 \(A_u \approx 1 + \frac{(R_{F1} + R_{F2})}{R_1} > 3\)
  • 起振之后的时候信号幅值变大,二极管的电阻相对较小,放大倍数 \(A_u \approx 1 + \frac{R_{F2}}{R_1} = 3\) 也会减小;信号增大而放大倍数减小,从而达到了稳幅的目的;

移相式振荡电路

移相式振荡电路由三级 RC 移相电路加上一个反相放大器组成,由于单个 RC 振荡器的最大相移为 90°,而三个 RC 电路叠加之后的最大相移可以达到 270°;此外,反相放大器的相移为 180°,从而必然存在一个相移为 180°的频率 \(f_0\),使得整个电路构成一个正反馈网络,以满足振荡的相位条件。

这种电路结构简单成本低,但是选频能力比较差,频率调整起来十分不便,且波形稳定度不好,适用于频率固定并且稳定性要求不高的场合。利用上图电路当中 \(\dot{U_o}\)\(\dot{U_f}\) 之间关系式的虚部等于 0,可以推导出该电路的振荡频率 \(f_0\)

\[ f_0 = \frac{1}{2 \sqrt{6} \pi RC} \]

将上面这个振荡频率 \(f_0\) 代入 \(\dot{U_o}\)\(\dot{U_f}\) 之间的关系式,由于 \(|\dot{F}|_{f-f_0} = \frac{1}{29}\),从而可以推导出该电路的起振条件

\[ |\dot{A}| = \frac{R_f}{R} > 29 \]

双 T 型选频网络振荡电路

双 T 型选频网络振荡电路由下图两个红色线条标识的 T 型电路构成,可以视为是 1 个低通滤波电路与 1 个高通滤波电路的并联。

双 T 型选频网络是一个带阻滤波器(对于某个频率的输入信号输出为0),即在负反馈电路当中,低于或者高于指定频率时,负反馈系数都会非常大,信号无法正常通过,只有指定频率的信号能够被输入到运算放大器当中:

双 T 型选频网络振荡电路的优点在于频率稳定性好,输出波形失真较小,而缺点在于频率调节较为困难,仅适用于需要产生单一频率正弦波信号的电路。

比较三种 RC 振荡电路

最后,通过下面的表格,对RC 串并联网络振荡电路移相式振荡电路双 T 形选频网络振荡电路 进行一个横向的比较:

要想提高 RC 振荡电路的振荡频率,就必须减小电阻 R 和电容 C 的值,而放大器的输出电阻与晶体管的极间电容都会影响到其选频特性,导致输出频率不够稳定,不适合频率较高的场合。

LC 正弦波振荡电路

LC 正弦波振荡电路是一种选频网络由电感 L电容 C 组成的振荡电路,其选频特性主要由 LC 的并联谐振网络所决定,其振荡频率较高,通常用于产生数百千赫兹以上的高频正弦信号

注意:由于高频运算放大器的价格较高,所以通常采用分立式元器件来搭建放大电路。

LC 谐振回路的频率特性

下图是一个典型的 LC 正弦波振荡电路,该电路由电感 L 与电容 C 并联组成,其中电阻 R 表示的是电感 L 的等效电阻:

整个电路的阻抗可以用 Z 进行表示,其值等于电容 \(\frac{1}{j \omega C}\) 与电感 \(R + j \omega L\) 的并联:

\[ Z = \frac{\frac{1}{j \omega C} \times (R + j \omega L)}{\frac{1}{j \omega C} + (R + j \omega L)} \implies \frac{\frac{L}{RC}}{1 + j(\frac{\omega L}{R} - \frac{1}{R \omega C})} \]

类似于之前的分析方法,令上面等式的虚部等于,就可以得到谐振频率

\[ f_o = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}} \]

当达到谐振频率的时候,即 \(\omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}\),谐振阻抗 Z_0 达到最大值:

\[ Z_0 = \frac{L}{RC} = Q \omega_0 L = \frac{Q}{\omega_0 C} \]

上面等式当中的 Q 表示品质因素 \(Q = 2 \pi \frac{回路存储的能量}{每周期消耗的能量}\),幅频特性当中 Q 值越高,阻抗曲线就会越陡峭,选频特性也就会越好;反映在相频特性曲线上,当 Q 值越大的时候,\(f_0\) 点的斜率也就越大:

注意:LC 正弦振荡电路构造的关键,就是如何获取满足振荡相位条件的正反馈电压。

LC 振荡电路按照反馈电压的耦合方式,可以分为变压器反馈式三点式振荡电路,其中三点式当中又根据反馈电压是从电感还是从电容上获取,进一步划分为电感反馈(也称为哈特莱振荡器)与电容反馈振荡电路,其中电容反馈振荡电路可以再划分为考比兹克拉泼西勒振荡器。

变压器反馈式振荡电路

下图分别为 3 种不同连接方式的变压器耦合反馈式振荡电路

下图就是一个以共射极连接方式的变压器反馈式振荡器:

  • \(VT\) 三极管与其它元件构成的共射放大电路;
  • \(LC\) 选频回路,选择所需要的频率;
  • \(L_F\) 反馈线圈,用于选择反馈电压;
  • \(C_B\) 隔直电容;

共射极放大电路属于反相放大器,所以其 \(\varphi_A = 180°\),而互感线圈的同名端 \(\varphi_F = 180°\),将两者相加 \(\varphi_{AF} = \varphi_A + \varphi_F = 0°\),因此能够满足振荡器的相位平衡条件。而幅度条件方面,通过选择放大倍数 \(\beta\) 值比较高的双极结型晶体管,以及调整变压器的匝数比来达到 \(|\dot{A}\dot{F}| > 1\),电路就可以起振,并且最终通过稳幅环节达到稳定振荡。

该电路的振荡频率就是并联 LC 电路的振荡频率 \(f_o = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}\),变压式反馈振荡电路主要具有如下特点:

  • 易于起振,输出电压比较大;
  • 调频方便,可以通过调节可变电容的容值,来达到调节频率的目的,且调频范围较宽;
  • 反馈电压取自于电感,其对于高次谐波的阻抗较大,因而输出波形当中含有较多的高次谐波成分;
  • 受制于三极管放大电路分布电容的影响,其频率稳定性非常差,输出波形不够理想;

注意:该电路通常应用于收音机的内置振荡器,在高频应用场合当中较少使用。

三点式振荡电路

三点式振荡电路的构成原则是在三极管放大电路的 3 端分别连接上 \(Z_1\)\(Z_2\)\(Z_3\) 电阻:

通过上图可以看出该电路是一个共射极放大电路,同时也是一个可以起到倒相作用的反相放大器,即 \(U_o\)\(U_i\) 相差 180°,因此反馈电压 \(U_f\) 需要与 \(U_o\) 再进行一次反相。

\[ \frac{\dot{U_f}}{\dot{U_o}} = \frac{Z_3}{Z_2 + Z_3} < 0 \]

由上面等式可以看出,\(Z_2\)\(Z_3\) 所代表的电抗元件极性必须相反。而当回路谐振的时候有 \(Z_1 + Z_2 + Z_3 = 0\),可以推导出 \(Z_2 + Z_3 = -Z_1 \implies \frac{Z_3}{Z_1} > 0\),从而说明 \(Z_3\)\(Z_1\) 具有相同的电抗特性。

综上所述,可以得到相位平衡的条件,即如果发射极相连的是相同性质的电抗元件,而另外的一个则为电抗性质相反的元件,即射同基异发射极引出的 2 个电抗元件特性相同,基极引出的 2 个电抗元件特性相反)。

电感三点式振荡电路拥有如下 2 种连接方法:

电路 描述
中间连接线接地,\(u_o\)\(u_f\) 反相
电感一端接地,连接线输出反馈电压,此时 \(u_o\)\(u_f\) 同相

电容三点式振荡电路拥有如下 2 种连接方法:

电路 描述
中间连接线接地,\(u_o\)\(u_f\) 反相